Sujets de Mathématiques, Term ES

Sujet 1
Sujet national, juin 2014, exercice 4
(5 points)
On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant 15 heures,
la concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang.
On obtient la courbe ci-dessous :
Étude graphique
Avec la précision permise par le graphique, indiquer :
1La concentration à l’instant initial.
Il s’agit de déterminer l’image de 0par la fonction représentée graphiquement.
2L’intervalle de temps pendant lequel la concentration est inférieure ou égale à
0,4 gramme par litre.
On fera apparaitre sur le graphique les traits de construction nécessaires.
Il s’agit tout d’abord de déterminer le temps pour lequel la concentration du médicament
est égale à 0,4 gramme par litre.
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Sujet 1 | Énoncé
Étude théorique
On admet que la concentration peut être modélisée par la fonction définie sur l’inter-
valle [0 ; 15] par : f(x) = (x+2)e−0,5x, où xreprésente le nombre d’heures écoulées
depuis l’instant initial et la concentration, en grammes par litre, du médicament dans
le sang.
1On note f0la fonction derivée de la fonction f. Justifier que f0(x) = −0,5xe−0,5x,
et en déduire le tableau de variation de la fonction fsur [0 ; 15].
Souvenez-vous que pour toute fonction udérivable sur un intervalle I,(eu)0=u0eu
sur I.
2Justifier que l’équation f(x) = 0,1admet une unique solution αsur l’intervalle
[0 ; 15].
Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.
3Déterminer un encadrement de αd’amplitude un dixième.
Commencez par déterminer un encadrement de αà l’unité près avec un tableur, puis
déterminez un encadrement au dixième près en modifiant le pas entre chaque valeur.
4Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous :
En vous appuyant sur ces résultats, étudier la convexité de la fonction fsur l’inter-
valle [0 ; 15] et préciser l’abscisse d’un éventuel point d’inflexion.
Pour une fonction fdeux fois dérivable sur un intervalle I:
–fest convexe sur Isi et seulement si sa dérivée seconde f00 est positive sur I;
–fest concave sur Isi et seulement si sa dérivée seconde f00 est négative sur I;
–fadmet un point d’inflexion en x∈Isi et seulement si f00(x) = 0.
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Sujet 1 | Énoncé
Interprétation des résultats
En vous aidant des résultats obtenus, soit dans la partie B, soit par lecture graphique
et sans justifier, répondre aux questions ci-dessous.
1On estime que le médicament n’est plus actif lorsque la concentration est stric-
tement inférieure à 0,1 gramme par litre. Pendant combien de temps le médicament
est-il actif ?
Remarquez qu’il s’agit de déterminer le temps pendant lequel la concentration du mé-
dicament est supérieure ou égale à 0,1 gramme par litre.
2Au bout de combien d’heures la baisse de concentration ralentit-elle ?
En quel point de la courbe peut-on dire que la baisse de concentration ralentit-elle ?
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Sujet 1 | Corrigé
Étude graphique
Avec la précision permise par le graphique, indiquer :
1D’après le graphique, la concentration du médicament à l’instant initial est 2 g/L.
2En observant le graphique, la concentration du médicament est égale à 0,4 gramme
par litre au bout de 6 h.
L’intervalle de temps pendant lequel la concentration est inférieure ou égale à
0,4 gramme par litre est donc 15 −6 = 9 h.
Étude théorique
1La fonction fest dérivable sur l’intervalle [0 ; 15] en tant que produit de fonctions
dérivables sur cet intervalle.
En posant u(x) = x+ 2 et v(x) = e−0,5xpour x∈[0 ; 15], on a u0(x) = 1 et
v0(x) = −0,5e−0,5x, et :
f0(x) = (u×v)0(x) = u0(x)×v(x)+u(x)×v0(x) = 1×e−0,5x−0,5(x+2)e−0,5x
=e−0,5x(1 −0,5(x+ 2)) = e−0,5x(1 −0,5x−1)
=−0,5e−0,5xpour tout x∈[0 ; 15].
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Sujet 1 | Corrigé
Pour tout x∈]0 ; 15],f0(x) = −0,5xe−0,5x<0donc la fonction fest strictement
décroissante sur l’intervalle [0 ; 15].
f(0) = (0 + 2)e−0,5×0= 2e0= 2 et f(15) = (15 + 2)e−0,5×15 = 17e−7,5
≈0,009 au millième près.
2La fonction fest strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 15] et, f(0) = 2 >
0,1et f(15) = 17e−7,5≈0,009 au millième près donc f(15) <0,1.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) = 0,1admet une
unique solution αsur l’intervalle [0 ; 15].
3À l’aide d’un premier tableau de valeurs : 9<α<10.
x f(x)
0 2
1 1,81959198
2 1,47151776
3 1,1156508
4 0,8120117
5 0,57459499
6 0,39829655
7 0,27177645
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