Applications linéaires

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2014/2015
Résumé 02 : Applications linéaires
Dans tout ce chapitre, K sera le corps R ou C, et E sera un espace vectoriel sur K.
La linéarité
Définition .1 (Applications linéaires)
Soient E, F deux K− espaces vectoriels . Une application f : E → F est dite linéaire lorsque
∀x, y ∈ E, ∀α ∈ K,
f (α.x + y) = αf (x) + f (y).
Si E = F , on dit que f est un endomorphisme. On note L (E, F ) l’ensemble des applications
linéaires entre E et F , et L (E) = L (E, E) l’ensemble des endomorphismes de E.
E XEMPLES
I f : R → R est une application linéaire ⇐⇒ il existe a ∈ R tel que f : x ∈ R 7→ ax ∈ R.
I Les homothéties sur E, i.e les applications qui s’écrivent λIdE , où λ ∈ K sont linéaires.
I Soit x0 ∈ R. On appelle opérateur d’évaluation en x0 l’application
Ex0 : f ∈ F (R, R) 7→ f (x0 ) ∈ R.
Ex0 est une forme linéaire sur F (RR).
I Soit I un intervalle de R.
La dérivation D D 1 (I, R) −→ F (I, R) est une application linéaire.
f 7−→ f 0
I Soit I un intervalle de R et a, b ∈ I.
est une forme linéaire.
L’intégrale I Cm0 (I, C) −→ C
f 7−→
Z b
f (t)dt
a
I On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire ϕ : E → K.
I Soient n, p ∈ N∗ et A = (ai,j ) ∈ Mn,p (K). Notons LA : X ∈ Kp → AX ∈ Kn , où,



a11 a12 . . . a1p  
x1

 x1
 . 
 a21 a22 . . . a2p   . 



 
LA  ..  =  ..
..
.. 
  ..  =
 .

.
.
xp
xp
an1 an2 . . . anp

 p

X
a1,j xj 



 j=1



..


.


 p

X


a x
∈ Kn .
n,j j
j=1
Alors pour tous X, Y ∈ Kp , ∀λ, µ ∈ K, LA (λ.X + µ.Y ) = λLA (X) + µLA (Y ).
LA est l’application linéaire (endomorphisme si n = p) canoniquement associé a A.
Ainsi, résoudre le système AX = B, où B ∈ Kp , c’est finalement rechercher les antécédents
de B par l’application LA , i.e Sol = LA −1 {B} .
Donnons une description des formes linéaires sur Kn :
Proposition .2 (Formes linéaires sur Kn )
ϕ : Kn → K est une forme linéaire sur Kn si et seulement si


x1
n
X
 . 
n

il existe a1 , . . . , an ∈ K tels que ϕ :  .. 
∈
K
7
→
ai xi ∈ K.

i=1
xn
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Structure, Image et Noyau
Proposition .3 (Structures de L (E, F ) et L (E))
Soient E et F deux K− espaces vectoriels .
I L’ensemble L (E, F ) des applications linéaires de E dans F est un sous-espace vectoriel de
F (E, F ).
I L (E) est stable par composition, i.e la composée de deux applications linéaires est linéaire.
Rappelons les deux notions d’image directe et d’image inverse d’un ensemble par une application
quelconque, centrales pour exprimer simplement des notions ensemblistes.
Remarques :
B f : E → F et X ⊂ E. On note
f (X) = {f (x) où x ∈ X}
l’image directe de X par f .
L’image de E est f (E). On la note Im f . Rappelons enfin que f est surjective ssi Im f = E.
B f : E → F et Y ⊂ F . On note
f −1 (Y ) = {x ∈ E tels que f (x) ∈ Y }
On l’appelle image inverse de Y par f .
Elle ne nécessite pas l’inversibilité de f .
B Avec ces notations, on a ainsi f (X) ⊂ F et f −1 (Y ) ⊂ E.
Dans le cadre linéaire, ces deux notions sont compatibles avec la structure :
Propriétés .4
Soient E et F deux K− espaces vectoriels , et f : E → F une application linéaire.
1. Soit W un sous-espace vectoriel de F . L’image inverse f −1 (W ) de W par f est un sous-espace
vectoriel de E.
2. Soit V un sous-espace vectoriel de E. L’image directe f (V ) de V par f est un sous-espace
vectoriel de F .
Pour montrer qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel , il suffira bien souvent de prouver que
c’est l’image ou le noyau d’une application linéaire :
Corollaire .5 (L’image et le noyau sont des sous-espaces vectoriels )
Soient E et F deux K− espaces vectoriels , et f : E → F une application linéaire. Alors :
n
o
1./ ker f = x ∈ E tels que f (x) = 0F est un sous-espace vectoriel de E. On l’appelle le noyau
de f .
2./ Im f = f (E) = {f (x) où x ∈ E} est un sous-espace vectoriel de F . Autrement dit :
∀y ∈ F,
y ∈ Im f ⇐⇒ ∃x ∈ E tel que y = f (x).
Si Im f est de dimension finie, on appelle rang de f sa dimension.
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E XEMPLES
I L’ensemble des solutions du système linéaire homogène associé à une matrice A ∈ Mn,p est
le noyau de LA ∈ L (Rp , Rn ). On retrouve ainsi sa structure de sous-espace vectoriel de Rp .
On parlera souvent du noyau de la matrice A, plutôt que du noyau de l’application linéaire
canoniquement associée à A.
I {f ∈ F (R, R) telles que fZ(π) = 0} est le
noyau de l’opérateur d’évaluation en π.
I
f ∈ F (R, R) telles que
1
f (t)dt = 0 est le noyau de l’intégrale.
0
Expiquons maintenant ce que cela donne lorsque f = LA :
Proposition .6 (Image et Noyau d’une matrice)
Soit A ∈ Mn,p (K). Notons C1 , . . . , Cp ses colonnes.


x1
 . 
p

1./ Le noyau de LA est l’ensemble des 
 ..  ∈ K tels que x1 .C1 + · · · + xp .Cp = 0.
xp
2./ L’image de LA est Vect (C1 , . . . , Cp ), sous-espace vectoriel de Kn .
Ainsi, toute combinaison linéaire nulle des vecteurs colonne de A présente deux intérêts : elle fournit
à la fois un vecteur du noyau de A, et permet d’éliminer un des vecteurs colonnes lorsque l’on cherche
à extraire de (C1 , . . . Cp ) une base de l’image de A.
Dans le cadre linéaire, l’injectivité et la surjectivité d’une application se traduit par des égalités de
sous-espaces vectoriels :
Proposition .7 (Injectivité et surjectivité d’une application linéiare)
Soient E et F deux K− espaces vectoriels , et f : E → F une application linéaire. Alors :
I f est injective ⇐⇒ ker f = {0E }.
I f est surjective ⇐⇒ f (E) = F .
Linéarité en dimension finie
Pour toute famille E = (e1 , . . . ep ) de E, on appelle image de E par l’application linéaire f la famille
(f (e1 ), . . . , f (ep )).
Si e1 , . . . ep est une base de E, alors Im f = Vect f (e1 ), . . . f (ep ) ,
Le théorème central de ce paragraphe est le suivant :
Théorème .8 (Interpolation Linéaire)
Soient 
E un K− espace vectoriel de dimension finie et F un K−espace vectoriel.
B = (e , . . . , e ) une base de vecteurs E et
1
n
Soient
(b1 , . . . , bn ) une famille de vecteurs de F .
Alors il existe une unique application linéaire f ∈ L (E, F )
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qui vérifie pour tout i ∈ [[1, n]], f (ei ) = bi .
Remarques :
1./ Les deux notions de rang (celle des familles et celle des applications linéaires) coïncident
dans le cas suivant :
Si e1 , . . . ep est une base de E, alors Rang f = Rang f (e1 ), . . . f (ep ) .
2./ L’image d’une base quelconque de E par f peut donner beaucoup d’informations sur f :
Soit f ∈ L (E, F ), (e1 , . . . , en ) une base de E. Alors,
I (f est injective) ⇐⇒ (f (e1 , . . . , f (en )) est libre.
I (f est surjective) ⇐⇒ (f (e1 , . . . , f (en )) est génératrice de F.
I (f est bijective) ⇐⇒ (f (e1 , . . . , f (en )) est une base de F.
Voici un des résultats les plus importants d’algèbre linéaire :
Théorème .9 (du rang (version faible))
Soit E un espace vectoriel de dim finie, F un espace vectoriel , et f ∈ L (E, F ). Alors Im f est de
dimension finie et
dim ker f + Rang f = dim E.
Donnons-en une version plus fine, au programme, mais beaucoup moins usitée :
Théorème .10 (du rang, version forte)
Soit E un espace vectoriel de dim finie, F un espace vectoriel , et f ∈ L (E, F ). Soit de plus, G
un supplémentaire de ker f dans E. Alors, l’application
G −→ Im f est un isomorphisme.
x 7−→ f (x)
Nous tirons du théorème précédent :
Corollaire .11
Soient E et F deux K− espaces vectoriels de dimensions finies, et f ∈ L (E, F ). Alors,
1. Si f est injective, alors dim E 6 dim F .
2. Si f est surjective, alors dim E > dim F .
3. Si f est bijective, alors dim E = dim F .
Considérons maintenant les applications bijectives entre deux espaces vectoriels de même dimension finie.
Théorème .12
Soient E et F deux K− espaces vectoriels tels que dim E = dim F = n ∈ N, et f ∈ L (E, F ). Alors,
f est injective ⇐⇒ f est surjective ⇐⇒ f est bijective ⇐⇒ Rang f = n ⇐⇒ dim ker f = 0.
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E XEMPLES
1. Un cas à
lation de
Ψ Kn [X]
P
retenir, car il est sous-jacent aux merveilleux polynomes d’interpoLagrange : Si a0 , . . . , an ∈ K sont distincts deux à deux, alors
n+1
−→ K
est bijective.
7−→ P (a0 , . . . , P (an )
2. C’est FAUX en dimension infinie, par exemple la dérivation sur R[X] est surjective mais
pas injectif.
Définition .13 (Groupe linéaire)
Soit E un K− espace vectorielde dimension
finie. On note GL(E) l’ensemble des isomorphismes
de E. C’est un sous-groupe de Bij(E), ◦ .
Remarques :
Soit n ∈ N∗ . Tout K- espace vectoriel de dimension n est isomorphe à Kn .
Des exemples notoires
Pour les projecteurs et les symétries, il est absolument nécessaire d’avoir en tête LE dessin qui
résume toutes les propriétés.
Définition .14 (PROJECTEURS)
Soit E un espace vectoriel . On appelle projecteur de E tout endomorphisme f ∈ L (E) qui vérifie
f ◦ f = f.
Notons les propriétés de celui-ci :
I ker f ⊕ Im f = E (ce qui est faux pour un endomorphisme général).
I f est égal à l’identité sur Im f , i.e Im f = ker(f − IdE ).
Réciproquement, étant donnés deux sous-espaces vectoriels de E supplémentaires (i.e F ⊕G = E),
on peut définir un endomorphisme f de E en posant f = IdE sur F , et f = 0 sur ker f .
Cet endomorphisme f est alors un projecteur, appelé projecteur sur F parallèlement à G :
f : y + z ∈ E 7−→ y ∈ E pour tout (y, z) ∈ F × G.
Définition .15 (SYMETRIES)
Soit E un espace vectoriel . On appelle symétrie de E tout endomorphisme f ∈ L (E) qui vérifie
f ◦ f = Id.
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Notons les propriétés de celui-ci :
I f est un automorphisme de E, dont l’inverse est.... f .
I ker(f − Id) ⊕ ker(f + Id) = E.
I f est égal à l’identité sur ker(f − IdE ), et à −IdE sur ker(f + IdE ).
1
I (f + Id) est le projecteur sur ker(f − IdE ) parallèlement à ker(f + IdE ).
2
Réciproquement, étant donnés deux sous-espaces vectoriels de E supplémentaires (i.e F ⊕G = E),
on peut définir un endomorphisme f de E en posant f = IdE sur F , et f = −IdE sur ker f .
Cet endomorphisme f est alors une symétrie, appelée symétrie par rapport à F parallèlement à
G:
pour tout (y, z) ∈ F × G.
E −→ E
f
y + z 7−→ y − z
Proposition .16 (Hyperplans et formes linéaires)
Soit E un K− espace vectoriel de dimension finie n. Alors
1. Un sous-espace vectoriel H de E est un hyperplan ⇐⇒ il existe une forme linéaire non nulle
ϕ sur E telle que H = ker ϕ.
2. Un hyperplan H est à la fois le noyau de la forme linéaire ϕ et de la forme linéaire ψ ⇐⇒ ϕ et
ψ sont colinéaires. Ce qui signifie que deux équations linéaires définissant le même hyperplan
H de Rn sont proportionnelles.
3. L’intersection de m hyperplans de E est de dimension > n − m.
4. Pour tout sous-espace vectoriel G de E de dimension n − m, il existe m formes linéaires
ψ1 , . . . , ψm de E telles que G = ker ψ1 ∩ · · · ∩ ker ψm .
Soit E un K− espace vectoriel et f ∈ L (E). f est dit nilpotent lorsqu’une de ses puissances est
nulle, i.e lorsqu’il existe un entier naturel k ∈ N tel que f k = 0L (E) . Le plus petit entier k qui vérifie
cette propriété s’appelle l’indice de nilpotence de f .
Proposition .17
Soit f ∈ L (E) un endomorphisme nilpotent de E d’indice p ∈ N∗ . Alors
1./ {0E } = ker f 0
ker f 1
···
ker f p−1
ker f p = E.
2./ Si E est de dimension finie n, alors l’indice de nilpotence de f est inférieur à n. Autrement dit,
pour tout endomorphisme nilpotent f ∈ L (E), f n = 0L (E) .
Ce chapitre n’a rien à faire ici, mais c’est un oubli du précédent.
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Définition .18
Soit E1 , . . . , Ep une famille finie de sous-espaces vectoriels de E, et H = E1 + · · · + Ep . On dit
que ces sous-espaces vectoriels sont en somme directe lorsque tout vecteur de H se décompose de
manière unique comme une somme de vecteurs de Ei .
Proposition .19
On a équivalence entre :
I
p
X
Ei = ⊕pi=1 Ei , et
i=1
I Pour tout (x1 , . . . , xp ) ∈ E1 × · · · × Ep , si
Pp
i=1
xi = 0E , alors tous les xi sont égaux à 0E .
Remarques :
I Si E admet une décomposition en somme directe E = ⊕Ei , on obtient une base de E
en réunissant des bases des Ei . Une telle base de E est dite adaptée à al décomposition
E = ⊕Ei .
I Si E =
p
X
Fi , alors dim E 6
i=1
p
X
dim Fi .
i=1
De plus, on a égalité si et seulement si la somme est directe.
A
Les preuves à connaitre...
I Théorème .9 et .10
I Proposition .16
I Proposition .17
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B
Les figures imposées
E XERCICES
!
1./ CCP 2014-Algèbre-6 Soit la matrice A =
1 2
et f l’endomorphisme de M2 (R) défini
2 4
par f (M ) = AM .
(a) Déterminer ker f .
(b) f est-il surjectif ?
(c) Trouvez une base de ker f et une base de Im f .
2./ CCP 2014-Algèbre-10
Soit E un espace vectoriel sur R ou C et f et g deux endomorphismes de E tels que
f ◦ g = id.
(a) Démontrer que ker(g ◦ f ) = ker f .
(b) Démontrer que Im (g ◦ f ) = Im g.
(c) Démontrer que E = ker f ⊕ Im g.
3./ CCP 2014-Algèbre-15
Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension n.
(a) Démontrer que E = Im f ⊕ ker f =⇒ Im f = Im f 2 .
(b)
i. Démontrer que : Im f = Im f 2 ⇐⇒ ker f = ker f 2 .
ii. Démontrer que : Im f = Im f 2 =⇒ E = Im f ⊕ ker f .
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