fiche 1 de MAT6.2

fiche 1 de MAT6.2
mars 2017
Exercice 1. Soit α ∈ C une racine d’un polynôme P = c0 + c1X + + cn−1X n−1 +
X n où les coefficients c0, , cn−1 sont dans Z. On note Z[α] l’ensemble donné par :
Z[α] = {a0 + a1α +
+ an−1αn−1 / ak ∈ Z pour tout k = 0,
, n − 1}
1. Montrer par récurrence que pour tout k ∈ N, il existe des coefficients a0,
an−1 dans Z tels que αk = a0 + a1α + + anαn−1.
,
2. Montrer que Z[α] est un anneau commutatif.
Exercice 2. Soit A est un anneau commutatif intègre de caractéristique p avec
p 0. Soient x et y éléments de A.
1. Montrer que px = 0.
2. Montrer que si n ∈ N est un multiple de p, alors nx = 0.
3. Montrer que
! pour
" tout k ∈ N, si 1 ! k ! p − 1, alors p divise le coefficient
p
binomial
est un multiple de p.
k
4. Montrer que (x + y) p = x p + y p.
Exercice 3. (TP) Soit A est un anneau commutatif intègre. Montrer que les
énoncés suivants sont équivalents.
i. A est de caractéristique non nulle p.
ii. p est le plus petit élément de l’ensemble {n ∈ N⋆ ; n1A = 0}.
Exercice 4. (TP) Soient a et b deux éléments non nuls d’un anneau commutatif
intègre A. Montrer que les énoncés suivants sont équivalents:
i. a divise b et b divise a.
ii. bA = aA.
iii. a et b sont associés.
Exercice 5. Soit A un anneau.
1. Montrer que si a ∈ A n’est pas un diviseur de zéro et si deux éléments x et y
de A sont tels que ax = ay, alors a = 0 ou x = y.
2. Montrer que tout anneau intègre fini est un corps.
Exercice 6. Si I et J sont deux idéaux d’un anneau commutatif A tels que I ⊂ J,
montrer que la correspondance f donnée par
f : A/I
x+I
A/J
x+J
est un homomorphisme d’anneaux surjectif dont le noyau est l’idéal J/I de A/I.
1
Exercice 7. On pose A = Z[j] où j est le nombre complexe tel que j 2 + j + 1 = 0.
Pour tout élément z = a + jb dans A\{0}, on pose ϕ(z) = a2 + b2 − ab.
1. Montrer que A est un anneau commutatif intègre.
2. Montrer que ϕ(z) ∈ N pour tout z ∈ A.
3. Soient a ∈ A et b ∈ A\{0}.
i. Montrer qu’il existe α et β ∈ Q tels que
a
b
= α + jβ.
1
1
ii. Soient a ′ et b ′ dans Z tels que |α − a ′| ! 2 et |β − b ′| ! 2 . On pose
q = a ′ + jb ′ et r = a − bq. Montrer que r = b((α −a ′)+ j(β −b ′)).
iii. Montrer que si r
0, alors ϕ(r) < ϕ(b).
4. Montrer que l’anneau A est euclidien.
Exercice 8. Montrer que dans un anneau principal, tout idéal premier non nul est
maximal.
Exercice 9. Montrer que dans un anneau principal, toute chaine croissante d’idéaux
est stationnaire.
Exercice 10. Montrer qu’un anneau commutatif et intègre A est factoriel si et
seulement si A vérifie les deux conditions suivantes.
i. Toute suite croissante d’idéaux principaux est stationnaire.
ii. Tout idéal engendré par un élément irréductible est premier.
Exercice 11. Soit A un anneau commutatif et intègre, muni d’un stathme euclidien
v. Soient a et x dans A \ {0}.
1. Montrer que si v(ax) = v(a), alors x ∈ U (A).
2. Montrer que si x U (A), alors v(a) < v(ax).
3. Montrer que l’application w telle que x
A tel que w(1) = 1.
v(x) − v(1) + 1 est un stahme sur
4. Montrer que pour tout x ∈ A \ {0}, on a
w(x) = 1
x ∈ U (A)
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