fiche 1 de MAT6.2

fiche 1 de MAT6.2
mars 2017
Exercice 1. Soit α∈Cune racine d’un polynôme P=c0+c1X++cn−1Xn−1+
Xnoù les coefficients c0,,c
n−1sont dans Z.OnnoteZ[α]l’ensemble donné par :
Z[α]={a0+a1α++an−1αn−1/ak∈Zpour tout k=0,,n−1}
1. Montrer par récurrence que pour tout k∈N,ilexistedescoefficientsa0,,
an−1dans Ztels que αk=a0+a1α++anαn−1.
2. Montrer que Z[α]est un anneau commutatif.
Exercice 2. Soit Aest un anneau commutatif intègre de caractéristique pavec
p0.Soientxet yéléments de A.
1. Montrer que px=0.
2. Montrer que si n∈Nest un multiple de p,alorsnx=0.
3. Montrer que pour tout k∈N,si1!k!p−1,alorspdivise le coefficient
binomial !p
k"est un multiple de p.
4. Montrer que (x+y)p=xp+yp.
Exercice 3. (TP) Soit Aest un anneau commutatif intègre. Montrer que les
énoncés suivants sont équivalents.
i. Aest de caractéristique non nulle p.
ii. pest le plus petit élément de l’ensemble {n∈N⋆;n1A=0}.
Exercice 4. (TP) Soient aet bdeux éléments non nuls d’un anneau commutatif
intègre A.Montrerquelesénoncéssuivantssontéquivalents:
i. adivise bet b divise a.
ii. bA=aA.
iii. aet bsont associés.
Exercice 5. Soit Aun anneau.
1. Montrer que si a∈An’est pas un diviseur de zéro et si deux éléments xet y
de Asont tels que ax=ay,alorsa=0 ou x=y.
2. Montrer que tout anneau intègre fini est un corps.
Exercice 6. Si Iet Jsont deux idéaux d’un anneau commutatif Atels que I⊂J,
montrer que la correspondance fdonnée par
f:A/IA/J
x+I x +J
est un homomorphisme d’anneaux surjectif dont le noyau est l’idéal J/Ide A/I.
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Exercice 7. On pose A=Z[j]où jest le nombre complexe tel que j2+j+1=0.
Pour tout élément z=a+jb dans A\{0},onposeϕ(z)=a2+b2−ab.
1. Montrer que Aest un anneau commutatif intègre.
2. Montrer que ϕ(z)∈Npour tout z∈A.
3. Soient a∈Aet b∈A\{0}.
i. Montrer qu’il existe αet β∈Qtels que a
b=α+jβ.
ii. Soient a′et b′dans Ztels que |α−a′|!1
2et |β−b′|!1 2.Onpose
q=a′+jb′et r=a−bq.Montrerquer=b((α−a′)+j(β−b′)).
iii. Montrer que si r0,alorsϕ(r)<ϕ(b).
4. Montrer que l’anneau Aest euclidien.
Exercice 8. Montrer que dans un anneau principal, tout idéal premier non nul est
maximal.
Exercice 9. Montrer que dans un anneau principal, toute chaine croissante d’idéaux
est stationnaire.
Exercice 10. Montrer qu’un anneau commutatif et intègre Aest factoriel si et
seulement si Avérifie les deux conditions suivantes.
i. Toute suite croissante d’idéaux principaux est stationnaire.
ii. Tout idéal engendré par un élément irréductible est premier.
Exercice 11. Soit Aun anneau commutatif et intègre, muni d’un stathme euclidien
v.Soientaet xdans A\{0}.
1. Montrer que si v(ax)=v(a),alorsx∈U(A).
2. Montrer que si x U (A),alorsv(a)<v(ax).
3. Montrer que l’application wtelle que x v(x)−v(1) + 1 est un stahme sur
Atel que w(1) = 1.
4. Montrer que pour tout x∈A\{0},ona
w(x)=1 x∈U(A)
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