Sujets de Mathématiques, Term ES

Sujet 1
Sujet national, juin 2014, exercice 4
(5 points)
On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant 15 heures,
la concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang.
On obtient la courbe ci-dessous :
Étude graphique
Avec la précision permise par le graphique, indiquer :
1 La concentration à l’instant initial.
Il s’agit de déterminer l’image de 0 par la fonction représentée graphiquement.
2 L’intervalle de temps pendant lequel la concentration est inférieure ou égale à
0,4 gramme par litre.
On fera apparaitre sur le graphique les traits de construction nécessaires.
Il s’agit tout d’abord de déterminer le temps pour lequel la concentration du médicament
est égale à 0,4 gramme par litre.
14
Sujet 1 | Énoncé
Étude théorique
On admet que la concentration peut être modélisée par la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 15] par : f (x) = (x+2)e−0,5x , où x représente le nombre d’heures écoulées
depuis l’instant initial et la concentration, en grammes par litre, du médicament dans
le sang.
1 On note f 0 la fonction derivée de la fonction f . Justifier que f 0 (x) = −0, 5xe−0,5x ,
et en déduire le tableau de variation de la fonction f sur [0 ; 15].
Souvenez-vous que pour toute fonction u dérivable sur un intervalle I , (eu )0 = u0 eu
sur I .
2 Justifier que l’équation f (x) = 0, 1 admet une unique solution α sur l’intervalle
[0 ; 15].
Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.
3 Déterminer un encadrement de α d’amplitude un dixième.
Commencez par déterminer un encadrement de α à l’unité près avec un tableur, puis
déterminez un encadrement au dixième près en modifiant le pas entre chaque valeur.
4 Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous :
En vous appuyant sur ces résultats, étudier la convexité de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 15] et préciser l’abscisse d’un éventuel point d’inflexion.
Pour une fonction f deux fois dérivable sur un intervalle I :
– f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée seconde f 00 est positive sur I ;
– f est concave sur I si et seulement si sa dérivée seconde f 00 est négative sur I ;
– f admet un point d’inflexion en x ∈ I si et seulement si f 00 (x) = 0.
15
Sujet 1 | Énoncé
Interprétation des résultats
En vous aidant des résultats obtenus, soit dans la partie B, soit par lecture graphique
et sans justifier, répondre aux questions ci-dessous.
1 On estime que le médicament n’est plus actif lorsque la concentration est strictement inférieure à 0,1 gramme par litre. Pendant combien de temps le médicament
est-il actif ?
Remarquez qu’il s’agit de déterminer le temps pendant lequel la concentration du médicament est supérieure ou égale à 0,1 gramme par litre.
2 Au bout de combien d’heures la baisse de concentration ralentit-elle ?
En quel point de la courbe peut-on dire que la baisse de concentration ralentit-elle ?
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Sujet 1 | Corrigé
Étude graphique
Avec la précision permise par le graphique, indiquer :
1 D’après le graphique, la concentration du médicament à l’instant initial est 2 g/L.
2 En observant le graphique, la concentration du médicament est égale à 0,4 gramme
par litre au bout de 6 h.
L’intervalle de temps pendant lequel la concentration est inférieure ou égale à
0,4 gramme par litre est donc 15 − 6 = 9 h.
Étude théorique
1 La fonction f est dérivable sur l’intervalle [0 ; 15] en tant que produit de fonctions
dérivables sur cet intervalle.
En posant u(x) = x + 2 et v(x) = e−0,5x pour x ∈ [0 ; 15], on a u0 (x) = 1 et
v 0 (x) = −0, 5e−0,5x , et :
f 0 (x) = (u×v)0 (x) = u0 (x)×v(x)+u(x)×v 0 (x) = 1× e−0,5x −0, 5(x+2)e−0,5x
= e−0,5x (1 − 0, 5(x + 2)) = e−0,5x (1 − 0, 5x − 1)
= −0, 5e−0,5x pour tout x ∈ [0 ; 15].
17
Sujet 1 | Corrigé
Pour tout x ∈ ]0 ; 15], f 0 (x) = −0, 5xe−0,5x < 0 donc la fonction f est strictement
décroissante sur l’intervalle [0 ; 15].
f (0) = (0 + 2)e−0,5×0 = 2e0 = 2 et f (15) = (15 + 2)e−0,5×15 = 17e−7,5
≈ 0, 009 au millième près.
2 La fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 15] et, f (0) = 2 >
0, 1 et f (15) = 17e− 7, 5 ≈ 0, 009 au millième près donc f (15) < 0, 1.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f (x) = 0, 1 admet une
unique solution α sur l’intervalle [0 ; 15].
3 À l’aide d’un premier tableau de valeurs : 9 < α < 10.
x
0
1
2
3
4
5
6
7
f (x)
2
1, 81959198
1, 47151776
1, 1156508
0, 8120117
0, 57459499
0, 39829655
0, 27177645
18
Sujet 1 | Corrigé
8
9
10
11
12
13
14
15
0, 18315639
0, 12219896
0, 08085536
0, 05312803
0, 03470253
0, 02255159
0, 01459011
0, 00940243
À l’aide d’un second tableau de valeurs : 9, 4 < α < 9, 5.
x
9
9, 1
9, 2
9, 3
9, 4
9, 5
9, 6
9, 7
9, 8
9, 9
10
f (x)
0, 12219896
0, 11729597
0, 11258056
0, 1080461
0, 10368616
0, 09949449
0, 09546507
0, 09159202
0, 08786968
0, 08429257
0, 08085536
4 D’après le logiciel de calcul formel : f 00 (x) = (0, 25x − 0, 5)e−0,5x qui est du
signe de 0, 25x − 0, 5.
On a :
f 00 (x) > 0 ⇔ 0, 25x − 0, 5 > 0 ⇔ 0, 25x > 0, 5 ⇔ x >
f 00 (x) < 0 ⇔ 0, 25x − 0, 5 < 0 ⇔ 0, 25x < 0, 5 ⇔ x <
f 00 (x) = 0 ⇔ x = 2.
0,5
0,25
0,5
0,25
= 2.
= 2.
La fonction f est donc concave sur l’intervalle [0 ; 2] et convexe sur l’intervalle
[2 ; 15].
Elle admet le point d’abcisse x = 2 comme point d’inflexion.
19
Sujet 1 | Corrigé
Interprétation des résultats
1 Il s’agit de déterminer l’intervalle des valeurs x telles que f (x) > 0, 1
À l’aide de la partie B :
D’après la question 2., la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle
[0 ; 15] et l’équation f (x) = 0, 1 admet une unique solution α telle que 9, 4 <
α < 9, 5.
Le médicament est donc actif pendant : 9, 4 h = 9 h 0, 4 × 60 min = 9 h 24 min.
On peut aussi observer le résultat graphiquement : f (x) > 0, 1 approximativement
sur l’intervalle [0 ; 9, 4].
Voir le graphique ci-dessous.
2 L’étude de la concentration du médicament correspond à l’étude de la fonction f .
L’étude des variations de la concentration du médicament correspond à l’étude de la
fonction f 0 .
La baisse de la concentration ralentit donc lorsque f 0 s’annule, c’est-à-dire en l’abscisse x = 2 du point d’inflexion de la courbe.
On peut observer graphiquement le ralentissement de la baisse au point d’abscisse
x = 2 de la courbe.
20
Sujet 2
Inde, avril 2014, exercice 1
(4 points)
Pour chacune des propositions, déterminez si la proposition est vraie ou fausse et
justifiez votre réponse.
1 La courbe Ch représentative d’une fonction h définie et dérivable sur R est représentée ci-contre.
On a tracé la tangente T à Ch au point A(−1 ; 3). T passe par le point B(0 ; −2).
Proposition 1 : le nombre dérivé h(−1) est égal à −2.
Que représente graphiquement la valeur h0 (−1) ?
2 On désigne par f une fonction définie et deux fois dérivable sur [0 ; +∞[.
La courbe représentative de la fonction f ”, dérivée seconde de la fonction f , est
donnée ci-dessous. Le point de coordonnées (1 ; 0) est le seul point d’intersection de
cette courbe et de l’axe des abscisses.
21
Sujet 2 | Énoncé
Proposition 2 : la fonction f est convexe sur l’intervalle [1 ; 4].
3 Proposition 3 : on a l’égalité e5 ln 2 × e7 ln 4 = 219 .
7
Utilisez les priorités des puissances et remarquez notamment que 47 = (22 ) .
4 La courbe représentative d’une fonction g définie et continue sur l’intervalle [0 ; 2]
est donnée sur la première figure.
La courbe représentative d’une de ses primitives G est donnée sur la figure 2. La
courbe représentative de G passe par les points A(0 ; 1), B(1 ; 1) et C(2 ; 5).
22
Sujet 2 | Énoncé
Proposition 4 : la valeur exacte de l’aire de la partie bleue sous la courbe de g de la
première figure est 4 unités d’aires.
Quel est le lien entre l’aire hachurée et la primitive G ?
23
Sujet 2 | Corrigé
1 h0 (−1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Ch au point d’abscisse
- 1.
Cette tangente est la droite (AB) donc h0 (−1) est le coefficient directeur de la droite
(AB).
−yA
−2−3
On a donc : h0 (−1) = xyBB −x
= −5.
= 0−(−1)
A
La proposition est fausse.
2 Une fonction f (deux fois dérivable) est convexe sur un intervalle I ⇔ f 00 est
positive sur I .
Une fonction f (deux fois dérivable) est concave sur un intervalle I ⇔ f 00 est négative sur I .
Graphiquement, on observe que f 00 est négative sur l’intervalle [1 ; 4].
La fonction f est donc concave sur l’intervalle [1 ; 4].
La proposition est fausse.
5
7
7
3 e5 ln 2 × e7 ln 4 = eln 2 × eln 4 = 25 × 47 = 25 × (22 ) = 25 × 22×7 = 25 × 214
= 25+14 = 219 .
La proposition est vraie.
4 La partie bleue est la surface comprise entre la courbe Cg , l’axe des abscisses et
les droites d’équation x = 1 et x = 2.
R2
Son aire est donc égale, en unités d’aire, à 1 g(x)dx.
R2
G est une des primitives de la fonction g sur l’intervalle [1 ; 2] : 1 g(x)dx =
G(2) − G(1) = 5 − 1 = 4 d’après la figure 2.
La valeur exacte de l’aire de la partie bleue sous la courbe de g en figure 1 est 4 unités
d’aires.
La proposition est vraie.
24
Sujet 3
Inde, avril 2014, exercice 4
(6 points)
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Un artisan glacier commercialise des « sorbets bio ». Il peut en produire entre 0 et
300 litres par semaine. Cette production est vendue dans sa totalité.
Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction f définie pour tout nombre
réel x de l’intervalle I = [ 0 ; 3 ] par f(x) = 10x2 − 20x ln x.
Lorsque x représente le nombre de centaines de litres de sorbet, f(x) est le coût total
de fabrication en centaines d’euros.
La recette, en centaines d’euros, est donnée par une fonction r définie sur le même
intervalle I.
Partie A
La courbe C représentative de la fonction f et la droite D représentative de la fonction
linéaire r sont données en fin de sujet.
1 Répondez aux questions suivantes par lecture graphique et sans donner de justifi-
cation.
a) Donnez le prix de vente en euros de 100 litres de sorbet.
Déterminez graphiquement r(1) et faites ensuite attention aux unités.
b) Donnez l’expression de r (x) en fonction de x.
Pour déterminer l’expression de r(x) en fonction de x, remarquez que r est une fonction
linéaire et déterminez son coefficient directeur.
c) Combien l’artisan doit-il produire au minimum de litres de sorbet pour que l’entre-
prise dégage un bénéfice ?
Déterminez la valeur x à partir de laquelle r(x) 6 f (x) et faites ensuite attention aux
unités.
R3
20x ln xdx = 90 ln 3 − 40.
R3
a) Vous devez en déduire la valeur de 1 f (x)dx.
2 On admet que
1
Utilisez la linéarité de l’intégrale.
25
Sujet 3 | Énoncé
b) Déduisez pour une production comprise entre 100 et 300 litres, la valeur moyenne
(arrondie à l’euro) du coût total de production.
Utilisez le résultat de la question précédente en faisant attention aux unités.
Partie B
On note B(x) le bénéfice réalisé par l’artisan pour la vente de x centaines de litres
de sorbet produits. D’après les données précédentes, pour tout x de intervalle [1 ; 3],
on a :
B(x) = −10x2 + 10x + 20xlnx
où B(x) est exprimé en centaines d’euros.
1 On note B’ la fonction dérivée de la fonction B.
Montrez que, pour tout nombre x de l’intervalle [1 ; 3], on a : B’(x) = −20x + 20 lnx
+ 30.
Souvenez-vous que pour toutes fonctions u et v dérivables un intervalle I,
(u × v )’ = u × v ’ + u’× v sur l’intervalle I.
2 On donne le tableau de variation de la fonction dérivée B’ sur l’intervalle [1 ; 3].
a) Montrez que l’équation B’(x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle
[1 : 3].
Donnez une valeur approchée de α à 10 −2 .
Appliquez le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction B ’ sur l’intervalle [1 ; 3].
b) Vous devez en déduire le signe de B’(x) sur l’intervalle [1 ; 3] puis dressez le tableau
de variation de la fonction B sur ce même intervalle.
Observez le tableau de variation de la fonction B ’ et déduisez-en le signe de B ’, puis
les variations de B .
26
Sujet 3 | Énoncé
3 L’artisan a décidé de maintenir sa production dans les mêmes conditions s’il peut
atteindre un bénéfice d’au moins 850 euros. Est-ce envisageable ?
N’oubliez pas que B (x) est exprimé en centaines d’euros.
27
Sujet 3 | Corrigé
Partie A
1 a) Il s’agit de déterminer r(1) : graphiquement, r(1) = 10.
Étant donné que la recette est exprimée en centaines d’euros, le prix de vente de
100 litres de sorbet est 10×100 = 1 000 ¤.
b) La fonction r est une fonction linéaire car sa courbe représentative D passe par
l’origine du repère.
r(1) = 10 donc D passe par le point A(1 ; 10) et son coefficient directeur est 10.
L’expression de r(x) en fonction de x est r(x) = 10x pour x ∈[1 ; 3].
c) Il s’agit de déterminer la valeur x à partir de laquelle la recette est supérieure au
coût total, donc que r(x) > f (x).
Graphiquement, il s’agit de x > 1.
Étant donné que x est exprimée en centaines de litres, l’artisan doit produire au minimum 100 litres de sorbet pour que l’entreprise dégage un bénéfice.
2 a) On a :
R3
R3
f (x)dx = 1 10x2 − 20x ln xdx
1
R3
R3
R3
2
1 f (x)dx = 1 10x dx + 1 −20x ln xdx
28
Sujet 3 | Corrigé
R3
R3
2
10x
d
x
−
f
(x)
d
x
=
1 20x ln xdx par linéarité de l’intégrale.
1
1
R3
Or 1 20x ln xdx = 90 ln 3 − 40, donc :
R3
R3
2
f
(x)
d
x
=
1 10x dx − (90 ln 3 − 40)
R13
3
f (x)dx = [ 10x
]3 − 90 ln 3 + 40
3 1
R13
3
3
f (x)dx = 10×3
− 10×1
− 90 ln 3 + 40
1
3
3
R3
10
f (x)dx = 90 − 3 − 90 ln 3 + 40
R13
f (x)dx = 130 − 10
− 90 ln 3
3
R13
390−10
f (x)dx = 3 − 90 ln 3
R13
380
1 f (x)dx = 3 − 90 ln 3.
b) La valeur moyenne du coût total de production pour une production comprise entre
100 et 300 litres est :
R3
R3
380
19 000
1
− 4 500 ln 3
100 × 3−1
1 f (x)dx = 50 1 f (x)dx = 50×( 3 − 90 ln 3) =
3
≈ 1 390 ¤ (arrondie à l’euro) car le coût total est exprimé en centaines d’euros.
R3
Partie B
1 La fonction B est dérivable sur l’intervalle [1 ; 3] en tant que produit de fonctions
dérivables sur cet intervalle.
En posant u(x) = 20x et v (x) = ln x, on a u’(x) = 20 et v ’(x) = x1 , donc pour tout x
∈[1 ; 3] :
B ’(x) = −20x + 10 + (u × v )’(x)
B ’(x) = −20x + 10 + u’(x)× v (x) + u(x)× v ’(x)
B ’(x) = −20x + 10 + 20ln x + 20x × x1
B ’(x) = −20x + 10 + 20ln x + 20
B ’(x) = −20x + 20ln x + 30.
2 a) D’après le tableau de variation, la fonction B ’ est strictement décroissante sur
l’intervalle [1 ; 3].
De plus, B ’(1) = −20×1 + 20 ln 1 + 30 = 10 > 0 et B ’(3) = −20×3 + 20 ln 3 + 30
= 20 ln 3 − 30 < 0.
Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation B ’(x) = 0 admet
une unique solution α ; sur l’intervalle [1 ; 3].
À l’aide d’un premier tableau de valeurs : 2,3 < α < 2,4.
29
Sujet 3 | Corrigé
x
2
2, 1
2, 2
2, 3
2, 4
2, 5
2, 6
2, 7
2, 8
2, 9
3
B 0 (x)
3, 86294361
2, 83874689
1, 76914721
0, 65818246
−0, 49062525
−1, 67418536
−2, 8897711
−4, 13496454
−5, 40761166
−6, 70578526
−8, 02775423
À l’aide d’un deuxième tableau de valeurs : 2,35 < α < 2,36. Une valeur approchée
de α ; à 10 −2 près est 2,35.
x
2, 3
2, 31
2, 32
2, 33
2, 34
2, 35
2, 36
2, 37
2, 38
2, 39
2, 4
B 0 (x)
0, 65818246
0, 54495049
0, 43134371
0, 31736535
0, 20301859
0, 08830656
−0, 02676762
−0, 1422009
−0, 25799025
−0, 37413268
−0, 49062525
b) D’après le tableau de variation de la fonction B ’ sur l’intervalle [1 ; 3], la fonction
B ’ est strictement décroissante sur cet intervalle.
De plus, B ’(α) = 0 (avec α ≈ 2,35), donc :
– B ’(x) > 0 sur l’intervalle [1 ; α] ;
– B ’(x) < 0 sur l’intervalle [α ; ; 3].
La fonction B est donc strictement croissante sur l’intervalle [1 ; α] et strictement
décroissante sur l’intervalle [α ; 3].
30
Sujet 3 | Corrigé
B (α) ≈ B (2,35) ≈ 8,4.
B (1) = −10×12 + 10×1 + 20×1×ln(1) = 0.
B (3) = −10×32 + 10×3 + 20×3×ln(3) = 60×(ln 3 − 1) ≈ 5,9.
x
1
α
+
B’(x)
0
3
−
B(α) ≈8,4
α
B
0
B(3) ≈5,9
3 D’après la question précédente, le bénéfice maximal réalisé par l’artisan est
100B(α ;) ≈ 100×8,4 = 840 ¤.
L’artisan n’atteindra pas un bénéfice d’au moins 850 euros, donc il ne maintiendra
pas sa production dans les mêmes conditions.
31
Sujet 4
Centres étrangers, septembre 2013, exercice 1
(4 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Une réponse exacte rapporte un
point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun
point. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune
justification n’est demandée.
La courbe C ci-dessous est la representation graphique, dans un repère orthonormé,
d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [−5 ; 5].
On note f 0 la fonction dérivée de f .
1 Sur l’intervalle [−5 ; 5] :
a) f est une fonction de densité de probabilité.
b) f est positive.
c) f n’est pas continue.
d) L’équation f 0 (x) = 0 admet deux solutions.
2 Sur l’intervalle [−5 ; 5] :
a) f 0 (1) = 0.
b) f 0 (0) = 1.
c) f 0 (0) = 0.
d) f 0 (1) = 1.
Souvenez-vous que f 0 (a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative C de f au point d’abscisse a.
32
Sujet 4 | Énoncé
3 On admet qu’une équation de la tangente à la courbe C au point d’abscisse 4 est
y = − ex2 + e52 .
Le nombre dérivé de f en 4 est :
a) f 0 (4) = e52 .
b) f 0 (4) = e12 .
c) f 0 (4) = − e12 .
d) f 0 (4) = e−2 .
f 0 (4) est le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe représentative C de f
au point d’abscisse 4.
4 On pose A =
R2
−2
f (x)dx. Un encadrement de A est :
a) 0 < A < 1.
b) 1 < A < 2.
c) 3 < A < 4.
d) 4 < A < 5.
Encadrez l’aire A à l’aide de celle d’un polygone et de celle d’un rectangle.
33
Sujet 4 | Corrigé
1 b) f est positive.
En observant le graphique, on voit que f est positive sur l’intervalle [−5 ; 5].
R5
f ne peut pas être une densité de probabilité car −5 f (x)dx > 1.
f est continue et l’équation f 0 (x) = 0 admet une unique solution, qui est x = 0.
2 c) f 0 (0) = 0.
Au point d’abscisse 0 de la courbe C , la tangente est horizontale donc f 0 (0) = 0.
Au point d’abscisse 1 de la courbe C , le coefficient directeur de la tangente est strictement négatif donc f 0 (1) ne peut pas être égal à 0 ou à 1.
3 c) f 0 (4) = − e12 .
Une équation de la tangente à la courbe C au point d’abscisse 4 est y = − ex2 +
f 0 (4) est son coefficient directeur, donc f 0 (4) = − e12 .
5
.
e2
4 c) 3 < A < 4.
R2
R2
Pour tout x ∈ [−2 ; 2], f (x) < 1 donc A = −2 f (x)dx < −2 1dx = [x]2−2 =
2 − (−2) = 2 + 2 = 4.
De
du polygone ABCDE, qui est la réunion de deux trapèzes d’aire
plus, l’aire
2×(1+0,5)
= 1, 5, est 2 × 1, 5 = 3. On a donc 3 < A.
2
Finalement, on a : 3 < A < 4.
34
Sujet 5
Centres étrangers, septembre 2013, exercice 3
(5 points)
Un site est spécialisé dans la diffusion de vidéos sur Internet. Le responsable du site
a constaté que la durée de chargement des vidéos évoluait en fonction d’internautes
connectés simultanément.
On cherche à estimer la durée de chargement en fonction du nombre de personnes
connectées simultanément. Deux fonctions sont proposées pour modéliser cette situation.
Partie A : Modèle exponentiel
Dans le repère orthogonal ci-dessous, on a tracé la courbe représentative d’une fonction f qui modélise la situation précédente.
35
Sujet 5 | Énoncé
On note x le nombre, exprimé en millier, d’internautes connectés simultanément et
f (x) la durée de chargement exprimée en seconde.
1 Par lecture graphique, estimer la durée de chargement, en seconde, pour 8 000 per-
sonnes connectées.
Remarquez que vous devez déterminer graphiquement f (8).
2 a) Déterminer graphiquement un antécédent de 15 par f .
Déterminez approximativement le nombre qui a pour image 15 par f .
b) Donner une interprétation de ce résultat.
Pour interpréter la réponse de la question 2. a), faites attention aux unités.
Partie B : Modèle logarithmique
On considère une autre fonction g pour modéliser la situation précédente.
On note x le nombre, exprimé en millier, d’internautes connectés simultanément. La
durée de chargement exprimée en seconde est alors g(x) avec g(x) = 10x − 8 ln(x)
pour x appartenant à [0, 5 ; +∞[.
1 a) Calculer g 0 (x).
Souvenez-vous que pour tout x ∈]0 ; +∞[, ln0 (x) = x1 .
b) Dresser le tableau de variations de g sur l’intervalle [0, 5 ; +∞[.
Étudiez les variations de la fonction g et calculez g(0, 5) et g(0, 8).
2 a) Justifier que la fonction G définie sur [0, 5 ; +∞[ par G(x) = 5x2 + 8x −
8x ln(x) est une primitive de g sur [0, 5 ; +∞[.
Montrez que pour tout x ∈ [0, 5 ; +∞[, G0 (x) = g(x).
b) On pose I =
1
2
R4
2
g(x)dx.
Montrer que la valeur exacte de I peut s’écrire sous la forme a + b ln(2) où a et b
sont deux réels que l’on déterminera.
Exprimez l’intégrale à l’aide de la fonction G.
c) Déterminer une valeur approchée à 10−2 près de I puis donner une interprétation
de ce résultat.
Pour donner une interprétation de I , remarquez que I =
36
1
4−2
R4
2
g(x)dx.
Sujet 5 | Énoncé
Partie C
Une vidéo particulièrement demandée a attiré simultanément 8 000 personnes. On a
constaté que le temps de chargement était de 92 secondes.
Déterminer, en justifiant, celui des deux modèles qui décrit le mieux la situation pour
cette vidéo.
Demandez-vous qui est le plus proche de 92 entre f (8) et g(8).
37
Sujet 5 | Corrigé
Partie A : Modèle exponentiel
1 Il s’agit de déterminer f (8) : graphiquement, f (8) ≈ 96.
S’il y a 8 000 internautes connectées simultanément, la durée de téléchargement est
d’environ 96 s = 1 min 36 s.
2 a) Graphiquement, un antécédent de 15 est approximativement 2.
b) Le fait qu’un antécédent de 15 soit approximativement 2 signifie que la durée de
téléchargement est de 15 secondes lorsqu’il y a 2 × 1 000 = 2 000 internautes
connectés simultanément.
38
Sujet 5 | Corrigé
Partie B : Modèle logarithmique
1 a) La fonction g est dérivable sur l’intervalle [0, 5 ; +∞[ en tant que somme de
fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout x ∈ [0, 5 ; +∞[, g 0 (x) = 10 − x8 = x2 (5x − 4).
b) Pour tout x ∈ [0, 5 ; +∞[, x2 > 0 donc g 0 (x) est du signe de 5x − 4.
On a :
g 0 (x) > 0 ⇔ 5x − 4 > 0
g 0 (x) > 0 ⇔ 5x > 4
g 0 (x) > 0 ⇔ x > 45 = 0, 8
De même :
g 0 (x) < 0 ⇔ x < 0, 8
g 0 (x) = 0 ⇔ x = 0, 8
La fonction g est donc strictement décroissante sur l’intervalle [0, 5 ; 0, 8] et strictement croissante sur l’intervalle [0, 8 ; +∞[.
g(0, 5) = 10 × 0, 5 − 8 ln(0, 5) = 5 + 8 ln(2) ≈ 10, 55 au centième près.
g(0, 8) = 10 × 0, 8 − 8 ln(0, 8) = 8 − 8 ln(0, 8) ≈ 9, 79 au centième près.
2 a) La fonction G est dérivable sur [0, 5 ; +∞[ en tant que somme et produit de
fonctions dérivables sur cet intervalle.
En posant u(x) = −8x et v(x) = ln(x), on a u0 (x) = −8 et v 0 (x) = x1 , donc pour
tout x ∈ [0, 5 ; +∞[ :
G0 (x) = 10x + 8 + (u × v)0 (x)
39
Sujet 5 | Corrigé
G0 (x) = 10x + 8 + u0 (x) × v(x) + u(x) × v 0 (x)
G0 (x) = 10x + 8 − 8 ln(x) − 8x
x
G0 (x) = 10x − 8 ln(x)
G0 (x) = g(x)
La fonction G définie sur [0, 5 ; +∞[ par G(x) = 5x2 + 8x − 8x ln(x) est une
primitive de g sur [0, 5 ; +∞[.
b) D’après la question 2. a), on a :
R4
I = 21 2 g(x)dx
I = 12 [G(x)]42
I = 12 [5x2 + 8x − 8x ln(x)]42
I = 21 [5 × 42 + 8 × 4 − 8 × 4 ln(4) − (5 × 22 + 8 × 2 − 8 × 2 ln(2))]
I = 21 [80 + 32 − 32 ln(22 ) − (20 + 16 − 16 ln(2))]
I = 21 [112 − 64 ln(2) − 36 + 16 ln(2)]
I = 21 [76 − 48 ln(2)]
I = 38 − 24 ln(2)
R4
1
−2
près.
c) I = 4−2
2 g(x)dx = 38 − 24 ln(2) ≈ 21, 36 à 10
La durée moyenne de téléchargement lorsqu’il y a entre 2 000 et 4 000 téléchargements est d’environ 21,36 secondes.
Partie C
D’après la question 1. de la partie A, f (8) ≈ 96.
Aussi, g(8) = 10 × 8 − 8 ln(8) = 80 − 8 ln(8) = 63, 4 au dixième près.
f (8) est plus proche de 92 que g(8). Le modèle qui décrit donc le mieux la situation
pour cette vidéo est le modèle exponentiel de la fonction f .
40
Sujet 6
Liban, mai 2014, exercice 4
(6 points)
Partie A
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 5] par f (x) = x + 1 + e−x+0,5 .
On a représenté ci-dessous, dans un plan muni d’un repère orthonormé :
– la courbe C représentative de la fonction f ;
– la droite ∆ d’équation y = 1, 5x.
41
Sujet 6 | Énoncé
1 a) Vérifier que pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 5], on a :
f 0 (x) = 1 − e−x+0,5 où f 0 désigne la fonction dérivée de f .
Souvenez-vous que pour toute fonction u dérivable sur un intervalle I ,
(eu )0 = u0 eu sur I .
b) Résoudre dans l’intervalle [0 ; 5] l’équation f 0 (x) = 0.
Souvenez-vous que pour tout a ∈ R et b ∈ R∗+ , ea = b ⇔ a = ln(b).
c) Étudier le signe de f 0 (x) sur l’intervalle [0 ; 5].
Souvenez-vous que pour tout a ∈ R et b ∈ R∗+ :
– ea < b ⇔ a < ln(b) ;
– ea > b ⇔ a > ln(b).
d) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 5].
Déduisez les variations de la fonction f des résultats de la question 1. c).
2 On note α l’abscisse du point d’intersection de C et ∆.
a) Donner, par lecture graphique, un encadrement de α à 0, 5 près.
N’oubliez pas que α est à rechercher sur l’axe des abscisses.
b) Résoudre graphiquement sur l’intervalle [0 ; 5] l’inéquation f (x) < 1, 5x.
Il s’agit de déterminer sur l’axe des abscisses l’intervalle sur lequel la courbe C est
au-dessous de la droite ∆.
Partie B : Application
Une entreprise fabrique des cartes à puces électroniques à l’aide d’une machine.
La fonction f , définie dans la partie A, représente le coût d’utilisation de la machine
en fonction de la quantité x de cartes produites, lorsque x est exprimé en centaines
de cartes et f (x) en centaines d’euros.
1 a) Déduire de la partie A le nombre de cartes à produire pour avoir un coût minimal
d’utilisation de la machine.
Observez le tableau de variation de la question 1. d) de la partie A et faites attention
aux unités.
b) Chaque carte fabriquée par la machine est vendue 1,50 ¤.
La recette perçue pour la vente de x centaines de cartes vaut donc 1, 5x centaines
d’euros. Vérifier que le bénéfice obtenu, en centaines d’euros, par la vente de x centaines de cartes est donné par B(x) = 0, 5x − 1 − e−x+0,5 .
42
Sujet 6 | Énoncé
2 a) Montrer que la fonction B est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 5].
Souvenez-vous que pour toute fonction u dérivable sur un intervalle I ,
(eu )0 = u0 eu sur I .
b) Montrer que, sur l’intervalle [0 ; 5], l’équation B(x) = 0 admet une unique solu-
tion comprise entre 2, 32 et 2, 33.
Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires, puis calculez B(2, 32) et B(2, 33).
3 On dira que l’entreprise réalise un bénéfice lorsque B(x) > 0.
Indiquer la quantité minimale qui doit figurer sur le carnet de commandes de l’entreprise pour que celle-ci puisse réaliser un bénéfice.
Déduisez la réponse de la question 2. a) et de la question 2. b).
43
Sujet 6 | Corrigé
Partie A
1 a) La fonction f est dérivable sur l’intervalle [0 ; 5] en tant que somme de fonctions
dérivables sur cet intervalle.
Pour tout x ∈ [0 ; 5], f 0 (x) = 1 + (−1) × e−x+0,5 = 1 − e−x+0,5 .
b) On a :
f 0 (x) = 0 ⇔ 1 − e−x+0,5 = 0
f 0 (x) = 0 ⇔ e−x+0,5 = 1
f 0 (x) = 0 ⇔ −x + 0, 5 = ln(1) = 0
f 0 (x) = 0 ⇔ x = 0, 5
L’unique solution de l’équation f 0 (x) = 0 dans l’intervalle [0 ; 5] est x = 0, 5.
c) Soit x ∈ [0 ; 5]. On a :
f 0 (x) > 0 ⇔ 1 − e−x+0,5 > 0
f 0 (x) > 0 ⇔ e−x+0,5 < 1
f 0 (x) > 0 ⇔ −x + 0, 5 < ln(1) = 0
f 0 (x) > 0 ⇔ x > 0, 5
f 0 (x) > 0 sur l’intervalle [0, 5 ; 5].
Soit x ∈ [0 ; 5]. De même, on a :
f 0 (x) < 0 ⇔ 1 − e−x+0,5 < 0
f 0 (x) < 0 ⇔ e−x+0,5 > 1
f 0 (x) > 0 ⇔ −x + 0, 5 > ln(1) = 0
f 0 (x) < 0 ⇔ x < 0, 5
f 0 (x) < 0 sur l’intervalle [0 ; 0, 5].
d) D’après la question 1. c), la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle
[0 ; 0, 5] et strictement croissante sur l’intervalle [0, 5 ; 5].
√
f (0) = 1 + e0,5 = 1 + e ≈ 2, 65 au centième près.
f (0, 5) = 0, 5 + 1 + e−0,5+0,5 = 1, 5 + e0 = 1, 5 + 1 = 2, 5.
f (5) = 5 + 1 + e−5+0,5 = 6 + e−4,5 ≈ 6, 01 au centième près.
44
Sujet 6 | Corrigé
2 a) Par lecture graphique, on obtient l’encadrement à 0,5 près : 2 < α < 2, 5.
(Voir graphique.)
b) Pour x ∈ [0 ; 5], f (x) < 1, 5x lorsque le point d’abscisse x de la courbe C est
au-dessous de celui de la droite ∆.
En observant le graphique, les solutions de l’inéquation f (x) < 1, 5x sont l’intervalle
[α ; 5].
45
Sujet 6 | Corrigé
Partie B : Application
1 a) D’après la question 1. d) de la partie A, le minimum de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 5] est en x = 2, 5.
Le nombre de cartes à produire pour avoir un coût minimal d’utilisation de la machine
est donc 2, 5 × 100 = 250.
b) Soit x ∈ [0 ; 5].
La bénéfice, en centaines d’euros, de la vente de x centaines de cartes est :
B(x) = 1, 5x − f (x) = 1, 5x − (x + 1 + e−x+0,5 ) = 1, 5x − x − 1 − e−x+0,5 =
0, 5x − 1 − e−x+0,5 .
2 a) La fonction B est dérivable sur l’intervalle [0 ; 5] en tant que somme de fonc-
tions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout x ∈ [0 ; 5], B 0 (x) = 0, 5 − (−1) × e−x+0,5 = 0, 5 + e−x+0,5 > 0, la
fonction exponentielle étant strictement positive sur R.
La fonction B est donc strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 5].
b) La fonction B est continue et strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 5].
√
De plus, B(0) = −1 − e0,5 = −1 − e < 0 et B(5) = 0, 5 × 5 − 1 − e−5+0,5 =
1, 5 − e−4,5 ≈ 1, 49 donc B(5) > 0.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation B(x) = 0 admet une
unique solution dans l’intervalle [0 ; 5].
B(2, 32) = 0, 5×2, 32−1− e−2,32+0,5 = 1, 16−1− e−2,32+0,5 = 0, 16− e−1,82 ≈
−0, 002 au millième près donc B(2, 32) < 0.
B(2, 33) = 0, 5 × 2, 33 − 1 − e−2,33+0,5 = 1, 165 − 1 − e−2,33+0,5 = 0, 165 −
e−1,83 ≈ 0, 005 au millième près donc B(2, 33) > 0.
L’équation B(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0 ; 5] et elle est
comprise entre 2, 32 et 2, 33.
3 D’après la question 2. a), la fonction B est strictement croissante sur l’intervalle
[0 ; 5].
D’après la question 2. b), l’équation B(x) = 0 admet une unique solution dans
l’intervalle [0 ; 5] qui est comprise entre 2, 32 et 2, 33.
La quantité minimale qui doit figurer sur le carnet de commandes de l’entreprise pour
qu’elle réalise un bénéfice est de 2, 33 × 100 = 233 cartes à puces électroniques.
46
Sujet 7
Nouvelle-Calédonie, mars 2014, exercice 3
(5 points)
Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquez si elle est vraie ou fausse et justifiez la réponse.
1 La fonction G définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par G(x) = x ln x − x + 10
est une primitive de la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; ∞[ par g(x) = ln x.
Vérifiez que la fonction G est telle que G0 (x) = g(x) pour tout x ∈ ]0 ; +∞[.
2 On a l’égalité :
R1
0
(x2 + 1)dx = 13 .
Commencez par déterminer une primitive de la fonction x 7→ x2 + 1 sur l’intervalle
[0 ; 1].
3 Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 1]. On a
alors : E(X) = 1.
Souvenez-vous de la formule donnant l’espérance d’une variable aléatoire X qui suit
la loi uniforme sur l’intervalle [a ; b].
4 Dans une population, la proportion de garçons à la naissance est p = 0, 51.
L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de
garçons dans un échantillon de taille 100 est (en arrondissant les bornes à
0,001 près) : [0, 412 ; 0, 608].
Souvenez-vous de l’expression de l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil
de 95 % pour n = 100 et p = 0, 51.
Pensez aussi à vérifier que les conditions sont remplies.
47
Sujet 7 | Corrigé
1 Vérifions que la dérivée de la fonction G sur ]0 ; +∞[ est la fonction g .
La fonction G est dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[ en tant que produit et somme
de fonctions dérivables sur cet intervalle.
En posant u(x) = x et v(x) = ln x, on a u0 (x) = 1 et v 0 (x) = x1 donc, pour tout
x ∈]0 ; +∞[ :
G0 (x) = (u×v)0 (x)−1 = u0 (x)×v(x)+u(x)×v 0 (x)−1 = 1× ln x+x× x1 −1 =
ln x + 1 − 1 = ln x = g(x).
La fonction G est une primitive de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
L’affirmation est donc vraie.
2 Une primitive de la fonction :
x 7→ x2 + 1 sur l’intervalle [0 ; 1] est la fonction x 7→
On a donc :
R1 2
x3
1
0 (x + 1)dx = [ 3 + x]0 =
1
3
+ 1 − ( 30 + 0) =
1
3
x3
3
+ x.
+1=
4
3
6= 13 .
L’affirmation est donc fausse.
3 L’espérance d’une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l’intervalle
Rb x
dx = a+b
.
[a ; b] (a < b) est E(x) = a b−a
2
L’espérance de la variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 1]
= 12 =
6 1.
est donc E(x) = 0+1
2
L’affirmation est donc fausse.
4 Si n = 100 et p = 0, 51, on a bien que 0 < p = 0, 51 < 1, n = 100 > 30,
np = 0, 51 × 100 = 51 > 5 et n(1 − p) = 100 × 0, 49 = 49 > 5.
L’intervalle
de fluctuation
au seuil de
de garçons est :
p 95 proportion
p
i
h
p(1−p)
p(1−p)
√
√
; p + 1, 96
avec n = 100 et p = 0, 51 donc
I = p − 1, 96
n
n
p
p
h
i
0,51(1−0,51)
0,51(1−0,51)
√
√
I = 0, 51 − 1, 96
;
0,
51
+
1,
96
100
100
I = [0, 412 ; 0, 608] en arrondissant les bornes à 0, 001 près.
L’affirmation est donc vraie.
48
Sujet 8
Nouvelle-Calédonie, mars 2014, exercice 4
(5 points)
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [2 ; 5] par f (x) = (3 − x)ex + 1.
Soit f 0 sa fonction dérivée et soit f ” sa fonction dérivée seconde.
1 Montrez que, pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle [2 ; 5],
f 0 (x) = (2 − x)ex et f ”(x) = (1 − x)ex .
Souvenez-vous que pour toutes fonctions u et v dérivables un intervalle I ,
(u × v)0 = u × v 0 + u0 × v sur l’intervalle I .
2 Étudiez les variations de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 5].
Commencez par expliquer pourquoi f 0 (x) est du signe de 2 − x sur l’intervalle [2 ; 5].
3 Justifiez que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle
[2 ; 5]. Montrez que : 3 < α < 4.
Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.
4 a) Soit T la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse 3. Montrez que T a pour équation y = −e3 x + 3e3 + 1.
Souvenez-vous de la formule de l’équation de la tangente à la courbe représentative
d’une fonction f au point d’abscisse a.
b) Déterminez les coordonnées du point d’intersection de la droite T et de l’axe des
abscisses.
Remarquez que l’équation de l’axe des abscisses est y = 0.
c) Étudiez le signe de f 00 (x) sur l’intervalle [2 ; 5] et déduisez-en la convexité ou la
concavité de f sur cet intervalle.
Commencez par expliquer pourquoi f 00 (x) est du signe de 1 − x sur l’intervalle [2 ; 5].
Rappels de cours :
f (deux fois dérivable) est convexe sur un intervalle I ⇔ f 00 est positive sur I .
f (deux fois dérivable) est concave sur un intervalle I ⇔ f 00 est négative sur I .
d) Vous devez en déduire que : α < 3 + e13 . On a donc : α < 3 + e13 < 3, 05.
Souvenez-vous que si une fonction est concave sur un intervalle I alors sa courbe représentative est au-dessous de toutes ses tangentes en les points d’abscisse x de I .
Comparez les ordonnées du point d’abscisseαde la courbe et du point d’abscisse α de
la tangente au point d’abscisse 3.
49
Sujet 8 | Énoncé
5 On considère l’algorithme suivant :
Variables :
a, b, m et r sont des nombres réel
Initialisation :
Affecter à a la valeur 3
Affecter à b la valeur 3,05
Entrée :
Saisir r
Traitement :
Tant que (b − a) > r
Affecter à m la valeur = a+b
2
Si f (m) > 0
Alors Affecter à a la valeur m
Sinon Affecter à b la valeur m
Fin SI
Fin Tant que
Sortie :
Afficher a
Afficher b
a) Faites fonctionner l’algorithme précédent avec r = 0, 01 en recopiant et complé-
tant le tableau ci-dessous. Vous arrondirez au millième les valeurs de f (m).
Initialisation
étape 1
étape 2
étape 3
b−a
(b − a) > r
m
f (m)
f (m) > 0
0, 05
oui
3, 025
0, 485
oui
Il y a quatre étapes dans le tableau.
b) Interprétez les résultats trouvés pour a et b à la fin de l’étape 3.
Que pouvez-vous dire à propos de a et de b dans cet algorithme ?
50
a
3
3, 025
b
3, 05
3, 05
Sujet 8 | Corrigé
1 La fonction f est dérivable sur [2 ; 5] en tant que produit et somme de fonctions
dérivables sur cet intervalle.
En posant u(x) = 3 − x et v(x) = ex , on a u0 (x) = −1 et v 0 (x) = ex donc, pour
tout x ∈ [2 ; 5] :
f 0 (x) = (u × v)0 (x) car la dérivée d’une fonction constante est la fonction nulle.
f 0 (x) = u0 (x) × v(x) + u(x) × v 0 (x)
f 0 (x) = −ex + (3 − x)ex
f 0 (x) = (3 − x − 1)ex
f 0 (x) = (2 − x)ex .
De même, la fonction f 0 est dérivable sur [2 ; 5] en tant que produit de fonctions
dérivables sur cet intervalle.
En posant u(x) = 2 − x et v(x) = ex , on a u0 (x) = −1 et v 0 (x) = ex donc, pour
tout x ∈ [2 ; 5] :
f 00 (x) = (u × v)0 (x)
f 00 (x) = u0 (x) × v(x) + u(x) × v 0 (x)
f 00 (x) = −ex + (2 − x)ex
f 00 (x) = (2 − x − 1)ex
f 00 (x) = (1 − x)ex .
2 Pour tout x ∈ [2 ; 5], f 0 (x) = (2 − x)ex , donc f 0 (x) est du signe de 2 − x sur
cet intervalle car l’exponentielle est toujours positive.
Or pour tout x ∈ [2 ; 5], x > 2 donc 2 − x < 0 et f 0 (x) < 0.
La fonction f est donc strictement décroissante sur l’intervalle [2 ; 5].
3 La fonction f est continue et strictement décroissante sur l’intervalle [2 ; 5].
De plus, f (2) = (3 − 2)e2 + 1 = e2 + 1 > 0 et f (5) = (3 − 5)e5 + 1 = 1 − 2e5 < 0.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f (x) = 0 admet une
unique solution α dans l’intervalle [2 ; 5].
On a aussi f (3) = (3 − 3)e3 + 1 = 1 > 0 et f (4) = (3 − 4)e4 + 1 = 1 − e4 < 0
donc, 3 < α < 4.
4 a) L’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a
est y = f 0 (a)(x − a) + f (a).
51
Sujet 8 | Corrigé
Ici, a = 3, donc l’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point
d’abscisse 3 est :
y = f 0 (3)(x − 3) + f (3)
y = −e3 (x − 3) + 1 car f (3) = 1 et f 0 (3) = (2 − 3)e3 = −e3
y = −e3 x + 3e3 + 1.
b) Soit M(x ; y) le point d’intersection de la droite T et de l’axe des abscisses.
L’équation de l’axe des abscisses est y = 0 et l’équation de la droite T est :
y = −e3 x + 3e3 + 1 donc les coordonnées de M vérifient :
3
y = 0, soit −e3 x + 3e3 + 1 = 0, donc e3 x = 3e3 + 1, puis x = 3ee3+1 = 3 + e13
= 3 + e−3 .
Le point d’intersection de la droite T et de l’axe des abscisses est le point de coordonnées (3 + e−3 ; 0).
c) Pour tout x ∈ [2 ; 5], f 00 (x) = (1 − x)ex , donc f 00 (x) est du signe de 1 − x sur
cet intervalle car l’exponentielle est toujours positive.
Or pour tout x ∈ [2 ; 5], x > 1 donc 1 − x < 0 et f 00 (x) < 0.
Or une fonction f (deux fois dérivable) est concave sur un intervalle I si et seulement
si f 00 est négative sur I . La fonction f est donc concave sur l’intervalle [2 ; 5].
d) La fonction f est concave sur l’intervalle [2 ; 5] donc sa courbe représentative est
au-dessous de toutes ses tangentes en les points d’abscisse x de [2 ; 5].
En particulier, le point de cette courbe de coordonnées (α ; f (α) = 0) est en dessous du point d’abscisse α de la tangente à la courbe représentative de f au point
d’abscisse 3.
L’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 3 est y = −e3 x+3e3 +1
donc :
3
f (α) = 0 < −e3 × α + 3e3 + 1, c’est-à-dire e3 × α < 3e3 + 1 puis α < 3ee3+1 et
α < 3 + e13 .
D’après la question 3., 3 < α < 3+ e13 < 3, 05 (valeur approchée par excès à 10−2 près).
52
Sujet 8 | Corrigé
5 a) En faisant fonctionner l’algorithme avec r = 0, 01, on obtient le tableau suivant :
b−a
Initialisation
étape 1
étape 2
étape 3
étape 4
0, 05
0, 025
0, 0125
0, 00625
(b − a) > r
oui
oui
oui
non
m
f (m)
3, 025
3, 0375
3, 04375
0, 485
0, 218
0, 082
f (m) >
0
oui
oui
oui
a
b
3
3, 05
3, 025
3, 0375
3, 04375
3, 05
3, 05
3, 05
b) Les valeurs a et b de l’étape 3 sont deux valeurs telles que a < α < b et b−a 6 0, 01 :
elles permettent d’obtenir un encadrement d’amplitude inférieure à 0, 01 de α qui est
la solution de l’équation f (x) = 0.
D’après le tableau, on a 3, 04375 < α < 3, 05 donc 3, 04 < α < 3, 05.
Remarque : cette méthode est appelée « méthode par dichotomie » car l’intervalle
de recherche de la solution est deux fois plus petit à chaque étape.
53
Sujet 9
Sujet national, juin 2013, exercice 3
(5 points)
Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l’industrie automobile. On suppose
que toute la production est vendue.
L’entreprise peut fabriquer entre 0 et 3 600 poulies par semaine. On note x le nombre
de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine, x varie donc dans l’intervalle [0 ; 3, 6].
Le bénéfice hebdomadaire est noté B(x), il est exprimé en milliers d’euros.
L’objet de cet exercice est d’étudier cette fonction B .
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.
Partie A : Étude graphique
On a représenté la fonction B dans un repère du plan.
Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant le cas.
Vous laisserez les traits utiles à la compréhension du raisonnement sur le graphique
et vous rendrez une réponse écrite sur la copie pour chaque question posée.
1 Déterminez dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bé-
néfice soit supérieur ou égal à 13 000 euros.
Remarquez qu’il s’agit de résoudre graphiquement l’inéquation B(x) > 13.
2 Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l’entreprise ?
Pour quel nombre N de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé ?
Vous devez chercher la valeur maximale de la fonction B , ainsi que son antécédent
par B .
54
Sujet 9 | Énoncé
55
Sujet 9 | Énoncé
Partie B : Étude théorique
Le bénéfice hebdomadaire noté B(x), exprimé en milliers d’euros vaut :
B(x) = −5 + (4 − x)ex .
1 a) On note B 0 la fonction dérivée de la fonction B .
Montrez que pour tout réel x de l’intervalle I = [0 ; 3, 6], on a : B 0 (x) = (3 − x)ex .
Souvenez-vous que pour toutes fonctions u et v dérivables un intervalle I ,
(uv)0 = uv 0 + u0 v sur l’intervalle I .
b) Déterminez le signe de la fonction dérivée B 0 sur l’intervalle I .
Commencez par expliquer pourquoi B 0 (x) est du signe de 3 − x sur l’intervalle I .
c) Dressez le tableau de variation de la fonction B sur l’intervalle I . Vous indiquerez
les valeurs de la fonction aux bornes de l’intervalle.
Pensez à calculer B(0), B(3) et B(3, 6).
2 a) Justifiez que l’équation B(x) = 13 admet deux solutions x1 et x2 , l’une dans
l’intervalle [0 ; 3] l’autre dans l’intervalle [3 ; 3, 6].
Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires dans l’intervalle [0 ; 3], puis dans l’intervalle [3 ; 3, 6].
b) À l’aide de la calculatrice, déterminez une valeur approchée à 0, 01 près de chacune
des deux solutions.
Vous devez trouver pour x1 une valeur qui est proche de 2, 5 et pour x2 une valeur qui
est proche de 3, 5.
56
Sujet 9 | Corrigé
Partie A : Étude graphique
1 Il s’agit de résoudre graphiquement l’inéquation B(x) > 13.
Graphiquement, les antécédents de 13 par B sont 2, 5 (à 0, 1 près) et 3, 4 (à 0, 1
près) et l’intervalle recherché est [2, 5 ; 3, 4] (à 0, 1 près). Pour que le bénéfice soit
supérieur ou égal à 13 000 euros, le nombre de poulies doit être compris entre 2 500
et 3 400 (à cent poulies près). Voir la figure de la question 2.
57
Sujet 9 | Corrigé
2 Graphiquement, le maximum de B est environ 15, 1 (à 0, 1 près). Donc le bénéfice
maximum envisageable pour l’entreprise est de 15 100 ¤ (à cent euros près). Ce
maximum est atteint en x ≈ 3 (à 0, 1 près) donc le bénéfice maximum envisageable
l’est pour N = 3 000 poulies fabriquées et vendues, à cent poulies près.
Partie B : Étude théorique
1 a) La fonction B est dérivable sur l’intervalle I en tant que somme et produit de
fonctions dérivables sur cet intervalle.
En posant u(x) = 4 − x et v(x) = ex pour x ∈ I , on a u0 (x) = −1 et v 0 (x) = ex , et
pour tout x ∈ I , on a B 0 (x) = (u × v)0 (x), car la dérivée d’une fonction constante
est la fonction nulle.
Ainsi, pour tout x ∈ I ,
B 0 (x) = u0 (x) × v(x) + u(x) × v 0 (x)
B 0 (x) = (−1) × ex + (4 − x)ex
B 0 (x) = (−1 + 4 − x)ex
B 0 (x) = (3 − x)ex .
Pour tout x ∈ [0 ; 3, 6], B 0 (x) = (3 − x)ex .
b) Pour tout x ∈ [0 ; 3, 6], B 0 (x) = (3 − x)ex , donc B 0 (x)) est du signe de 3 − x
sur cet intervalle car l’exponentielle est toujours positive.
On a donc :
B 0 (x) > 0 et x ∈ I ⇔ 3 − x > 0 et x ∈ I ⇔ x < 3 et x ∈ I ⇔ 0 6 x < 3 ;
B 0 (x) < 0 et x ∈ I ⇔ 3 − x < 0 et x ∈ I ⇔ x > 3 et x ∈ I ⇔ 3 < x 6 3, 6 ;
B 0 (x) = 0 et x ∈ I ⇔ x = 3.
La fonction B est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 3] et strictement décroissante sur l’intervalle [3 ; 3, 6]
Remarque : le maximum de la fonction B est bien atteint en x = 3 (question 2.,
partie A).
c) Pour compléter le tableau de variation, on calcule :
B(0) = −5 + (4 − 0)e0 = −5 + 4 = −1 ;
B(3) = −5 + (4 − 3)e3 = −5 + e3 ≈ 15, 1 (à 0, 1 près) ;
B(3, 6) = −5 + (4 − 3, 6)e3,6 = −5 + 0, 4e3,6 ≈ 9, 6 (à 0, 1 près).
On obtient le tableau de variation suivant pour la fonction B :
58
Sujet 9 | Corrigé
2 a) B est continue et strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 3].
De plus, B(0) = −1 < 13 et B(3) ≈ 15, 1 (à 0, 1 près), donc B(3) > 13.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation B(x) = 13 admet une
unique solution x1 sur l’intervalle [0 ; 3] (et x1 6= 3 car B(3) 6= 13).
De même, B est continue et strictement décroissante sur l’intervalle [3 ; 3, 6], B(3)
> 13 et B(3, 6) ≈ 9, 6 (à 0, 1 près), donc B(3, 6) < 13.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation B(x) = 13 admet une
unique solution x2 sur l’intervalle [3 ; 3, 6] (et x2 6= 3 car B(3) 6= 13).
Finalement, l’équation B(x) = 13 admet deux solutions (distinctes) x1 et x2 , l’une
dans l’intervalle [0 ; 3] et l’autre dans l’intervalle [3 ; 3, 6].
b) À l’aide d’un tableau de valeurs :
– B(2) ≈ 9, 8 et B(3) ≈ 15, 1 à 0, 1 près donc 2 < x1 < 3 ;
– B(2, 4) ≈ 12, 6 et B(2, 5) ≈ 13, 3 à 0, 1 près donc 2, 4 < x1 < 2, 5 ;
– B(2, 45) ≈ 12, 96 et B(2, 46) ≈ 13, 03 à 0, 01 près donc 2, 45 < x1 < 2, 46.
Une valeur approchée de x1 à 0, 01 près est donc x1 ≈ 2, 45.
De même :
– B(3, 3) ≈ 13, 98 et B(3, 4) ≈ 12, 98 à 0, 01 près donc 3, 3 < x2 < 3, 4 ;
– B(3, 39) ≈ 13, 10 et B(3, 40) ≈ 12, 98 à 0, 01 près donc 3, 39 < x2 < 3, 40.
Une valeur approchée de x2 à 0, 01 près est donc x2 ≈ 3, 40.
59
Sujet 10
Sujet national, juin 2013, exercice 4
(5 points)
Dans cet exercice on étudie l’évolution de la dépense des ménages français en programmes audiovisuels (redevance audiovisuelle, billets de cinémas, vidéos...).
On note Dn la dépense des ménages en programmes audiovisuels, exprimée en milliards d’euros, au cours de l’année 1995+ n.
année
n
Dn
1995
0
4, 95
1996
1
5, 15
1997
2
5, 25
1998
3
5, 4
1999
4
5, 7
2000
5
6, 3
2001
6
6, 55
2002
7
6, 9
année
n
Dn
2003
8
7, 3
2004
9
7, 75
2005
10
7, 65
2006
11
7, 79
2007
12
7, 64
2008
13
7, 82
2009
14
7, 89
2010
15
8, 08
Soit f la fonction définie, pour tout nombre réel x, par f (x) = −0, 0032x3 +
0, 06x2 + 5.
Pour tout entier n vérifiant 0 6 n 6 20, on décide de modéliser la dépense des ménages français en programmes audiovisuels exprimée en milliards d’euros, au cours
de l’année n par le nombre f (n).
1 Calculez f (5).
Vous devez trouver pour f (5) une valeur qui est comprise entre 5 et 8.
2 Déterminez le pourcentage p, de l’erreur commise en remplaçant D5 par f (5).
estimée
Le pourcentage d’erreur est obtenu par le calcul p = valeur réelle-valeur
et le résultat
valeur réelle
sera donné à 0,1 % près.)
Vous devez trouver pour p un pourcentage proche de 3 %.
3 En utilisant la fonction f , quelle estimation de la dépense totale peut-on effectuer
pour l’année 2013 ? Vous arrondirez le résultat au centième de milliard d’euros.
À quelle valeur de n correspond l’année 2013 ?
60
Sujet 10 | Énoncé
4 On veut utiliser la fonction f pour estimer la dépense moyenne des ménages entre
le 1er janvier 1995 et le 1er janvier 2015.
R 20
1
On calcule pour cela M = 20
0 f (x)dx.
a) Déterminez une primitive F de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 20].
Pour déterminer une primitive de la fonction f , déterminez une primitive de chacun de
ses monômes.
b) Calculez M .
Souvenez-vous que si F est une primitive de f sur l’intervalle [0 ; 20],
R 20
f (x)dx = f (20) − f (0).
0
61
Sujet 10 | Corrigé
1 Pour x ∈ [0 ; 20],
f (x) = −0, 0032x3 + 0, 06x2 + 5.
Donc pour x = 5 :
f (5) = −0, 0032 × 53 + 0, 06 × 52 + 5 = 6, 1.
En utilisant la fonction f , la dépense totale des ménages français en programmes
audiovisuels en 2000 est estimée à 6,1 milliards d’euros.
D −f (5)
2 On a p = 5 D5 = 6,3−6,1
≈ 0, 032 à 0, 001 près, soit 3,2 % à 0,1 % près.
6,3
Le pourcentage d’erreur en remplaçant D5 par f (5) est de 3,2 % à 0,1 % près.
3 Pour l’année 2013, on a n = 18, donc on doit calculer f (18) :
f (18) = −0, 0032 × 183 + 0, 06 × 182 + 5 ≈ 5, 78 au centième près.
En 2013, une estimation de la dépense totale des ménages français en programmes
audiovisuels est de 5,78 milliards d’euros, au centième de milliards d’euros près.
4 a) La fonction f est continue sur l’intervalle [0 ; 20], donc elle admet des primitives
sur cet intervalle. Une primitive de la fonction f définie par f (x) = −0, 0032x3 +
0, 06x2 + 5 sur l’intervalle [0 ; 20] est la fonction F définie, pour tout x ∈ [0 ; 20],
par :
4
3
F (x) = −0, 0032 x4 + 0, 06 x3 + 5x = −0, 0008x4 + 0, 02x3 + 5x.
b) La fonction F définie sur l’intervalle [0 ; 20] par F (x) = −0, 0008x4 + 0, 02x3 +
5x étant une primitive de f sur cet intervalle, on a :
R 20
1
1
20
M = 20
0 f (x)dx = 20 [F (x)]0
(0)
M = F (20)−F
20
4
3 +5×20
4
3 +5×0
M = −0,0008×20 +0,02×20
− −0,0008×0 +0,02×0
20
20
M = −128+160+100−0
20
M = 132
20
M = 6, 6.
La dépense moyenne des ménages français en programmes audiovisuels entre le
1er janvier 1995 et le 1er janvier 2015 est de 6,6 milliards d’euros.
62
Sujet 11
Sujet national, septembre 2013, exercice 2
(5 points)
On considère une fonction f définie sur l’intervalle [−1 ; 3], deux fois dérivable sur
cet intervalle et dont la représentation Cf dans un repère orthonormé est proposée
ci-contre.
On désigne par f 0 la fonction dérivée de f , par f ” la fonction dérivée seconde de f ,
par F une primitive de f . (On admet l’existence de F .)
La droite D est tangente à Cf au point A d’abscisse 1, seul point en lequel la courbe
traverse la tangente.
L’axe des abscisses est tangent à Cf au point d’abscisse 2.
La tangente à Cf au point d’abscisse 0 est la droite d’équation y = 4.
63
Sujet 11 | Énoncé
Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des quatre propositions est exacte.
Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la proposition choisie.
Une réponse juste apporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou
l’absence de réponse ne rapportent ni n’enlèvent aucun point.
1 a) f est convexe sur l’intervalle [−1 ; 0].
b) f est concave sur l’intervalle ]1 ; 2[.
c) f est convexe sur l’intervalle ]1 ; 3[.
d) Cf est au dessus de sa tangente au point d’abscisse −1.
Souvenez-vous de la définition d’une fonction convexe et d’une fonction concave sur
un intervalle.
2 a) f (1) = 5
b) f 0 (1) = 2
c) f ”(1) = −3
d) La tangente à Cf au point d’abscisse 1 a pour équation y = −3x + 5.
Interprétez graphiquement les valeurs f (1), f 0 (1), f 00 (1) et déterminez l’équation de
la tangente à Cf au point d’abscisse 1.
3 a) f 0 (x) > 0 pour tout x de l’intervalle ] − 1 ; 2[.
b) f 0 est croissante sur l’intervalle ]1 ; 2[.
c) f (x) = 0 si et seulement si x = 0 ou x = 2
d) f 0 (x) 6 0 pour tout x de l’intervalle ] − 2 ; −1[.
Interprétez graphiquement chaque proposition.
R0
4 a) −1 f (x)dx < 0
R2
b) 3 < 0 f (x)dx < 6
R0
R2
c) −1 f (x)dx = 0 f (x)dx
d) La valeur moyenne de f sur l’intervalle [0 ; 2] est égale à 1.
Interprétez graphiquement chaque intégrale et calculez la valeur moyenne.
5 a) f 0 est croissante sur l’intervalle ] − 1 ; 2[.
b) F est croissante sur l’intervalle ] − 1 ; 2[.
c) f est croissante sur l’intervalle ] − 1 ; 2[.
d) F (−1) > F (2)
Interprétez graphiquement les trois premières propositions et remarquez que F (2) −
F (−1) peut s’exprimer sous la forme d’une intégrale.
64
Sujet 11 | Corrigé
1 c) f est convexe sur l’intervalle ]1 ; 3[.
f n’est pas convexe sur l’intervalle [−1 ; 0] car Cf n’est pas au-dessus de toutes ses
tangentes en les points d’abscisse appartenant à cet intervalle.
f n’est pas concave sur l’intervalle ]1 ; 2[ car Cf n’est pas au-dessous de toutes ses
tangentes en les points d’abscisse appartenant à cet intervalle.
On observe que Cf est au-dessous de sa tangente au point d’abscisse −1.
f est bien convexe sur l’intervalle ]1 ; 3[ car Cf est au-dessus de toutes ses tangentes
en les points d’abscisse appartenant à cet intervalle.
2 d) La tangente à Cf au point d’abscisse 1 a pour équation y = −3x + 5.
f (1) = 2.
f 0 (1) est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d’abscisse 1 donc, graphiquement, f 0 (1) = −3.
Cf traverse sa tangente en A(1 ; f (1)) donc A est un point d’inflexion pour cette
courbe et f 00 (1) = 0.
La tangente à Cf au point d’abscisse 1 a bien pour équation y = −3x + 5 : son
coefficient directeur est f 0 (1) = −3 et son ordonnée à l’origine est 5.
3 b) f 0 est croissante sur l’intervalle ]1 ; 2[.
f n’est pas strictement croissante sur ] − 1 ; 2[ donc la proposition a) est fausse.
f (x) = 0 si et seulement si x = −1 ou x = 2 donc la proposition c) est fausse.
f n’est pas décroissante sur ] − 2 ; −1[ donc la proposition d) est fausse.
Cf est au-dessus de toutes ses tangentes sur l’intervalle ]1 ; 2[ donc elle est convexe
sur cet intervalle. Finalement, f 0 est croissante sur l’intervalle ]1 ; 2[.
R2
4 b) 3 < 0 f (x) dx < 6.
R0
f (x) > 0 pour tout x ∈ [−1 ; 0], donc −1 f (x) dx > 0.
En notant A l’aire de la surface comprise entre Cf , l’axe des abscisses et les droites
d’équation x = −1 et x = 0, et A0 l’aire de la surface comprise entre Cf , l’axe des
abscisses et les droites d’équation x = 0 et x = 2, on observe graphiquement que
A 6= A 0 .
R2
0 f (x) dx est égale à l’aire (en unités d’aire) de la surface comprise entre Cf , l’axe
des abscisses et les droites d’équation x = 0 et x = 2.
Cette aire est comprise entre celle du trapèze OBAC qui est 3 u.a. et celle de la figure
OCEAFG qui est 6 u.a.
65
Sujet 11 | Corrigé
1
La valeur moyenne de f sur l’intervalle [0 ; 2] est 2−0
entre 1, 5 et 3. Elle ne peut donc pas être égale à 1.
R2
0
f (x) dx, qui est comprise
5 b) F est croissante sur l’intervalle ] − 1 ; 2[.
f 0 n’est pas croissante sur l’intervalle ] − 1 ; 2[ car f n’est pas convexe sur cet
intervalle : f est concave sur [−1 ; 1] et convexe sur [1 ; 2].
f n’est pas croissante sur l’intervalle ]−1 ; 2[ car elle est décroissante sur l’intervalle
[0 ; 2].
R2
F (2) − F (−1) = −1 f (x)dx qui est positive donc F (−1) 6 F (2).
Pour tout x ∈] − 1 ; 2[, f (x) = F 0 (x) > 0 donc F est croissante sur l’intervalle
] − 1 ; 2[.
66
Sujet 12
Sujet national, septembre 2013, exercice 3
(5 points)
Partie A
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [−10 ; 30] par f (x) = 5 + xe0,2x−1 .
On admet que f est dérivable sur cet intervalle et admet des primitives sur cet intervalle.
1 Soit f 0 la fonction dérivée de la fonction f .
Montrez que, pour tout réel x de l’intervalle [−10 ; 30], f 0 (x) = (0, 2x + 1)e0,2x−1 .
Faites attention car il y a un produit dans l’expression de f et souvenez-vous que pour
toute fonction u dérivable sur un intervalle I , (eu )0 = u0 eu sur I .
2 Vous devez en déduire le sens de variation de f sur l’intervalle [−10 ; 30].
Étudiez le signe de f 0 (x) sur l’intervalle [−10 ; 30] en remarquant que l’exponentielle
est toujours positive.
3 Justifiez que l’équation f (x) = 80 admet une solution unique α dans l’intervalle
[0 ; 20] et donnez un encadrement de α à 0,1 près.
Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.
4 Soit F la fonction définie sur [−10 ; 30] par F (x) = 5(x − 5)e0,2x−1 + 5x.
On admet que F est une primitive de f dans l’intervalle [−10 ; 30].
R 10
a) Calculez la valeur exacte de I = 5 f (x)dx.
F étant une primitive de la fonction f , remarquez que l’on a I =
[F (x)]10
5 .
R 10
5
f (x)dx =
b) Vous devez en déduire la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [5 ; 10].
(Vous donnerez une valeur arrondie au centième.)
Utilisez le résultat de la question 4. a).
67
Sujet 12 | Énoncé
Partie B
En 2010, un styliste a décidé d’ouvrir des boutiques de vêtements à prix modérés, tout
d’abord dans son pays d’origine, puis dans la communauté européenne et au niveau
mondial.
Il a utilisé la fonction f définie dans la partie A mais seulement sur l’intervalle [0 ; 20]
pour modéliser son développement et a désigné par f (x) le nombre de magasins de
son enseigne existant en 2010 + x.
1 Calculez f (0) et interprétez le résultat.
Vous devez trouver pour la valeur de f (0) un nombre entier.
2 En utilisant la partie A, indiquez à partir de quelle année la chaîne possédera
80 boutiques.
Utilisez la question 3. de la partie A.
3 Chaque magasin a un chiffre d’affaires journalier moyen de 2 500 euros. Si on
considère qu’un magasin est ouvert 300 jours par an, calculez à la centaine d’euros
près, le chiffre d’affaires annuel moyen que le styliste peut espérer pour l’ensemble
de ses boutiques entre 2015 et 2020.
Utilisez la question 4. b) de la partie A.
68
Sujet 12 | Corrigé
Partie A
1 La fonction f est dérivable sur l’intervalle [−10 ; 30] en tant que somme et produit
de fonctions dérivables sur cet intervalle.
En posant u(x) = x et v(x) = e0,2x−1 pour x ∈ [−10 ; 30], on a u0 (x) = 1 et
v 0 (x) = 0, 2e0,2x−1 , donc :
f 0 (x) = (u × v)0 (x) = u0 (x) × v(x) + u(x) × v 0 (x) = 1 × e0,2x−1 + x × 0, 2e0,2x−1
= (0, 2x + 1)e0,2x−1 pour tout x ∈ [−10 ; 30].
2 Pour tout x ∈ [−10 ; 30], e0,2x−1 > 0 donc f 0 (x) = (0, 2x + 1)e0,2x−1 est du
signe de 0, 2x + 1.
f 0 (x) > 0 ⇔ 0, 2x + 1 > 0 ⇔ 0, 2x > −1 ⇔ x >
0
f (x) < 0 ⇔ 0, 2x + 1 < 0 ⇔ 0, 2x < −1 ⇔ x <
−1
0,2
−1
0,2
= −1 × 5 = −5.
= −1 × 5 = −5.
0
f (x) = 0 ⇔ 0, 2x + 1 = 0 ⇔ x = −5.
La fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle [−10 ; −5] et strictement
croissante sur l’intervalle [−5 ; 10].
3 La fonction f est continue et strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 20].
De plus, f (0) = 5 + 0 × e0,2×0−1 = 5 et f (20) = 5 + 20 × e0,2×20−1 = 5 + 20 × e3
= 407 à l’unité près, donc f (0) < 80 et f (20) > 80.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f (x) = 80 admet une
unique solution α dans l’intervalle [0 ; 20].
À l’aide d’un premier tableau de valeurs : 13 < α < 14.
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f (x)
5
5, 449328964
6, 097623272
7, 010960138
8, 274923012
10
12, 32841655
15, 44277288
19, 5769504
69
Sujet 12 | Corrigé
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
25, 02986836
32, 18281828
41, 52128615
53, 6623996
69, 38942152
89, 6950645
115, 8358415
149, 400216
192, 3939985
247, 3472846
317, 4482887
406, 7107385
À l’aide d’un second tableau de valeurs : 13, 5 < α < 13, 6.
x
13
13, 1
13, 2
13, 3
13, 4
13, 5
13, 6
13, 7
13, 8
13, 9
14
f (x)
69, 38942152
71, 19548315
73, 04823756
74, 94883423
76, 89845001
78, 89828979
80, 94958711
83, 05360489
85, 21163604
87, 42500422
89, 6950645
4 a) La fonction F définie sur [−10 ; 30] par F (x) = 5(x − 5)e0,2x−1 + 5x est une
primitive de f sur cet intervalle. On a donc :
R 10
I = 5 f (x)dx
I
I
I
I
I
= [5(x − 5)e0,2x−1 + 5x]10
5
0,2×10−1
= 5(10 − 5)e
+ 5 × 10 − (5 × (5 − 5)e0,2×5−1 + 5 × 5)
= 25e + 50 − 25
= 25e + 25
= 25(e + 1).
70
Sujet 12 | Corrigé
b) La valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [5 ; 10] est :
R 10
1
µ = 10−5
5 f (x)dx =
centième près.
1
5
R 10
5
f (x)dx =
1
5
× 25(e + 1) = 5(e + 1) ≈ 18, 59 au
Partie B
1 D’après la question 3. de la partie A, f (0) = 5.
En 2010, l’enseigne du styliste est composée de 5 magasins.
2 Pour répondre à la question, il faut déterminer la première valeur x entière pour
laquelle f (x) > 80.
La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 20] donc, d’après la question 3. de la partie A, on a x = 14.
L’année à partir de laquelle la chaîne possédera 80 boutiques est l’année 2024 (2010
+ 14 = 2024).
3 Chaque magasin est ouvert 300 jours par an et a un chiffre d’affaires journalier
moyen de 2 500 ¤. Son chiffre d’affaires annuel moyen est donc de :
300 × 2 500 = 750 000 ¤.
Pour chaque année entre 2015 et 2020, le nombre moyen de magasins est de :
µ = 5(e + 1) ≈ 18, 59 au centième près.
Le chiffre d’affaires annuel moyen que le styliste peut espérer pour l’ensemble de ses
boutiques entre 2015 et 2020 est donc 5(e + 1) × 750 000 = 13 943 600 ¤ à la
centaine d’euros près.
71
Sujet 13
Amérique du Nord, mai 2013, exercice 1
(4 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question ci-après comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre
réponses proposées est exacte. Recopiez pour chaque question la réponse exacte et
justifiez celle-ci. Chaque réponse exacte vous rapportera 1 point, une mauvaise réponse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.
1
1 Pour tout réel a non nul, le nombre réel e− a est égal à :
1
a) −e a
b)
c)
1
1
ea
1
ea
a
d) e
Pour x ∈ R , quelle égalité a-t-on avec e−x ?
a
2 Pour tout réel a, le nombre réel e 2 est égal à :
a)
√ a
e
a
b) e2
a
c) ee2
√
d) e
a
Pour x ∈ R ; et q ∈ Q , quelle égalité a-t-on avec eq×x ?
3 Pour tout réel x < 0, le nombre réel ln − x1 est égal à :
a) ln(x)
b) − ln(−x)
c) − ln(x)
1
d) ln(−x)
Pour X > 0, quelle égalité a-t-on avec ln
72
1
X
?
Sujet 13 | Énoncé
4 On donne la fonction f définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par f (x) = x ln(x).
La dérivée de f est définie sur ]0; +∞[ par :
a) f 0 (x) = 1
b) f 0 (x) = ln(x)
c) f 0 (x) =
1
x
d) f 0 (x) = ln(x) + 1
Dérivez la fonction f en remarquant que son expression est un produit.
73
Sujet 13 | Corrigé
1 b)
1
1
ea
.
Pour tout x ∈ R, e−x = e1x .
1
Donc, pour tout réel a non nul, en prenant x = a1 , e− a =
√
2 a) ea .
Pour tout x ∈ R et tout q ∈ Q, eq×x = (ex )q .
Donc, pour tout réel a, en prenant q = 21 ,
√
a
1
1
e 2 = ea× 2 = (ea ) 2 = ea .
1
1
ea
.
3 b) − ln(−x).
Tout d’abord, pour tout x < 0, − x1 > 0, donc ln(− x1 ) existe bien.
Pour tout X > 0, ln( X1 ) = − ln(x).
1
Donc, pour tout nombre réel x < 0, en prenant X = −x > 0, ln(− x1 ) = ln( −x
)
= − ln(−x).
4 d) f 0 (x) = ln(x) + 1.
La fonction f est dérivable sur l’intervalle ]0; +∞[ en tant que produit de fonctions
dérivables sur cet intervalle.
En posant u(x) = x et v(x) = ln x, on a :
u0 (x) = 1 et v 0 (x) = x1 .
Pour tout x ∈ ]0 ; +∞[,
f 0 (x) = (uv)0 (x) = u0 (x) × v(x) + u(x) × v 0 (x)
f 0 (x) = ln x + x × x1 = ln x + 1.
74
Sujet 14
Inde, avril 2013, exercice 1
(4 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Une réponse exacte vous rapporte 1 point. Une mauvaise réponse ou l’absence de réponse ne vous rapporte ni ne
vous enlève aucun point. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre
réponses est exacte. Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la lettre
correspondant à la réponse choisie. Aucune justification ne vous est demandée.
2
1 La fonction F définie sur R par F (x) = e−x est une primitive de la fonction f
définie par :
2
a) f (x) = −xe−x
b) f (x) = −2xe−x
c) f (x) = xe−x
2
2
d) f (x) = e−2x
Remarquez que la fonction f est la dérivée de la fonction F sur R.
2 Soit la fonction h définie sur R par h(x) = (7x − 23)ex .
L’équation h(x) = 0...
a) a pour solution 2,718
b) a une solution sur [0 ; +∞[
c) a deux solutions sur R
d) a une solution sur ] − ∞ ; 0]
Remarquez que l’équation h(x) = 0 est une équation-produit..
R1
3 On pose I = 0 3e3x dx.
On peut affirmer que :
a) I = e3 − 1
b) I = 3e3 − 3
c) I = 19, 1
d) I = 1 − e3
Commencez par déterminer une primitive de la fonction x 7→ 3e3x
75
Sujet 14 | Énoncé
4 La fonction g définie sur R par g(x) = x3 − 9x est convexe sur l’intervalle :
a) ] − ∞ ; +∞[
b) [0 ; +∞[
c) ] − ∞ ; 0]
d) [−3 ; 3]
Souvenez-vous qu’une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
76
Sujet 14 | Corrigé
2
1 b) f (x) = −2xe−x .
Par définition d’une primitive, la fonction f est la dérivée de la fonction F sur R.
Pour une fonction u dérivable sur un intervalle I, on a (eu )0 = u0 eu sur I.
2
En posant u(x) = − x2 , donc u0 (x) = −2x, on a f (x) = F 0 (x) = −2xe−x pour tout
nombre réel x.
2 b) L’équation h(x) = 0 a une solution sur [0 ; +∞[.
L’équation h(x) = (7x − 23)ex = 0 est une équation produit. On a donc :
h(x) = 0 ⇔ (7x − 23 = 0 ou ex = 0) ⇔ 7x − 23 = 0 ⇔ x = 23
car la fonction
7
exponentielle ne s’annule jamais.
R1
3 a) I = 0 3e3x dx = e3 − 1.
Une primitive de la fonction x 7→ 3e3x est la fonction x 7→ e3x , donc :
R1
I = 0 3e3x dx = [e3x ]10 = e3 − e0 = e3 − 1.
4 b) [0 ; +∞[.
Une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est
positive sur cet intervalle.
La fonction g est dérivable sur R et pour tout nombre réel x, g 0 (x) = 3x 2 − 9.
La fonction g 0 est dérivable sur R et pour tout nombre réel x, g 00 (x) = 6x.
On a donc : g 00 (x) = 6x > 0 ⇔ x > 0.
77
Sujet 15
Inde, avril 2013, exercice 4
(6 points)
La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B.
Partie A
On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 6] par f (x) = 1−(x+1)e−x .
1 Montrez que f 0 (x) = xe−x où f 0 désigne la fonction dérivée de la fonction f .
Faites attention car il y a un produit dans l’expression de f et rappelez-vous que pour
toute fonction u dérivable sur un intervalle J , (eu )0 = ueu sur J .
2 Démontrez que l’équation f (x) = 0, 5 admet une solution unique α sur l’intervalle [0 ; 6].
Puis, déterminez une valeur arrondie de α à 0, 01.
Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.
3 On admet que la fonction F définie sur [0 ; 6] par F (x) = x + (x + 2)e−x est une
primitive de f sur [0 ; 6]. Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à 10−3 de
R6
I = 0 f (x)dx.
F étant une primitive de la fonction f sur [0 ; 6], remarquez que l’on a
R6
I = 0 f (x)dx = [F (x)]60 .
Partie B
Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques.
Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois
à l’aide de la fonction f définie dans la partie A pour x compris entre 0 et 6.
x représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit.
f (x) représente la production journalière de batteries en milliers.
1 Exprimez en mois puis en jours le moment où la production atteindra 0,5 millier
soit 500 unités.
Utilisez la question 2. de la partie A.
78
Sujet 15 | Énoncé
2 Déterminez une valeur arrondie à 10−3 de la valeur moyenne, exprimée en milliers,
de la production sur les six premiers mois.
Utilisez la question 3. de la partie A.
Partie C
Il est prévu que l’autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions
de conduite, soit de 200 km.
Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l’autonomie,
exprimée en kilomètre, permise par ces batteries suit une loi normale d’espérance
µ = 200 et d’écart type σ = 40.
1 Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville ?
Déterminez la probabilité cherchée et utilisez les formules suivantes : pour tout nombre
réel x 6µ, P (X 6 x) = 0, 5 − P (x 6 X 6 µ) ; P (µ − σ 6 X 6 µ + σ) ≈ 0, 68
au centième près.
2 La probabilité de pouvoir faire l’aller-retour jusqu’à cette ville sans recharge des
batteries est-elle supérieure à 0,01 ? Justifiez votre réponse.
Déterminez la probabilité cherchée et utilisez les formules suivantes : pour tout nombre
réel x 6 µ, P (X 6 x) = 0, 5 + P (µ 6 X 6 x) ; P (µ − 3σ 6 X 6 µ + 3σ)
≈ 0, 997 à 10−3 près.
79
Sujet 15 | Corrigé
Partie A
1 La fonction f est dérivable sur l’intervalle [0 ; 6] en tant que somme et produit de
fonctions dérivables.
Pour tout x ∈ [0 ; 6], en posant u(x) = x + 1 et v(x) = e−x , on a :
f 0 (x) = −(uv)0 (x)
f 0 (x) = −(u0 (x) × v(x) + u(x) × v 0 (x))
f 0 (x) = −(1 × e−x − (x + 1)e−x )
f 0 (x) = −e−x + (x + 1)e−x = xe−x .
2 Pour tout x ∈]0 ; 6], e−x > 0 donc f 0 (x) = xe−x > 0 et la fonction f est strictement
croissante (et continue) sur l’intervalle [0 ; 6] (en prenant 0 aussi).
De plus, f (0) = 1 − e0 = 0 et f (6) = 1 − 7e− 6 ≈ 0, 98, donc f (0) < 0, 5
et f (6) > 0, 5.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f (x) = 0, 5 admet une
unique solution α sur l’intervalle [0 ; 6].
À l’aide d’un tableau de valeurs :
f (1) ≈ 0, 26 et f (2) ≈ 0, 59 au centième près donc 1 < α < 2 ;
f (1, 6) ≈ 0, 48 et f (1, 7) ≈ 0, 51 au centième près donc 1, 6 < α < 1, 7 ;
f (1, 67) ≈ 0, 497 et f (1, 68) ≈ 0, 501 au millième près donc 1, 67 < α < 1, 68 ;
f (1, 678) ≈ 0, 4999 et f (1, 679) ≈ 0, 5002 au dix-millième près
donc 1, 678 < α < 1, 679.
Une valeur arrondie de α à 0, 01 est donc 1, 68.
3 D’après l’énoncé, la fonction F définie par F (x) = x+(x+2)e−x sur l’intervalle
[0; 6] est une primitive de la fonction f sur cet intervalle.
On a donc :
R6
I = 0 f (x)dx = [F (x)]60 = [x + (x + 2)e−x ]60
I = 6 + 8e−6 − 2e−0 = 6 + 8e−6 − 2 = 4 + 8e−6 ≈ 4, 020 à 10−3 près.
Partie B
1 D’après la question 2. de la partie A, la production atteindra 500 unités au bout de
1,68 mois soit 1, 68 × 30 = 50, 4 ≈ 51 jours (valeur approchée à l’unité par excès).
80
Sujet 15 | Corrigé
2 Soit µ la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six derniers
mois.
R6
I
1
Par définition, on a µ = 6−0
0 f (x)dx = 6 .
D’après la question 3. de la partie A :
−6
µ = I6 = 4+86e ≈ 0, 670 à 10−3 près.
Remarque : la valeur moyenne de la production sur les six derniers mois est donc de
670 unités.
Partie C
1 En notant X cette variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance µ = 200
et d’écart type σ = 40, la probabilité cherchée est : P (X < 160).
Or pour tout nombre réel x 6 µ,
P (X 6 x) = 0, 5 − P (x 6 X 6 µ),
donc P (X < 160) = 0, 5 − P (160 6 X 6 200).
De plus, on a µ = 200 et σ = 40,
donc P (X < 160) = 0, 5 − P (µ − σ 6 X 6 µ).
Or P (µ − σ 6 X 6 µ) = P (µ−σ62X 6µ+σ) par symétrie,
donc P (X < 160) = 0, 5 − P (µ−σ62X 6µ+σ) .
Sachant que P (µ − σ 6 X 6 µ + σ) ≈ 0, 68 au centième près,
on en déduit que P (X < 160) ≈ 0, 5 − 0,68
≈ 0, 16 au centième près.
2
2 La probabilité cherchée est P (X > 320).
On a :
P (X > 320) = P (X > 200 + 3 × 40)
P (X > 320) = P (X > µ + 3σ)
P (X > 320) = 1 − P (X 6 µ + 3σ)
P (X > 320) = 1 − (0, 5 + P (µ 6 X 6 µ + 3σ))
P (X > 320) = 0, 5 − P (µ 6 X 6 µ + 3σ)
car pour tout nombre réel x > µ,
P (X 6 x) = 0, 5 + P (µ 6 X 6 x).
Or P (µ 6 X 6 µ + 3σ) = P (µ−3σ62X 6µ+3σ) par symétrie,
donc P (X > 320) = 0, 5 − P (µ−3σ62X 6µ+3σ) .
81
Sujet 15 | Corrigé
Sachant que P (µ − 3σ 6 X 6 µ + 3σ) ≈ 0, 997 à 10−3 près,
on obtient P (X > 320) = 0, 5 − 0,997
≈ 0, 0015 à 10−4 près,
2
donc P (X > 320) < 0, 01.
La probabilité de pouvoir faire l’aller-retour jusqu’à cette ville sans recharge des batteries n’est donc pas supérieure à 0,01.
82
Sujet 16
Amérique du Nord, mai 2013, exercice 4
On considère la fonction f définie sur R dont la courbe représentative Cf est tracée
ci-dessous dans un repère orthonormé.
Partie A
On suppose que f est de la forme :
f (x) = (b − x)eax
où a et b désignent deux constantes.
On sait que :
– les points A(0 ; 2) et D(2 ; 0) appartiennent à la courbe Cf ;
– la tangente à la courbe Cf au point A est parallèle à l’axe des abscisses.
On note f 0 la fonction dérivée de f , définie sur R.
1 Par lecture graphique, indiquez les valeurs de f (2) et f 0 (0).
Que représente f 0 (0) par rapport à la courbe Cf ?
83
Sujet 16 | Énoncé
2 Calculez f 0 (x).
Souvenez-vous que pour toutes fonctions u et v dérivables un intervalle I ,
(uv)0 = uv 0 + u0 v sur l’intervalle I .
3 En utilisant les questions précédentes, montrez que a et b sont solutions du système
suivant
:

b − 2 = 0

ab − 1 = 0
Calculez f (2) et f 0 (0) à l’aide de l’expression de f et de celle de f 0 et déduisez-en
deux égalités.
4 Calculez a et b et donnez l’expression de f (x).
Résolvez le système pour déterminer a et b puis l’expression de f .
Partie B
On admet que f (x) = (−x + 2)e0,5x .
1 À l’aide de la première figure, justifiez que la valeur de l’intégrale
R2
0
f (x)dx est
comprise entre 2 et 4.
Encadrez l’intégrale par les aires de deux figures.
2 a) On considère F la fonction définie sur R par F (x) = (−2x + 8)e0,5x . Montrez
que F est une primitive de la fonction f sur R.
Montrez que pour tout x ∈ R, F 0 (x) = f (x).
R2
b) Calculez la valeur exacte de 0 f (x)dx et en donnez une valeur approchée à 10−2
près.
Exprimez l’intégrale à l’aide de la fonction. F .
3 On considère G une autre primitive de f sur R.
Parmi les trois courbes C1 , C2 et C3 ci-dessous, une seule est la représentation graphique de G.
Déterminez la courbe qui convient et justifiez votre réponse.
À l’aide de la première figure, déterminez le signe de f sur R, donc les variations de la
fonction G sur R. Déduisez-en la courbe qui convient.
84
Sujet 16 | Énoncé
85
Sujet 16 | Corrigé
Partie A
1 Le point D a pour coordonnées D(2 ; 0) donc f (2) = 0.
La tangente à la courbe Cf au point A(0 ; 2) est parallèle à l’axe des abscisses, donc
f 0 (0) = 0.
2 La fonction f est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur
cet intervalle.
En posant u(x) = b − x et v(x) = eax , on a u0 (x) = −1 et v 0 (x) = aeax .
Pour tout x ∈ R :
f 0 (x) = (u × v)0 (x) = u0 (x) × v(x) + u(x) × v 0 (x)
f 0 (x) = −eax + (b − x)aeax
f 0 (x) = ((b − x)a − 1)aeax .
3 D’après la question 1. :
f (2) = 0 mais aussi f (2) = (b − 2)e2a donc (b − 2)e2a = 0 puis b − 2 = 0 car
l’exponentielle ne s’annule jamais ;
f 0 (0) = 0 mais aussi f 0 (0) = (ba − 1)e0 = ba − 1 donc ba − 1 = 0.
(
b−2=0
a et b sont donc solutions du système
.
ab − 1 = 0
(
(
(
(
b=2
b=2
b=2
b−2=0
.
⇔
⇔
⇔
4
a = 0, 5
2a = 1
2a − 1 = 0
ab − 1 = 0
On a donc f (x) = (2 − x)e0,5x pour tout x ∈ R.
Partie B
R2
1 La fonction f est positive donc, 0 f (x)dx est l’aire (en unités d’aire) de la surface
délimitée par l’axe des abscisses, la courbe représentative de f , les droites d’équation
x = 0 (axe des ordonnées) et x = 2.
En notant B le point de coordonnées B(2 ; 2), AOAD l’aire du triangle OAD rectangle
en O, AAODB l’aire du carré AODB, on a :
R2
AOAD = 2×2
= 2 < 0 f (x)dx < AAODB = 2 × 2 = 4 (en unités d’aire).
2
86
Sujet 16 | Corrigé
2 a) La fonction F est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur
cet intervalle.
En posant u(x) = −2x + 8 et v(x) = e0,5x , on a u0 (x) = −2 et v 0 (x) = 0, 5e0,5x .
Pour tout x ∈ R :
F 0 (x) = (u × v)0 (x) = u0 (x) × v(x) + u(x) × v 0 (x)
F 0 (x) = −2e0,5x + (−2x + 8) × 0, 5e0,5x = (−2 − x + 4)e0,5x = f (x).
La fonction F définie sur R par F (x) = (−2x + 8)e0,5x est donc une primitive de
la fonction f sur R.
b) La fonction F est une primitive de la fonction f sur R donc :
R2
f (x)dx = F (2) − F (0) = (−2 × 2 + 8)e0,5×2 − (−2 × 0 + 8)e0,5×0
R02
−2
près.
0 f (x)dx = 4e − 8 ≈ 2, 87 à 10
3 La fonction f est la dérivée de la fonction G sur R .
D’après la première figure :
– f est positive sur l’intervalle ] − ∞ ; 2] donc G est croissante sur cet intervalle ;
– f est négative sur l’intervalle [2 ; +∞] donc G est décroissante sur cet intervalle.
D’après la seconde figure, c’est la courbe C3 qui convient.
87
Sujet 17
Liban, mai 2013, exercice 1
(5 points)
Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopiez le numéro de la
question et la réponse exacte sur votre copie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne
rapporte ni n’enlève aucun point. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse
fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
1 Parmi toutes les fonctions définies sur ]0 ; +∞[ et dont l’expression algébrique
est donnée ci-dessous, la seule qui est convexe est :
a) x3 − 3x2 + 4
b) ln(x)
c) −ex
d) x2 + x + 5
Souvenez-vous du lien entre la convexité d’une fonction (deux fois dérivable) sur un
intervalle et le signe de sa dérivée seconde sur cet intervalle
2 Une primitive de f sur ]0 ; +∞[ définie par f (x) = ln(x) est la fonction F
définie par :
a) F (x) =
1
x
b) F (x) = x ln(x) − x
c) F (x) = x ln(x)
d) F (x) = ln(x)
Déterminez la fonction F telle que F 0 (x) = f (x), pour tout x ∈]0 ; +∞[.
3 La valeur exacte de l’intégrale
R1
0
e2x dx est égale à :
a) 3, 19
b) e2 − 1
c) 12 e2
d) 12 (e2 − 1)
Pour calculer cette intégrale, déterminez une primitive de la fonction x 7→ e2x .
88
Sujet 17 | Énoncé
4 Si une variable aléatoire X suit la loi normale N (1 ; 4), alors une valeur approchée
au centième de P (2 6 X 6 3) est :
a) 0, 15
b) 0, 09
c) 0, 34
d) 0, 13
Faites attention, car si la variable aléatoire X suit la loi normale N (1 ; 4), σ 2 = 4
(avec σ > 0).
5 Dans une commune comptant plus de 100 000 habitants, un institut réalise un sondage auprès de la population. Sur 100 personnes interrogées, 55 affirment être satisfaites de leur maire. L’intervalle de confiance au niveau de confiance 0, 95 permettant
de connaître la cote de popularité du maire est :
a) [0, 35 ; 0, 75]
b) [0, 40 ; 0, 70]
c) [0, 45 ; 0, 65]
d) [0, 50 ; 0, 60]
À l’aide de l’énoncé, déterminez les valeurs n et f de l’intervalle de confiance.
89
Sujet 17 | Corrigé
1 d) x2 + x + 5.
Une fonction (deux fois dérivable) est convexe sur l’intervalle ]0 ; +∞[ si et seule-
ment si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
On pose f (x) = x2 + x + 5 pour x ∈]0 ; +∞[. La fonction f est dérivable sur cet
intervalle et f 0 (x) = 2x + 1 pour tout x ∈]0 ; +∞[.
f 0 est dérivable sur cet intervalle et f 0 (x) = 2 > 0 pour tout x ∈]0 ; +∞[.
La fonction f est donc convexe sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
2 b) F (x) = x ln(x) − x.
On pose F (x) = ln(x) − x pour x ∈]0 ; +∞[.
La fonction F est dérivable sur ]0 ; +∞[ en tant que produit et différence de fonctions
dérivables sur cet intervalle.
Pour tout x ∈]0 ; +∞[, F 0 (x) = ln(x) + x × x1 − 1 = ln(x) = f (x).
Une primitive de la fonction f sur ]0 ; +∞[ est la fonction F définie par :
F (x) = x ln(x) − x sur ]0 ; +∞[.
3 d) 1 (e2 − 1).
1 2x 1
R 1 2x2
e
d
x
=
e 0=
0
2
e2
2
−
e0
2
= 21 (e2 − 1).
4 a) 0, 15.
Si la variable aléatoire X suit la loi normale N (1 ; 4), on a σ 2 = 4 (avec σ > 0) donc
√
σ = 4 = 2.
Il s’agit de déterminer P (2 6 X 6 3) en utilisant la calculatrice.
Avec une CASIO : dans les menus « STAT », puis « DIST », puis « NORM », puis
« ncd », entrez :
–
–
–
–
–
Lower : 2 ;
Upper : 3 ;
σ : 2;
µ : 1;
puis calculez.
Avec une T.I. : dans les menus « DIST » (avec « 2nd » puis « VARS »), puis «
normalcdf( » (ou bien « normalFRép( » selon les modèles), complétez en « normalcdf(2,3,1,2) » (ou bien « normalFRép(2,3,1,2) »).
On obtient : P (2 6 X 6 3) ≈ 0, 15 au centième près.
90
Sujet 17 | Corrigé
5 c) [0, 45 ; 0, 65].
On a n = 100 et f =
55
100
= 0, 55 et on vérifie que :
0 < f = 0, 55 < 1,
n = 100 > 30, nf = 0, 55 × 100 = 55 > 5 et
n(1 − f ) = 100 × 0, 45 = 45 > 5.
L’intervalle de confianceh au niveau 0,95 ipermettant de connaître la cote de
popularité du maire est f − √1n ; f + √1n soit, avec les valeurs numériques,
i
h
1
1
; 0, 55 + √100
puis [0, 45 ; 0, 65].
0, 55 − √100
91
Sujet 18
Liban, mai 2013, exercice 3
(5 points)
Partie A
On considère la fonction C définie sur l’intervalle [5 ; 60] par :
0,1x
C(x) = e x+20 .
1 On désigne par C 0 la dérivée de la fonction C . Montrez que, pour tout x ∈ [5 ; 60] :
C 0 (x) =
0,1xe0,1x −e0,1x −20
.
x2
Souvenez-vous que pour toutes fonctions u et v dérivables un intervalle I (v non nulle),
0
0
sur I et que (eu )0 = u0 eu sur I .
( uv )0 = u v−uv
v2
2 On considère la fonction f définie sur [5 ; 60] par f (x) = 0, 1xe0,1x − e0,1x − 20.
a) Montrez que la fonction f est strictement croissante sur [5 ; 60].
Montrez que f 0 est strictement positive sur l’intervalle [5 ; 60].
b) Montrez que l’équation f (x) = 0 possède une unique solution α dans [5 ; 60].
Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.
c) Donnez un encadrement à l’unité de α.
Pour répondre à cette question, utilisez un tableau de valeurs de la fonction f .
d) Vous devez en déduire le tableau de signes de f (x) sur [5 ; 60].
Déduisez le résultat des questions 2. a) et 2. b).
3 Vous devez en déduire le tableau de variations de C sur [5 ; 60].
Remarquez que C 0 (x) est du signe de f (x).
4 En utilisant le tableau de variations précédent, déterminez le nombre de solutions
des équations suivantes :
a) C(x) = 2.
Pour chaque équation, observez le nombre de solution(s) sur l’intervalle [5 ; α] et sur
l’intervalle [α ; 60].
b) C(x) = 5.
Utilisez l’aide donnée à la question 2. a).
92
Sujet 18 | Énoncé
Partie B
Une entreprise fabrique chaque mois x vélos de course, avec x appartenant à l’intervalle [5 ; 60].
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d’euros, pour une production de x
vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A.
Déterminez le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit
minimal.
Déterminez l’abscisse entière x telle que la fonction C soit minimale en x.
93
Sujet 18 | Corrigé
Partie A
1 La fonction C est dérivable sur l’intervalle [5 ; 60] en tant que somme et quotient
de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour x ∈ [5 ; 60], en posant u(x) = e0,1x + 20 et v(x) = x, on a u0 (x) = 0, 1e0,1x
et v 0 (x) = 1.
Pour tout x ∈ [5 ; 60],
C 0 (x) = ( uv )0 (x)
0
0 (x)
C 0 (x) = v(x)×u (x)−u(x)×v
2
v (x)
C 0 (x) =
C 0 (x) =
x×0,1e0,1x −(e0,1x +20)
x2
0,1xe0,1x −e0,1x −20
.
x2
2 a) Pour tout x ∈ [5 ; 60],
f (x) = 0, 1xe0,1x − e0,1x − 20.
La fonction f est dérivable sur l’intervalle [5 ; 60] en tant que produit et différence
de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour x ∈ [5 ; 60], en posant u(x) = x et v(x) = e0,1x , on a u0 (x) = 1
et v 0 (x) = 0, 1e0,1x .
Pour tout x ∈ [5 ; 60],
f 0 (x) = 0, 1(u×v)0 (x)−v 0 (x) car la dérivée d’une fonction constante est la fonction
nulle.
f 0 (x) = 0, 1(u0 (x) × v(x) + u(x) × v 0 (x)) − v 0 (x)
f 0 (x) = 0, 1(e0,1x + 0, 1xe0,1x ) − 0, 1e0,1x
f 0 (x) = 0, 1e0,1x + 0, 01xe0,1x − 0, 1e0,1x
f 0 (x) = 0, 01xe0,1x > 0 car la fonction exponentielle est toujours positive et x > 0.
La fonction f est donc strictement croissante sur l’intervalle [5 ; 60].
b) D’après la question précédente, la fonction f est continue et strictement croissante
sur l’intervalle [5 ; 60].
√
De plus, f (5) = 0, 5e0,5 − e0,5 − 20 = −0, 5e0,5 − 20 = −0, 5 e − 20 ≈ −20, 8
(au dixième près) et f (60) = 6e6 − e6 − 20 = 5e6 − 20 ≈ 1997 (à l’unité près),
donc f (5) < 0 et f (60) > 0.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f (x) = 0 admet une
unique solution α sur l’intervalle [5 ; 60].
94
Sujet 18 | Corrigé
c) À l’aide d’un tableau de valeurs :
f (25) = 2, 5e2,5 − e2,5 − 20 = 1, 5e2,5 − 20 ≈ −1, 73 au centième près,
donc f (25) < 0 ;
f (26) = 2, 6e2,6 − e2,6 − 20 = 1, 6e2,6 − 20 ≈ 1, 54 au centième près
donc f (26) > 0.
On a donc 25 < α < 26.
d) La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle [5 ; 60] et f (α) = 0, donc :
pour tout x ∈ [5 ; α], f (x) 6 0 et pour tout x ∈ [α ; 60], f (x) > 0.
3 Pour tout x ∈ [5 ; 60],C 0 (x) =
f (x)
x2
donc C 0 (x) est du signe de f (x) :
pour tout x ∈ [5 ; α], C 0 (x) 6 0 et pour tout x ∈ [α ; 60], C 0 (x) > 0.
De plus, pour compléter
le tableau de variation, on a :
√
e+20
e0,5 +20
C(5) = 5 = 5 ≈ 4, 33 (au centième près) ;
6 +20
C(60) = e 60
≈ 7, 06 (au centième près) ;
e0,1α +20
≈ 1, 29 (au centième près) en prenant α ≈ 25, 5.
C(α) =
α
4 a) D’après le tableau de variation, l’équation C(x) = 2 a deux solutions dans
l’intervalle [5 ; 60] : l’une dans l’intervalle [5 ; α[, l’autre dans l’intervalle ]α ; 60].
En effet, 5 ∈]C(α) ; C(5)] et 5 ∈]C(α) ; C(60)], donc on obtiendrait le résultat
en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires aux deux intervalles [5 ; α[ et
]α ; 60].
b) D’après le tableau de variation, l’équation C(x) = 5 a une solution dans l’intervalle [5 ; 60] et elle est plus précisément dans l’intervalle ]α ; 60].
En effet, 5 ∈]C(α) ; C(60)] (mais 5 ∈]C(α)
/
; C(5)]) donc on obtiendrait le résultat
en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires à l’intervalle ]α ; 60].
95
Sujet 18 | Corrigé
Partie B
D’après la question 3., le minimum de la fonction C est atteint en x = α
(25 < α < 26).
2,6
2,5
C(25) = e 25+20 ≈ 1, 2873 et C(26) = e 26+20 ≈ 1, 2871 (au dix-millième près),
donc C(25) > C(26).
Il faut donc produire 26 vélos par mois pour que le coût de fabrication moyen soit
minimal.
96
Sujet 19
Sujet national, juin 2014, exercice 1
(5 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro
de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification
n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
1 L’arbre de probabilités ci-dessous représente une situation où A et B sont deux
événements, dont les événements contraires sont respectivement notés Ā et B̄ .
0,6
0,3
B
...
B
0,2
B
...
B
A
...
A
Alors :
a) PA (B) = 0, 18.
b) P (A ∩ B) = 0, 9.
c) PA (B̄) = 0, 7.
d) P (B) = 0, 5.
Remarquez facilement qu’une des propositions convient.
2 Avec le même arbre, la probabilité de l’événement B est égale à :
a) 0, 5.
b) 0, 18.
c) 0, 26.
d) 0, 38.
Utilisez la formule des probabilités totales.
97
Sujet 19 | Énoncé
3 On considère une fonction f définie et continue sur l’intervalle [1 ; 15]. Son tableau de variation est indiqué ci-dessous.
x
1
3
4
12
3
f (x)
15
–1
0
–2
–3
Soit F une primitive de la fonction f sur l’intervalle [1 ; 15]. On peut être certain
que :
a) la fonction F est négative sur l’intervalle [3 ; 4].
b) la fonction F est positive sur l’intervalle [4 ; 12].
c) la fonction F est décroissante sur l’intervalle [4 ; 12].
d) la fonction F est décroissante sur l’intervalle [1 ; 3].
F étant une primitive de la fonction f sur l’intervalle [1 ; 15], pour tout intervalle
I⊂[1 ; 15], on a :
– F est croissante sur I ⇔ f positive sur I ;
– F est décroissante sur I ⇔ f négative sur I .
4 Pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[, l’équation ln x + ln(x + 3) = 3 ln 2 est
équivalente à l’équation :
a) 2x + 3 = 6.
b) 2x + 3 = 8.
c) x2 + 3x = 6.
d) x2 + 3x = 8.
Souvenez-vous que :
– pour tous les réels strictement positifs a et b, et pour tous les entiers naturels n,
ln(a) + ln(b) = ln(ab) et n ln(a) = ln(an ) ;
– pour tous les réels strictement positifs a et b, ln(a) = ln(b) est équivalent à a = b.
98
Sujet 19 | Énoncé
5 g est la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par g(x) = x5 .
On note C sa courbe représentative.
L’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe C , l’axe des
abscisses, et les droites d’équations x = 2 et x = 6, est égale à :
a) 5(ln 6 − ln 2).
1
6−2
R6
g(x)dx.
c) 5 ln 6 + 5 ln 2.
d) g(6) − g(2).
b)
2
Il s’agit de calculer la valeur de
R6
2
g(x)dx.
99
Sujet 19 | Corrigé
1 c) PA (B̄) = 0, 7.
En lisant le résultat sur l’arbre pondéré : PA (B) = 0, 3.
En utilisant la formule de l’événement complémentaire : PA (B̄) = 1 − PA (B)
= 1 − 0, 3 = 0, 7.
2 c) Avec le même arbre, la probabilité de l’événement B est égale à : 0, 26.
En utilisant la formule des probabilités conditionnelles :
P (A ∩ B) = PA (B) × P (A) = 0, 3 × 0, 6 = 0, 18.
En utilisant la formule des probabilités totales :
P (B) = P (A ∩ B) + P (Ā ∩ B) car A ∩ B et Ā ∩ B forment une partition de B
P (B) = PA (B) × P (A) + PĀ (B) × P (Ā)
P (B) = 0, 18 + 0, 2 × (1 − 0, 6) car P (Ā) = 1 − P (A)
P (B) = 0, 18 + 0, 2 × 0, 4
P (B) = 0, 18 + 0, 08
P (B) = 0, 26.
3 c) Soit F une primitive de la fonction f sur l’intervalle [1 ; 15]. On peut être certain
que la fonction F est décroissante sur l’intervalle [4 ; 12].
Sans indications supplémentaires, on ne peut pas connaître le signe de la fonction F
sur l’intervalle [1 ; 15], on ne peut connaître que ses variations.
Sur l’intervalle [1 ; 3], la fonction f est positive donc la fonction F est croissante.
Sur l’intervalle [4 ; 12], la fonction f est négative donc la fonction F est décroissante.
4 d) Pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[, l’équation ln x + ln(x + 3) = 3 ln 2
est équivalente à l’équation :
x2 + 3x = 8.
Pour tout x ∈]0 ; +∞[, ln x et :
ln(x + 3) sont définis et ln x + ln(x + 3) = 3 ln 2 ⇔ ln[x(x + 3)] = ln(23 )
car pour tous les réels strictement positifs a et b, et pour tous les entiers naturels n,
ln(a) + ln(b) = ln(ab) et n ln(a) = ln(an ).
ln x+ ln(x+3) = 3 ln 2 ⇔ x(x+3) = 23 car pour tous les réels strictement positifs
a et b, ln(a) = ln(b) est équivalent à a = b.
ln x + ln(x + 3) = 3 ln 2 ⇔ x2 + 3x = 8.
100
Sujet 19 | Corrigé
5 L’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe C , l’axe des
abscisses, et les droites d’équations x = 2 et x = 6, est égale à :
a) 5(ln 6 − ln 2).
L’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe C , l’axe des
abscisses, et les droites d’équations x = 2 et x = 6, est :
R6 5
6
2 x dx = [5 ln x]2 = 5 ln 6 − 5 ln 2 = 5(ln 6 − ln 2).
101
Sujet 20
Sujet national, juin 2014, exercice 3
(5 points)
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
Chaque jour, Antoine s’entraine au billard américain pendant une durée comprise
entre 20 minutes et une heure. On modélise la durée de son entrainement, en minutes,
par une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [20 ; 60].
1 Calculer la probabilité p pour que l’entrainement dure plus de 30 minutes.
Il s’agit de calculer p = P (X > 30) où la variable aléatoire X suit la loi uniforme sur
l’intervalle [20 ; 60].
2 Calculer l’espérance de X . Interpréter ce résultat.
Souvenez-vous que l’espérance de la variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur
l’intervalle [a ; b] (a < b) est E(X) = a+b
.
2
Partie B
Dans cette partie les probabilités seront, si besoin, arrondies au millième.
Les boules de billard américain avec lesquelles Antoine s’entraine sont dites de premier choix si leur diamètre est compris entre 56, 75 mm et 57, 25 mm ; sinon elles
sont dites de second choix.
On note D la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasard dans la production de l’entreprise, associe son diamètre, en millimètres.
On suppose que D suit la loi normale d’espérance 57 et d’écart-type 0, 11.
1 Déterminer la probabilité p1 que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à
57 mm.
Il s’agit de calculer P (D 6 57) où la variable aléatoire D suit la loi normale de
moyenne 57 et d’écart-type 0, 11.
102
Sujet 20 | Énoncé
2 Déterminer la probabilité p2 que la boule prélevée soit une boule de premier choix.
Il s’agit de calculer P (56, 75 6 D 6 57, 25) à la calculatrice.
3 En déduire la probabilité p3 que la boule prélevée soit une boule de second choix.
Notez bien que si une boule n’est pas de premier choix, elle est de second choix.
Partie C
Le président de la fédération française de billard (FFB) souhaite estimer le niveau de
satisfaction de ses 14 000 licenciés quant à l’organisation des tournois.
Antoine estime que les 80 adhérents de son club constituent un échantillon représentatif des licenciés de la FFB. Il est chargé de faire une étude au sein de son club : les
80 adhérents ont répondu, et 66 ont déclaré qu’ils étaient satisfaits.
1 Quelle est, sur cet échantillon, la fréquence observée f de personnes satisfaites de
la FFB ?
Vous devez trouver une fréquence qui est comprise entre 0, 8 et 0, 9.
2 Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance 0, 95 de la proportion p de licenciés satisfaits de la FFB. Les bornes de l’intervalle seront arrondies au
millième.
Si f est la fréquence obtenue avec un échantillon de taille n (avec 0 < f < 1, n > 30,
nf
h > 5 et n(1 − fi) > 5), l’intervalle de confiance au niveau de confiance 0, 95 est
f−
√1
n
; f+
√1
n
.
103
Sujet 20 | Corrigé
Partie A
1 La variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l’intervalle [20 ; 60].
On a donc p = P (X > 30) =
60−30
60−20
=
30
40
=
3
4
= 0, 75.
La probabilité que l’entrainement dure plus de 30 minutes est 0, 75.
2 L’espérance de la variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l’intervalle
= 80
= 40.
[20 ; 60] est E(X) = 20+60
2
2
Lorsque le nombre de jours où Antoine s’entraîne au billard américain devient très
grand, la durée moyenne de son entrainement journalier est 40 minutes.
Partie B
1 La variable aléatoire D suit la loi normale d’espérance 57 et d’écart-type 0, 11,
donc p1 = P (D 6 57) = 12 = 0, 5.
La probabilité p1 que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57 mm est 0, 5.
2 Avec une CASIO : dans les menus « STAT », puis « DIST », puis « NORM »,
puis « ncd », entrez :
–
–
–
–
–
Lower : 56.75 ;
Upper : 57.25 ;
σ : 0.11 ;
µ : 57 ;
puis calculez.
Avec une T.I. : dans les menus « DIST » (avec « 2nd » puis « VARS »), puis
« normalcdf( » ou bien « normalFRép( », selon les modèles, complétez en « normalcdf(56.75,57.25,57,0.11) » ou bien « normalFRép(56.75,57.25,57,0.11) ».
On obtient p2 = P (56, 75 6 D 6 57, 25) ≈ 0, 977 au millième près.
La probabilité p2 que la boule prélevée soit une boule de premier choix est environ
0, 977.
3 En utilisant l’événement contraire, p3 = 1 − P (56, 75 6 D 6 57, 25)
≈ 1 − 0, 977 ≈ 0, 023 au millième près.
104
Sujet 20 | Corrigé
La probabilité p3 que la boule prélevée soit une boule de second choix est environ
0, 023.
Partie C
1 Sur cet échantillon, la fréquence observée de personnes satisfaites de la FFB est
f = 66
= 0, 825.
80
2 On a f = 0, 825 et n = 80.
On vérifie que : 0 < f = 0, 825 < 1, n = 80 > 30, nf = 80 × 0, 825 = 66 > 5 et
n(1 − p) = 80 × (1 − 0, 825) = 80 × 0, 175 = 14 > 5.
L’intervalle de confiance au niveau de confiance 0, 95 de la proportion de licenciés
satisfaits
de la FFB iest : h
h
i
1
f − √n ; f + √1n = 0, 825 − √180 ; 0, 825 + √180 ≈ [0, 713 ; 0, 937] au milième près.
105
Sujet 21
Amérique du Nord, juin 2014, exercice 2
(6 points)
Un investisseur souhaite acheter un appartement dans l’objectif est de le louer. Pour
cela, il s’intéresse à la rentabilité locative de cet appartement.
Les trois parties peuvent être traitées indépendamment. Les résultats seront arrondis,
si nécessaire, à 10-4 .
Partie A
On considère deux types d’appartement :
– Les appartements d’une ou deux pièces notés respectivement T1 et T2 ;
– Les appartements de plus de deux pièces.
Une étude des dossiers d’appartements loués dans un secteur ont montré que :
– 35 % des appartements loués sont de type T1 ou T2 ;
– 45 % des appartements loués de type T1 ou T2 sont rentables ;
– 30 % des appartements loués, qui ne sont ni de type T1 ni de type T2, sont rentables.
On choisit un dossier au hasard et on considère les événements suivants :
– T : « l’appartement est de type T1 ou T2 » ;
– R : « l’appartement loué est rentable » ;
– T̄ est l’événement contraire de T et R̄ est l’événement contraire de R.
1 Traduire cette situation par un arbre pondéré.
Utilisez les données de l’énoncé et la formule : pour tout événement A,
P (Ā) = 1 − P (A).
2 Montrer que la probabilité qu’un appartement loué soit rentable est égale à 0,3525.
Utilisez la formule des probabilités totales en déterminant une partition de R.
3 Calculer la probabilité que l’appartement soit de type T1 ou T2, sachant qu’il est
rentable.
Remarquez qu’il s’agit de calculer la probabilité conditionnelle PR (T ).
106
Sujet 21 | Énoncé
Partie B
On considère X la variable aléatoire égale au nombre d’appartements rentables dans
un échantillon aléatoire de 100 appartements loués. On admet que toutes les conditions sont réunies pour assimiler X à une variable aléatoire qui suit la loi normale de
moyenne µ = 35 et d’écart type σ = 5.
A l’aide de la calculatrice :
1 Calculer P (25 6 X 6 35).
Vous devez trouver une valeur arrondie à 10−4 près qui est comprise entre 0,4 et 0,5.
2 Calculer la probabilité qu’au moins 45 appartements parmi les 100 appartements
loués soient rentables.
Pensez à utiliser la propriété suivante :
P (µ − 2σ 6 X) + P (µ − 2σ 6 X 6 µ + 2σ) + P (X > µ + 2σ) = 1.
Partie C
L’investisseur se rend dans une agence immobilière pour acheter un appartement et
le louer. Le responsable de cette agence lui affirme que 60 % des appartements sont
rentables. Pour vérifier son affirmation, on a prélevé au hasard 280 dossiers d’appartements loués. Parmi ceux-ci, 120 sont rentables.
1 Déterminer la fréquence observée sur l’échantillon prélevé.
Vous devez trouver une valeur arrondie à 10−4 près qui est comprise entre 0,40 et 0,45.
2 Peut-on valider l’affirmation du responsable de cette agence ? Justifier cette ré-
ponse. On pourra s’aider du calcul d’un intervalle de fluctuation asymptotique au
seuil de 95 %.
Il s’agit de vérifier si la fréquence observée avec l’échantillon appartient ou non à l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.
107
Sujet 21 | Corrigé
Partie A
1 D’après l’énoncé, on a : P (T ) =
PT̄ (R) =
30
100
35
100
= 0, 35 ; PT (R) =
45
100
= 0, 45 ;
= 0, 3.
Pour compléter l’arbre de probabilités :
– P (T̄ ) = 1 − P (T ) = 1 − 0, 35 = 0, 65 ;
– PT (R̄)1 − PT (R) = 1 − 0, 45 = 0, 55 ;
– PT̄ (R̄) = 1 − PT̄ (R) = 1 − 0, 3 = 0, 7.
2 Les événements R ∩ T et R ∩ T̄ forment une partition de l’événement R.
Donc, d’après la formule des probabilités totales :
P (R) = P (R ∩ T ) + P (R ∩ T̄ )
P (R) = PT (R) × P (T ) + PT̄ (R) × P (T̄ ) d’après la formule des probabilités
conditionnelles
P (R) = 0, 45 × 0, 35 + 0, 3 × 0, 65 d’après la question 1.
P (R) = 0, 1575 + 0, 195
P (R) = 0, 3525.
3 Il s’agit de calculer la probabilité conditionnelle PR (T ).
D’après la formule des probabilités conditionnelles et la question 2. :
)
PR (T ) = P P(R∩T
= 0,1575
≈ 0, 4468 arrondi à 10−4 près.
(R)
0,3525
La probabilité que l’appartement soit de type T1 ou T2, sachant qu’il est rentable est
environ 0,4468.
108
Sujet 21 | Corrigé
Partie B
1 On calcule P (25 6 X 6 35) ≈ 0, 4773 (arrondi à 10−4 près) à la calculatrice.
Avec une CASIO : dans les menus « STAT », puis « DIST », puis « NORM », puis
« ncd », entrer :
–
–
–
–
–
Lower : 25 ;
Upper : 35 ;
σ : 5;
µ : 35 ;
Puis calculer.
Avec une T.I. : dans les menus « DIST » (avec « 2nd » puis « VARS »), puis
« normalcdf( » (ou bien « normalFRép( » selon les modèles), complétez en « normalcdf(25,35,35,5) » (ou bien « normalFRép(25,35,35,5) »).
2 Il s’agit de calculer la probabilité P (X > 45) = P (X > 35 + 2 × 5)
= P (X > µ + 2σ).
On a : P (µ − 2σ 6 X) + P (µ − 2σ 6 X 6 µ + 2σ) + P (X > µ + 2σ) = 1.
Or par symétrie, P (µ − 2σ 6 X) = P (X > µ + 2σ)
donc P (µ − 2σ 6 X 6 µ + 2σ) + 2P (X > µ + 2σ) = 1.
On en déduit que 2P (X > µ + 2σ) = 1 − P (µ − 2σ 6 X 6 µ + 2σ), puis que
P (X > µ + 2σ) = 1−P (µ−2σ26X 6µ+2σ) .
À la calculatrice, P (µ − 2σ 6 X 6 µ + 2σ) = P (25 6 X 6 45) ≈ 0, 9545 à
10−4 près, donc :
P (X > 45) = P (X > µ + 2σ) = 1−P (µ−2σ26X 6µ+2σ) = 1−0,9545
= 0,0455
2
2
= 0, 0228 à 10−4 près.
Remarque : on peut aussi noter que, par symétrie
P (25 6 X 6 45) = 2 × P (25 6 X 6 35).
Mais le résultat de la question 1. a été arrondi à 10−4 près, donc il vaut mieux calculer
P (25 6 X 6 45) à la calculatrice et arrondir ensuite le résultat.
109
Sujet 21 | Corrigé
Partie C
120
1 La fréquence observée sur l’échantillon prélevé est f = 280
≈ 0,4286 à 10−4 près.
2 Il s’agit tout d’abord de calculer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % avec
60
n = 280 et p = 100
= 0, 6.
On vérifie que 0 < p = 0, 6 < 1, n = 280 > 30, np = 280 × 0, 6 = 168 > 5 et
n(1 − p) = 280 × 0, 4 = 112 > 5.
L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence des appartements rentables
est : h
p
p
i
p(1−p)
p(1−p)
I280 = p − 1, 96 √n ; p + 1, 96 √n
p
p
i
h
0,6×(1−0,6)
0,6×(1−0,6)
√
√
; 0, 6 + 1, 96
I280 = 0, 6 − 1, 96
280
280
I280 ≈ [0, 5426 ; 0, 6574] en arrondissant à 10−4 près.
Or f ≈ 0, 4286 ∈
/ I280 ≈ [0, 5426 ; 0, 6574] à 10−4 près, donc l’affirmation du
responsable de l’agence est fausse au seuil de 95 %.
110
Sujet 22
Liban, mai 2014, exercice 1
(5 points)
Un serveur, travaillant dans une pizzeria, remarque qu’en moyenne, 40 % des clients
sont des familles, 25 % des clients sont des personnes seules et 35 % des clients sont
des couples.
Il note aussi que :
– 70 % des familles laissent un pourboire ;
– 90 % des personnes seules laissent un pourboire ;
– 40 % des couples laissent un pourboire.
Un soir donné, ce serveur prend au hasard une table occupée dans la pizzeria.
On s’intéresse aux événements suivants :
–
–
–
–
F : « la table est occupée par une famille » ;
S : « la table est occupée par une personne seule » ;
C : « la table est occupée par un couple » ;
R : « le serveur reçoit un pourboire ».
On note Ā l’événement contraire de A et pB (A) la probabilité de A, sachant B .
Partie A
1 D’après les données de l’énoncé, préciser les probabilités p(F ) et pS (R).
pS (R) est la probabilité que le serveur reçoive un pourboire sachant que la table est
occupée par une personne seule.
111
Sujet 22 | Énoncé
2 Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :
Complétez l’arbre pondéré en utilisant les données de l’énoncé, ainsi que la formule
donnant la probabilité du complémentaire d’un événement.
3 a) Calculer p(F ∩ R).
Utilisez la formule des probabilités conditionnelles.
b) Déterminer p(R).
Utilisez la formule des probabilités totales en déterminant une partition de R.
4 Sachant que le serveur a reçu un pourboire, calculer la probabilité que ce pourboire
vienne d’un couple. Le résultat sera arrondi à 10−3 .
Utilisez de nouveau la formule des probabilités conditionnelles, avec des résultats numériques des questions précédentes.
Partie B
On note X la variable aléatoire qui, à un soir donné, associe le montant total en euro
des pourboires obtenus par le serveur.
On admet que X suit la loi normale d’espérance µ = 15 et d’écart-type σ = 4, 5.
Dans les questions suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice et les résultats arrondis à 10−2 .
112
Sujet 22 | Énoncé
1 Calculer :
a) la probabilité que le montant total des pourboires reçus par le serveur soit compris
entre 6 et 24 euros.
Remarquez que le milieu de l’intervalle [6 ; 24] est µ = 15.
b) p(X > 20).
Déterminez la probabilité recherchée en utilisant la formule suivante : pour tout nombre
réel x > µ, p(X 6 x) = 0, 5 + p(µ 6 X 6 x).
2 Calculer la probabilité que le montant total des pourboires du serveur soit supérieur
à 20 euros sachant que ce montant est compris entre 6 et 24 euros.
Remarquez qu’il s’agit de calculer p{66X 624} (X > 20) dont le résultat est une valeur
proche de 0,80.
113
Sujet 22 | Corrigé
Partie A
1 D’après l’énoncé, on a : p(F ) =
40
100
= 0, 4 et pS (R) =
90
100
= 0, 9.
2 Pour compléter l’arbre pondéré :
25
p(S) = 100
= 0, 25.
pF (R̄) = 1 − pF (R) = 1 − 0, 7 = 0, 3.
pC (R) = 0, 4 donc pC (R̄) = 1 − pC (R) = 1 − 0, 4 = 0, 6.
pS (R) = 0, 9 donc pS (R̄) = 1 − pS (R) = 1 − 0, 9 = 0, 1.
3 a) D’après la formule des probabilités conditionnelles, on a :
p(F ∩ R) = pF (R) × p(F ) = 0, 7 × 0, 4 = 0, 28.
La probabilité que la table soit occupée par une famille et que le serveur reçoive un
pourboire est 0,28.
b) Les événements F ∩ R, C ∩ R et S ∩ R forment une partition de l’événement R.
Donc, d’après la formule des probabilités totales :
p(R) = p(F ∩ R) + p(C ∩ R) + p(S ∩ R)
p(R) = 0, 28 + pC (R) × p(C) + pS (R) × p(S)
p(R) = 0, 28 + 0, 4 × 0, 35 + 0, 9 × 0, 25
p(R) = 0, 28 + 0, 14 + 0, 225
p(R) = 0, 645.
La probabilité que le serveur reçoive un pourboire est 0,645.
114
Sujet 22 | Corrigé
4 Il s’agit de calculer la probabilité pR (C).
D’après la formule des probabilités conditionnelles et la question 3. b), on a :
pR (C) =
p(C∩R)
p(R)
=
0,14
0,645
≈ 0, 217 au millième près.
La probabilité que le pourboire reçu par le serveur vienne d’un couple est environ 0,217.
Partie B
1 a) La variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne µ = 15 et d’écart type
σ = 4, 5.
On a µ − 2σ = 15 − 2 × 4, 5 = 6 et µ > +2σ = 15 + 2 × 4, 5 = 24, donc :
p(6 6 X 6 24) = p(µ − 2σ 6 X 6 µ + 2σ) ≈ 0, 95 à 10−2 près, d’après le cours.
b) On a p(X > 20) = 1 − p(X < 20) = 1 − p(X 6 20).
De plus, pour tout nombre réel x > µ, p(X 6 x) = 0, 5 + p(µ 6 X 6 x), donc
pour x = 20 et µ = 15 :
p(X > 20) = 1 − p(X 6 20) = 1 − (0, 5 + p(15 6 X 6 20))
= 1 − 0, 5 − p(15 6 X 6 20) = 0, 5 − p(15 6 X 6 20).
On calcule p(15 6 X 6 20) ≈ 0, 37 (au centième près) à la calculatrice :
Avec une CASIO : dans les menus « STAT », puis « DIST », puis « NORM », puis
« ncd », entrer :
–
–
–
–
–
Lower : 15 ;
Upper : 20 ;
σ : 4.5 ;
µ : 15 ;
puis calculer.
Avec une T.I. : dans les menus « DIST » (avec « 2nd » puis « VARS »), puis
« normalcdf( » (ou bien « normalFRép( » selon les modèles), complétez en « normalcdf(15,20,15,4.5) » (ou bien « normalFRép(15,20,15,4.5) »).
On a donc p(X > 20) = 0, 5 − p(15 6 X 6 20) ≈ 0, 5 − 0, 37 ≈ 0, 13 au
centième près.
La probabilité que le total des pourboires reçus par le serveur soit supérieure à 20 euros est environ 0,13.
115
Sujet 22 | Corrigé
2 Il s’agit de calculer p{66X 624} (X > 20).
D’après la formule des probabilités conditionnelles :
p{66X 624} (X > 20) =
p({66X 624}∩{X >20})
p(66X 624)
=
p(206X 624)
.
p(66X 624)
Par la méthode utilisée à la question 1. b), on trouve à la calculatrice :
p(20 6 X 6 24) ≈ 0, 11 à 10−2 près.
D’après la question 1. a), p(6 6 X 6 24) ≈ 0, 95 à 10−2 près, donc :
0,11
p{66X 624} (X > 20) ≈ 0,95
= 0, 12 au centième près.
Remarque : en utilisant une valeur arrondie plus précise du numérateur et du déno6X 624)
, on obtient aussi 0,12 comme valeur arrondie du
minateur de la fraction p(20
p(66X 624)
résultat au centième près.
116
Sujet 23
Liban, mai 2014, exercice 2
(4 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse. Pour chacune de ces questions, une seule des
réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. On ne demande pas de justification.
Chaque réponse exacte rapportera 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse n’apporte ni n’enlève de point.
Un fumeur est dit fumeur régulier s’il fume au moins une cigarette par jour.
En 2010, en France, la proportion notée p de fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans,
était de 0,236 (d’après l’Inpes).
On a p = 0, 236.
1 La probabilité que, sur un groupe de 10 jeunes âgés de 15 à 19 ans choisis au hasard
et de manière indépendante, aucun ne soit fumeur régulier est, à 10−3 près :
a) 0,136
b) 0
c) 0,068
d) 0,764
Remarquez que la variable aléatoire X qui donne le nombre de fumeurs suit une loi
binomiale.
2 Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 de la fréquence de fumeurs réguliers dans un échantillon de 500 jeunes âgés de 15 à 19 ans est :
(Les bornes de chaque intervalle sont données à 10−3 près.)
a) [0, 198 ; 0, 274]
b) [0, 134 ; 0, 238]
c) [0, 191 ; 0, 281]
d) [0, 192 ; 0, 280]
Souvenez-vous de la formule donnant l’intervalle de fluctuation en fonction des valeurs
n et p.
117
Sujet 23 | Énoncé
3 La taille n de l’échantillon choisi afin que l’amplitude de l’intervalle de fluctuation
au seuil de 0,95 soit inférieure à 0,01, vaut :
a) n = 200
b) n = 400
c) n = 21 167
d) n = 27 707
Il s’agit de déterminer l’amplitude de l’intervalle de fluctuation en fonction de n et de
résoudre une inéquation.
4 Dans un échantillon de 250 jeunes fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans, 99 sont
des filles. Au seuil de 95 %, un intervalle de confiance de la proportion de filles parmi
les fumeurs réguliers âgés de 15 à 19 ans est :
(Les bornes de chaque intervalle sont données à 10−2 près.)
a) [0, 35 ; 0, 45]
b) [0, 33 ; 0, 46]
c) [0, 39 ; 0, 40]
d) [0, 30 ; 0, 50]
Souvenez-vous de la formule donnant l’intervalle de confiance en fonction des valeurs
n et f = p.
118
Sujet 23 | Corrigé
1 c) 0,068
On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de fumeurs dans un groupe
de 10 jeunes âgés de 15 à 19 ans.
Les jeunes sont choisis successivement, au hasard et de manière indépendante. X suit
donc la loi binomiale B(10 ; 0, 236) car n = 10 et p = 0, 236.
La probabilité recherchée est : P (X = 0) = (1 − p)10 = (1 − 0, 236)10
= 0, 76410 ≈ 0, 068 à 10−3 près.
2 a) [0, 198 ; 0, 274]
On a n = 500 et p = 0, 236 et on vérifie que 0 < p = 0, 236 < 1, n = 500 > 30,
np = 500 × 0, 236 = 118 > 5 et n(1 − p) = 500 × 0, 764 = 382 > 5.
L’intervalle
au seuil de p
95 % deila fréquence de fumeurs réguliers est :
p
h de fluctuation
p(1−p)
p(1−p)
I500 = p − 1, 96 √n ; p + 1, 96 √n
p
p
h
i
0,236×(1−0,236)
0,236×(1−0,236)
√
√
I500 = 0, 236 − 1, 96
;
0,
236
+
1,
96
500
500
I500 ≈ [0, 198 ; 0, 274] en prenant les valeurs approchées des bornes à 10−3 près
(par défaut pour la première et par excès pour la seconde).
3 d) n = 27 707
L’intervalle
p au seuil de 0,95 est :
p
h de fluctuation
i
0,236×(1−0,236)
0,236×(1−0,236)
√
√
In = 0, 236 − 1, 96
;
0,
236
+
1,
96
pour un
n
n
échantillon de taille n.
p
p
3,92 0,236×(1−0,236)
0,236×(1−0,236)
√
√
=
.
Son amplitude est donc 2 × 1, 96
n
n
Pourp que son amplitude soit inférieure à 0, 01, il faut et il suffit que
3,92 0,236×(1−0,236)
√
< 0, 01 et on a :
n
p
p
√
3,92 0,236×(1−0,236)
3,92 0,236×(1−0,236)
√
6
0,
01
⇔
n
>
0,01
n
p
p
√
3,92 0,236×(1−0,236)
√
6 0, 01 ⇔ n >= 392 0, 236 × (1 − 0, 236)
n
p
3,92 0,236×(1−0,236)
√
n
6 0, 01 ⇔ n >= 3922 × 0, 236 × (1 − 0, 236) ≈ 27 706, 2 au
dixième près.
En prenant la valeur approchée par excès à 10−3 près, on a n = 27 707.
4 b) [0, 33 ; 0, 46]
h
L’intervalle de confiance au seuil de 95 % est f −
et f =
99
250
= 0, 396.
119
√1
n
; f+
√1
n
i
avec, ici, n = 250
Sujet 23 | Corrigé
On vérifie que n = 250 > 30, nf = 250 × 0, 396 = 99 > 5
et n(1 − f ) = 250 × 0, 604 = 151 > 5.
1
On obtient donc l’intervalle de confiance [0, 396 − √250
; 0, 396 +
−2
[0, 33 ; 0, 46] en arrondissant les bornes de l’intervalle à 10 près.
120
√1 ]
250
≈
Sujet 24
Inde, avril 2014, exercice 3
(5 points)
Les parties A, B et C sont indépendantes.
Partie A
Une société s’est intéressée à la probabilité qu’un de ses salariés, choisi au hasard,
soit absent durant une semaine donnée de l’hiver 2014.
On a évalué à 0,07 la probabilité qu’un salarié ait la grippe une semaine donnée. Si
le salarié a la grippe, il est alors absent.
Si le salarié n’est pas grippé cette semaine là, la probabilité qu’il soit absent est estimée à 0,04.
On choisit un salarié de la société au hasard et on considère les événements suivants :
– G : le salarié a la grippe une semaine donnée ;
– A : le salarié est absent une semaine donnée.
1 Vous devez reproduire et compléter l’arbre en indiquant les probabilités de chacune
des branches.
Complétez l’arbre pondéré en utilisant la formule :
pour tout événement A, P (Ā) = 1 − P (A).
121
Sujet 24 | Énoncé
2 Montrez que la probabilité P (A) de l’événement A est égale à 0, 1072.
Utilisez la formule des probabilités totales en déterminant une partition de A.
3 Pour une semaine donnée, calculez la probabilité qu’un salarié ait la grippe sachant
qu’il est absent. Donnez un résultat arrondi au millième.
Remarquez qu’il s’agit de calculer la probabilité conditionnelle PA (G).
Partie B
On admet que le nombre de journées d’absence annuel d’un salarié peut être modélisé
par une variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyenne µ = 14 et d’écart
type σ = 3, 5.
1 Justifiez, en utilisant un résultat du cours, que P (7 6 X 6 21) ≈ 0, 95.
Remarquez que le milieu de l’intervalle [7 ; 21] est µ = 14.
2 Calculez la probabilité, arrondie au millième, qu’un salarié comptabilise au moins
10 journées d’absence dans l’année.
Déterminez la probabilité recherchée en utilisant la formule suivante : pour tout nombre
réel x 6 µ, P (X 6 x) = 0, 5 − P (x 6 X 6 µ).
Partie C
Une mutuelle déclare que 22 % de ses adhérents ont dépassé 20 journées d’absence
au travail en 2013.
Afin d’observer la validité de cette affirmation, un organisme enquête sur un échantillon de 200 personnes, choisies au hasard et de façon indépendante, parmi les adhérents de la mutuelle. Parmi celles-ci, 28 ont comptabilisé plus de 20 journées d’absence en 2013.
Le résultat de l’enquête remet-il en question l’affirmation de la mutuelle ? Justifiez
la réponse. Vous pourrez vous aider du calcul d’un intervalle de fluctuation.
Pour répondre à la question, pensez à utiliser un intervalle de fluctuation.
Il s’agit de vérifier si la proportion des adhérents à la mutuelle comptabilisant plus de
20 journées d’absence en 2013 pour cet échantillon appartient ou non à cet intervalle.
122
Sujet 24 | Corrigé
Partie A
1 D’après l’énoncé, on a : P (G) = 0, 07 ; PG (A) = 1 ; PḠ (A) = 0, 04.
Pour compléter l’arbre de probabilités :
– P (Ḡ) = 1 − P (G) = 1 − 0, 07 = 0, 93 ;
– PḠ (Ā) = 1 − PḠ (A) = 1 − 0, 04 = 0, 96.
2 Les événements A ∩ G et A ∩ Ḡ forment une partition de l’événement A.
Donc, d’après la formule des probabilités totales :
P (A) = P (A ∩ G) + P (A ∩ Ḡ).
P (A) = PG (A) × P (G) + PḠ (A) × P (Ḡ), d’après la formule des probabilités
conditionnelles/
P (A) = 1 × 0, 07 + 0, 04 × 0, 93, d’après la question 1.
P (A) = 0, 07 + 0, 0372
P (A) = 0, 1072.
3 Il s’agit de calculer la probabilité conditionnelle PA (G).
D’après la formule des probabilités conditionnelles et la question 2. :
0,07
PA (G) = P P(A∩G)
= 0,1072
≈ 0, 653 arrondi au millième près.
(A)
Pour une semaine donnée, la probabilité qu’un salarié ait la grippe sachant qu’il est
absent est environ 0,653.
123
Sujet 24 | Corrigé
Partie B
1 La variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne µ = 14 et d’écart type
σ = 3, 5.
On a µ − 2σ = 14 − 2 × 3, 5 = 7 et µ + 2σ = 14 + 2 × 3, 5 = 21, donc :
P (7 6 X 6 21) = P (µ − 2σ 6 X 6 µ + 2σ) ≈ 0, 95 à 10−2 près, d’après le
cours.
2 Il s’agit de calculer la probabilité P (X > 10).
On a P (X > 10) = 1 − P (X < 10) = 1 − P (X 6 10).
De plus, pour tout nombre réel x 6 µ, P (X 6 x) = 0, 5 − P (x 6 X 6 µ), donc
pour x = 10 et µ = 14 :
P (X > 10) = 1 − P (X 6 10) = 1 − (0, 5 − P (10 6 X 6 14)) = 1 − 0, 5 +
P (10 6 X 6 14) = 0, 5 + P (10 6 X 6 14).
On calcule P (10 6 X 6 14) ≈ 0, 373, au millième près, à la calculatrice :
Avec une CASIO : dans les menus « STAT », puis « DIST », puis « NORM », puis
« ncd », entrer :
–
–
–
–
–
Lower : 10 ;
Upper : 14 ;
σ : 3.5 ;
µ : 14 ;
puis calculer.
Avec une T.I. : dans les menus « DIST » (avec « 2nd » puis «VARS »), puis
« normalcdf( » (ou bien « normalFRép( » selon les modèles), complétez en « normalcdf(10,14,14,3.5) » (ou bien « normalFRép(10,14,14,3.5) »).
On a donc P (X > 10) = 0, 5 + P (10 6 X 6 14) ≈ 0, 5 + 0, 373 ≈ 0, 873 au
millième près.
La probabilité qu’un salarié comptabilise au moins 10 journées d’absence dans l’année est environ 0,873.
124
Sujet 24 | Corrigé
Partie C
Il s’agit tout d’abord de calculer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % avec
22
n = 200 et p = 100
= 0, 22.
On vérifie que 0 < p = 0, 22 < 1, n = 200 > 30, np = 0, 22 × 200 = 44 > 5 et
n(1 − p) = 200 × 0, 78 = 156 > 5.
L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence des adhérents qui ont
dépasséh20 journées
est :
p d’absence au travail
p en 2013
i
p(1−p)
p(1−p)
√
√
I200 = p − 1, 96
; p + 1, 96
n
n
p
p
h
i
0,22(1−0,22)
0,22(1−0,22)
√
√
I200 = 0, 22 − 1, 96
;
0,
22
+
1,
96
200
200
I200 = [0, 163 ; 0, 277] en arrondissant à 10−3 près.
Dans l’échantillon de 200 personnes, 28 ont comptabilisé plus de 20 journées d’ab28
sence en 2013, soit une fréquence de 200
= 0, 14.
Or 0, 14 ∈
/ I200 = [0, 163 ; 0, 277], donc le résultat de l’enquête remet en question
l’affirmation de la mutuelle qui est fausse au seuil de 95 %.
125
Sujet 25
Nouvelle-Calédonie, mars 2014, exercice 1
(5 points)
Une classe est composée de 17 filles dont 8 étudient le russe et 9 l’allemand et de
23 garçons dont 12 étudient le russe et 11 l’allemand.
Chaque élève étudie une et une seule de ces deux langues vivantes.
On choisit un élève au hasard dans la classe et on définit les événements :
–
–
–
–
F l’événement : « l’élève choisi est une fille » ;
G l’événement : « l’élève choisi est un garçon » ;
R l’événement : « l’élève choisi étudie le russe » ;
A l’événement : « l’élève choisi étudie l’allemand ».
Rappel des notations :
Si X et Y sont deux événements, P (X) désigne la probabilité que l’événement X
se réalise et PY (X) désigne la probabilité que l’événement X se réalise sachant que
l’événement Y est réalisé.
X̄ désigne l’événement contraire de l’événement X .
Chaque résultat sera exprimé sous forme décimale exacte ou sous la forme d’une
fraction irréductible.
Vous pourrez utiliser un tableau ou un arbre.
1 Calculez P (G), P (R ∩ G) et P (R).
Pour calculer P (R), pensez à utiliser la formule des probabilités conditionnelles.
2 Quelle est la probabilité que l’élève choisi soit une fille qui étudie l’allemand ?
Remarquez que la probabilité recherchée est celle de l’intersection de deux événements.
3 L’élève choisi étudie le russe. Calculez la probabilité que cet élève soit un garçon.
Remarquez que la probabilité recherchée est une probabilité conditionnelle.
4 On procède successivement deux fois au choix d’un élève de la classe. Le même
élève peut être choisi deux fois.
Calculez la probabilité de l’événement : « Les deux élèves choisis n’étudient pas la
même langue ».
126
Sujet 25 | Corrigé
1 Dans cette classe, il y a 23 garçons sur un total de 17 + 23 = 40 élèves. On a donc
23
= 0, 575.
P (G) = 40
D’après la formule des probabilités conditionnelles, on a :
P (R ∩ G) = PG (R) × P (G).
Parmi les 23 garçons, 12 étudient le russe donc PG (R) = 12
, puis :
23
23
12
12
P (R ∩ G) = 23 × 40 = 40 = 0, 3.
Les événements R ∩ G et R ∩ F forment une partition de l’événement R.
Donc, d’après la formule des probabilités totales :
P (R) = P (R ∩ G) + P (R ∩ F )
P (R) = PG (R) × P (G) + PF (R) × P (F )
8
P (R) = 0, 3 + 17
× 17
40
8
P (R) = 0, 3 + 40
P (R) = 0, 3 + 0, 2
P (R) = 0, 5.
2 Il s’agit de déterminer la probabilité P (F ∩ A).
D’après la formule des probabilités conditionnelles, on a :
P (F ∩ A) = PF (A) × P (F ).
9
, puis :
Parmi les 17 filles, 9 étudient l’allemand donc PF (A) = 17
9
17
9
P (F ∩ A) = 17 × 40 = 40 = 0, 225.
3 Il s’agit de calculer la probabilité PR (G).
D’après la formule des probabilités conditionnelles, on a :
PR (G) = P P(R∩G)
= 0,3
= 0, 6 d’après les questions 1. et 2.
(G)
0,5
La probabilité que l’élève choisi soit un garçon sachant qu’il étudie le russe est 0, 6.
4 On définit les événements suivants :
–
–
–
–
R1 l’événement : « le premier élève choisi étudie le russe » ;
A1 l’événement : « le premier élève choisi étudie l’allemand » ;
R2 l’événement : « le second élève choisi étudie le russe » ;
A2 l’événement : « le second élève choisi étudie l’allemand ».
Il s’agit de calculer la probabilité P = P (R1 ∩ A2 ) + P (A1 ∩ R2 ).
D’après la formule des probabilités conditionnelles :
P = P (R1 ∩ A2 ) + P (A1 ∩ R2 ) = PR1 (A2 ) × P (R1 ) + PA1 (R2 ) × P (A1 ).
127
Sujet 25 | Corrigé
Or le choix du premier élève (et de la langue qu’il étudie) n’a pas d’influence sur le
choix du deuxième (et de la langue qu’il étudie), donc PR1 (A2 ) = P (A2 ) = P (A)
et PA1 (R2 ) = P (R2 ) = P (R).
Finalement, P = P (A2 ) × P (R1 ) + P (R2 ) × P (A1 ) = P (A) × P (R)
+P (R) × P (A) = 0, 5 × 0, 5 + 0, 5 × 0, 5 = 0, 25 + 0, 25 = 0, 5 car P (A) =
1 − P (R) = 0, 5.
La probabilité que les deux élèves choisis n’étudient pas la même langue est 0, 5.
128
Sujet 26
Sujet national, juin 2013, exercice 1
(6 points)
Une usine de composants électriques dispose de deux unités de production, A et B.
La production journalière de l’unité A est de 600 pièces, celle de l’unité B est de
900 pièces.
On prélève au hasard un composant de la production d’une journée.
La probabilité qu’un composant présente un défaut de soudure sachant qu’il est produit par l’unité A est égale à 0,014.
La probabilité qu’un composant présente un défaut de soudure sachant qu’il est produit par l’unité B est égale à 0,024.
On note :
– D l’événement : « le composant présente un défaut de soudure » ;
– A l’événement : « le composant est produit par l’unité A » ;
– B l’événement : « le composant est produit par l’unité B ».
On note p(D) la probabilité de l’événement D et pA (D) la probabilité de l’événement
D sachant que l’événement A est réalisé.
Partie A : Généralités
1 a) D’après les données de l’énoncé, précisez pA (D) et pB (D).
b) Calculez p(A) et p(B).
Par exemple, p(A) se calcule en divisant le nombre de composants électriques fabriqués
chaque jour par l’unité A, par le nombre total de composants fabriqués chaque jour par
les deux unités.
129
Sujet 26 | Énoncé
2 Recopiez et complétez l’arbre de probabilités ci-dessous.
Pour compléter, utilisez la formule :
pour tout événement A, p(Ā) = 1 − p(A).
3 a) Calculez p(A ∩ D) et p(B ∩ D).
Utilisez la formule des probabilités conditionnelles.
b) Vous devez en déduire p(D).
Utilisez la formule des probabilités totales en déterminant une partition de D.
4 On prélève dans la production totale un composant présentant un défaut de soudure. Quelle est la probabilité qu’il provienne de l’unité A ?
Remarquez qu’il s’agit de calculer la probabilité conditionnelle pA (D).
Partie B : Contrôle de qualité
On suppose que les composants doivent présenter une résistance globale comprise
entre 195 et 205 ohms.
On admet que la variable aléatoire R qui, à un composant prélevé au hasard dans la
production, associe sa résistance, suit une loi normale de moyenne µ = 200, 5 et
d’écart type σ = 3, 5.
On prélève un composant dans la production.
Les résultats seront arrondis à 0,0001 près, ils pourront être obtenus à l’aide de la
calculatrice ou de la table fournie en fin de sujet.
130
Sujet 26 | Énoncé
1 Calculez la probabilité p1 de l’événement : « La résistance du composant est supérieure à 211 ohms ».
Pensez à utiliser l’événement contraire et l’extrait de la table de cette loi normale.
2 Calculez la probabilité p2 de l’événement : « La résistance du composant est comprise dans l’intervalle de tolérance indiqué dans l’énoncé ».
Utilisez la calculatrice ou la table de cette loi normale pour calculer :
p(195 6 R 6 205).
3 On prélève au hasard dans la production trois composants. On suppose que les
prélèvements sont indépendants l’un de l’autre et que la probabilité qu’un composant
soit accepté est égale à 0,84.
Déterminez la probabilité p qu’exactement deux des trois composants prélevés soient
acceptés.
Remarquez qu’il s’agit de calculer p à l’aide d’une formule, en reconnaissant une loi
binomiale.
Extrait de la table de la loi normale pour µ = 200, 5 et θ = 3, 5
t
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
p(X 6 t)
0,0000
0,0001
0,0002
0,0005
0,0013
0,0033
0,0076
0,0161
0,0316
0,0580
t
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
p(X 6 t)
0,0993
0,1587
0,2375
0,3341
0,4432
0,5568
0,6659
0,7625
0,8413
0,9007
t
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
131
p(X 6 t)
0,9420
0,9684
0,9839
0,9924
0,9967
0,9987
0,9995
0,9998
0,9999
1,0000
Sujet 26 | Corrigé
Partie A : Généralités
1 a) D’après l’énoncé, on a : pA (D) = 0, 0014 et pB (D) = 0, 024.
b) D’après l’énoncé, on a :
p(A) =
p(B) =
600
600+900
900
600+900
=
=
600
1 500
900
1 500
=
=
6
15
9
15
=
=
2
5
3
5
= 0, 4 ;
= 0, 6.
2 D’après l’énoncé et les questions précédentes, on a :
p(A) = 0, 4 ; p(B) = 0, 6 ; pA (D) = 0, 014 ; pB (D) = 0, 024.
Pour compléter l’arbre de probabilités :
pA (D̄) = 1 − pA (D) = 1 − 0, 014 = 0, 986 ;
pB (D̄) = 1 − pB (D) = 1 − 0, 024 = 0, 976.
3 a) D’après la formule des probabilités conditionnelles et la question 1 a) :
p(A ∩ D) = pA (D) × p(A)
p(A ∩ D) = 0, 014 × 0, 4 = 0, 0056 ;
p(B ∩ D) = pB (D) × p(B)
p(B ∩ D) = 0, 024 × 0, 6 = 0, 0144.
b) Les événements A ∩ D et B ∩ D forment une partition de l’événement D .
D’après la formule des probabilités totales :
p(D) = p(A ∩ D) + p(B ∩ D)
p(D) = 0, 0056 + 0, 0144 = 0, 02.
132
Sujet 26 | Corrigé
4 Il s’agit de calculer la probabilité conditionnelle pD (A).
D’après la formule des probabilités conditionnelles et les questions 3. a) et 3. b) :
pD (A) = p(A∩D)
= 0,0056
= 0, 28.
p(D)
0,02
Si on prélève dans la production totale un composant présentant un défaut de soudure,
la probabilité qu’il provienne de l’unité A est pD (A) = 0, 28.
Partie B : Contrôle de qualité
1 Il s’agit de calculer p1 = p(R > 211).
p 1 = p(R > 211) = 1 − p(R 6 211)
car p(R < 211) = p(R 6 211).
D’après l’extrait de la table de la loi normale de moyenne µ = 200, 5 et d’écart type
σ = 3, 5 :
p1 ≈ 1 − 0, 9987 ≈ 0, 0013 à 0, 0001 près.
La probabilité que la résistance du composant soit supérieure à 211 ohms est 0, 0013
à 0, 0001 près.
2 Il s’agit de calculer p2 = p(195 6 R 6 205). On a :
p2 = p(195 6 R 6 205)
p2 = p(R 6 205) − p(R 6 195)
p2 ≈ 0, 9007 − 0, 0580 ≈ 0, 8427 à 0, 0001 près, d’après l’extrait de la table de
cette loi normale. On peut aussi calculer cette valeur à la calculatrice.
Avec une CASIO : dans les menus « STAT », puis « DIST », puis « NORM », puis
« ncd », entrer :
–
–
–
–
–
Lower : 195 ;
Upper : 205 ;
σ : 3.5 ;
µ : 200.5 ;
puis calculer.
Avec une T.I. : dans les menus « DIST » (avec « 2nd » puis « VARS »), puis
« normalcdf( » (ou bien « normalFRép( » selon les modèles), complétez en « normalcdf(195,205,200.5,3.5) » (ou bien « normalFRép(195,205,200.5,3.5) »).
133
Sujet 26 | Corrigé
La probabilité que la résistance du composant soit comprise dans l’intervalle de tolérance indiqué dans l’énoncé est 0, 8427 à 0, 0001 près.
3 On effectue au hasard un prélèvement dans la production de trois composants, où
chaque prélèvement est indépendant des autres et où il y a deux possibilités pour le
composant prélevé (accepté avec la probabilité de 0, 84 ou non).
Il s’agit donc d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire X qui donne le nombre
de composants acceptés suit une loi binomiale B(3 ; 0, 84).
La probabilité cherchée est p = p(X = 2).
Or pour tout entier k tel que 0 6 k 6 3,
p(X = k) = (3k ) × 0, 84k × (1 − 0, 84)3−k .
Donc p(X = 2) = (32 ) × 0, 842 × 0, 16
p(X = 2) = 3 × 0, 842 × 0, 16
p(X = 2) = 0, 338688 ≈ 0, 3387 à 0, 0001 près.
La probabilité qu’exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés est
0, 3387 à 0, 0001 près.
134
Sujet 27
Sujet national, septembre 2013, exercice 1
(5 points)
Un opérateur de téléphonie mobile organise une campagne de démarchage par téléphone pour proposer la souscription d’un nouveau forfait à sa clientèle, composée à
65 % d’hommes.
Des études préalables ont montré que 30 % des hommes contactés écoutent les explications, les autres raccrochant aussitôt (ou se déclarant immédiatement non intéressés). Parmi les femmes, 60 % écoutent les explications.
On admet que ces proportions restent stables.
Partie A
On choisit au hasard une personne dans le fichier clients. Chaque personne a la même
probabilité d’être choisie.
On note :
–
–
–
–
H l’événement « la personne choisie est un homme » ;
F l’événement « la personne choisie est une femme » ;
E l’événement « la personne choisie écoute les explications du démarcheur » ;
Ē l’événement contraire de E .
Rappel des notations :
Si A et B sont deux événements donnés, P (A) désigne la probabilité que l’événement A se réalise et PB (A) désigne la probabilité de l’événement A sachant que
l’événement B est réalisé.
135
Sujet 27 | Énoncé
1 Recopiez et complétez l’arbre de probabilité proposé ci-dessous :
Complétez l’arbre pondéré en utilisant les données de l’énoncé, ainsi que la formule
donnant la probabilité du complémentaire d’un événement.
2 a) Traduisez par une phrase l’événement E ∩ F et calculer sa probabilité.
Utilisez la formule des probabilités conditionnelles.
b) Montrez que la probabilité que la personne choisie écoute les explications du dé-
marcheur est égale à 0,405.
Utilisez la formule des probabilités totales en déterminant une partition de E .
c) Le démarcheur s’adresse à une personne qui l’écoute. Quelle est la probabilité que
ce soit un homme ? Vous donnerez le résultat arrondi au centième.
Utilisez de nouveau la formule des probabilités conditionnelles, avec des résultats numériques des questions précédentes.
Partie B
Les relevés réalisés au cours de ces premières journées permettent également de
constater que 12 % des personnes interrogées souscrivent à ce nouveau forfait.
Chaque employé de l’opérateur effectue 60 appels par jour.
On suppose le fichier suffisamment important pour que les choix soient considérés
réalisés de façon indépendante et dans des conditions identiques.
On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées
par un employé donné un jour donné.
136
Sujet 27 | Énoncé
1 Justifiez que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les
paramètres.
Il s’agit de trouver les valeurs n et p de cette loi binomiale B(n ; p).
2 Déterminez la probabilité que l’employé obtienne 5 souscriptions un jour donné.
Vous arrondirez le résultat au centième.
Il s’agit de calculer P (X = 5) à l’aide d’une formule.
3 Déterminez la probabilité que l’employé obtienne au moins une souscription un
jour donné. Vous donnerez une valeur arrondie au dix millième.
Il s’agit de calculer P (X > 1). Pour cela, pensez à utiliser le complémentaire de
l’événement {X > 1}.
137
Sujet 27 | Corrigé
Partie A
1 On a P (H) =
65
100
= 0, 65.
Parmi les hommes contactés, 30 % écoutent les explications.
30
On a donc PH (E) = 100
= 0, 3.
Parmi les femmes contactées, 60 % écoutent les explications.
60
On a donc PF (E) = 100
= 0, 6.
Pour compléter l’arbre pondéré :
P (F ) = P (H̄) = 1 − P (H) = 1 − 0, 65 = 0, 35.
PH (Ē) = 1 − PH (E) = 1 − 0, 3 = 0, 7.
PF (Ē) = 1 − PF (E) = 1 − 0, 6 = 0, 4.
2 a) L’événement E ∩ F est l’événement « la personne choisie est une femme qui
écoute les explications du démarcheur ».
D’après la formule des probabilités conditionnelles, on a :
P (E ∩ F ) = PF (E) × P (F ) = 0, 6 × 0, 35 = 0, 21.
b) Il s’agit de calculer la probabilité P (E).
Les événements E ∩ H et E ∩ H̄ = E ∩ F forment une partition de l’événement E .
Donc, d’après la formule des probabilités totales :
P (E) = P (E ∩ H) + P (E ∩ F ) = PH (E) × P (H) + 0, 21 = 0, 3 × 0, 65 + 0, 21
= 0, 195 + 0, 21 = 0, 405.
La probabilité que la personne choisie écoute les explications du démarcheur est bien
égale à 0,405.
138
Sujet 27 | Corrigé
c) Il s’agit de calculer la probabilité PE (H).
D’après la formule des probabilités conditionnelles et la question 2. b), on a :
0,195
PE (H) = P (E∩H)
(E) = 0,405
≈ 0, 48 au centième près.
P
Partie B
1 Dans les relevés réalisés au cours des premières journées, chaque employé effectue
successivement et de façon indépendante 60 appels par jour à des personnes prises
au hasard. On a donc n = 60.
La probabilité que la personne interrogée souscrive au nouveau forfait est
12
= 0, 12.
p = 100
La variable aléatoire X suit donc la loi binomiale B(60 ; 0, 12).
2 Il s’agit de calculer P (X = 5).
Pour tout k ∈ N, 0 6 k 6 60, P (X = k) = (nk ) × pk × (1 − p)60−k .
Donc, pour k = 5 :
5
55
≈ 0, 12 au centième près.
P (X = 5) = (60
5 ) × 0, 12 × 0, 88
La probabilité que l’employé obtienne 5 souscriptions un jour donné est 0, 12 au
centième près.
3 Il s’agit de calculer P (X > 1).
L’événement contraire de l’événement X > 1 est l’événement X = 0.
0
60
On a donc : P (X > 1) = 1−P (X = 0) = 1−(60
= 1−(1−p)60
0 )×p ×(1−p)
= 1 − 0, 8860 ≈ 0, 9995 au dix millième près.
La probabilité que l’employé obtienne au moins une souscription un jour donné est
0, 9995 au dix millième près.
139
Sujet 28
Liban, mai 2013, exercice 4
(5 points)
Un propriétaire d’une salle louant des terrains de squash s’interroge sur le taux d’occupation de ses terrains. Sachant que la location d’un terrain dure une heure, il a
classé les heures en deux catégories : les heures pleines (soir et week-end) et les
heures creuses (le reste de la semaine). Dans le cadre de cette répartition, 70 % des
heures sont creuses.
Une étude statistique sur une semaine lui a permis de s’apercevoir que
– lorsque l’heure est creuse, 20 % des terrains sont occupés ;
– lorsque l’heure est pleine, 90 % des terrains sont occupés.
On choisit un terrain de la salle au hasard. On notera les événements :
– C : « l’heure est creuse » ;
– T : « le terrain est occupé ».
1 Représentez cette situation par un arbre de probabilités.
Complétez l’arbre pondéré en utilisant la formule :
pour tout événement A, P (Ā) = 1 − P (A).
2 Déterminez la probabilité que le terrain soit occupé et que l’heure soit creuse.
Il s’agit de calculer la probabilité d’une intersection d’événements : pensez à utiliser la
formule des probabilités conditionnelles.
3 Déterminez la probabilité que le terrain soit occupé.
Utilisez la formule des probabilités totales en déterminant une partition de T .
4 Montrez que la probabilité que l’heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé,
est égale à 27
.
41
Remarquez qu’il s’agit de calculer une probabilité conditionnelle et pensez à utiliser
les résultats numériques précédents.
Dans le but d’inciter ses clients à venir hors des heures de grande fréquentation, le
propriétaire a instauré, pour la location d’un terrain, des tarifs différenciés :
– 10 ¤ pour une heure pleine ;
– 6 ¤ pour une heure creuse.
140
Sujet 28 | Énoncé
On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur la recette en euros obtenue grâce
à la location d’un terrain de la salle, choisi au hasard. Ainsi, X prend 3 valeurs :
– 10 lorsque le terrain est occupé et loué en heure pleine ;
– 6 lorsque le terrain est occupé et loué en heure creuse ;
– 0 lorsque le terrain n’est pas occupé.
5 Construisez le tableau décrivant la loi de probabilité de X .
Pour compléter le tableau, déterminez l’événement associé à chacune des trois sommes,
puis sa probabilité à l’aide des questions précédentes.
6 Déterminez l’espérance de X .
P4
Souvenez-vous de la formule de l’espérance : i=1 xi × pi avec pi = P (X = xi ).
7 La salle comporte 10 terrains et est ouverte 70 heures par semaine.
Calculez la recette hebdomadaire moyenne de la salle.
N’oubliez pas que l’espérance représente la recette moyenne de la location d’un terrain
de la salle, pour une heure donnée.
141
Sujet 28 | Corrigé
1 D’après l’énoncé, on a :
70
= 0, 7 ;
P (C) = 100
20
PC (T ) = 100
= 0, 2 ;
90
PC̄ (T ) = 100 = 0, 9.
Pour compléter l’arbre de probabilités :
P (C̄) = 1 − P (C) = 1 − 0, 7 = 0, 3 ;
PC (T̄ ) = 1 − PC (T ) = 1 − 0, 2 = 0, 8 ;
PC̄ (T̄ ) = 1 − PC̄ (T ) = 1 − 0, 9 = 0, 1.
0,7
0,3
0,2
T
0,8
T
0,9
T
0,1
T
C
C
2 Il s’agit de calculer P (C ∩ T ).
D’après la formule des probabilités conditionnelles et d’après la question précédente :
P (C ∩ T ) = PC (T ) × P (C) = 0, 2 × 0, 7 = 0, 14.
La probabilité que le terrain soit occupé et que l’heure soit creuse est donc 0,14.
3 Il s’agit de calculer P (T ).
Les événements C ∩ T et C̄ ∩ T forment une partition de l’événement T.
D’après la formule des probabilités totales :
P (T ) = P (C ∩ T ) + P (C ∩ T̄ ).
D’après la question 2. et la formule des probabilités conditionnelles :
P (T ) = 0, 14 + PC̄ (T ) × P (C̄).
Comme PC̄ (T ) = 0, 9 et P (C̄) = 0, 3, on a :
P (T ) = 0, 14 + 0, 9 × 0, 3
P (T ) = 0, 14 + 0, 27
P (T ) = 0, 41.
La probabilité que le terrain soit occupé est donc 0,41.
142
Sujet 28 | Corrigé
4 Il s’agit de calculer PT (C̄).
D’après la formule des probabilités conditionnelles :
PT (C̄) =
P (T ∩C̄)
P (T )
=
0,27
0,41
=
27
,
41
d’après les calculs de la question 3..
La probabilité que l’heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, est donc bien
27
.
égale à 41
5 Chaque somme est associée à un événement.
10 ¤ : l’événement T ∩ C̄ de probabilité P (T ∩ C̄) = 0, 27 (question 3.) ;
6 ¤ : l’événement T ∩ C de probabilité P (T ∩ C) = 0, 14 (question 2.) ;
0 ¤ : l’événement T̄ de probabilité P (T̄ ) = 1 − P (T ) = 1 − 0, 41 = 0, 59
(question 3.).
On obtient le tableau qui décrit la loi de probabilité de X suivant :
X = xi
pi = P (X = xi )
0
P (T̄ ) = 0, 59
6
P (C ∩ T ) = 0, 14
10
P (C̄ ∩ T ) = 0, 27
6 En notant E(X) l’espérance de la variable aléatoire X qui suit la loi de probabilité
définie dans le tableau de la question 5., on a :
P
E(X) = 3i=1 xi × pi avec pi = P (X = xi ).
En utilisant les données du tableau, on a :
E(X) = 0 × 0, 59 + 6 × 0, 14 + 10 × 0, 27 = 0 + 0, 84 + 2, 7 = 3, 54 ¤.
La recette moyenne de la location d’un terrain de la salle, pour une heure donnée, est
donc de 3,54 ¤.
7 3,54 ¤ est la recette moyenne, pour une heure donnée, de la location d’un terrain
de la salle.
Si la salle comporte 10 terrains et est ouverte 70 heures par semaine, la recette heb-
domadaire moyenne de la salle est :
10 × 70 × E(X) = 700 × 3, 54 = 2 478 ¤.
143
Sujet 29
Amérique du Nord, mai 2013, exercice 2
(5 points)
Dans cet exercice, les résultats seront donnés à 10−3 près.
1 Une étude interne d’une grande banque a montré qu’on peut estimer que l’âge
moyen d’un client demandant un crédit immobilier est une variable aléatoire, notée
X , qui suit la loi normale de moyenne 40,5 et d’écart type 12.
a) Calculez la probabilité que le client demandeur d’un prêt soit d’un âge compris
entre 30 et 35 ans.
Utilisez la calculatrice pour calculer P (30 6 X 6 35).
b) Calculez la probabilité que le client demandeur d’un prêt soit d’un âge supérieur
ou égal à 55 ans.
Déterminez la probabilité cherchée et utilisez la formule suivante : pour tout nombre
réel x > µ, P (X 6 x) = 0, 5 + P (µ 6 X 6 x)
2 Dans un slogan publicitaire, la banque affirme que 75 % des demandes de prêts
immobiliers sont acceptées.
Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 1 000 demandes choisies au
hasard et de façon indépendante, associe la fréquence de demandes de prêt immobilier
acceptées.
a) Donnez un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence
de prêts acceptés par la banque.
À l’aide de l’énoncé, déterminez les valeurs n et p de l’intervalle de fluctuation. Pensez
à arrondir les bornes à 10−3 près.
b) Dans une agence de cette banque, on a observé que, sur les 1 000 dernières de-
mandes effectuées, 600 demandes ont été acceptées.
Énoncez une règle de décision permettant de valider ou non le slogan publicitaire de
la banque, au niveau de confiance 95 %.
Pour énoncer une règle, souvenez-vous de la définition de l’intervalle de fluctuation
asymptotique au seuil de 95 %.
c) Que pensez-vous du slogan publicitaire de la banque ?
Que pouvez-vous dire à propos des données de la question 2. b) et de l’intervalle de
fluctuation trouvé à la question 2. a).
144
Sujet 29 | Corrigé
1 a) La variable aléatoire X suit la loi normale N (40, 5 ; 122 ) et il s’agit de déterminer P (30 6 X 6 35) en utilisant la calculatrice.
Avec une CASIO : dans les menus « STAT », puis « DIST », puis « NORM », puis
« ncd », entrez :
–
–
–
–
–
Lower : 30 ;
Upper : 35 ;
σ : 12 ;
µ : 40.5 ;
puis calculez.
145
Sujet 29 | Corrigé
Avec une T.I. : dans les menus « DIST » (avec « 2nd » puis « VARS »), puis
« normalcdf( » ou bien « normalFRép( », selon les modèles, complétez en « normalcdf(30,35,40.5,12) » ou bien « normalFRép(30,35,40.5,12) ».
On obtient : P (30 6 X 6 35) ≈ 0, 133 à 10−3 près.
La probabilité que le client demandeur d’un prêt soit d’un âge compris entre 30 et
35 ans est d’environ 0,133.
b) La variable aléatoire X suit la loi normale N (40, 5 ; 122 ), il s’agit de déterminer
P (X > 55) ou encore 1 − P (X 6 55).
Or pour tout nombre réel x > µ = 40, 5,
P (X 6 x) = 0, 5 + P (40, 5 6 X 6 x).
Donc avec x = 55 :
P (X > 55) = 1 − P (X 6 55)
P (X > 55) = 1 − (0, 5 + P (40, 5 6 X 6 55))
P (X > 55) = 0, 5 − P (40, 5 6 X 6 55).
Déterminons P (40, 5 6 X 6 55) en utilisant la calculatrice.
Avec une CASIO : dans les menus « STAT », puis « DIST », puis « NORM », puis
« ncd », entrez :
–
–
–
–
–
Lower : 40,5 ;
Upper : 55 ;
σ : 12 ;
µ : 40.5 ;
Puis calculez.
Avec une T.I. : dans les menus « DIST » (avec « 2nd » puis « VARS »),
puis « normalcdf( » ou bien « normalFRép( » selon les modèles, complétez en « normalcdf(40.5,55,40.5,12) » ou bien « normalFRép(40.5,55,40.5,12) ».
On obtient : P (40, 5 6 X 6 55) ≈ 0, 387 à 10−3 près.
On a donc P (X > 55) ≈ 0, 5 − 0, 387 ≈ 0, 113 à 10−3 près.
La probabilité que le client n’ait pas demandé un prêt immobilier avant 55 ans est
environ 0,113.
2 a) On a n = 1 000 et p =
75
100
= 0, 75 et on vérifie que 0 < p = 0, 75 < 1,
n = 1 000 > 30, np = 0, 75 × 1 000 = 750 > 5 et n(1 − p) = 1 000 × 0, 25 =
250 > 5.
146
Sujet 29 | Corrigé
L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de prêts acceptés par la
banque est
p
p
h :
i
p(1−p)
p(1−p)
I1 000 = p − 1, 96 √n ; p + 1, 96 √n
p
p
h
i
0,75(1−0,75)
0,75(1−0,75)
I1 000 = 0, 75 − 1, 96 √1 000
; 0, 75 + 1, 96 √1 000
I1 000 = [0, 723 ; 0, 777] en arrondissant à 10−3 près.
b) Pour valider le slogan publicitaire, au niveau de confiance 95 %, il faut que la
fréquence observée appartienne à l’intervalle I1 000 .
Si la fréquence observée n’appartient pas à cet intervalle, le slogan publicitaire ne
sera pas validé au niveau de confiance de 95 %.
c) On a 1600
= 0, 6 ∈
/ I1 000 = [0, 723 ; 0, 777], donc le slogan publicitaire de la
000
banque n’est pas validé au seuil de 95 %.
147
Sujet 30
Inde, avril 2013, exercice 2
(5 points)
Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur point
de vue sur la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.
L’enquête révèle que 55 % des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi
et parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95 % sont pour une répartition
des cours plus étalée sur l’année scolaire.
Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10 % sont
pour une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.
On choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les événements suivants :
– L : « l’élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi » ;
– C : « l’élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire ».
1 Construisez un arbre pondéré décrivant la situation.
Complétez l’arbre pondéré en utilisant la formule :
pour tout événement A, P (Ā) = 1 − P (A).
2 Calculez P (L ∩ C) la probabilité de l’événement L ∩ C .
Utilisez la formule des probabilités conditionnelles.
3 Montrez que P (C) = 0, 5675.
Utilisez la formule des probabilités totales en trouvant une partition de C .
4 Calculez PC (L), la probabilité de l’événement L sachant l’événement C réalisé.
Donnez en une valeur arrondie à 10−4 .
Utilisez de nouveau la formule des probabilités conditionnelles, avec les résultats numériques des questions précédentes.
5 On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l’établissement. Soit X la variable aléatoire qui donne le
nombre d’élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l’année sco-
laire. Le nombre d’élèves étant suffisamment grand, on considère que X suit une loi
binomiale.
148
Sujet 30 | Énoncé
a) Précisez les paramètres de cette loi binomiale.
IIl s’agit de trouver les valeurs n et p de cette loi binomiale B(n ; p).
b) Calculez la probabilité qu’aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une
répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire. Donnez en une valeur arrondie
à 10−4 .
Remarquez que le résultat est une probabilité élevée à la puissance 4.
c) Calculez la probabilité qu’exactement deux élèves soient favorables à une réparti-
tion des cours plus étalée sur l’année scolaire.
Il s’agit de calculer P (X = 2) à l’aide d’une formule.
149
Sujet 30 | Corrigé
1 Pour compléter l’arbre pondéré, on calcule :
P (L̄) = 1 − P (L) = 1 − 0, 55 = 0, 45.
PL (C̄) = 1 − PL (C) = 1 − 0, 95 = 0, 05.
PL̄(C̄) = 1 − PL̄ (C) = 1 − 0, 1 = 0, 9.
0,55
0,45
0,95
C
0,05
C
0,1
C
0,9
C
L
L
2 D’après la formule des probabilités conditionnelles :
P (L ∩ C) = PL (C) × P (L) = 0, 95 × 0, 55 = 0, 5225.
3 Les événements L ∩ C et L̄ ∩ C forment une partition de l’événement C .
Donc, d’après la formule des probabilités totales :
P (C) = P (L ∩ C) + P (L̄ ∩ C)
P (C) = PL (C) × P (L) + PL̄ (C) × P (L̄)
P (C) = 0, 5225 + 0, 1 × 0, 45
P (C) = 0, 5225 + 0, 045 = 0, 5675.
4 D’après la formule des probabilités conditionnelles :
PC (L) =
P (L∩C
P (C)
=
0,5225
0,5675
≈ 0, 9207 à 10−4 près.
5 a) On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au ha-
sard donc n=4.
La probabilité qu’un élève soit favorable à une répartition des cours plus étalée
sur l’année scolaire est P (C) = 0, 5675 = p. La loi binomiale est donc la loi
B(4 ; 0, 5675).
b) La probabilité qu’un élève ne soit pas favorable à une répartition des cours plus
étalée sur l’année scolaire est : 1 − p = 1 − 0, 5675 = 0, 4325.
150
Sujet 30 | Corrigé
La probabilité qu’aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire est donc P (X = 0) = (1 − p)4 =
0, 43254
=≈ 0, 0350 à 10−4 près.
c) La probabilité cherchée est P (X = 2).
Or pour tout entier naturel k tel que 0 > k > 4, P (X = k) = (4k ) × pk × (1 − p)4−k
donc P (X = 2) = (42 ) × 0, 56752 × 0, 43252 = 6 × 0, 56752 × 0, 43252 ≈ 0, 3615
à 10−4 près.
La probabilité qu’exactement deux élèves soient favorables à une répartition des
cours plus étalée sur l’année scolaire est 0, 3615 à 10−4 près.
151
Sujet 31
Sujet national, juin 2014, exercice 2
(5 points)
À l’automne 2010, Claude achète une maison à la campagne ; il dispose d’un terrain
de 1 500 m2 entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20 % de la surface engazonnée
est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne,
la mousse sur une surface de 50 m2 et la remplace par du gazon.
Pour tout nombre entier naturel n, on note un la surface en m2 de terrain engazonné
au bout de n années, c’est-à-dire à l’automne 2010 + n. On a donc u0 = 1500.
1 Calculer u1 .
Pour répondre à la question, commencez par calculer l’aire de la surface engazonnée
restante, puis rajoutez à celle-ci l’aire de la surface de mousse remplacée par du gazon.
2 Justifier que, pour tout nombre entier naturel n, un+1 = 0, 8un + 50.
Généralisez le raisonnement de la question 1.
3 On considère la suite (vn ) définie pour tout nombre entier naturel n par :
vn = un − 250.
a) Démontrer que la suite (vn ) est géométrique. Préciser son premier terme et sa rai-
son.
Montrez que pour tout entier naturel n, vn+1 peut s’écrire sous la forme :
vn+1 = 0, 8 × vn .
b) Exprimer vn en fonction de n.
En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, un = 250 + 1 250 × 0, 8n .
Il s’agit de trouver le terme général de cette suite géométrique.
Exprimez ensuite, pour tout entier naturel n, un en fonction vn pour déterminer son
expression.
c) Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 4 années ?
Il s’agit de calculer u4 : pensez à utiliser la formule de la question b).
4 a) Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l’entier naturel n telle que :
250 + 1 250 × 0, 8n < 500. Interpréter le résultat obtenu.
Pensez à raisonner par équivalence et à utiliser la fonction logaritme népérien.
152
Sujet 31 | Énoncé
b) Compléter l’algorithme qui suit pour qu’il affiche la solution obtenue à la question
précédente.
Initialisation :
u prend la valeur 1 500
n prend la valeur 0
Traitement :
Tant que... faire
u prend la valeur...
n prend la valeur...
Fin Tant que
Sortie :
Afficher n
Utilisez le résultat obtenu à la question 2.
5 Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son
terrain. A-t-il raison ? Justifier la réponse.
Pour pouvoir répondre, montrez que la suite (un ) est décroissante et calculez sa limite.
153
Sujet 31 | Corrigé
1 Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 20 % est : 1 −
20
100
= 0, 8.
Peu avant l’automne 2011, il reste 0, 8 × 1 500 = 1200 m de gazon qui n’ont pas
été remplacés par de la mousse.
À l’automne 2011, Claude remplace 50 m2 de mousse par du gazon.
L’aire de la surface engazonnée à cette date est donc u1 = 1 200 + 50 = 1 250 m2 .
2
2 Soit n un entier naturel. L’aire de la surface engazonnée à l’automne de l’année
2010 + n est un . Peu avant l’automne de l’année 2010 + (n + 1), 20 % de cette
surface est remplacée par de la mousse : l’aire de la surface engazonnée restante est
0, 8 × un . À l’automne 2010 + (n + 1), Claude remplace 50 m2 de mousse par du
gazon. L’aire de la surface engazonnée à cette date est donc un+1 = 0, 8 × un + 50,
pour tout entier naturel n.
3 a) Pour tout entier naturel n, vn+1 = un+1 − 250, puis
vn+1
vn+1
vn+1
vn+1
vn+1
= 0, 8 × un + 50 − 250 par définition de un+1
= 0, 8 × un − 200
= 0, 8 × un − 0, 8 × 250 car 200 = 0, 8 × 250
= 0, 8 × (un − 250) en factorisant l’expression par 0, 8
= 0, 8 × vn par définition de vn .
La suite (vn ) est donc une suite géométrique de raison q = 0, 8 et de premier terme
v0 = u0 − 250 = 1 500 − 250 = 1 250.
b) D’après la formule donnant le terme général d’une suite géométrique en fonction
de son premier terme v0 = 1 250 et de sa raison q = 0, 8, on a :
vn = v0 × q n = 1 250 × 0, 8n pour tout nombre entier naturel n.
Pour tout nombre entier naturel n, on a un = vn + 250 = 250 + 1 250 × 0, 8n .
c) L’aire de la surface de terrain engazonné au bout de 4 années, c’est-à-dire à l’automne 2014, est u4 = 250 + 1 250 × 0, 84 = 762 m2 .
4 a) Soit n un entier naturel.
250 + 1 250 × 0, 8n < 500 ⇔ 1 250 × 0, 8n < 500 − 250 = 250
250 + 1 250 × 0, 8n < 500 ⇔ 0, 8n < 1250
= 15 = 0, 2
250
250 + 1 250 × 0, 8n < 500 ⇔ ln(0, 8n ) < ln(0, 2) car la fonction ln est strictement
croissante sur ]0 ; +∞[
250 + 1 250 × 0, 8n < 500 ⇔ n ln(0, 8) < ln(0, 2) car ln(an ) = n ln a pour tout
a ∈]0 ; +∞[ et n ∈ N
154
Sujet 31 | Corrigé
250 + 1 250 × 0, 8n < 500 ⇔ n >
ln(0,2)
ln(0,8)
car ln(0, 8) < ln(1) = 0
ln(0,2)
ln(0,8)
≈ 7, 2 au dixième près.
La plus petite valeur n telle que 250+1 250 × 0, 8n = un < 500 est donc 8. Pour tout
entier naturel n, un étant l’aire de la surface (en m2 ) de terrain engazonné à l’automne
2010 + n, cette aire est strictement inférieur à 500 m2 à partir de l’automne 2018.
b) Initialisation :
u prend la valeur 1 500
n prend la valeur 0
Traitement :
Tant que u > 500 faire
u prend la valeur 0, 8 × u + 50
n prend la valeur n + 1
Fin Tant que
Sortie :
Afficher n
5 Montrons que la suite (un ) est décroissante et qu’elle a pour limite 250.
On pourra en conclure que un > 250 pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n :
un+1 − un = 250 + 1 250 × 0, 8n+1 − (250 + 1 250 × 0, 8n )
un+1 − un = 250 + 1 250 × 0, 8n+1 − 250 − 1 250 × 0, 8n
un+1 − un = 1 250 × 0, 8n+1 − 1 250 × 0, 8n
un+1 − un = 1 250 × 0, 8n (0, 8 − 1)
un+1 − un = 1 250 × (−0, 2) × 0, 8n
un+1 − un = −250 × 0, 8n < 0.
La suite (un ) est donc strictement décroissante.
Pour tout entier naturel n, un = 250 + 1 250 × 0, 8n .
0 < 0, 8 < 1 donc limn→+∞ 0, 8n = 0, puis limn→+∞ 1 250 × 0, 8n = 0.
On a donc limn→+∞ un = limn→+∞ (250 + 1 250 × 0, 8n ) = 250 d’après les règles
opératoires sur les limites.
Finalement, l’aire de la surface de terrain engazonné est toujours supérieure à 250 m2 ,
donc Claude a raison : les mauvaises herbes ne pourront pas envahir la totalité de son
terrain.
155
Sujet 32
Liban, mai 2014, exercice 3
(5 points)
La médiathèque d’une petite ville a ouvert ses portes le 2 janvier 2013 et a enregistré
2 500 inscriptions en 2013.
Elle estime que, chaque année, 80 % des anciens inscrits renouvelleront leur inscription l’année suivante et qu’il y aura 400 nouveaux adhérents.
On modélise cette situation par une suite numérique (an ).
On note a0 = 2 500 le nombre d’inscrits à la médiathèque en 2013 et an représente
le nombre d’inscrits à la médiathèque pendant l’année 2013 + n.
1 a) Calculer a1 et a2 .
Pour calculer a1 , commencez par calculer le nombre de réinscriptions, puis rajoutez à
celui-ci le nombre de nouveaux adhérents.
b) Justifier que, pour tout entier naturel n, on a la relation an+1 = 0, 8 × an + 400.
Généralisez le raisonnement de la question 1. a).
2 On pose, pour tout entier naturel n, vn = an − 2000.
a) Démontrer que la suite (vn ) est une suite géométrique de premier terme v0 = 500
et de raison q = 0, 8.
Montrez que pour tout entier naturel n, vn+1 peut s’écrire sous la forme :
vn+1 = 0, 8 × vn .
b) En déduire que le terme général de la suite (an ) est an = 500 × 0, 8n + 2 000.
Commencez par déterminer l’expression de vn en fonction de n, puis en déduire celle
de an .
c) Calculer la limite de la suite (an ).
Pour déterminer la limite, commencez par remarquer que 0 < 0, 8 < 1.
d) Que peut-on en déduire pour le nombre d’adhérents à la médiathèque si le schéma
d’inscription reste le même au cours des années à venir ?
Il s’agit de traduire à l’aide d’une phrase le résultat du calcul de limite de la question
précédente.
156
Sujet 32 | Énoncé
3 On propose l’algorithme suivant :
Variables :
N entier
A réél
Initialisation :
N prend la valeur 0
A prend la valeur 2 500
Traitement :
Tant que A − 2 000 > 50
A prend la valeur A × 0,8 + 400
N prend la valeur N + 1
Fin du Tant que
Sortie :
Afficher N
a) Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme.
Remarquez que l’algorithme s’arrête lorsque A 6 2 050.
b) À l’aide de la calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme et
interpréter la réponse dans le contexte de l’exercice.
Remarquez qu’il s’agit tout d’abord de résoudre l’inéquation an 6 2 050 pour trouver
la valeur n qui convient.
157
Sujet 32 | Corrigé
1 a) Dans un premier temps, en 2014, 80 % des 2 500 inscrits à la médiathèque en
80
× 2500 = 80 × 25 = 2000.
2013 se réinscrivent : c’est-à-dire 100
Dans un second temps, il y a 400 nouveaux adhérents, donc le nombre d’inscrits à la
médiathèque en 2014 est a1 = 2 000 + 400 = 2 400.
De même, en 2015, il y a 80 % de réinscriptions par rapport au nombre d’adhérents
80
a1 de 2014 : c’est-à-dire 100
× 2400 = 80 × 24 = 1920.
Il y a aussi 400 nouveaux adhérents, donc le nombre d’inscrits à la médiathèque en
2015 est a1 = 1 920 + 400 = 2 320.
b) Soit n un entier naturel.
Le nombre d’inscrits à la médiathèque l’année « 2013 + n » est an .
L’année « 2013 + (n + 1) », 80 % des an inscrits à la médiathèque l’année « 2013 +
n » se réinscrivent, soit 0, 8 × an inscrits.
Ensuite, il y a 400 nouveaux adhérents, donc 0, 8×an +400 adhérents l’année « 2013
+ (n + 1) ».
Finalement, pour tout entier naturel n, an+1 = 0, 8 × an + 400.
2 a) Pour tout entier naturel n, vn+1 = an+1 − 2000, puis
vn+1
vn+1
vn+1
vn+1
vn+1
= 0, 8 × an + 400 − 2000 par définition de an+1
= 0, 8 × an − 1600
= 0, 8 × an − 0, 8 × 2000 car 1600 = 0, 8 × 2000
= 0, 8 × (an − 2000) en factorisant l’expression par 0, 8
= 0, 8 × vn par définition de an
La suite (vn ) est donc une suite géométrique de raison q = 0, 8 et de premier terme
v0 = a0 − 2 000 = 2 500 − 2 000 = 500.
b) D’après la formule donnant le terme général d’une suite géométrique en fonction
de son premier terme v0 = 500 et de sa raison q = 0, 8, on a :
vn = v0 × q n = 500 × 0, 8n pour tout nombre entier naturel n.
Pour tout nombre entier naturel n, on a donc an = vn + 2000 = 500 × 0, 8n + 2 000.
c) Pour tout entier naturel n, an = 500 × 0, 8n + 2 000.
0 < 0, 8 < 1 donc limn→+∞ 0, 8n = 0, puis limn→+∞ 500 × 0, 8n = 0.
On a donc limn→+∞ an = limn→+∞ (500 × 0, 8n + 2 000) = 2 000.
d) Si le schéma d’inscription reste le même au cours des années à venir, le nombre
d’adhérents à la médiathèque va tendre (en décroissant) vers 2 000.
158
Sujet 32 | Corrigé
3 a) On a : A − 2000 > 50 ⇔ A > 2000 + 50 = 2050.
L’algorithme s’arrête donc lorsque A 6 2 050 et il retourne la plus petite valeur n
telle que an 6 2 050.
b) an 6 2 050 ⇔ 500 × 0, 8n + 2 000 6 2 050
an 6 2 050 ⇔ 500 × 0, 8n 6 2 050 − 2 000 = 50
50
an 6 2 050 ⇔ 0, 8n 6 500
= 0, 1
n
an 6 2 050 ⇔ ln(0, 8 ) < ln(0, 1) car la fonction ln est strictement croissante sur
]0 ; +∞[
an 6 2 050 ⇔ n ln(0, 8) < ln(0, 1) car ln(an ) = n ln(a) pour tout a ∈]0 ; +∞[ et
n∈N
(0,1)
an 6 2 050 ⇔ n > ln
car ln(0, 8) < ln(1) = 0
ln(0,8)
ln(0,1)
ln(0,8)
≈ 10, 3 au dixième près donc la plus petite valeur n telle que an 6 2 050 est
11.
L’algorithme recherche donc indirectement la première année à partir de laquelle le
nombre d’inscrits à la médiathèque est inférieur ou égal à 2 050 : il s’agit de l’année
2013 + 11 = 2024.
159
Sujet 33
Inde, avril 2014, exercice 2
(5 points)
Une association décide d’ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes
de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris. Le
centre ouvre ses portes le 1er janvier 2013 avec 115 oiseaux. Les spécialistes prévoient que 40 % des oiseaux présents dans le centre au 1er janvier d’une année restent
présents le 1er janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le
centre chaque année. On s’intéresse au nombre d’oiseaux présents dans le centre au
1er janvier des années suivantes. La situation peut être modélisée par une suite (un )
admettant pour premier terme u0 = 115, le terme un donnant une estimation du
nombre d’oiseaux l’année 2013 + n.
1 Calculez u1 et u2 . Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ?
Commencez par calculer le nombre d’oiseaux encore présents au 1er janvier 2014, puis
rajoutez le nombre d’oiseaux nouveaux.
2 Les spécialistes déterminent le nombre d’oiseaux présents dans le centre au 1er janvier de chaque année à l’aide d’un algorithme.
a) Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l’algorithme 3 permet d’es-
timer le nombre d’oiseaux présents au 1er janvier de l’année 2013 + n.
Expliquez pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu.
Algorithme 1
Variables :
U est un nombre réel
i et N sont des nombres entiers
Début :
Saisir une valeur pour N
Affecter 115 à U
Pour i de 1 à N faire
Affecter 0,6 × U +120 à U
Fin Pour
Afficher U
Fin
160
Sujet 33 | Énoncé
Algorithme 2
Variables :
U est un nombre réel
i et N sont des nombres entiers
Début :
Saisir une valeur pour N
Pour i de 1 à N faire
Affecter 115 à U
Affecter 0,4 × U +115 à U
Fin Pour
Afficher U
Fin
Algorithme 3
Variables :
U est un nombre réel
i et N sont des nombres entiers
Début :
Saisir une valeur pour N
Affecter 115 à U
Pour i de 1 à N faire
Affecter 0,4 × U +120 à U
Fin Pour
Afficher U
Fin
Pour répondre, observez les instructions se trouvant dans les boucles « Pour » des deux
premiers algorithmes.
b) Donnez, pour tout entier naturel n, l’expression de un+1 en fonction de un .
Remarquez que l’on peut déduire l’expression de un+1 en fonction de un pour tout
entier naturel n de la question précédente.
161
Sujet 33 | Énoncé
3 On considère la suite (vn ) définie pour tout entier naturel n par vn = un − 200.
a) Montrez que (vn ) est une suite géométrique de raison 0,4. Précisez v0 .
Montrez que pour tout entier naturel n, vn+1 peut s’écrire sous la forme vn+1 = 0, 4vn .
b) Exprimez, pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.
Souvenez-vous de la formule donnant le terme général d’une suite géométrique en fonction de son premier terme et de sa raison.
c) Vous devez en déduire que pour tout entier naturel n, un = 200 − 85 × 0, 4n .
Déduisez le résultat de la question précédente.
d) La capacité d’accueil du centre est de 200 oiseaux. Est-ce suffisant ? Justifiez votre
réponse.
Montrez que la suite (un ) est croissante et qu’elle a pour limite 200.
4 Chaque année, le centre touche une subvention de 20 euros par oiseau présent au
1er janvier.
Calculez le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1er janvier
2013 et le 31 décembre 2018 si l’on suppose que l’évolution du nombre d’oiseaux se
poursuit selon les mêmes modalités durant cette période.
Pour trouver le résultat, vous devrez calculez u3 , u4 et u5 .
162
Sujet 33 | Corrigé
1 Il y a u0 = 115 oiseaux dans le centre de soin au 1er janvier 2013.
40 % sont encore présents au 1er janvier 2014,
40
× 115 = 0, 4 × 115 = 46 oiseaux.
c’est-à-dire 100
À cette date, 120 oiseaux nouveaux sont accueillis, donc le nombre d’oiseaux dans
le centre de soin au 1er janvier 2014 est u1 = 46 + 120 = 166.
De même, 40 % de ces oiseaux sont encore présents au 1er janvier 2015, c’est-à-dire
40
× 166 = 0, 4 × 166 = 66, 4 ≈ 66 oiseaux. On arrondit à l’unité car il s’agit de
100
nombres entiers.
À cette date, 120 oiseaux nouveaux sont accueillis, donc le nombre d’oiseaux dans
le centre de soin au 1er janvier 2015 est u2 = 66 + 120 = 186.
On a donc u1 = 166 et u2 = 186.
2 a) D’une année sur l’autre, 40 % des oiseaux restent présents. Dans la boucle «
Pour », l’expression que l’on affecte à U doit donc commencer par 0, 4 × U .
Ce n’est pas le cas de l’algorithme 1 donc il ne convient pas.
C’est le cas de l’algorithme 2, mais il faut ensuite rajouter 120 (nouveaux oiseaux) et
non 115, donc il ne convient pas non plus.
Cet algorithme ne convient pas aussi (et essentiellement) car lors de chaque passage
dans la boucle « Pour », la valeur U est réinitialisée à 115.
À la fin de chaque passage dans la boucle « Pour », U est égal à 0, 4×115+115 = 161
et ce sera la valeur retournée par l’algorithme.
Remarque : l’algorithme 3 convient entre autres car il faut affecter à U l’expression
0, 4 × U + 120 dans la boucle « Pour ».
b) D’après la question précente, pour tout entier naturel n, on obtient la valeur un+1
en calculant 0, 4un + 120. Pour tout entier naturel n, on a donc un+1 = 0, 4un + 120.
3 a) Pour tout entier naturel n, vn+1 = un+1 − 200, puis
vn+1 = 0, 4un + 120 − 200 par définition de un+1
vn+1 = 0, 4 × un − 80
vn+1 = 0, 4 × un − 0, 4 × 200 car 80 = 0, 4 × 200
vn+1 = 0, 4 × (un − 200) en factorisant l’expression par 0,4
vn+1 = 0, 4 × vn par définition de vn
La suite (vn ) est donc une suite géométrique de raison q = 0, 4 et de premier terme
v0 = u0 − 200 = 115 − 200 = −85.
163
Sujet 33 | Corrigé
b) D’après la formule donnant le terme général d’une suite géométrique en fonction
de son premier terme v0 = −85 et de sa raison q = 0, 4, on a :
vn = v0 × q n = −85 × 0, 4n pour tout nombre entier naturel n.
c) Pour tout nombre entier naturel n, on a un = vn + 200 = 200 − 85 × 0, 4n d’après
la question précédente.
d) Pour montrer qu’une capacité d’accueuil de 200 oiseaux suffit, il faut montrer que
un 6 200 pour tout entier naturel n.
Pour cela, montrons que la suite (un ) est croissante et qu’elle a pour limite 200.
Pour tout entier naturel n :
un+1 − un = 200 − 85 × 0, 4n+1 − (200 − 85 × 0, 4n )
un+1 − un = 200 − 85 × 0, 4n+1 − 200 + 85 × 0, 4n
un+1 − un = 85 × 0, 4n − 85 × 0, 4n+1
un+1 − un = 85 × 0, 4n (1 − 0, 4)
un+1 − un = 0, 6 × 85 × 0, 4n
un+1 − un = 51 × 0, 4n > 0
La suite (un ) est donc croissante.
Pour tout entier naturel n, un = 200 − 85 × 0, 4n .
0 < 0, 4 < 1 donc limn→+∞ 0, 4n = 0 puis limn→+∞ −85 × 0, 4n = 0.
On en déduit que limn→+∞ un = 200.
La suite (un ) qui décrit le nombre d’oiseaux présents dans le centre de soin au 1er janvier de l’année 2013 + n est croissante et a pour limite 200. Si la capacité d’accueil
du centre est de 200 oiseaux, il y aura donc suffisament de place.
4 On note S le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1er janvier
2013 et le 31 décembre 2018 (6 années).
On a S = 20 × u0 + 20 × u1 + 20 × u2 + 20 × u3 + 20 × u4 + 20 × u5 .
On sait déjà que u0 = 115 ; u1 = 166 ; u2 = 186.
Pour tout nombre entier naturel n, un = vn + 200 = 200 − 85 × 0, 4n , donc :
– u3 = 200 − 85 × 0, 43 ≈ 195 (arrondi à l’unité) ;
– u4 = 200 − 85 × 0, 44 ≈ 198 (arrondi à l’unité) ;
– u5 = 200 − 85 × 0, 45 ≈ 199 (arrondi à l’unité)
On a donc S = 20 × (115 + 166 + 186 + 195 + 198 + 199) = 21 180 ¤.
Le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1er janvier 2013 et le
31 décembre 2018 est donc de 21 180 ¤.
164
Sujet 34
Nouvelle-Calédonie, mars 2014, exercice 2
(5 points)
On a observé l’évolution des inscriptions dans le club de gymnastique d’une ville.
Chaque année, 30 % des personnes inscrites au club de gymnastique l’année précédente renouvellent leur inscription au club. Chaque année, 10 % des habitants de la
ville qui n’étaient pas inscrits au club l’année précédente s’y inscrivent. On appelle
n le nombre d’années d’existence du club. On note gn la proportion de la population
de la ville inscrite au club de gymnastique lors de l’année n et pn la proportion de la
population qui n’est pas inscrite.
La première année de fonctionnement du club (année « zéro »), 20 % des habitants
de la ville se sont inscrits. On a donc g0 = 0, 2.
1 Soit n un entier naturel. Que vaut la somme gn + Pn ?
2 a) Justifiez que, pour tout entier naturel n, gn+1 = 0, 3gn + 0, 1pn .
Pour n ∈ N, de quoi est composée la proportion de la population de la ville inscrite au
club de gymnastique lors de l’année n + 1 ?
b) Vous devez en déduire que, pour tout entier naturel n, gn+1 = 0, 2gn + 0, 1.
Déduisez le résultat des questions 1. et 2. a).
3 Pour tout entier naturel n, on pose un = gn − 0, 125.
Montrez que la suite (un ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le
premier terme.
Remarquez que l’on peut déduire l’expression de un+1 en fonction de un pour tout
entier naturel n de la question précédente.
4 Déterminez le sens de variation de la suite (un ).
Commencez par déterminer le terme général de la suite (un ) pour tout entier naturel n
sachant que c’est une suite géométrique.
5 Montrez que pour tout entier n, gn = 0, 125 + 0, 075 × 0, 2n .
Comment la proportion de la population de la ville inscrite au club de gymnastique
évolue-t-elle au cours des années ?
Remarquez que, pour tout entier naturel n, gn = un + 0, 125.
Pour déterminer le sens de variation de la suite (gn ), remarquez qu’il a un lien avec
celui de la suite (un ).
165
Sujet 34 | Corrigé
1 Pour tout n entier naturel, gn est la proportion de la population de la ville inscrite
au club de gymnastique lors de l’année n et pn la proportion de la population qui n’est
pas inscrite.
On a donc gn + pn = 1, pour tout entier naturel n.
2 a) Soit n un entier naturel.
L’année n + 1, la proportion gn+1 de la population inscrite au club de gymnastique
est composé de :
– 30 % des personnes inscrites au club de gymnastique l’année n, donc 0, 3gn ;
– 10 % des habitants de la ville qui n’étaient pas inscrits au club l’année, donc 0, 1pn .
On a donc gn+1 = 0, 3gn + 0, 1pn .
Finalement, gn+1 = 0, 3gn + 0, 1pn pour tout entier naturel n.
b) Soit n un entier naturel.
D’après la question 1., on a gn + pn = 1 donc pn = 1 − gn .
D’après la question 2. a., on a gn+1 = 0, 3gn + 0, 1pn .
On a donc gn+1 = 0, 3gn + 0, 1pn = 0, 3gn + 0, 1(1 − gn ) = 0, 3gn + 0, 1 − 0, 1gn
= 0, 2gn + 0, 1.
Finalement, gn+1 = 0, 2gn + 0, 1 pour tout entier naturel n.
3 Pour tout entier naturel n, un+1 = gn+1 − 0, 125, puis
un+1 = 0, 2gn + 0, 1 − 0, 125 par définition de gn+1
un+1
un+1
un+1
un+1
= 0, 2gn − 0, 025
= 0, 2gn − 0, 2 × 0, 125 car 0, 025 = 0, 2 × 0, 125
= 0, 2 × (gn − 0, 125) en factorisant l’expression par 0, 2
= 0, 2 × un par définition de un
La suite (un ) est donc une suite géométrique de raison q = 0, 2 et de premier terme
u0 = g0 − 0, 125 = 0, 2 − 0, 125 = 0, 075.
4 D’après la formule donnant le terme général d’une suite géométrique en fonction
de son premier terme u0 = 0, 075 et de sa raison q = 0, 2, on a :
un = u0 × q n = 0, 075 × 0, 2n pour tout nombre entier naturel n.
Pour déterminer le sens de variation de la suite (un ), déterminons le signe de un+1 −
un pour tout entier naturel n.
166
Sujet 34 | Corrigé
Pour tout entier naturel n :
un+1 − un = 0, 075 × 0, 2n+1 − 0, 075 × 0, 2n
un+1 − un = 0, 075 × 0, 2n × (0, 2 − 1)
un+1 − un = 0, 075 × (−0, 8) × 0, 2n
un+1 − un = −0, 06 × 0, 2n < 0.
La suite (un ) est donc décroissante.
5 Pour tout entier naturel n, on a gn = un + 0, 125.
Or d’après la question 4., un = 0, 075 × 0, 2n donc gn = 0, 125 + 0, 075 × 0, 2n .
Pour tout entier naturel n, gn = 0, 125 + 0, 075 × 0, 2n .
Pour tout entier naturel n, on a gn = un + 0, 125.
On a donc gn+1 − gn = un+1 + 0, 125 − (un + 0, 125) = un+1 − un < 0 d’après la
question 4..
La suite (gn ) est donc décroissante.
De plus, 0 < 0, 2 < 1 donc limn→+∞ 0, 2n = 0, puis :
limn→+∞ un = limn→+∞ 0, 075 × 0, 2n = 0.
On a donc limn→+∞ gn = limn→+∞ un + 0, 125 = 0, 125 =
12,5
100
= 12, 5 %.
La proportion de la population de la ville inscrite au club de gymnastique baisse donc
d’une année sur l’autre et elle tend vers 12,5 %.
167
Sujet 35
Sujet national, juin 2013, exercice 2
(4 points)
Pour chacune des questions posées, une proposition est faite. Il est demandé de déterminer si cette proposition est vraie ou fausse, en justifiant.
1 Un étudiant a travaillé durant l’été et dispose d’un capital de 2 500 euros.
À partir du 1er septembre 2013, il place son capital c0 = 2 500 sur un compte rappor-
tant 0,2 % d’intérêts composés par mois et il loue une chambre qui lui coûte 425 euros
par mois.
On note cn le capital disponible, exprimé en euros, au début de chaque mois. Par
exemple le capital disponible au début du mois d’octobre vaudra :
c1 = 1, 002c0 − 425 = 2 080 euros.
L’année universitaire s’achève à la fin du mois de juin 2014.
On admet que la suite des capitaux (cn ) est décrite par les relations :
c0 = 2500 ;
pour tout entier naturel n :
cn+1 = 1, 002 × cn − 425.
Proposition : Sans apport supplémentaire l’étudiant sera à découvert à partir du début
du mois de mars 2014.
Calculez les valeurs c1 , c2 , c3 ... pour observer le mois où l’étudiant sera à découvert.
2 Sur I =]0 ; +∞[, on définit la fonction f par f (x) = 2x + 1 − ln x.
Proposition : f est une fonction convexe sur I .
Souvenez-vous du lien entre la convexité d’une fonction deux fois dérivable sur un
intervalle et le signe de sa dérivée seconde sur cet intervalle.
168
Sujet 35 | Énoncé
3 On définit, sur l’intervalle I =]0 ; +∞[, F (x) = 2x ln x − 2x + 5.
On a effectué à l’aide d’un logiciel de calcul formel les séquences suivantes :
Proposition : F est une primitive de la fonction f définie sur I par f (x) = 2 ln x.
Souvenez-vous que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I ,
si F ’(x) = f (x) pour tout x ∈ I .
4 X est une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance µ = 0 et d’écart
type σ = 0, 6.
Proposition : P (−0, 6 6 X 6 0, 6) ≈ 0, 68.
Remarquez que, dans cet exercice, µ − σ = −0, 6 et µ + σ = 0, 6.
169
Sujet 35 | Corrigé
1 Au 1er septembre 2013, il dispose de :
c0 = 2 500 ¤.
En utilisant la relation de récurrence cn+1 = 1, 002 × cn − 425, pour tout entier
naturel n, on peut calculer les termes suivants.
Au 1er octobre 2013, il disposera de :
c1 = 1, 002c0 − 425 = 1, 002 × 2 500 − 425 = 2 080 ¤.
Au 1er novembre 2013, il disposera de :
c2 = 1, 002c1 − 425 = 1, 002 × 2 080 − 425 = 1 659, 16 ¤.
Au 1er décembre 2013, il disposera de :
c3 = 1, 002c2 − 425 = 1, 002 × 1 659, 16 − 425 = 1 237, 48 ¤ (arrondi au centime
d’euro).
Au 1er janvier 2014, il disposera de :
c4 = 1, 002c3 − 425 = 1, 002 × 1 237, 48 − 425 = 814, 95 ¤ (arrondi au centime
d’euro).
Au 1er février 2014, il disposera de :
c5 = 1, 002c4 − 425 = 1, 002 × 814, 95 − 425 = 391, 58 ¤ (arrondi au centime
d’euro).
Au 1er mars 2014, il disposera de :
c6 = 1, 002c5 − 425 = 1, 002 × 391, 58 − 425 = −32, 64 ¤ (arrondi au centime
d’euro).
Sans apport supplémentaire, l’étudiant sera donc à découvert à partir du début du
mois de mars 2014.
La proposition est vraie.
2 Une fonction deux fois dérivable est convexe sur l’intervalle I si et seulement si
sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
La fonction f est dérivable sur I en tant que somme de fonctions dérivables sur cet
intervalle.
Pour tout x ∈ I , on a f 0 (x) = 2 − x1 .
La fonction f 0 est dérivable sur I en tant que somme de fonctions dérivables sur cet
intervalle.
Pour tout x ∈ I , on a f 0 (x) = x12 > 0.
La fonction f est donc une fonction convexe sur I .
La proposition est vraie.
170
Sujet 35 | Corrigé
3 La fonction F est dérivable sur I en tant que somme de fonctions dérivables sur
cet intervalle.
D’après le calcul du logiciel de calcul formel, pour tout x ∈ I , F 0 (x) = ln x2 , ou
encore F 0 (x) = 2 ln x = f (x).
F est donc une primitive de la fonction f définie sur I par f (x) = 2 ln x.
La proposition est vraie.
4 X est une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance µ = 0 et d’écart
type σ = 0, 6.
On a donc µσ = −0, 6 et µ + σ = 0, 6, puis :
P (−0, 6 6 X 6 0, 6) = P (µ − σ 6 X 6 µ + σ).
D’après le cours,
P (µ − σ 6 X 6 µ + σ) ≈ 0, 68 à 0, 01 près,
donc P (−0, 6 6 X 6 0, 6) ≈ 0, 68 à 0, 01 près.
La proposition est vraie.
171
Sujet 36
Sujet national, septembre 2013, exercice 4
(5 points)
Le responsable du foyer des jeunes d’un village a décidé d’organiser une brocante
annuelle. Pour la première brocante, en 2012, il a recueilli 110 inscriptions.
D’après les renseignements pris auprès d’autres organisateurs dans les villages voisins, il estime que d’une année sur l’autre, 90 % des exposants se réinscriront et que
30 nouvelles demandes seront déposées.
On désigne par un le nombre d’exposants en (2012 + n) avec n un entier naturel.
Ainsi u0 est le nombre d’exposants en 2012, soit u0 = 110.
1 Quel est le nombre d’exposants attendu pour 2013 ?
Commencez par calculer le nombre de réinscriptions, puis ajoutez à celui-ci les nouvelles demandes d’inscriptions.
2 Justifiez que, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,9un + 30.
3 Vu la configuration actuelle de la manifestation dans le village, le nombre d’ex-
posants ne peut pas excéder 220.
Recopiez et complétez l’algorithme proposé ci-dessous afin qu’il permette de déterminer l’année à partir de laquelle l’organisateur ne pourra plus accepter toutes les
demandes d’inscription.
Variables :
u est un nombre réel
n est un nombre entier naturel
Initialisation :
Affecter à u la valeur...
Affecter à n la valeur 2012
Traitement :
Tant que...
Affecter à u la valeur...
Affecter à n la valeur n + 1
Sortie :
Afficher...
172
Sujet 36 | Énoncé
4 Pour tout entier naturel n, on pose vn = un - 300.
a) Démontrez que la suite (vn ) est une suite géométrique de raison 0,9.
Montrez que pour tout entier naturel n, vn+1 peut s’écrire sous la forme vn+1 = 0, 9vn .
b) Vous devez en déduire que pour tout entier naturel n, un = −190 × 0, 9n + 300.
Commencez par déterminer l’expression de vn en fonction de n, puis déduisez-en celle
de un .
c) Déterminez le résultat recherché par l’algorithme de la question 3. en résolvant une
inéquation.
Remarquez qu’il s’agit tout d’abord de résoudre l’inéquation un > 220 pour trouver la
valeur n qui convient.
5 L’organisateur décide d’effectuer une démarche auprès de la mairie pour obtenir
assez de place pour ne jamais refuser d’inscriptions. Il affirme au maire qu’il suffit
de lui autoriser 300 emplacements. A-t-il raison de proposer ce nombre ? Pourquoi ?
Montrez que la suite (un ) est croissante et qu’elle a pour limite 300.
173
Sujet 36 | Corrigé
1 Dans un premier temps, en 2013, 90 % des 110 personnes inscrites à la brocante
90
× 110 = 99.
en 2012 se réinscrivent, c’est-à-dire 100
Dans un second temps, 30 nouvelles demandes d’inscription sont déposées.
Le nombre d’exposants attendu en 2013 est donc u1 = 99 + 30 = 129.
2 Soit n un entier naturel. Le nombre d’inscrits l’année « 2012 + n » est un .
L’année « 2012 + (n + 1) », 90 % des un personnes inscrites à la brocante l’année «
2012 + n » se réinscrivent, soit 0,9un personnes.
Ensuite, 30 nouvelles demandes d’inscription sont déposées. Il y a donc 0, 9un + 30
personnes inscrites à la brocante l’année « 2012 + (n + 1) ».
Finalement, pour tout entier naturel n, un+1 = 0, 9un + 30.
3 Variables :
u est un nombre réel
n est un nombre entier naturel
Initialisation :
Affecter à u la valeur 110
Affecter à n la valeur 2012
Traitement :
Tant que u 6 220
Affecter à u la valeur 0, 9u + 30
Affecter à n la valeur n + 1
Fin Tant que
Sortie :
Afficher n
4 a) Pour tout entier naturel n, vn+1 = un+1 − 300, puis
vn+1
vn+1
vn+1
vn+1
vn+1
= 0, 9un + 30 − 300 par définition de un+1
= 0, 9 × un − 270
= 0, 9 × un − 0, 9 × 300 car 270 = 0, 9 × 300
= 0, 9 × (un − 300) en factorisant l’expression par 0, 9
= 0, 9 × vn par définition de vn
La suite (vn ) est donc une suite géométrique de raison q = 0, 9 et de premier terme
v0 = u0 − 300 = 110 − 300 = −190.
174
Sujet 36 | Corrigé
b) D’après la formule donnant le terme général d’une suite géométrique en fonction
de son premier terme v0 = −190 et de sa raison q = 0, 9, on a :
vn = v0 × q n = −190 × 0, 9n pour tout nombre entier naturel n.
Pour tout nombre entier naturel n, on a donc un = vn + 300 = −190 × 0, 9n + 300.
c) Le résultat recherché par l’algorithme est la plus petite valeur entière 2012 + n telle
que un > 220.
Pour n un nombre entier naturel, on a :
un > 220 ⇔ −190 × 0, 9n + 300 > 220
un > 220 ⇔ −190 × 0, 9n > 220 − 300 = −80
un > 220 ⇔ 190 × 0, 9n < 80
80
8
un > 220 ⇔ 0, 9n < 190
= 19
8
) car la fonction ln est strictement croissante sur
un > 220 ⇔ ln(0, 9n ) < ln( 19
]0 ; +∞[
8
un > 220 ⇔ n ln(0, 9) < ln( 19
) car ln(an ) = n ln(a) pour tout a ∈]0 ; +∞[ et
n∈N
8
ln( 19
)
car ln(0, 9) < ln(1) = 0
un > 220 ⇔ n > ln(0,9)
8
ln( 19
)
ln(0,9)
≈ 8, 2 au dixième près donc la plus petite valeur n telle que un > 220 est 9.
Finalement, le résultat recherché par l’algorithme est l’année 2021. C’est-à-dire que
l’année où le nombre d’exposants dépasse (strictement) 220 est l’année 2021.
5 Pour montrer que 300 emplacements suffisent, il faut montrer que un 6 300 pour
tout entier naturel n. Pour cela, montrons que la suite (un ) est croissante et qu’elle a
pour limite 300.
Pour tout entier naturel n :
un+1 − un = −190 × 0, 9n+1 + 300 − (−190 × 0, 9n + 300)
un+1 − un = −190 × 0, 9n+1 + 300 + 190 × 0, 9n − 300
un+1 − un = 190 × 0, 9n − 190 × 0, 9n+1
un+1 − un = 190 × 0, 9n (1 − 0, 9)
un+1 − un = 0, 1 × 190 × 0, 9n
un+1 − un = 19 × 0, 9n > 0
La suite (un ) est donc croissante.
Pour tout entier naturel n, un = −190 × 0, 9n + 300.
0 < 0, 9 < 1 donc limn→+∞ 0, 9n = 0 puis limn→+∞ −190 × 0, 9n = 0.
175
Sujet 36 | Corrigé
On a donc limn→+∞ un = 300.
La suite (un ) qui décrit le nombre d’exposants l’année 2012 + n est croissante et a
pour limite 300.
Donc, s’il y a 300 emplacements, aucune inscription d’exposants à la brocante ne sera
refusée et ce nombre sera le plus petit nécessaire pour que cela soit le cas.
176
Sujet 37
Inde, avril 2013, exercice 3
(5 points)
Le 1er janvier 2000, un client a placé 3 000 ¤ à intérêts composés au taux annuel de
2,5 %. On note Cn le capital du client au 1er janvier de l’année 2000 + n, où n est un
entier naturel.
1 Calculez C1 et C2 . Vous arrondirez les résultats au centime d’euro.
Le capital C1 correspond au capital C0 augmenté de 2,5 % de cette somme. Suivez le
même raisonnement pour calculer C2 .
2 Exprimez Cn+1 en fonction de Cn . Vous devez en déduire que, pour tout nombre
entier naturel n, on a la relation Cn = 3 000 × 1, 025n .
À l’aide du 1., déduisez-en une formule entre Cn et Cn+1 .
3 On donne l’algorithme suivant :
On donne l’algorithme suivant :
Entrée :
Saisir un nombre S supérieur à 3 000
Traitement :
Affecter à n la valeur 0 (initialisation)
Affecter à U la valeur 3 000 (initialisation)
Tant que U 6 S prend la valeur n + 1
U prend la valeur U × 1,025
Fin du Tant que
Sortie :
Afficher le nombre 2 000 + n
a) Pour la valeur S = 3 300 saisie, recopiez et complétez autant que nécessaire le
tableau suivant. Vous arrondirez les résultats à l’unité.
Complétez les colonnes du tableau jusqu’à ce que la valeur de U soit strictement supérieure à celle de S .
177
Sujet 37 | Énoncé
b) Déduisez en l’affichage obtenu quand la valeur de S saisie est 3 300.
Attention ! L’algorithme affiche le nombre 2 000 + n et non le nombre n.
c) Dans le contexte de cet exercice, expliquez comment interpréter le nombre obtenu
en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre S supérieur à 3 000.
Généralisez l’interprétation du nombre en sortie de cet algorithme à l’aide des questions
3. a) et 3. b).
4 Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d’une somme de 5 000 ¤. Montrez que
le capital de son placement n’est pas suffisant à cette date.
Il s’agit de calculer C13 et de le comparer à 5 000.
5 Déterminez, en détaillant votre méthode, à partir du 1er janvier de quelle année le
client pourrait avoir son capital initial multiplié par 10.
Il s’agit de résoudre l’inéquation Cn > 10C0 . Pensez à utiliser la fonction logarithme
népérien.
178
Sujet 37 | Corrigé
1 C1 = C0 +
C1
C1
C2
C2
C2
2,5
C
100 0
2,5
×3
100
= 3 000 +
000 = 3 000 + 75
= 3 075 ¤.
2,5
= C1 + 100
C1
2,5
= 3075 + 100 × 3075 ≈ 3 075 + 76, 88
≈ 3 151, 88 ¤.
2 En utilisant le même raisonnement qu’à la question 1., on a :
2,5
Cn+1 = Cn + 100
Cn = 1, 025Cn pour tout n ∈ N.
(Cn ) est donc une suite géométrique de raison 1, 025 et de premier terme C0 = 3 000.
D’après la formule donnant le terme général d’une suite géométrique en fonction de
son premier terme et de sa raison : Cn = 3000 × 1, 025n pour tout n ∈ N.
3 a)
Valeur de n
Valeur de U
Condition U 6 S
0
3 000
Vrai
1
3 075
Vrai
2
3 152
Vrai
3
3 231
Vrai
4
3 311
Faux
b) n = 4 donc le nombre affiché est 2004.
c) Le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre S supérieur
à 3 000 est l’année où la somme placée devient supérieure à S au 1er janvier.
4 D’après la question 2., au 1er janvier 2013 le capital est :
C13 = 3 000 × 1, 02513 ≈ 4 135, 53 ¤.
Le capital de son placement est donc insuffisant à cette date.
5 Soit n le nombre d’années au bout duquel le capital initial sera multiplié par 10 au
1er janvier. On a Cn > 10C0 = 30 000 et :
Cn > 30000 ⇔ 3000 × 1, 025n > 30000
000
Cn > 30 000 ⇔ 1, 025n > 30
= 10
3 000
n
Cn > 30 000 ⇔ ln(1, 025 ) > ln(10) car la fonction logarithme népérien est
strictement croissante sur ]0 ; +∞[ et la fonction exponentielle strictement croissante
sur R.
Cn > 30000 ⇔ ln(1, 025) > ln(10)
(10)
Cn > 30000 ⇔ n > lnln(1,025)
≈ 93, 25 car 1, 025 > 1 donc ln(1, 025) > ln(1) = 0.
(10)
On prend n = E( lnln(1,025)
) + 1 = 94 où E est la fonction partie entière.
er
Au 1 janvier 2094, le placement initial sera multiplié par 10.
179
Sujet 38
Amérique du Nord, mai 2013, exercice 3
(5 points)
La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d’ouvrir
une médiathèque qui pourra contenir 100 000 ouvrages au total.
Pour l’ouverture prévue le 1er janvier 2013, la médiathèque dispose du stock de
35 000 ouvrages de l’ancienne bibliothèque augmenté de 7 000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.
Partie A
Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5 % des ouvrages, trop vieux
ou abîmés, et d’acheter 6 000 ouvrages neufs.
On appelle un le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1er janvier de l’année
(2013 + n). On donne u0 = 42.
1 Justifiez que, pour tout entier naturel n, on a un+1 = un × 0, 95 + 6.
Quel coefficient multiplicateur est associé à une baisse de 5 % ?
2 On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel.
Expliquez ce que permet de calculer cet algorithme.
Variables :
U, N
Initialisation :
Mettre 42 dans U
Mettre 0 dans N
Traitement :
Tant que U < 100
U prend la valeur U × 0,95 + 6
N prend la valeur N + 1
Fin du Tant que
Sortie :
Afficher N
180
Sujet 38 | Énoncé
3 Avec votre calculatrice, déterminez le résultat obtenu grâce à cet algorithme.
Vous devez trouver une valeur qui est comprise entre 25 et 30.
Observez ce que calcule la variable U et remarquez que l’algorithme retourne une valeur N .
Partie B
La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer
que 4 000 nouveaux ouvrages par an au lieu des 6 000 prévus.
On appelle vn le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1er janvier de l’année
(2013 + n).
1 Identifiez et écrivez la ligne qu’il faut modifier dans l’algorithme pour prendre en
compte ce changement.
Remarquez que seul un chiffre est à changer dans l’algorithme.
2 On admet que vn+1 = vn × 0, 95 + 4 avec v0 = 42.
On considère la suite (wn ) définie, pour tout entier n, par wn = vn − 80.
Montrez que (wn ) est une suite géométrique de raison q = 0, 95 et préciser son
premier terme w0 .
Montrez que pour tout entier naturel n, wn+1 peut s’écrire sous la forme wn+1 = q×wn
avec q une constante.
3 On admet que, pour tout entier naturel n : wn = −38 × (0, 95)n .
a) Déterminez la limite de (wn ).
Pour déterminer la limite, remarquez que 0 < 0, 95 < 1.
b) Déduisez en la limite de (vn ).
Déduisez le résultat du résultat de la question 3. a).
c) Interprétez ce résultat.
Souvenez-vous ce que représentent les termes de la suite (vn ) et n’oubliez pas qu’ils
sont exprimés en milliers.
181
Sujet 38 | Corrigé
Partie A
1 Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 5 % est 1 −
5
100
= 0, 95.
Après la suppression de 5 % des ouvrages dans l’année « 2013 + n », n ∈ N, le
nombre d’ouvrages est, en milliers, de : 0, 95 × un .
Après l’achat de 6 000 ouvrages neufs dans l’année « 2013 + n », le nombre d’ouvrages au 1er janvier de l’année « 2013 + n + 1 » est, en milliers, :
0, 95 × un + 6 = un+1 .
Donc pour tout entier naturel n : un+1 = 0, 95 × un + 6.
2 La variable U correspond aux valeurs un successives en partant de u0 = 42, et la
variable N correspond à la valeur n associée.
L’algorithme s’arrête lorsque la variable U dépasse 100 et retourne la dernière valeur
de N , c’est-à-dire la plus petite valeur de n pour laquelle un est strictement supérieur
à 100.
Concrètement, cette valeur n étant fixée, l’année « 2013 + n − 1» est la dernière
année pour laquelle le nombre d’ouvrages de la médiathèque est encore inférieur à
100 000.
3 En programmant la calculatrice, on obtient N = 27.
Tableau de valeurs avec un tableur :
Partie B
1 Pour prendre en compte ce changement, la ligne « U prend la valeur U ×0, 95+6 »
devient « U prend la valeur U × 0, 95 + 4 ».
2 vn+1 = 0, 95 × vn + 4 pour tout entier naturel n avec v0 = 42, et wn = vn − 80
pour tout entier naturel n.
182
Sujet 38 | Corrigé
Pour tout entier naturel n, wn+1 = vn+1 − 80, puis
wn+1 = 0, 95 × vn + 4 − 80 par définition de vn+1 ;
wn+1 = 0, 95 × vn − 76 ;
wn+1 = 0, 95 × vn − 0, 95 × 80 car 76 = 0, 95 × 80 ;
wn+1 = 0, 95 × (vn − 80) en factorisant par 0, 95 ;
wn+1 = 0, 95 × wn par définition de wn .
La suite (wn ) est donc une suite géométrique de raison q = 0, 95 et de premier terme
w0 = v0 − 80 = 42 − 80 = −38.
3 a) Pour tout entier naturel n, wn = −38 × (0, 95)n .
0 < 0, 95 < 1 donc lim (0, 95)n = 0, puis lim wn = lim −38 × (0, 95)n
n→+∞
n→+∞
n→+∞
= −38 × 0 = 0.
On a donc lim wn = 0.
n→+∞
b) Pour tout entier naturel n, vn = wn + 80 donc :
lim vn = lim (wn + 80) = lim wn + 80 = 80 d’après la question 3. a).
n→+∞
n→+∞
n→+∞
On a donc lim vn = 80.
n→+∞
c) Quand le nombre d’années n devient très grand, le nombre d’ouvrages de la médiathèque tend vers 80 000.
183
Sujet 39
Liban, mai 2013, exercice 2
(5 points)
Partie A
On considère la suite (un ) définie par (u0 = 10) et pour tout entier naturel n :
un+1 = 0, 9un + 1, 2.
1 On considère la suite (vn ) définie pour tout entier naturel n par vn = un − 12.
a) Démontrez que la suite (vn ) est une suite géométrique dont on précisera le premier
terme et la raison.
Montrez que pour tout entier naturel n, vn+1 peut s’écrire sous la forme vn+1 = q × vn
avec q une constante.
b) Exprimez vn en fonction de n.
Souvenez-vous de la formule donnant le terme général d’une suite géométrique en fonction de son premier terme et de sa raison.
c) Vous devez en déduire que, pour tout entier naturel n, un = 12 − 2 × 0, 9n .
Déduisez le résultat de la question précédente et de l’expression de un .
2 Déterminez la limite de la suite (vn ) et déduisez-en celle de la suite (un ).
Pour déterminer la limite de la suite (vn ), remarquez que 0 < 0, 9 < 1.
Partie B
En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d’habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que chaque année :
– 10 % des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ;
– 1 200 personnes naissent ou emménagent dans cette ville.
1 Montrez que cette situation peut être modélisée par la suite (un ), où un désigne le
nombre de milliers d’habitants de la ville de Bellecité l’année 2012 + n.
Quel coefficient multiplicateur est associé à une baisse de 10 % ?
184
Sujet 39 | Énoncé
2 Un institut statistique décide d’utiliser un algorithme pour prévoir la population
de la ville de Bellecité dans les années à venir.
Recopiez et complétez l’algorithme ci-dessous pour qu’il calcule la population de la
ville de Bellecité l’année 2012 + n.
Variables :
a, i, n
Initialisation :
Choisir n
a prend la valeur 10
Traitement :
Pour i allant de 1 à n, a prend la valeur...
Sortie :
Afficher a
N’oubliez pas de fermer la boucle « Pour ».
3 a) Résolvez l’inéquation : 12 − 2 × 0, 9n > 11, 5.
Pour résoudre cette inéquation, pensez à utiliser des équivalences et le logarithme népérien.
b) Donnez-en une interprétation.
Rappelez-vous ce que représentent les termes de la suite (un ) et n’oubliez pas qu’ils
sont exprimés en milliers.
185
Sujet 39 | Corrigé
Partie A
1 a) Pour tout entier naturel n, vn+1 = un+1 − 12, puis :
vn+1 = 0, 9 × un + 1, 2 − 12 par définition de un+1 ;
vn+1
vn+1
vn+1
vn+1
= 0, 9 × un − 10, 8 ;
= 0, 9 × un − 0, 9 × 12 car 10, 8 = 0, 9 × 12 ;
= 0, 9 × (un − 12) en factorisant par 0, 9 ;
= 0, 9 × vn par définition de vn .
La suite (vn ) est donc une suite géométrique de raison q = 0, 9 et de premier terme
v0 = −2 (en effet v0 = u0 − 12 = 10 − 12 = −2).
b) D’après la formule donnant le terme général d’une suite géométrique en fonction
de son premier terme v0 = −2 et de sa raison q = 0, 9 :
vn = v0 × q n = −2 × 0, 9n pour tout nombre entier naturel n.
c) Pour tout nombre entier naturel n, on a : un = vn + 12, soit un = 12 − 2 × 0, 9n .
2 Étant donné que 0 < 0, 9 < 1, on a lim 0, 9n = 0.
n→+∞
Par produit :
lim vn = lim −2 × 0, 9n = −2 × 0 = 0.
n→+∞
n→+∞
On en déduit, par somme :
lim un = lim (vn + 12) = lim vn + 12
n→+∞
n→+∞
n→+∞
lim un = 0 + 12 = 12.
n→+∞
On a donc lim vn = 0 et lim un = 12.
n→+∞
n→+∞
Partie B
1 Pour tout entier naturel n, on note un le nombre d’habitants de Bellecité, exprimé
en milliers, l’année « 2012 + n ».
10
Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 10 % est 1 − 100
= 0, 9.
Après la baisse de 10 % du nombre d’habitants l’année « 2012 + n » (n ∈ N), le
nombre d’habitants de Bellecité passe, en milliers, à 0, 9 × un .
Après la naissance ou l’emménagement de 1 200 personnes pendant l’année « 2012
+ n », le nombre d’habitants de Bellecité l’année « 2012 + n + 1 » est, en milliers,
de 0, 9 × un + 1, 2 = un+1 .
186
Sujet 39 | Corrigé
De plus, on a bien u0 = 10, donc la situation peut être modélisée par la suite un
définie par un+1 = 0, 9 × un + 6 tout entier naturel n et u0 = 10.
2 Variables :
a, i, n
Initialisation :
Choisir n
a prend la valeur 10
Traitement :
Pour i allant de 1 à n
a prend la valeur 0,9a + 1,2
Fin du Pour
Sortie :
Afficher a
3 a) Soit n un entier naturel.
12 − 2 × 0, 9n > 11, 5 ⇔ 2 × 0, 9n < 0, 5 ;
12 − 2 × 0, 9n > 11, 5 ⇔ 0, 9n < 0,5
;
2
12 − 2 × 0, 9n > 11, 5 ⇔ 0, 9n < 0, 25 ;
12 − 2 × 0, 9n > 11, 5 ⇔ ln(0, 9n ) < ln(0, 25), car la fonction ln est strictement
croissante sur ]0 ; +∞[ ;
12 − 2 × 0, 9n > 11, 5 ⇔ n ln(0, 9) < ln(0, 25) car ln(an ) = n ln(a) pour tout
a ∈]0 ; +∞[ et n ∈ N ;
12 − 2 × 0, 9n > 11, 5 ⇔ n > lnln(0,25)
≈ 13, 2, car 0, 9 < 1 donc ln(0, 9) < 0.
(0,9)
n
12 − 2 × 0, 9 > 11, 5 ⇔ n > 14.
b) D’après la question précédente, un étant le nombre d’habitants, en milliers, de Bellecité l’année (2012 + n), c’est à partir de l’année 2012 + 14 = 2026 que cette ville
dépassera les 11, 5 × 1 000 = 11 500 habitants.
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