NOTES D`ALGEBRE

NOTES D’ALGEBRE
R.Coleman
Laboratoire Jean-Kuntzmann, Grenoble

Table de mati`eres
1 Relations 3
1.1 Relationsd’´equivalence...................................... 3
1.2 Ordres............................................... 4
2 D´enombrement 6
2.1 Propri´et´es ´el´ementaires des coefficients du binˆome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Partiesd’unensemble ...................................... 7
2.3 Fonctions entre des ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Arithm´etique des nombres entiers 9
3.1 Division .............................................. 9
3.2 Equations diophantiennes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Congruences............................................ 16
3.4 Congruenceslin´eaires....................................... 18
3.5 Leth´eor`emed’Euler ....................................... 21
3.6 Nombrespremiers ........................................ 22
3.7 CodesRSA ............................................ 25
4 Structures alg´ebriques 26
4.1 Semi-groupes ........................................... 26
4.2 Groupes.............................................. 28
4.2.1 Sous-groupes ....................................... 29
4.2.2 Groupescycliques .................................... 32
4.2.3 Produitsdesgroupes................................... 34
4.2.4 Morphismesdegroupes ................................. 35
4.3 Anneaux.............................................. 36
4.3.1 Id´eaux........................................... 38
4.3.2 Produitsd’anneaux ................................... 39
4.3.3 Caract´eristique d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.4 Morphismesd’anneaux.................................. 40
4.4 Espacesvectoriels......................................... 42
4.4.1 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4.2 Applicationslin´eaires .................................. 45
5 Polynˆomes 47
5.1 Premi`eresnotions......................................... 47
5.2 Division .............................................. 50
5.3 Racinesdespolynˆomes...................................... 53
5.4 D´erivationdespolynˆomes .................................... 57
5.5 Polynˆomesirr´eductibles ..................................... 61
1

6 Corps finis 65
6.1 Notions´el´ementaires....................................... 65
6.2 Polynˆomescyclotomiques .................................... 67
6.3 Existencedecorpsfinis ..................................... 69
6.4 Unicit´edecorpsfinis....................................... 71
2

Chapitre 1
Relations
Soient Xet Ydes ensembles non vides. Une relation Rde Xdans Yest une partie de X×Y. Si X=Y,
nous parlons d’une relation sur X. Au lieu d’´ecrire (x, y)∈R, en g´en´eral nous ´ecrivons xRy.
Une fonction ou application est une relation Rtelle que, pour tout x∈X, il existe un unique y∈Y
avec xRy. Une fonction est injective si x1Ry et x2Ry =⇒x1=x2. Une fonction est surjective si, pour
tout y∈Y, il existe x∈Xavec xRy.
Soit Rune relation sur un ensemble X. Nous disons que Rest
•a. reflexive, si xRx, pour tout x∈X;
•b. sym´etrique, si xRy =⇒yRx ;
•c. antisym´etrique, si xRy et yRx =⇒x=y;
•d. transitive, si xRy et yRz =⇒xRz.
Une relation avec les propri´et´es a.,b.et d.s’appelle une relation d’´equivalence. Dans ce cas nous ´ecrivons
x∼ypour xRy. Une relation avec les propri´et´es a.,c.et d.s’appelle une relation d’ordre ou un ordre
partiel ou un ordre. Dans ce cas nous ´ecrivons xyou x≤ypour xRy.
1.1 Relations d’´equivalence
Soient Rune relation d’´equivalence sur un ensemble Xet x∈X. La classe d’´equivalence de xest
l’ensemble [x] = {y∈X:x∼y}. L’ensemble des classes d’´equivalence s’appelle l’ensemble quotient de
Xpar Ret on le note X/R.
Proposition 1.1 Si y∈[x], alors [y]=[x].
preuve Soit y∈[x]. Si z∈[y], alors x∼yet y∼z, donc x∼z, donc z∈[x]. Ainsi [y]⊂[x]. Mais
y∈[x] =⇒x∼y=⇒y∼x=⇒x∈[y],
donc [x]⊂[y]. Donc [x] = [y]. 2
Une partition d’un ensemble non vide Xest une famille de parties non vides (Sa)a∈A, ou Aest un
ensemble d’indices, telle que
X=∪a∈ASaet Sa1∩Sa26=∅=⇒Sa1=Sa2.
3

Proposition 1.2 Si Rest une relation d’´equivalence sur Xalors X/R est une partition de X. Si
(Sa)a∈Aest une partition de l’ensemble X, alors il existe une relation d’´equivalence Rsur Xtelle que
X/R = (Sa)a∈A.
preuve Comme x∈[x], X=∪x∈X[x]. Si z∈[x]∩[y], alors, d’apr`es la proposition 1.1, [z] = [x] et
[z]=[y], donc [x] = [y]. Il s’ensuit que X/R est une partition de X.
Si (Sa)a∈Aest une partition de l’ensemble Xet on pose
R={(x, y)∈X2:∃a∈A t.q. (x, y)∈S2
a},
alors Rest une relation d’´equivalence sur Xet X/R = (Sa)a∈A.2
1.2 Ordres
Soient Xun ensemble et Run ordre sur X. Un ´el´ement s∈Xest minimal si xs=⇒x=s. Un
´el´ement t∈Xest maximal si tx=⇒t=x. Un ´el´ement m∈Xest un minimum si mx, pour tout
x∈X; un ´el´ement M∈Xest un maximum si xM, pour tout x∈X.
Si un minimum existe, alors il est unique. Si m1et m2sont des minima, alors m1m2et m2m1,
donc m1=m2. De la mˆeme fa¸con, un maximum est unique.
Un minimum (resp. maximum) est un ´el´ement minimal (resp. maximal). Soit mun minimum. Si
xm, alors nous avons xmet mx, donc x=m. On emploie un argument analogue pour un maximum.
Un ´el´ement minimal (resp. maximal) n’est pas n´ec´essairement un minimum (resp. maximum).
Exemple(s) 1.1 Soit X={{0},{1},{0,1}} et R={(S, T )∈X2:S⊂T}.Rest un ordre. Les
´el´ements {0}et {1}sont des minimaux, mais il n’y a pas de minimum. L’´el´ement {0,1}est un maximum.
Un ordre sur un ensemble Xest total si, pour tous x, y ∈X,xyou yx.
Exemple(s) 1.2 L’ordre usuel sur Z(xysi y−x≥0) est total.
Exemple(s) 1.3 Soit P(X)la collection des parties de l’ensemble X. L’ordre usuel sur P(X)est d´efini
par STsi S⊂T. Cet ordre est total si X=∅ou Xest compos´e d’un seul ´el´ement. Autrement l’ordre
n’est pas total. Si x1, x2∈Xet x16=x2, alors {x1} 6⊂ {x2}et {x2} 6⊂ {x1}.
Si Xest un ensemble muni d’une relation Ret X0⊂X, alors Rinduit une relation R0sur X0:
R0={(x, y)∈X02: (x, y)∈R}.
Si Rest une relation d’´equivalence (resp. ordre), alors R0est une relation d’´equivalence (resp. ordre). Si
Rest un ordre sur X, alors Xest bien ordonn´e par Rsi, pour chaque partie X0⊂Xnon vide, l’ordre
induit R0admet un minimum.
Exemple(s) 1.4 Zn’est par bien ordonn´e par l’ordre usuel, car Zlui-mˆeme n’admet pas de minimum.
Th´eor`eme 1.1 Nest bien ordonn´e par l’ordre usuel.
preuve Soit B⊂Nnon vide et supposons que Bn’admette pas de minimum. Posons A={n∈N:∀b∈
B, n < b}.Aest une partie de N\B. Nous allons d´emontrer par r´ecurrence que A=N.
Si 0 /∈A, alors il existe b∈Btel que 0 ≥b. Comme b∈N, 0 ≤b, donc b= 0 et 0 ∈B. Ainsi B
admet un minimum, une contradiction. Il s’ensuit que 0 ∈A.
Supposons que n∈A. Alors n+ 1 ≤b, pour tout b∈B. Si n+ 1 = b0, pour un certain b0∈B, alors
b0est un minimum de B, une contradiction. Donc n+ 1 ∈A. Par r´ecurrence A=N.
Or
A⊂N\B=⇒B⊂N\A=∅,
une contradiction. Il s’ensuit que Nest bien ordonn´e par l’ordre usuel. 2
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