1 – Rappels sur le vocabulaire fondamental des probabilités A : Modélisation d’une expérience aléatoire • Lorsqu’une expérience aléatoire comporte un nombre fini d’issues (ou éventualités) x1 , x2 , ... , xn on définit l’ensemble E = { x1 , x2 , ... , xn } appelé .......................................................................................... • Définir une loi de probabilité p sur E, c’est associer à chacune des issues xi un nombre réel pi n appartenant à l’intervalle ................ tel que ∑ pi = .......... i =1 Exemple 1 : Une urne contient 3 boules rouges, 2 boules bleues et 1 boule jaune. On tire au hasard une boule dans cette urne et on note la couleur obtenue. Définir de deux façons différentes un univers E et une loi de probabilité modélisant cette expérience aléatoire. _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ • On dit qu’une loi de probabilité sur un univers E est équirépartie lorsque ..................................................... • Si l’univers E est un ensemble de nombres réels (autrement dit xi ∈ » ), on peut définir les caractères suivants : espérance mathématique de la loi de probabilité p : µ = ............................................... variance de la loi de probabilité p : V = .............................................................................................. écart type de la loi de probabilité p : σ = ............................................... Exemple 2 : On lance un dé à 6 faces bien équilibré et on note le résultat obtenu. Définir un univers et une loi de probabilité équirépartie pour cette expérience aléatoire. _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ Calculer l’espérance mathématique et l’écart type de cette loi de probabilité. _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ B : Le langage des événements Soit E = { x1 , x2 , ... , xn } l’univers d’une expérience aléatoire et p une loi de probabilité sur E. • On appelle événement ...................................................................................................................................... • La probabilité d’un événement A noté p ( A ) est égale à ................................................................................. ............................................................................................................................................................................ • Lorsque la loi de probabilité est équirépartie, on dit qu’on est en situation ..................................................... Dans ce cas : p ( A ) = .................................................. = ......................... Exemple 3 : En reprenant l’expérience aléatoire de l’exemple 2, on pose les événements suivants : A = « Obtenir un résultat pair » B = « Obtenir un multiple de 3 » Calculer p ( A ) et p ( B ) . _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ Exemple 4 : L’expérience aléatoire consiste à lancer un dé truqué et à noter le numéro obtenu. On sait que la loi de probabilité p est la suivante. Issue 1 2 3 4 5 Probabilité 1 6 1 6 1 8 1 12 1 8 6 Calculer la probabilité d’obtenir un résultat pair. _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ C : Règles de calculs Parties de E Vocabulaire des événements A A quelconque ∅ et E ∅ : événement ......................................... E : événement .......................................... A∩B=∅ A et B sont ............................................. A A et B A et B quelconques Propriété Exemple 4 : On extrait une carte d’un jeu de 32 cartes, et on définit les événements suivants : A : « Obtenir un roi » C : « Obtenir un roi ou un cœur » B : « Obtenir un cœur » D : « Obtenir ni un roi ni un cœur ». Calculer p ( A ) , p ( B ) , p ( C ) et p ( D ) . _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ D : Variables aléatoires Etude d’un exemple : On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. On gagne $2 pour chaque résultat PILE (noté P) et on perd $1 pour chaque résultat FACE (noté F). 1 – Définir un univers E pour cette expérience aléatoire permettant de choisir l’équiprobabilité sur E. _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ 2 – On appelle X l’application de E dans » qui à chaque issue associe le gain algébrique correspondant. a) Quelles sont les valeurs prises par X ? ____________________________________________________ b) Définir la loi de probabilité de X. _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ c) Calculer l’espérance mathématique et l’écart type de X. _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ • On appelle variable aléatoire X une application définie sur un univers E à valeurs dans » . • Si X prend les valeurs α1 , α 2 , ... α r , avec les probabilités p1 , p2 , ... pr définies par : pi = p ( X = αi ) , on a définit une nouvelle loi de probabilité sur E′ = { α1 ; α 2 ; ... ; α r } appelée loi de probabilité de la variable aléatoire X. • On peut de la même façon qu’à la partie A, définir E ( X ) (espérance mathématique de X), V ( X ) et σ ( X ) .