1 – Rappels sur le vocabulaire fondamental des probabilités

1 – Rappels sur le vocabulaire fondamental des probabilités
A : Modélisation d’une expérience aléatoire
•
Lorsqu’une expérience aléatoire comporte un nombre fini d’issues (ou éventualités) x1 , x2 , ... , xn on
définit l’ensemble E = { x1 , x2 , ... , xn } appelé ..........................................................................................
•
Définir une loi de probabilité p sur E, c’est associer à chacune des issues xi un nombre réel pi
n
appartenant à l’intervalle ................ tel que
∑
pi = ..........
i =1
Exemple 1 : Une urne contient 3 boules rouges, 2 boules bleues et 1 boule jaune.
On tire au hasard une boule dans cette urne et on note la couleur obtenue.
Définir de deux façons différentes un univers E et une loi de probabilité modélisant cette expérience aléatoire.
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
•
On dit qu’une loi de probabilité sur un univers E est équirépartie lorsque .....................................................
•
Si l’univers E est un ensemble de nombres réels (autrement dit xi ∈ » ), on peut définir les caractères
suivants :
espérance mathématique de la loi de probabilité p : µ = ...............................................
variance de la loi de probabilité p : V = ..............................................................................................
écart type de la loi de probabilité p : σ = ...............................................
Exemple 2 : On lance un dé à 6 faces bien équilibré et on note le résultat obtenu.
Définir un univers et une loi de probabilité équirépartie pour cette expérience aléatoire.
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
Calculer l’espérance mathématique et l’écart type de cette loi de probabilité.
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
B : Le langage des événements
Soit E = { x1 , x2 , ... , xn } l’univers d’une expérience aléatoire et p une loi de probabilité sur E.
•
On appelle événement ......................................................................................................................................
•
La probabilité d’un événement A noté p ( A ) est égale à .................................................................................
............................................................................................................................................................................
•
Lorsque la loi de probabilité est équirépartie, on dit qu’on est en situation .....................................................
Dans ce cas :
p ( A ) = .................................................. = .........................
Exemple 3 : En reprenant l’expérience aléatoire de l’exemple 2, on pose les événements suivants :
A = « Obtenir un résultat pair »
B = « Obtenir un multiple de 3 »
Calculer p ( A ) et p ( B ) .
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
Exemple 4 : L’expérience aléatoire consiste à lancer un dé truqué et à noter le numéro obtenu.
On sait que la loi de probabilité p est la suivante.
Issue
1
2
3
4
5
Probabilité
1
6
1
6
1
8
1
12
1
8
6
Calculer la probabilité d’obtenir un résultat pair.
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
C : Règles de calculs
Parties de E
Vocabulaire des événements
A
A quelconque
∅ et E
∅ : événement .........................................
E : événement ..........................................
A∩B=∅
A et B sont .............................................
A
A et B
A et B quelconques
Propriété
Exemple 4 : On extrait une carte d’un jeu de 32 cartes, et on définit les événements suivants :
A : « Obtenir un roi »
C : « Obtenir un roi ou un cœur »
B : « Obtenir un cœur »
D : « Obtenir ni un roi ni un cœur ».
Calculer p ( A ) , p ( B ) , p ( C ) et p ( D ) .
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
D : Variables aléatoires
Etude d’un exemple : On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée.
On gagne $2 pour chaque résultat PILE (noté P) et on perd $1 pour chaque résultat FACE (noté F).
1 – Définir un univers E pour cette expérience aléatoire permettant de choisir l’équiprobabilité sur E.
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
2 – On appelle X l’application de E dans » qui à chaque issue associe le gain algébrique correspondant.
a) Quelles sont les valeurs prises par X ? ____________________________________________________
b) Définir la loi de probabilité de X.
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
c) Calculer l’espérance mathématique et l’écart type de X.
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
•
On appelle variable aléatoire X une application définie sur un univers E à valeurs dans » .
•
Si X prend les valeurs α1 , α 2 , ... α r , avec les probabilités p1 , p2 , ... pr définies par : pi = p ( X = αi ) , on a
définit une nouvelle loi de probabilité sur E′ = { α1 ; α 2 ; ... ; α r } appelée loi de probabilité de la variable
aléatoire X.
•
On peut de la même façon qu’à la partie A, définir E ( X ) (espérance mathématique de X), V ( X ) et σ ( X ) .