Cours - Mathématiques du Cnam

CNAM UE MVA 211 Ph. Durand
Alg`ebre et analyse tensorielle deuxi`eme partie Cours 7:
El´ements d’alg`ebre homologique (suite)
Mars 2007
1 Introduction
Nous revenons danc ce cours sur un fait important en topologie et qui doit
donc absolument ˆetre v´erifi´e en topologie alg´ebtique; une d´eformation con-
tinue ne modifie pas la topologie d’un espace. on a vu par exemple que deux
espaces hom´eomorphes, ont mˆeme groupe fondamental, il en est de mˆeme
si un des espaces est un retract de l’autre. De mani`ere g´en´erale il nous
faut v´erifier que si deux espaces ont ”mˆeme type d’homotopie” , ils ont la
mˆeme topologie, la mˆeme (co)-homologie. En clair il sont topologiquements
indiscernables.On a d´ej`a vu sur des exemples simples que deux complexes
simpliciaux hom´eomorphes ont mˆeme groupes d’homologies. nous aimerions
dans cet expos´e d´evelopper un peu ce point de vu.
2 Homotopie, type d’homotopie
Nous avons d´efinie l’homotopie des chemins et des lacets pour pouvoir d´efinir
le groupe fondamental. En fait cette notion peut ˆetre d´efinie de mani`ere plus
g´en´erale entre deux espaces topologiques quelconques , on peut etendre la
notion d’homotopie au niveau des espaces topologiques et on a la d´efinition:
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D´efinition
Soit f0,f1deux applications continues d’un espace topologique Xdans un
espace topologique Y. L’application f0est homotope `a l’application f1s’il
existe une application continue Happell´ee homotopie, du produit X×Idans
Ytelle que H(x, 0) = f0(x) et F(x, 1) = f1(x) quel que soit xdans X.
D´efinition: d´eformation d’un espace topologique
Dans la d´efinition pr´ec´edente, si f0est l’application identique idXet si X=
Yon dit que f1(X) provient d’une d´eformation continue de X.
par exemple un point provient de la d´eformation d’un ouvert ´etoil´e de Rn. et
un r´esultat fondamental est que l’homologie ou la cohomologie d’un ensemble
Xsont stable par d´eformations continues.
Proposition
La relation d’homotopie est une relation d’´equivalence dans l’ensemble des
applications continues de X`a Y.
La demonstration est laiss´ee en exercice, il suffit d’adapt´e celle vue pour
l’homotopie des chemins.
Propri´et´e
La relation d’homotopie est compatible avec la composition des applications:
Si fO, f1sont homotopes de Xdans Yet si gO, g1sont homotopes de Ydans
Zalors g0◦fO, g1◦f1sont homotopes de Xdans Z.
En effet si F(resp. G) est une homotopie de f0`a f1(resp. de g0`a g1
H: (x, t)7→ G(F(x, t), t) est une homotopie de g0◦f0`a g1◦f1.2
D´efinition
On dit que deux espaces Xet Yont mˆeme type d’homotopie s’il existe une
application continue fde Xdans Yet une application continue gde Ydans
Xtelle que les applications g◦fet f◦gsoient respectivement homotopes
aux appliations identiques de Xet de Y
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Exercice
La relation avoir mˆme type d’homotopie est une relation d´equivalence.
D´efinition
Un espace est dit contractile s’il a mˆeme type d’homotopie qu’un point.
Exemples
Par exemple Rnest contractile. ou plus g´en´eralement tout sous espace con-
vexe est contractile.
3 Homotopie des complexes de chaines
On veut adapter les technique d’homotopies au complexes de chaines en
gen´eral. on va tout d’habord voir ce qu’il en est sur l’exemple des complexes
simpliciaux.
3.1 Homotopie des complexes simpliciaux
On commence par adapter la d´efinition g´en´erale d’homotopie aux cas des
complexes simpliciaux. On rappelle qu’un complexe simplicial est un en-
semble de simplexes satisfaisant certaines r`egles et d´efinies dans un chapitre
pr´ec´edent.
D´efinition
On se donne Ket Ldeuc complexes simpliciaux. soit fet gdeux applications
continues de Kdans L. Alors fet gsont chaine-homotopique si il existe une
homotopie Fde K×Idans Lqui commute aux bords et v´erifie de plus pour
tout simplexe σ:F(σ× {0}) = f(σ) et F(σ× {1}) = g(σ)
Remarque
En particulier si fest l’identit´ee on dit que g(σ) est une d´eformation continue
du simplexe σ.
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3.2 Application prisme
On appelle application prisme l’application de Cp(K) dans Cp+1(K×I) qui
a tout p-simplexe σassocie le (p+ 1)-simplexe σ×Ide Cp+1(K×I).
Exemple
si on pose σ= (x0, x1) alors son prisme est le complexe simplicial constitu´e
d’un seul carr´e donc la somme de deux triangles orient´es:
K(σ)=(x0, x1)×[0,1] = ((x0,0),(x0,1),(x1,1)) −((x0,0),(x1,0),(x1,1))
Pour simplifier on posera (xi,0) = ai, (xi,1) = bi
3.3 bord d’un prisme
C’est simplement le bord du complexe simplicial attribu´e `a ce prisme.on a:
∂K(σ) = σ× {1} − σ× {0} − ∂(σ)×I.
Qui s’ecrit aussi:
∂K(σ) = σ× {1} − σ× {0} − K(∂(σ)).
Exemple
On reprend l’exemple pr´ec´edent:
∂K(a0, a1) = ∂((a0, b0, b1)−(a0, a1, b1)) =
(b0, b1)−(a0, b1)+(a0, b0)−(a1, b1)+(a0, b1)−(a0, a1) =
(b0, b1)−(a0, a1)+(a0, b0)−(a1, b1)
Th´eor`eme
Si fet gsont deux fonctions chaine-homotopique du complexe Kvers le
complexe L, il existe un application Dpde Cp(K) dans Cp+1(L) qui satisfait
∂Dp+1 +Dp∂=f−g
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D´emonstration
Il suffit de former la compos´ee des applications:
Cp(K)Kp −→ Cp+1(K×I)F −→ Cp+1(L)
On a alors:
∂F (Kp+1(σ)) = F(∂Kp(σ)) = F(σ× {1} − σ× {0} − ∂(σ)×I) =
F(σ× {1})−F(σ× {0})−F(∂(σ)×I) =
f(σ)−g(σ)−F(∂(σ)×I)=
f(σ)−g(σ)−F(Kp(∂(σ))
Il faut donc de choisir Dp=F◦Kp
Repr´esentation sous forme de diagramme
On repr´esente usuellement une relation d’homotopie entre deux complexes
par le diagramme suivant qui (attention) n’est pas commutatif `a cause des
deux flˆeches du milieu.
//Cn+1(K)∂n+1 //
i0
i
Cn(K)∂n//
Kn
vvn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
i0
i
Cn−1(K)
Kn−1
vvn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
i0
i
//
//Cn+1(K×I)∂n+1 //Cn(K×I)∂n//Cn−1(K×I)//
Ici iest l’application de Kdans K×Iqui a un simplexe σassocie σ× {0}
base du prisme. et i0est l’application de Kdans K×Iqui a un simplexe σ
associe σ× {1}sommet du prisme.
On a bien: ∂Kn+1(σ) = σ× {1} − σ× {0} − Kn(∂(σ)). soit:
∂Kn+1(σ) + Kn(∂(σ)) = i(σ)−i0(σ).
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