théorème de pythagore

Chapitre 04 :
THÉORÈME DE PYTHAGORE
Pythagore et la découverte du théorème :
http://www.curiosphere.tv/video-documentaire/36-culture-scientifique/111097-reportage-petits-contes-
mathematiques-le-theoreme-de-pythagore
I) Vocabulaire :
1) Définition : Hypoténuse :
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.
Exemple :
2) Propriété :
L'hypoténuse est toujours le côté le plus long du triangle rectangle.
: D'après la définition, l'hypoténuse n'est défini que dans les triangles rectangles.
II) Théorème de Pythagore :
(Pour calculer la longueur du troisième côté d'un triangle)
(Pour montrer qu'un triangle n'est pas rectangle)
1) Théorème :
Si un triangle est rectangle,
alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux
autres côtés.
Mathématiquement : Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC² = AB² + AC²
THÉORÈME DE PYTHAGORE 1
B
A C
hypoténuse

2) Exemple de rédaction : Calcul d'une longueur :
ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 4 cm et BC = 5 cm.
Calculer AC.
Schéma :
Données : Conclusions :
Diagramme :
Rédaction :
Le triangle ABC est rectangle en A.
D'après le théorème de Pythagore,
BC² = AB² + AC².
En remplaçant par les valeurs numériques, on obtient :
5² = 3² + AC²
25 = 9 + AC²
AC² = 25 – 9
AC² = 16
AC =
√
(16)
AC = 4 cm.
3) Exemple de rédaction : Prouver qu'un triangle n'est pas rectangle :
ABC un triangle rectangle tel que AB = 2 cm et BC = 4 cm et AC = 3 cm.
Montrer que le triangle n'est pas rectangle.
Rédaction :
On sait que :
Si le triangle ABC était rectangle,
il le serait en A (car BC est le plus grand côté).
D'après le théorème de Pythagore, on aurait :
BC² = AB² + AC²
Or :
BC² = 4² = 16
AB² + AC² = 2² + 3² = 4 + 9 = 13
Donc :
Le triangle n'est pas rectangle.
THÉORÈME DE PYTHAGORE 2
A
C
BAB
C
BC² = AB² + AC²
Théorème de
Pythagore
Théorème de
Pythagore
ABC un triangle
rectangle en A. BC² = AB² + AC²
AC
B

4 ) Démonstration :
Dans le triangle rectangle ci-contre, on veut démontrer que :
a² + b² = c²
On considère un carré ADFG de côté (a + b), dans lequel on place 4 triangles rectangles de côtés a, b et c :
Montrons que
̂
CHE
= 90° :
On sait que :
̂
GHC +
̂
FHE=
̂
GHC +
̂
GCH
(car les triangles GHC et HFE sont superposables.)
Or :
les angles à la base d'un triangle rectangle sont
complémentaires.
Donc :
̂
GHC +
̂
FHE=
̂
GHC +
̂
GCH
= 90°
Les points G, H et F étant alignés, on obtient :
̂
CHE
= 180 – (
̂
GHC
+
̂
FHE
)
= 180 – 90
= 90°
Montrons que HEBC est un carré :
De la même manière que précédemment, on prouve que
̂
HCB
=
̂
CBE
=
̂
BEH
= 90°.
On en déduit que le quadrilatère HEBC est un carré.
(4 angles droits, 4 côtés de même longueur).
L'aire du carré HEBC peut être calculé de deux manières :
Aire HEBC = côté × côté
= c × c
= c²
Aire HEBC = Aire ADFG – 4 × Aire GHC
= côté × côté – 4 ×
base×hauteur
2
= (a + b) × (a + b) – 4 ×
a×b
2
= a² + 2 ab + b² – 4
a b
2
= a² + b²
On en déduit que :
a² + b² = c²
THÉORÈME DE PYTHAGORE 3
a
b
c
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
a+b

III) Réciproque du Théorème de Pythagore :
(Sert à démontrer qu'un triangle est rectangle)
1) Théorème : Réciproque de Pythagore :
Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés
des longueurs des deux autres côtés
alors ce triangle est rectangle et l'angle droit est l'angle opposé au plus grand côté.
Mathématiquement : Si, dans un triangle ABC, BC² = AB² + AC²
alors le triangle ABC est rectangle en A.
2) Exemple de rédaction : Calcul d'une longueur :
ABC un triangle te que AC = 3 cm, AB = 4 cm et BC = 5 cm.
Prouver que le triangle ABC est rectangle en B.
Schéma :
Données : Conclusions :
Diagramme :
Rédaction :
Dans le triangle ABC,
[AC] est le plus grand côté et BC² = AB² + AC².
(En effet : BC² = 5² = 25
AC² + AB² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25)
D'après la réciproque du théorème de Pythagore
le triangle ABC est rectangle en A.
THÉORÈME DE PYTHAGORE 4
A
C
A B
C
BC² = AB² + AC²
B
Réciproque
du Théorème
de Pythagore
BC² = AB² + AC²
ABC un triangle rectangle en A.
[BC] est le plus grand côté Réciproque
du Théorème
de Pythagore

3 ) Démonstration :
Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des
longueurs des deux autres côtés
alors ce triangle est rectangle
Soit ABC un triangle tel que :
BC = a ;
AC = b ;
AB = c ;
a² + b² = c²
Soit D le point appartenant à la perpendiculaire à la droite (BC)
passant par C tel que CD = CA = b.
(Les points A et D sont tels qu'ils ne sont pas du même côté de la
droite (BC)).
On sait que le triangle BCD est rectangle en C.
d'après le théorème de Pythagore, on a :
BD² = CB² + CD²
BD² = a² + b²
Comme : a² + b² = c²
BD² = c²
Finalement :
BD = c = AB
On sait que : AC = CD et BA = BD
Or : si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
Donc : C appartient à la médiatrice du segment [AD] et B appartient à la médiatrice de [AD].
Donc : (CB) est la médiatrice du segment [AD].
On sait que : (CB) est la médiatrice du segment [AD].
Or : La médiatrice d'un segment est perpendiculaire à ce segment.
Donc : (CB)
⊥
(AD) or on sait que (CB)
⊥
(CD) donc (CB)
⊥
(CA)
Le triangle ABC est rectangle en C.
THÉORÈME DE PYTHAGORE 5
a
b
b
c