1 – Rappels sur le vocabulaire fondamental des probabilités

1 – Rappels sur le vocabulaire fondamental des probabilités
A : Modélisation d’une expérience aléatoire
• Lorsqu’une expérience aléatoire comporte un nombre fini d’issues (ou éventualités)
1 2
, , ... ,
n
x x x
on
définit l’ensemble E = {
1 2
, , ... ,
n
x x x
} appelé ..........................................................................................
• Définir une loi de probabilité p sur E, c’est associer à chacune des issues
i
x
un nombre réel
i
p
appartenant à l’intervalle ................ tel que
1
n
i
i
p
=
=
∑
..........
Exemple 1 : Une urne contient 3 boules rouges, 2 boules bleues et 1 boule jaune.
On tire au hasard une boule dans cette urne et on note la couleur obtenue.
Définir de deux façons différentes un univers E et une loi de probabilité modélisant cette expérience aléatoire.
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• On dit qu’une loi de probabilité sur un univers E est équirépartie lorsque .....................................................
• Si l’univers E est un ensemble de nombres réels (autrement dit
i
x
∈
»
), on peut définir les caractères
suivants :
espérance mathématique de la loi de probabilité p : µ = ...............................................
variance de la loi de probabilité p : V = ..............................................................................................
écart type de la loi de probabilité p : σ = ...............................................
Exemple 2 : On lance un dé à 6 faces bien équilibré et on note le résultat obtenu.
Définir un univers et une loi de probabilité équirépartie pour cette expérience aléatoire.
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Calculer l’espérance mathématique et l’écart type de cette loi de probabilité.
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B : Le langage des événements
Soit E = {
1 2
, , ... ,
n
x x x
} l’univers d’une expérience aléatoire et p une loi de probabilité sur E.
• On appelle événement ......................................................................................................................................
• La probabilité d’un événement A noté
(
)
A
p est égale à .................................................................................
............................................................................................................................................................................
• Lorsque la loi de probabilité est équirépartie, on dit qu’on est en situation .....................................................
Dans ce cas :
(
)
A
p = .................................................. = .........................
Exemple 3 : En reprenant l’expérience aléatoire de l’exemple 2, on pose les événements suivants :
A = « Obtenir un résultat pair » B = « Obtenir un multiple de 3 »
Calculer
(
)
A
p et
(
)
B
p .
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Exemple 4 : L’expérience aléatoire consiste à lancer un dé truqué et à noter le numéro obtenu.
On sait que la loi de probabilité p est la suivante.
Issue 1 2 3 4 5 6
Probabilité
1
6
1
6
1
8
1
12
1
8
Calculer la probabilité d’obtenir un résultat pair.
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C : Règles de calculs
Parties de E Vocabulaire des événements Propriété
A A quelconque
∅ et E
∅ : événement .........................................
E : événement ..........................................
A ∩ B = ∅ A et B sont .............................................
A
A et B A et B quelconques

Exemple 4 : On extrait une carte d’un jeu de 32 cartes, et on définit les événements suivants :
A : « Obtenir un roi » B : « Obtenir un cœur »
C : « Obtenir un roi ou un cœur » D : « Obtenir ni un roi ni un cœur ».
Calculer
(
)
(
)
(
)
(
)
A , B , C et D
p p p p .
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D : Variables aléatoires
Etude d’un exemple : On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée.
On gagne $2 pour chaque résultat PILE (noté P) et on perd $1 pour chaque résultat FACE (noté F).
1 – Définir un univers E pour cette expérience aléatoire permettant de choisir l’équiprobabilité sur E.
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2 – On appelle X l’application de E dans
»
qui à chaque issue associe le gain algébrique correspondant.
a) Quelles sont les valeurs prises par X ? ____________________________________________________
b) Définir la loi de probabilité de X.
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c) Calculer l’espérance mathématique et l’écart type de X.
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• On appelle variable aléatoire X une application définie sur un univers E à valeurs dans
»
.
• Si X prend les valeurs
1 2
, , ...
r
α α α
, avec les probabilités
1 2
, , ...
r
p p p
définies par :
(
)
X
i i
p p
= = α
, on a
définit une nouvelle loi de probabilité sur
{
}
1 2
E ; ; ... ;
r
′
= α α α
appelée loi de probabilité de la variable
aléatoire X .
• On peut de la même façon qu’à la partie A, définir
(
)
E X
(espérance mathématique de X),
(
)
V X
et
(
)
X
σ .