TD3 - films

UNIVERSITE DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE
U.F.R. de Mathématique Pures et Appliquées
Département de Mécanique
TD n˚3 : Courbe optimale d’une voiture de course
Durée : 3 heures 30
Enoncé
Une voiture de course de masse m arrive à un virage de rayon de courbure intérieur ri et de rayon de
courbure extérieur re . L’objectif est de calculer la trajectoire optimale pour optimiser son temps de passage.
On suppose dans un premier temps que la voiture se déplace à une vitesse angulaire θ̇ constante suivant une
−−→
trajectoire avec un rayon de courbure constant rc = |OM |. Le référentiel (Rg ) = (O, ~x, ~y , ~z) lié au circuit
sera supposé Galiléen. La voiture est soumise au champ de pesanteur ~g .
Dans cette exercie on considèrera uniquement les trajectoire symmétriques par rapport à l’axe (O, ~y ).
y
y1
re
z=z1
ri
O=O 1
rc M
x1
θ
x
Figure 1 – Virage
Q1) On considérera que le mouvement du véhicule se fait dans le plan (O, ~x, ~y ). Quelles sont les forces
s’appliquant au véhicule ? En se plaçant dans le référentiel (R1 ) = (O1 , x~1 , y~1 , z~1 ) lié au véhicule, écrire le
principe fondamental de la dynamique puis le projeter dans le plan (O, ~x, ~y ). En déduire la valeur de la
~ t (s → v) appelée force d’adhérence en fonction de m, θ̇ et rc .
résultante tangentielle du sol sur le véhicule R
Les pneus du véhicule permettent à celui-ci de rester en adhérence tant que le rapport entre les normes
des forces tangentielles (dans le plan (O, ~x, ~y )) et normales (suivant ~z) sont inférieures à un coefficient fo
appelé coefficient d’adhérence.
1
Q2) Projeter le principe fondamental de la dynamique suivant ~z. En se plaçant à la limite d’adhérence,
déterminer la vitesse angulaire θ̇ de passage en courbe en fonction du coefficient d’adhérence fo , de la masse
m de la voiture, du rayon de courbure rc et de l’accélération de la pesanteur g.
Dans la suite du problème, on supposera que le pilote essaie toujours d’optimiser son temps de passage
en se plaçant à la limite d’adhérence de la voiture.
Q3) Calculer le temps de passage de la courbe τ3 , et en déduire quel rayon de courbure choisir pour
minimiser le temps de passage de la courbe.
Q4) Pourtant, dans une course, les voitures de compétition tentent toujours de “prendre l’extérieur” du
virage pour gagner du temps. Pourquoi ? Que tentent t’il d’optimiser ?
Q5) Une fois la vitesse de sortie de courbe optimisée, comment modifier la trajectoire pour encore gagner
du temps ?
On ne considère maintenant plus uniquement le virage mais aussi une portion de ligne droite associée de
longueur L. On suppose que le véhicule se déplace à une vitesse constante Vinit avant la zone de freinage.
La décélération maximale du véhicule (freinage) est −γf et son accélération maximale γa avec γf et γa deux
constantes positives.
τ3i
τ e3
i
Vcou
e
Vcou
Vinit
τ4e
L
τi1
e
Vcou
L
e
Lf
Zone de
freinage
τi2
Zone
d’accélération
τi4
Zone
d’accélération
i
Lf
Zone de
freinage
i
Vcou
τ2e
Vinit
τ1e
Figure 2 – Trajectoire intérieure et trajectoire extérieure.
Q6) Calculer le temps de passage du virage plus des portions de ligne droite (en fonction de L, Vinit ,
la vitesse de passage de la courbe, re , ri , γa et γf ) dans le cas où le véhicule prend l’intérieur du virage.
Pour ce faire, on décomposera le trajet en 4 zones : la zone à vitesse constante (temps associé τ1i ), une zone
i en
de freinage (τ2i ), le passage en courbe (τ3i ) et la zone d’accélération (τ4i ). On précisera l’expression de Vcou
fonction de fo , g et ri .
i
Vcou
Q7) Calculer le temps de passage du virage plus des portions de ligne droite (en fonction de L, Vinit ,
e la vitesse de passage de la courbe, r , r , γ et γ ) dans le cas où le véhicule prend l’extérieur du virage.
Vcou
e i
a
f
2
Pour ce faire, on décomposera le trajet en 4 zones : la zone à vitesse constante (temps associé τ1e ), une zone
i
de freinage (τ2e ), le passage en courbe (τ3e ) et la zone d’accélération (τ4e ). On précisera l’expression de Vcou
en fonction de fo , g et re .
Q8) Comparer les temps τ i et τ e en prenant des valeurs réalistes pour toutes les constantes. En déduire
dans quelle partie chaque cas est favorable et expliquer pourquoi qualitativement.
Q9) Dans le cas où un pilote essaie de doubler par l’intérieur, quel avantage supplémentaire cela lui donne
t’il sur le pilote qui prend l’extérieur.
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