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Pacific
Journal of
Mathematics
CALCUL DU NOMBRE DE CLASSES DES CORPS DE
NOMBRES
S T ÉPHANE L OUBOUTIN
Volume 171
No. 2
December 1995
PACIFIC JOURNAL OF MATHEMATICS
Vol. 171, No. 2, 1995
CALCUL DU NOMBRE DE CLASSES DES CORPS DE
NOMBRES
STEPHANE LOUBOUTIN
Soit K/k une extension de corps de nombres telle que le
quotient ζκ/ζk de la fonction zeta de Dedekind ζx de K par
celle ζk de k soit holomorphe dans tout le plan complexe (ce
qui est par exemple le cas lorsque Γextension K/k est galoisienne). Nous developpons un moyen de calcul numerique de la
valeur au point 1 de ce quotient ζκ/ζk- Une application essentielle de cette evaluation est le calcul numerique du nombre
de classes relatif d'un corps K a multiplication complexe, en
choisissant pour k le sous-corps totalement reel maximal de K.
En particulier, nous illustrons notre methode sur l'exemple de
corps a multiplication complexe, quartiques et non galoisiens.
1. Notations. Soit N un corps de nombres de degre n = rλ + 2r2, oύ rλ
designe bien evidemment le nombre de plongements reels et 2r2 le nombre
de plongements complexes deux a deux conjugues de N. Nous notons ζw
sa fonction zeta de Dedekind, d(N) la valeur absolue de son discriminant,
Reg (AT) son regulateur et posons
λN =
—r^-rr
w(N)
oύ w(N) est le nombre de racines de Γunite de N ,
FN(s) = ANΓ (^y Γ(s)r*ζN(s),
de sorte que FN(s) a un pole simple en s = 1 de residu \χ.
Soit K/k une extension de corps de nombres. Nous ne nous plaςons que
dans des situations pour lesquelles la fonction Φκ/k = ζκ/ζk est holomorphe
dans tout le plan complexe. Nous voulons un moyen de calcul numerique de
la valeur Φ^/^l). Les applications que nous visons etant alors :
455
456
STEPHANE LOUBOUTIN
(i). Par le choix k =Q, nous desirons pouvoir calculer le produit du regulateur
Reg(ίΓ) par le nombre de classes d'ideaux h(K) de K, de sorte que le calcul
de ce regulateur par d'autres methodes nous donnera le nombre de classes
de K. Notons par exemple que si k = Q et si K = Q(-ξ/m), m > 2 est
un corps pur de degre premier, alors Φκ/k est bien holomorphe dans tout le
plan complexe (et ce parce que (ΦR/Q)
— ΦN/K est holomorphe puisque
N/K est abelienne, oύ N = Q(ζp, tfrn) est la clόture normale de K).
(ii). Par le choix k = le sous-corps totalement reel maximal d'un corps
a multiplication complexe K, nous desirons pouvoir calculer le nombre de
classes relatif h* (K) de K.
Nous posons ^κ/k — Fκ/Fk, de sorte que s ι-» Φ #/&(•$) est invariante
par s H-> 1 — 5 et holomorphe dans tout le plan complexe si Φκ/k Test.
Remarquons que :
(a). Dans la situation (i) nous avons Φ*yfc(l) = Xκl
(b). Dans la situation (ii) nous avons :
\κ
=
h (K)
oύ Qκ = 1 ou 2 est un indice d'unites (voir [Wa, Th. 4.12]).
2. Expression de $K/k(l) comme somme d'une serie absolument
convergente et a convergence rapide. II s'agit de generaliser la methode
developpee dans [BLW]. Definissons les coefficients φn par :
Notons que si K est un corps a multiplication complexe de sous-corps totalement reel maximal k et si χK/k est le caractere quadratique de Γextension
quadratique K/k, alors (ζκ/ζk)(s) — L(s,χκ/k), de sorte que nous avons
(2)
Φn =
Nk/Q(I)=n
oύ cette sommation porte sur les ideaux entiers I de norme n du corps k.
Puisque
pour cκ/ki AK/k des reels et pour α, b et c des entiers positifs ou nuls, nous
pouvons ecrire
**/*(«) = cκ/kA'κ/hτ Q ) ° r (1±1)' r(sy
CALCUL DU NOMBRE DE CLASSES
457
Notons que si K est un corps a multiplication complexe de degre 2N de
sous-corps totalement reel maximal k alors de degre ΛΓ, nous avons :
e t
Notons egalement que nous pourrions de plus imposer a c d'etre nul, ce
n e
qui permettrait de ne considerer des fonctions H^e)
dependant ue de
deux indices. Si nous ne le faisons pas, c'est parce qu'il est maladroit de
par exemple vouloir imposer c = 0 puisque dans la situation k=Q et K=un
corps pur de degre premier p, cela impliquerait de faire intervenir la fonction
#((P-i)/2,(p-i)/2,o) au lieu de la plus simple i/(o,o,(p-i)/2)
Definissons la transformed de Mellin ^κ/k de
1
Ot-\-iθO
rOt-\-
{x) = w-
y{)χ-sds,
a
ZlTT Ja-i
de sorte que
^—v
= CK/k V
/
TIX
\
, X > 0
ΦnH(a,h,c)
^ί
\Aκ/kJ
oύ nous posons :
Puisque ^κ/k(s) — Φχ/fc(l — s) et puisque ^κ/k est (supposee etre) holomorphe dans tout le plan complexe, par deplacement parallele de Γaxe vertical d'integration d'abscisse a jusqu'a Γaxe vertical d'integration d'abscisse
1 — α, puis par utilisation de cette equation fonctionnelle pour revenir sur
Γaxe vertical d'integration d'abscisse α, nous en deduisons Γequation fonctionnelle suivante :
/s), x > 0.
La for mule d'inversion de Mellin implique alors :
= /
Jo
V!K/k{x)xs— = /
X
J\
Φ*/fc(a:) {x'~ι + χ-s} dx.
II en resulte :
°
/
dx
—.
X
458
STEPHANE LOUBOUTIN
Pour utiliser cette formule (3), il reste encore a calculer les deux integrates
suivantes :
ά
= /
JA
H(aAc)(x)dx
et J(aM(A)
ά
= /
H(aAc)(x)—
JA
%
qui en posant
(4)
K{aAc)(A)
d
^ IlaM(A)
+
AJ(aXc){A)
donnent en tenant compte de (3) :
(5)
Φκ/*(1) = cκ/kAκ/k £ ^K{aM
(^
j
Nous n'allons pas montrer en toute generalite que cette serie est absolument convergente, a convergence rapide et parfaitement adaptee au calcul
numerique de Φ^/^(l), mais allons uniquement prouver ces resultats dans
le cas qui nous interesse le plus : celui oύ K est un corps a multiplication
complexe de sous-corps totalement reel maximal k.
3. Calcul numerique du nombre de classes relatif des corps a multiplication complexe. Dans la situation particuliere oύ K est un corps a
multiplication complexe de degre 2N et de sous-corps totalement reel maximal k, (5) s'ecrit en tenant compte de (1) :
oύ nous avons pose KN = if(O)jv,o) Le changement de variables s >-» 2s —
1 donne ίf(O,Λτ,o)(^) — 2xi7(o,o,7V)(^2)7 et une inversion d'integrales dans (4)
donne alors :
La proposition suivante assurera Γabsolue convergence et la convergence
rapide de la serie (6) :
Proposition 1. Pour x > 0 et N > 1, nous avons :
(a). 0 < H(Ofi>N)(x) <
2N'ίe-χUN/x
CALCUL DU NOMBRE DE CLASSES
(b). 0 < KN(A) < N2Ne~AV\
459
A>$.
Preuυe. Nous ne prouvons que ces majorations, et ce par recurrence sur N.
En effet,
PO
(x) = /
Jo
t
En faisant le changement de variable t H->χN/{N+i)rpN ^ o n
recurrence sur N
e n
jeduit p a r
En scindant cette integrale entre 0 et Γinfini en une somme d'une integrale
entre 1 et Γinίini et une integrale entre 0 et 1, puis en faisant le changement
de variable Tf->1/T dans cette seconde integrale nous obtenons :
{f exp {-l/iN+1) (τ+ ))
τN + ±\\ TN'2dT
+
N
T
+ /
1
exp (-a: /<
JV+1
Pour N > 0 posons
OO
/
Jrp
β
~aTψN
Nous avons pour N > 1 :
(integration par parties), qui pour N > 1 implique
N\μ) < Tl~, ot > 0.
Λr
>T ) :
460
STEPHANE LOUBOUTIN
D'oϋ:
et le (a) est prouve.
La majoration de Kχ(A) resulte alors de
KN(A) < 2/(OfNlo)(A) = 2 /
JA
f°°
= /
JA2
=Γ
D
Proposition 2. Pour JV > 2 eί λ > 1 fixes, \h*{K) ~Kpprox{K)\
tend υers 0
lorsque d(K) tend υers Vinfini, oil h*&ppto^(K) est le reel obtenu en stoppant
N/2
la sommation de (6) aux indices n majorέs par Aκ/k{λlog Aκ/k)
Preuve. Nous remarquons que \φn\ est d'apres (2) majore par dN(n) oύ dN(n)
designe le nombre de factorisations de n en produit de N entiers strictement
positifs. Nous remarquons ensuite que
= Σ ^^ <((Σ ιΆ ^
U
n<x
\n<x
U
\
J
Lemme 3. Pour M > 1 entier verifiant M > A(N2/2)N/2
in/Λr'» <
£M
n
( l o g ( e M ) +
{
Preuve du Lemme. Une transformation d'Abel donne
RM
< Σ
^(»
n>M
n>M
2
^-^ / n V '
2^ [ — )
n>M V-^/
-(n/A)2/N
'
e
{n/A)
i
Nt
log (
nous avons
CALCUL DU NOMBRE DE CLASSES
N
461
2
Posons eA = a ^ et remarquons que
u h-> f(u) = ί-7 )
2
N 2
est decroissante sur [A{N /2) / ,
e
~
(wM)2/N
N
log (eu)
+00[. Nous obtenons :
x
/»OO
e " " logN(«?7)dC/
- (N/2)N /
2
(poser x = AUN^2).
N
J(M/Λ) /
Maintenant, en posant IN(%) — J^ logN(aU)e
et
u
dU, nous avons Io(x) — e
F
dU
Jx
< e~x log"{ax) + NIN_λ{x)
(pour x > 1)
qui conduit par recurrence sur N a la majoration IN{%) ^ (log(αx) +
N) e~x pour x > 1 et N > 0. DΌu le Lemme puisque a{M/A)2/n =
D
Fin cίe /α preuve de la Proposition 2. D'apres (6) et la Proposition 1, en
posant A — AK/k (qui tend vers Γinfini lorsque d(K) tend vers Γinfini puisque
on a d(K) > (d(k))2), nous obtenons :
Qκwκ
ίd{K)
v
\φn\
( n \
2Nwκ
qui pour M > A(λlog A)N/2 donne d'apres le Lemme 3 :
Λ
apprαx
^
^
D
Remarque. Notons que si K/Q est abelienne non quadratique de conducteur / et a regulateur de taille petite par rapport au discriminant de K, il
est sans interet d'appliquer notre methode puisque Γidentite (5) nous dit qu'il
nous faudrait sommer au moins de Γordre de AKjk termes, done de Γordre
462
STEPHANE LOUBOUTIN
de f^K^'Q]-1)^6 termes, alors que le calcul du nombre de classes a partir
des developpements des fonctions L au point 1 (voir [ScW] et [SeWW]) ne
necessite des summations que de Γordre de /2+ e termes, et que son calcul a
partir des expressions explicites de sommes finies de ces valeurs au point 1
ne necessite que des Summations de Γordre de / termes.
4. Calcul numerique des nombres de classes relatifs des corps quartiques totalement imaginaires non galoisiens. Nous montrons sur cet
exemple que la Proposition 2 est particulierement bien adaptee au calcul des
nombres de classes relatifs des corps a multiplication complexe K. En particulier, notre methode conduit a un calcul numerique des nombres de classes
de ces corps nettement plus efficient que celui developpe dans [Oka]. Nous
venons de voir oύ arreter la sommation de la serie (6) de sorte que la somme
finie ainsi definie conduise a une bonne approximation du nombre de classes
relatif de K. Nous expliquons maintenant comment determiner une valeur
numerique approchee de chacun des termes de la serie (6) et expliquerons
finalement sur un exemple comment calculer les valeurs numeriques des coefficients φn (nous renvoyons a [Lou 2], [Lou 3] et [LOO] pour d'autres
exemples de tels calculs).
Calcul numerique des fonctions integrates apparaissant dans la formule
analytique. Nous illustrons sur le cas particulier N = 2 qui nous occupe
maintenant une methode generate de calcul des developpements en series
entieres des fonctions KN apparaissant a Γidentite (6). On trouvera dans
[Lou 3] un algorithme general de leur calcul valable pour tout N >1. Noter
une faute d'impression au Lemme de la page 322 de [Lou 3]. II faut y lire
Λ2n
Proposition 4. Pour A > 0 et avec la convention Σ°k=1 j = 0, nous aυons
le developpement suivant (ou 7 = 0.577215664901532
est la constante
dΈuler) :
π>0
„
/
1
- 4
Preuve. On remarque que
1
n + 2)2
/
+
1
\2n + 1
1
+
\Λl\iW
2n + 2) f^ k) (n!)2
CALCUL DU NOMBRE DE CLASSES
463
possede un pole simple en s = 1 de residu Res1(f) — 1, possede un pole
simple en s — \ de residu Resi/2(/) = πA, et possede un pole double en
chaque s — —n, (n > 0) de residu
(log(A) - £(„ + 1)) - ^ i
De (7) et par deplacement vers la gauche de Γaxe d'integration, nous en
deduisons aisement
KN(A) = ^~ Γ l°° f(s)ds = ReSl(/) + Res1/2(/) + £ Res_n(/).
Le resultat s'en deduit en remarquant que le produit infini de la fonction
Gamma donne : γ(n 4-1) = — 7 + Σk=i | P o u r n ^ 0
Π
Calcul des coefficients φn. Puisque n *-+ φn est multiplicative, elle est
determinee par ses valeurs sur les puissances des nombres premiers, valeurs
que nous donnons maintenant.
(i). Si I est inerte dans k/Q et non ramifie dans K/Q, alors
1
l + (-l
(ii). Si / est inerte dans fc/Q et ramifie dans K/Q, alors <^fc = 0.
2
(iii). Si / est ramifie en (/) = L dans k/Q, alors φιk = χK/k(L)
.
(iv). Si Z est totalement decompose en (/) = LL' dans fc/Q et non ramifie
dans K/Q, alors
i=0
i=0
γ
siχ κ / f c (LL') =
464
STEPHANE LOUBOUTIN
f
(v). Si I est totalement decompose en (I) = LL dans k/Q et ramifie dans
K/Q, de sorte que Ton peut supposer L ramifie dans K/k, alors φιk =
/
Ϋ
Nous nous plaςons maintenant dans la situation consideree dans [Lou 4]
et [LO], et expliquons comment nous avons calcule les nombres de classes
relatifs des corps quartiques a multiplication complexe qui apparaissent dans
ces deux articles. Soit done p = 1 (mod 4) premier tel que k — Q(y/p) soit
principal. Nous nous interessons maintenant uniquement aux corps quartiques non galoisiens totalement imaginaires K de sous-corps quadratique
reel k et de discriminants relatifs premiers dans k. II est aise de voir que
ce sont precisement les K(Pjq) — k(y/—aq) oύ aq = (xq + yqy/p)/2 un entier
algebrique totalement positif, primaire (e'est a dire congru a un carre modulo l'ideal (4) de k) et de norme q avec q = 1 (mod 4) un nombre premier
done totalement decompose dans k. Imposer a un tel aq d'etre primaire
est equivalent a demander que l'on ait xq = 1 (mod 4) lorsque xq est impair, et xq = yq + 6 (mod 8) lorsque xq est pair. Notons que K(Piq) est de
2
discriminant d(if( M )) =p q.
Si L = (λ) est un ideal premier principal de k, oύ λ est choisi totalement
positif (ce qui est toujours possible), d'apres les lois de reciprocite (voir
[Hec]), nous avons :
XK/k(L) = [=£] = [j^\
Puisque (aq) est un ideal premier totalement decompose de k de norme
q done premiere et congrue a 1 modulo 4, les resultats de [Lou 1] (plus
precisement, [Lou 1, Th. 5(b)]) dont la validite reste acquise dans ce cadre
donnent :
__
(Trk/Q(aq)Trk/Q(aqZ')
q
oύ Z' designe le conjugue dans k d'un entier algebrique Z de k, oύ Trk/Q(Z) =
Z + Z' designe la trace de z, et oύ ( fq) designe le symbole de Legendre.
DΌύ:
(vi). χK/k(L)
— (l/q) lorsque L = (I) est premier inerte dans k.
( v i i ) Xκ/k(L) = (2xq(xxxq ~pyxyq)/q) = {2(xxyq-yxxq)/q)
( c a r ^ = py%+
iq et (p/q) — +1 et (yq/q) — +1) lorsque L = (λ) avec / = λλ' premier non
CALCUL DU NOMBRE DE CLASSES
inerte dans k et avec λ — (xχ+y\\/rd)/2
(9) nous avons alors :
465
totalement positif. De plus, d'apres
Nous avons alors les formules completement explicites suivantes :
(viii). Si / φ p, q est inerte dans k, alors φ[k =
1+
^~ 1
ί-J
,
(ix). Si / φ p, q est totalement decompose en (7) = LL' dans k et si L — (λ)
oύ λ = (x\ + y\yfp)l2 avec xλ > 1 et yx > 1 tels que x\ — py\ = 4/ alors
(x). SiZ = ς
f
(car χκ/k(Q )
)
= (4xqyq/q)
= (xg/?) puisque Q ; = (λ) avec λ =
)/)
(xi). Si Z = p , alors 0pfc
(car χ K A ( P ) = [-αg/(v5)] - [-4αff/(Λ/5)] - [ - 2 ^ / ( ^ 1 - (~2xq/p) =
(2xq/p) puisque —4α9 = - 2 x 9 — 2yqλ/p = 2x 9 (mod P ) . On peut de plus
montrer que (2xq/p) — —(xq/q)).
Nous donnons au tableau suivant les nombres de classes relatifs de tous
les K(p^ possibles tels que 5 < p < q < 229 (noter que 229 est le plus
petit nombre premier p ~ 1 (mod 4) tel que le corps quadratique reel
Q(ΛJP) ne soit pas principal). Notons que Γon peut montrer (voir [LO])
que /ι*(if( p(? )) — h*(K(q^p)). Nous avons utilise cette relation comme moyen
de verification de la justesse de Γimplementation de notre methode, mais
limitons evidemment notre tableau de valeurs de ces nombres de classes relatifs aux couples (p, q) tels que p < q.
466
(5,41)
(5,61)
(5,109)
(5,149)
(13,17)
(13,29)
(13,113)
(13,157)
(13,181)
(17,89)
(17,101)
(17,137)
(29,53)
(29,149)
(29,173)
(37,41)
(37,53)
(37,73)
(37,101)
(37,137)
STEPHANE LOUBOUTIN
h*(K(pΛ))
1
1
1
1
1
1
3
1
1
7
3
1
1
5
3
3
3
7
3
5
(p> q)
(37,181)
(41,73)
(41,113)
(53,89)
(53,97)
(53,113)
(53,197)
(61,73)
(61,97)
(61,137)
(61,197)
(73,97)
(73,149)
(73,181)
(89,97)
(89,109)
(89,157)
(97,109)
(97,193)
(101,137)
h*(K(p,q))
7
11
13
5
5
5
5
3
11
7
5
1
9
17
3
11
9
15
7
9
(p,q)
(101,181)
(101,193)
(101,197)
(109,113)
(109,173)
(109,193)
(113,157)
(113,173)
(137,193)
(137,197)
(149,173)
(157,173)
(157,193)
(157,197)
(181,193)
(181,197)
h*(K{pΛ))
9
11
5
11
7
5
11
7
29
15
7
7
7
9
29
11
Nous concluons cet article en donnant, pour k = Q(yjp) fixe, la distribution des nombres de classes relatifs des 1500 premieres extensions quadratiques de k du type precedent. Dans ce tableau, Q designent le nombre de
nombres de classes relatifs divisibles par I (premier) et S designe la somme
de ces nombres de classes relatifs.
Q(VP)
Q(Λ/5)
Q(Λ/Ϊ3)
Q(Vi7)
Q(V29)
Q(Vπ)
Q(Λ/41)
c3
581
606
594
599
614
595
c5
339
328
360
344
337
368
c7
263
253
209
258
232
236
Cn
Cl3
140
143
139
136
142
135
131
114
115
128
157
133
cn
115
99
94
93
99
101
(/max
S
129001
129061
127649
128941
129097
129769
45608
87654
133836
117444
155192
223394
Notons que pour les 1500 premiers corps quadrat iques imaginaires de discriminant —q=l (mod 4) premier nous avons les distributions suivantes de
nombres de classes:
CALCUL DU NOMBRE DE CLASSES
590
c5
339
c7
238
Cll
Cl3
Cn
^max
133
127
94
27367
467
s
81624
II est interessant de relier ces resultats numeriques aux heuristiques de CohenLenstra-Martinet ainsi qu'aux resultats de B.A. Datskovsky.
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Received November 17, 1992 and revised June 2, 1993.
UNIVERSITE DE CAEN, U.F.R. SCIENCES
ESPLANADE DE LA PAIX
14032 CAEN CEDEX, FRANCE
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PACIFIC JOURNAL OF MATHEMATICS
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Copyright © 1995 by Pacific Journal of Mathematics
PACIFIC JOURNAL OF MATHEMATICS
Volume 171
No. 2
December 1995
On H p -solutions of the Bezout equation
E RIC A MAR , J OAQUIM B RUNA F LORIS and A RTUR N ICOLAU
Amenable correspondences and approximation properties for von Neumann algebras
C LAIRE A NANTHARAMAN -D ELAROCHE
On moduli of instanton bundles on P2n+1
V INCENZO A NCONA and G IORGIO M ARIA OTTAVIANI
Minimal surfaces with catenoid ends
J ORGEN B ERGLUND and WAYNE ROSSMAN
Permutation model for semi-circular systems and quantum random walks
P HILIPPE B IANE
The Neumann problem on Lipschitz domains in Hardy spaces of order less than one
RUSSELL M. B ROWN
Matching theorems for twisted orbital integrals
R EBECCA A. H ERB
Uniform algebras generated by holomorphic and pluriharmonic functions on strictly
pseudoconvex domains
A LEXANDER I ZZO
Quantum Weyl algebras and deformations of U (g)
NAIHUAN J ING and JAMES Z HANG
Calcul du nombre de classes des corps de nombres
S TÉPHANE L OUBOUTIN
On geometric properties of harmonic Lip1 -capacity
P ERTTI M ATTILA and P. V. PARAMONOV
Reproducing kernels and composition series for spaces of vector-valued holomorphic functions
B ENT Ø RSTED and G ENKAI Z HANG
Iterated loop modules and a filtration for vertex representation of toroidal Lie algebras
S. E SWARA R AO
The intrinsic mountain pass
M ARTIN S CHECHTER
A Frobenius problem on the knot space
RON G. WANG
On complete metrics of nonnegative curvature on 2-plane bundles
DAVID YANG
Correction to: “Free Banach-Lie algebras, couniversal Banach-Lie groups, and more”
V LADIMIR G. P ESTOV
Correction to: “Asymptotic radial symmetry for solutions of 1u + eu = 0 in a punctured disc”
K AI S ENG (K AISING ) C HOU (T SO ) and T OM YAU -H ENG WAN
297
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353
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0030-8730(1995)171:2;1-G