TD3 - films

UNIVERSITE DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE
U.F.R. de Mathématique Pures et Appliquées
Département de Mécanique
TD n˚3 : Courbe optimale d’une voiture de course
Durée : 3 heures 30
Enoncé
Une voiture de course de masse m arrive à un virage de rayon de courbure intérieur riet de rayon de
courbure extérieur re. L’objectif est de calculer la trajectoire optimale pour optimiser son temps de passage.
On suppose dans un premier temps que la voiture se déplace à une vitesse angulaire ˙ θconstante suivant une
trajectoire avec un rayon de courbure constant rc=|−−→ OM|. Le référentiel (Rg) = (O, ~x, ~y, ~z)lié au circuit
sera supposé Galiléen. La voiture est soumise au champ de pesanteur ~g.
Dans cette exercie on considèrera uniquement les trajectoire symmétriques par rapport à l’axe (O, ~y).
1
θ
reri
rc
1O=O
M
x
x
yy
1
1
z=z
Figure 1 – Virage
Q1) On considérera que le mouvement du véhicule se fait dans le plan (O, ~x, ~y). Quelles sont les forces
s’appliquant au véhicule ? En se plaçant dans le référentiel (R1) = (O1, ~x1, ~y1, ~z1)lié au véhicule, écrire le
principe fondamental de la dynamique puis le projeter dans le plan (O, ~x, ~y). En déduire la valeur de la
résultante tangentielle du sol sur le véhicule ~ Rt(s→v)appelée force d’adhérence en fonction de m,˙ θet rc.
Les pneus du véhicule permettent à celui-ci de rester en adhérence tant que le rapport entre les normes
des forces tangentielles (dans le plan (O, ~x, ~y)) et normales (suivant ~z) sont inférieures à un coefficient fo
appelé coefficient d’adhérence.
1

Q2) Projeter le principe fondamental de la dynamique suivant ~z. En se plaçant à la limite d’adhérence,
déterminer la vitesse angulaire ˙ θde passage en courbe en fonction du coefficient d’adhérence fo, de la masse
mde la voiture, du rayon de courbure rcet de l’accélération de la pesanteur g.
Dans la suite du problème, on supposera que le pilote essaie toujours d’optimiser son temps de passage
en se plaçant à la limite d’adhérence de la voiture.
Q3) Calculer le temps de passage de la courbe τ3, et en déduire quel rayon de courbure choisir pour
minimiser le temps de passage de la courbe.
Q4) Pourtant, dans une course, les voitures de compétition tentent toujours de “prendre l’extérieur” du
virage pour gagner du temps. Pourquoi ? Que tentent t’il d’optimiser ?
Q5) Une fois la vitesse de sortie de courbe optimisée, comment modifier la trajectoire pour encore gagner
du temps ?
On ne considère maintenant plus uniquement le virage mais aussi une portion de ligne droite associée de
longueur L. On suppose que le véhicule se déplace à une vitesse constante Vinit avant la zone de freinage.
La décélération maximale du véhicule (freinage) est −γfet son accélération maximale γaavec γfet γadeux
constantes positives.
i
Zone
d’accélération
L
Zone de freinage
V
τ2
Vinit
τ1
τ3
V
τ
i
i
i
i
4
i
Lf
i
cou cou
cou
Zone
d’accélération
Zone de freinage
τ1
Vinit
τ2
τ4
Ve
τ3
e
e
Le f
e
e
Ve
L
cou
Figure 2 – Trajectoire intérieure et trajectoire extérieure.
Q6) Calculer le temps de passage du virage plus des portions de ligne droite (en fonction de L,Vinit,
Vi
cou la vitesse de passage de la courbe, re,ri,γaet γf) dans le cas où le véhicule prend l’intérieur du virage.
Pour ce faire, on décomposera le trajet en 4 zones : la zone à vitesse constante (temps associé τi
1), une zone
de freinage (τi
2), le passage en courbe (τi
3) et la zone d’accélération (τi
4). On précisera l’expression de Vi
cou en
fonction de fo,get ri.
Q7) Calculer le temps de passage du virage plus des portions de ligne droite (en fonction de L,Vinit,
Ve
cou la vitesse de passage de la courbe, re,ri,γaet γf) dans le cas où le véhicule prend l’extérieur du virage.
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Pour ce faire, on décomposera le trajet en 4 zones : la zone à vitesse constante (temps associé τe
1), une zone
de freinage (τe
2), le passage en courbe (τe 3) et la zone d’accélération (τe 4). On précisera l’expression de Vi
cou
en fonction de fo,get re.
Q8) Comparer les temps τiet τeen prenant des valeurs réalistes pour toutes les constantes. En déduire
dans quelle partie chaque cas est favorable et expliquer pourquoi qualitativement.
Q9) Dans le cas où un pilote essaie de doubler par l’intérieur, quel avantage supplémentaire cela lui donne
t’il sur le pilote qui prend l’extérieur.
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