Chapitre 1 : L’ARITHMETIQUE I- LA DIVISIBILITE a) Diviseur et multiples d’un entier relatif Définition : Remarques : a/b b=ka, k Z Tt entier es multiple de 1 et -1 kx0=0 ds Z, ls entiers a et (-a) on le m nb de diviseurs et multiples b) Propriétés Prop. 1 : Soit a et b Z et a≠0 et b≠0 si ab et ba , alors a=b ou b=(-a) ab b=ka kZ ba a=k’b k’ d’où a=kk’a avec a≠0 donc kk’=1 dans les seules possibilités sont : k=k’=1 donc a=b k=k’=(-1) donc a=(-b) Prop. 2 : Soit a, b et c ab (-a)b a(-b) (-a)(-b) ab b=ka kZ (-b)=(-k)a (-k)Z a(-b) (-b)=(-k)(-a) (-k)Z (-a)b (-b)=k(-a) (-k)Z (-a)(-b) si ab, alors IaI ab b=ka kZ si (a;b)≠(0;0) alors k≠0 donc IkI 1 IbI donc IaI 0 IkIIaI IaI IbI IaI Z et ab, et c ≠0 si ab, alors abc et acbc ab b=ka kZ bc=kac kcZ donc abc et acbc si ca et cb, alors c (a+b) et c(a-b) et c(au=bv) avec u et v ab b=ka kZ cb b=k’c k’Z a+b =k’c+kc=(k+k’)c avec k’+kZ donc c(a+b) a-b =k’c-kc=(k-k’)c avec k’-kZ donc c(a-b) soit uZ et vZ au+bv=cku+ck’u=c(ku+k’v) avec k’u+kvZ donc c(au+bv) combinaison linéaire des entiers a et b si ab et bc, alors ac ab b=ka kZ bc c=k’b k’Z d’où c=akk’ k’kZ donc ac III- DIVISION EUCLIDIENNE a) La division euclidienne dans N Soit a N et b N*, il existe un unique couple d’entiers naturels (q;r) tel que : a = bq + r avec 0 r < b IV- NOMBRES PREMIERS Tout entier naturel n, n 2 admet au moins un diviseur premier p 1e cas : n est premier n divise n donc n admet un diviseur premier (lui-même) 2e cas : n non-premier n admet un diviseur d, d≠1 et d≠n ( Démo de l’unicité ) on suppose qu’il existe deux couple (q1 ;r1) et q2 ;r2) d’entiers tels que : a = bq1 + r1 avec 0 r1< b Et a = bq2 + r2 avec 0 r2< b D’où bq1 + r1 = bq2 + r2 bq1 - bq2 = r2 - r1 b(q1 - q2)= r2 - r1 Donc r2 - r1 est multiple de b 0 r1< b - < - r1< 0 car -1<0 -b<r1- r2< b car 0 r2< b Dans ]-b ;b[ le seul multiple possible est 0 Donc r1- r2 = 0 càd r1 = r2 D’où b(q1 - q2)= 0 avec b≠0 (q1 - q2)= 0 q1 = q2 le couple (q ;r) est donc unique nombre fini de diviseur soit λ le plus petit diviseur de n , λ≠1 on suppose λ non-premier il admet un diviseur D, D≠1, D≠ λ λ=Dq si λ divise n, d’où n= λk avec k N n=Dqk avec qk N D divise n et D< λ est en contradiction avec la définition de λ La contradiction provient de l’hypothèse « λ non-premier » Donc λ est premier Si n n’est pas premier, alors il admet un diviseur premier p, avec p (n)1/2 Reciproque: Si n n’admet pas de diviseur premier p , avec p (n)1/2, alors n est premier Soit λ le plus petit diviseur de n , λ est premier (démo précédente) b) La division euclidienne dans Z Soit a Z et b Z*, il existe un unique couple d’entiers naturels (q;r) tel que : a = bq + r avec 0 r < b n= λk avec k N λ<k car c’est le plus petit des diviseurs de n λ² < λk avec λk=n Donc λ < (n)1/2 Il existe une infinité de nombres premiers (Démonstration pas l’absurde) On suppose un nombre fini de nombres premiers p1 ;p2 ; … ; pn soit P = p1p2 …pn +1 PN donc P a un diviseur premier qui est l’un des nombres premier p1 ;p2 ; … ; pn Soit pi se nombre D’où pi divise P Donc pi divise p1p2 …pn Donc pi divise la différence entre P et p1p2 …pn pi divise 1 pi est premier donc pi>1 et pi divise 1 ce qui est impossible Cette impossibilité provient de l’hypothèse « il existe un nombre fini de nombres premiers » Donc l’ensemble des nombres premiers est infini Tout entier naturel n est premier, ou produit de nombres premier avec n 2 Cette décomposition est unique, à l’ordre près des facteurs Un entier λ non nul divise un entier n non nul ssi tout facteur premier de λ est un facteur premier de n, avec un exposant au plus égal Un nombre de diviseur d’un entier n = azbycx… à (z+1)(y+1)(x+1)… diviseurs