Restitution organisée de connaissances

R.O.C.
Nombres complexes
Pondichéry 2012. Enseignement spécifique. Exercice 4
Enoncé
Partie A Restitution organisée de connaissances
Soit zun nombre complexe. On rappelle que zest le conjugué de zet que |z|est le module de z.
On admet l’égalité |z|2=zz.
Montrer que, si z1et z2sont deux nombres complexes, alors |z1z2|=|z1||z2|.
Solution
Soient z1et z2deux nombres complexes. On sait que z1z2=z1×z2et donc
|z1z2|2=z1z2(z1z2) = z1z1z2z2=|z1|2|z2|2= (|z1|×|z2|)2.
En résumé, |z1z2|2= (|z1|×|z2|)2. Puisqu’un module est un réel positif, en prenant la racine carrée des deux
membres de l’égalité précédente, on obtient |z1z2|=|z1|×|z2|. On a montré que
pour tous nombres complexes z1et z2,|z1z2|=|z1|×|z2|.
Polynésie 2010. Enseignement spécifique. Exercice 1
Enoncé
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, −→ u , −→ v.
Partie A - Restitution organisée de connaissances
Prérequis Soit zun nombre complexe tel que z=a+bi où aet bsont deux nombres réels.
On note z, le nombre complexe défini par z=a−bi.
Questions.
1) Démontrer que, pour tous nombres complexes zet z′,z×z′=z×z′.
2) Démontrer que, pour tout entier naturel nnon nul et tout nombre complexe z,zn= (z)n.
Solution
1) Soient a,b,a′et b′quatre nombres réels puis z=a+ib et z′=a′+ib ′.
z×z′= (a−ib)(a′−ib′) = (aa′−bb′) − i(ab ′+ba′) = ((aa′−bb′) + i(ab′+ba ′))
=(a+ib)(a′+ib′) = z×z′.
Pour tous nombres complexes zet z′,z×z′=z×z′.
2) Soit zun nombre complexe. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul n,zn= (z)n.
•C’est vrai pour n=1car z1=z= (z)1.
•Soit n>1. Supposons que zn= (z)n. Alors
zn+1=zn×z=zn×z(d’après 1))
= (z)n×z(par hypothèse de récurrence)
= (z)n+1.
Le résultat est démontré par récurrence.
Pour tout nombre complexe zet tout entier naturel non nul n,zn= (z)n.
http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

Probabilités
Nouvelle Calédonie 2014. Enseignement spécifique. Exercice 2
Enoncé
Partie A
Restitution organisée des connaissances
L’objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant :
Si Xest une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel αappartenant à
l’intervalle ]0;1[, il existe un unique réel strictement positif χαtel que P(−χα6X6χα) = 1−α.
Soit fla fonction définie sur l’ensemble des nombres réels Rpar
f(t) = 1
√2π e−t2
2.
Soit Hla fonction définie et dérivable sur [0; +∞[par
H(x) = P(−x6X6x) = Zx
−x
f(t)dt.
1) Que représente la fonction fpour la loi normale centrée réduite ?
2) Préciser H(0)et la limite de H(x)quand xtend vers +∞.
3) A l’aide de considérations graphiques, montrer que pour tout nombre réel positif x,H(x) = 2Zx
0
f(t)dt.
4) En déduire que la dérivée H′de la fonction Hsur [0; +∞[est la fonction 2f et dresser le tableau de variations de
Hsur [0; +∞[.
5) Démontrer alors le théorème énoncé.
Solution
Partie A
Restitution organisée des connaissances
1) La fonction fest la fonction densité de probabilité associée à la loi normale centrée réduite.
2) H(0) = 0et lim
x→+∞
H(x) = 1.
3) Soit xun réel positif. Puisque la fonction fest continue et positive sur R,Zx
0
f(t)dt est l’aire, exprimée en unités
d’aire, du domaine jaune ci-dessous et Z0
−x
f(t)dt est l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine bleu ci-dessous.
1
1 2 3−1−2−3x
−x
La courbe représentative de fest symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et donc ces deux aires sont égales.
Comme H(x)est l’aire, exprimée en unités d’aire, de la réunion des deux domaines, on en déduit que
H(x) = 2Zx
0
f(t)dt.
4) La fonction fest continue sur [0, +∞[. On sait alors que la fonction x7→Zx
0
f(t)dt est dérivable sur [0, +∞[et que
sa dérivée est f. On en déduit que pour tout réel positif x,H′(x) = 2f(x).
http ://www.maths-france.fr 2 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

La fonction fest strictement positive sur [0, +∞[et donc la fonction Hest strictement croissante sur [0, +∞[. On en
déduit le tableau de variations de la fonction H.
x 0 +∞
H′(x) +
1
H
0
5) Soit αun réel élément de ]0, 1[. Alors 1−αest un réel élément de ]0, 1[.
La fonction Hest continue continue et strictement croissante sur ]0, +∞[. On sait alors que pour tout réel kde
lim
x→0H(x),lim
x→+∞
H(x)=]0, 1[, l’équation H(x) = ka une unique solution dans ]0, +∞[. Puisque le réel 1−αappartient
à]0, 1[, on a montré qu’il existe un unique réel strictement positif χαtel que H(χα) = 1−αou encore tel que
P(−χα6X6χα) = 1−α.
Antilles Guyane 2013. Enseignement spécifique. Exercice 2
Enoncé
Partie A
Soient nun entier naturel non nul, pun nombre réel compris entre 0et 1, et Xnune variable aléatoire suivant une
loi binomiale de paramètres net p. On note Fn=Xn
net fune valeur prise par Fn. On rappelle que, pour nassez
grand, l’intervalle p−1
√n, p +1 √ncontient la fréquence favec une probabilité au moins égale à 0, 95.
En déduire que l’intervalle f−1
√n, f +1 √ncontient pavec une probabilité au moins égale à 0, 95.
Solution
Partie A
f∈p−1
√n, p +1 √n⇔p−1 √n6f6p+1 √n⇔p−1 √n6fet f6p+1 √n
⇔p6f+1
√net f−1 √n6p⇔f−1 √n6p6f+1 √n
⇔p∈f−1
√n, f +1 √n.
Ainsi, les événements f∈p−1
√n, p +1 √net p∈f−1 √n, f +1 √nse produisent simultanément. Ils ont donc la
même probabilité et en particulier, pour ngrand, l’intervalle f−1
√n, f +1 √ncontient pavec une probabilité au
moins égale à 0, 95.
Centres étrangers 2009. Enseignement spécifique. Exercice 1
Enoncé
1) Restitution organisée de connaissances.
Prérequis : on rappelle que deux événements Aet Bsont indépendants pour la probabilité psi et seulement si
p(A∩B) = p(A)×p(B).
a) Démontrer que p(B) = p(B∩A) + pB∩A.
b) Démontrer que si les événements Aet Bsont indépendants, alors les événements Aet Bsont indépendants.
Solution
a) Les événements B∩Aet B∩Aconstituent une partition de l’événement B. La formule des probabilités totales
fournit alors
p(B) = p(B∩A) + p(B∩A).
http ://www.maths-france.fr 3 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

b) Supposons maintenant les événements Aet Bindépendants.
pB∩A=p(B) − p(B∩A) (d’après a))
=p(B) − p(B)×p(A) (car les événements Aet Bsont indépendants)
=p(B)(1−p(A)) = p(B)×pA.
Ceci montre que les événements Aet Bsont indépendants.
Asie 2011. Enseignement spécifique. Exercice 4
France métropolitaine 2008. Enseignement spécifique. Exercice 3
Enoncé
On admet que la durée de vie (exprimée en années) d’un certain type de capteur de lumière peut être modélisée
par une variable aléatoire Xqui suit une loi exponentielle de paramètre λ(λstrictement positif), c’est-à-dire que
la probabilité que ce capteur tombe en panne avant l’année t(tpositif) s’exprime par :
F(t) = p(X6t) = p([0;t]) = Zt
0
λe−λx dx.
1) Restitution organisée de connaissances.
Pré-requis :
a) pB(A) = p(A∩B)
p(B)(où Aet Bsont deux événements tels que p(B)6=0) ;
b) pA=1−p(A)(où Aest un événement) ;
c) p([a;b]) = F(b) − F(a)(où aet bsont des nombres réels positifs tels que a6b).
Démontrer que, pour tout nombre réel positif s, on a :
p[t;+∞[([t;t+s]) = F(t+s) − F(t)
1−F(t)
et que p[t;+∞[([t;t+s]) est indépendant du nombre réel t.
Solution
Soient set tdeux réels positifs. Vérifions tout d’abord que p([t, +∞[) 6=0.
p([t, +∞[) = 1−p([0, t[) = 1−p([0, t]) = 1−Zt
0
λe−λx dx =1−−e−λxt
0=1− (1−e−λt) = e−λt.
On a montré au passage que F(t) = Zt
0
λe−λx dx =1−e−λt. Ensuite, comme la fonction exponentielle ne s’annule pas
sur R,p([t, +∞[) = e−λt 6=0puis
p[t,+∞[([t, t +s]) = p((t6X6t+s)∩(X>t))
p(X>t)=p(t6X6t+s) 1−p(X < t)=p(t6X6t+s) 1−p(X6t)(car p(X=t) = 0)
=F(t+s) − F(t)
1−F(t)
=1−e−λ(t+s)−1−e−λt
1− (1−e−λt)=e−λt −e−λ(t+s) e−λt =e−λt e−λt −e−λ(t+s) e−λt
=1−e−λt−λs+λt =1−e−λs =F(s).
En particulier, p[t,+∞[([t, t +s]) est indépendant de t.
Analyse
Liban 2008. Enseignement spécifique. Exercice 3
Enoncé
Partie A Démonstration de cours.
http ://www.maths-france.fr 4 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

Prérequis : définition d’une suite tendant vers +∞.
« une suite tend vers +∞si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d’un certain rang, supérieurs
àA»
Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers +∞.
Solution
Soit (un)une suite croissante non majorée. Soit Aun réel.
Puisque la suite (un)n’est pas majorée, le réel An’est pas un majorant de la suite (un). Il existe donc un entier n0
tel que un0> A.
Puisque la suite (un)est croissante, si nest un entier supérieur ou égal à n0, on a un>un0> A.
On a montré que, pour tout réel A, tous les termes de la suite (un)sont, à partir d’un certain rang, supérieurs à Aet
donc que lim
n→+∞
un= +∞.
Restitution organisée de connaissances
Rochambeau 2012. Enseignement spécifique. Exercice 2
Centres étrangers 2008. Enseignement spécifique. Exercice 4
Asie 2008. Enseignement spécifique. Exercice 4
Enoncé
On rappelle que lim
t→+∞
et
t= +∞.
Démontrer que lim
x→+∞
ln(x)
x=0.
Solution
Pour x > 0, on pose t=ln(x)ou encore x=etde sorte que xtend vers +∞si et seulement si ttend vers +∞. On
obtient
lim
x→+∞
ln(x)
x=lim
t→+∞
ln (et)
et=lim
t→+∞
t
et=lim
t→+∞
1
et/t =0,
car lim
t→+∞
et
t= +∞.
Pondichéry 2010. Enseignement spécifique. Exercice 1
Rochambeau 2009. Enseignement spécifique. Exercice 2
Polynésie 2008. Enseignement spécifique. Exercice 4
Enoncé
Partie A - Restitution organisée de connaissances :
Soient aet bdeux réels tels que a < b et fet gdeux fonctions continues sur l’intervalle [a, b]avec a < b.
On suppose connus les résultats suivants :
•Pour tous réels αet β,Zb
a
(αf(t) + βg(t)) dt =αZb
a
f(t)dt +βZb
a
g(t)dt.
•Si pour tout t∈[a, b],f(t)>0alors Zb
a
f(t)dt >0.
Montrer que : si pour tout t∈[a, b],f(t)6g(t)alors Zb
a
f(t)dt 6Zb
a
g(t)dt.
Solution
Soient fet gdeux fonctions continues sur l’intervalle [a, b]telles que pour tout t∈[a, b],f(t)6g(t). Alors, pour tout
réel tde [a, b],g(t) − f(t)>0. Par positivité de l’intégrale, on en déduit que Zb
a
(g(t) − f(t)) dt >0puis par linéarité
de l’intégrale, on en déduit que Zb
a
g(t)dt −Zb
a
f(t)dt >0et donc que Zb
a
f(t)dt 6Zb
a
g(t)dt.
http ://www.maths-france.fr 5 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.