Homotopie, premi`ere partie Bruno Klingler - IMJ-PRG

Homotopie, premi`ere partie
Bruno Klingler

Table des mati`eres
Chapitre 1. Homotopie des espaces topologiques 5
1. La notion d’homotopie 5
2. CW-complexes 7
3. Cofibrations 10
4. Quelques cat´egories d’espaces 12
5. H-espace et H-coespace 16
6. Groupes d’homotopie 19
7. Fibrations, fibres et cofibres d’homotopie 22
8. G´eom´etrie des fibrations 27
9. Propri´et´es homotopiques des CW -complexes 31
10. Excision homotopique 36
11. Ab´elianisation et th´eor`eme de Dold-Thom 40
12. Espaces d’Eilenberg-MacLane et espaces de Moore 45
13. Tours de Whitehead et de Postnikov 48
14. Homologie 50
15. Un exemple de th´eorie homologique r´eduite ordinaire 52
16. Cohomologie 58
17. Homologie et cohomologie `a coefficients locaux 62
18. Th´eorie de l’obstruction 65
19. Suites spectrales 69
20. La suite spectrale de Leray-Serre-Atiyah-Hirzebruch 75
21. Applications de la suite spectrale de Leray-Serre 77
Chapitre 2. Th´eorie ´el´ementaire des cat´egories de mod`eles 85
1. Cat´egories de mod`eles 85
2. Th´eorie homotopique des cat´egories de mod`eles 88
3. Foncteurs d´eriv´es 96
4. Cat´egories de mod`eles et alg`ebre homologique 101
5. Cat´egories de mod`ele `a engendrement cofibrants 106
Chapitre 3. La cat´egorie des ensembles simpliciaux 111
1. Objets simpliciaux 111
2. Sversus Top, et r´ealisations en g´en´eral 116
3. La cat´egorie S∗121
4. ∆opA,Aab´elienne 121
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4 TABLE DES MATI` ERES
5. Homotopie simpliciale : quelques d´efinitions et leurs probl`emes 123
6. Fibrations de Kan 126
7. Scomme cat´egorie de mod`ele `a engendrement cofibrant 131
8. Le remplacement fibrant Ex ∞de Kan 132
9. Cat´egories de mod`eles simpliciales 133
Bibliographie 137

CHAPITRE 1
Homotopie des espaces topologiques
Jusqu’`a la section 4, le terme espace d´esigne un espace topologique quelconque, une fl`eche f:X−→ Y
entre espaces d´esigne une application continue, et on note Top la cat´egorie des espaces avec applications
continues. Nous reviendrons `a la section 4 sur la d´efinition d’une «bonne »cat´egorie d’espaces topolo-
giques.
1. La notion d’homotopie
1.1. R´etraction par d´eformation et homotopies. La topologie consid`ere comme ´equivalents
deux espaces ayant la «mˆeme forme ». La notion la plus intuitive correspondante est sans doute celle de
r´etraction par d´eformation d’un espace sur un sous-espace :
D´ efinition 1.1.1 (r´etraction et r´etraction par d´eformation).Soit A⊂Xun sous-espace de X.
– Une r´etraction de Xsur Aest une application r:X−→ Asatisfaisant r2=r.
– Une application continue r:X−→ Aest une r´etraction par d´eformation de Xsur As’il existe
une application continue
F:X×I−→ X
(Id´esignant l’intervalle [0,1]) v´erifiant
F(·, t)|A= IdA∀t∈I
F(·,0) = IdX
F(·,1) = r(·)
.
D´efinissons plus g´en´eralement la notion d’homotopie entre deux applications continues :
D´ efinition 1.1.2 (homotopie).Une homotopie entre deux applications continues f0, f1:X−→ Y
est une application continue
F:X×I−→ Y
(x, t)−→ ft(x) = F(t, x)
reliant f0`a f1. On dit que les applications f0et f1sont homotopes et on ´ecrit f0∼f1.
On v´erifie imm´ediatement que la relation d’homotopie est une relation d’´equivalence sur Top(X, Y ).
D´ efinition 1.1.3.On note [X, Y ]l’ensemble Top(X, Y )/∼des classes d’homotopie d’applications
de Xvers Y.
D´ efinition 1.1.4 (homotopie relative).Soit A⊂Xet f0, f1:X−→ Ydeux applications continues.
Une homotopie F:X×I−→ Yreliant f0`a f1telle que F|A×Iest ind´ependante de Iest appel´ee une
homotopie relativement `a A. On note f0∼f1rel A.
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