IkIIaI IaI IbI IaI

Chapitre 1 : L’ARITHMETIQUE
I- LA DIVISIBILITE
a) Diviseur et multiples d’un entier relatif
Définition :
a/b  b=ka, k  Z
Remarques :  Tt entier es multiple de 1 et -1
 kx0=0
 ds Z, ls entiers a et (-a) on le m nb de diviseurs et multiples
b) Propriétés
Prop. 1 : Soit a et b  Z et a≠0 et b≠0
 si ab et ba , alors a=b ou b=(-a)
 ab  (-a)b  a(-b)  (-a)(-b)
 si ab, alors IaI  IbI
ab  b=ka kZ
ba  a=k’b k’
d’où a=kk’a avec a≠0 donc kk’=1
dans  les seules possibilités sont :
k=k’=1 donc a=b
k=k’=(-1) donc a=(-b)
ab  b=ka kZ
 (-b)=(-k)a (-k)Z  a(-b)
 (-b)=(-k)(-a) (-k)Z  (-a)b
 (-b)=k(-a) (-k)Z  (-a)(-b)
ab  b=ka kZ
si (a;b)≠(0;0) alors k≠0 donc IkI1
donc IaI0
IkIIaI IaI
IbIIaI
Prop. 2 : Soit a, b et c  Z et ab, et c ≠0
 si ab, alors abc et acbc
 si ca et cb, alors c (a+b) et c(a-b)
et c(au=bv) avec u et v 
 si ab et bc, alors ac
ab  b=ka kZ
bc=kac kcZ donc abc et acbc
ab  b=ka kZ
cb  b=k’c k’Z
a+b =k’c+kc=(k+k’)c avec k’+kZ donc c(a+b)
a-b =k’c-kc=(k-k’)c avec k’-kZ donc c(a-b)
soit uZ et vZ
au+bv=cku+ck’u=c(ku+k’v) avec k’u+kvZ
donc c(au+bv) combinaison linéaire des entiers a et b
ab  b=ka kZ
bc  c=k’b k’Z
d’où c=akk’ k’kZ donc ac

III- DIVISION EUCLIDIENNE
a) La division euclidienne dans N
Soit a N et b  N*, il existe un unique couple d’entiers naturels (q;r) tel que :
a = bq + r avec 0 r < b
( Démo de l’unicité )
on suppose qu’il existe deux couple (q1 ;r1) et q2 ;r2) d’entiers tels que :
a = bq1 + r1 avec 0 r1< b
Et a = bq2 + r2 avec 0 r2< b
D’où bq1 + r1 = bq2 + r2  bq1 - bq2 = r2 - r1
b(q1 - q2)= r2 - r1
Donc r2 - r1 est multiple de b
0 r1< b
- < - r1< 0 car -1<0
-b<r1- r2< b car 0 r2< b
Dans ]-b ;b[ le seul multiple possible est 0
Donc r1- r2 = 0 càd r1 = r2
D’où b(q1 - q2)= 0 avec b≠0
(q1 - q2)= 0
q1 = q2
le couple (q ;r) est donc unique
b) La division euclidienne dans Z
Soit a Z et b  Z*, il existe un unique couple d’entiers naturels (q;r) tel que :
a = bq + r avec 0 r < b
IV- NOMBRES PREMIERS
Tout entier naturel n, n2 admet au moins un diviseur premier p
1e cas : n est premier
n divise n
donc n admet un diviseur premier (lui-même)
2e cas : n non-premier
n admet un diviseur d, d≠1 et d≠n
nombre fini de diviseur
soit λ le plus petit diviseur de n , λ≠1
on suppose λ non-premier
il admet un diviseur D, D≠1, D≠ λ
λ=Dq
si λ divise n, n= λk avec k  N
d’où n=Dqk avec qk N
D divise n et D< λ est en contradiction avec la définition de λ
La contradiction provient de l’hypothèse « λ non-premier »
Donc λ est premier
Si n n’est pas premier, alors il admet un diviseur premier p, avec p(n)1/2
Reciproque:
Si n n’admet pas de diviseur premier p , avec p(n)1/2, alors n est premier
Soit λ le plus petit diviseur de n , λ est premier (démo précédente)
n= λk avec k  N
λ<k car c’est le plus petit des diviseurs de n
λ² < λk avec λk=n
Donc λ < (n)1/2

Il existe une infinité de nombres premiers
(Démonstration pas l’absurde)
On suppose un nombre fini de nombres premiers
p1 ;p2 ; … ; pn
soit P = p1p2 …pn +1
PN donc P a un diviseur premier qui est l’un des nombres premier
p1 ;p2 ; … ; pn
Soit pi se nombre
D’où pi divise P
Donc pi divise p1p2 …pn
Donc pi divise la différence entre P et p1p2 …pn
pi divise 1
pi est premier donc pi>1 et pi divise 1 ce qui est impossible
Cette impossibilité provient de l’hypothèse « il existe un nombre fini de
nombres premiers »
Donc l’ensemble des nombres premiers est infini
Tout entier naturel n est premier, ou produit de nombres premier avec n2
Cette décomposition est unique, à l’ordre près des facteurs
Un entier λ non nul divise un entier n non nul ssi tout facteur premier de λ est
un facteur premier de n, avec un exposant au plus égal
Un nombre de diviseur d’un entier n = azbycx… à (z+1)(y+1)(x+1)… diviseurs