Applications linéaires

2014/2015
MP, Lycée Berthollet
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Résumé 02 : Applications linéaires
Dans tout ce chapitre, Ksera le corps Rou C, et Esera un espace vectoriel sur K.
La linéarité
Définition .1 (Applications linéaires)
Soient E, F deux K−espaces vectoriels . Une application f:E→Fest dite linéaire lorsque
∀x, y ∈E, ∀α∈K, f(α.x +y) = αf (x) + f(y).
Si E=F, on dit que fest un endomorphisme. On note L(E, F )l’ensemble des applications
linéaires entre Eet F, et L(E) = L(E, E)l’ensemble des endomorphismes de E.
EXEMPLES
If:R→Rest une application linéaire ⇐⇒ il existe a∈Rtel que f:x∈R7→ ax ∈R.
ILes homothéties sur E, i.e les applications qui s’écrivent λIdE, où λ∈Ksont linéaires.
ISoit x0∈R.On appelle opérateur d’évaluation en x0l’application
Ex0:f∈F(R,R)7→ f(x0)∈R.
Ex0est une forme linéaire sur F(RR).
ISoit Iun intervalle de R.
La dérivation DD1(I, R)−→ F(I, R)
f7−→ f0
est une application linéaire.
ISoit Iun intervalle de Ret a, b ∈I.
L’intégrale IC0
m(I, C)−→ C
f7−→ Zb
a
f(t)dt
est une forme linéaire.
IOn appelle forme linéaire sur Etoute application linéaire ϕ:E→K.
ISoient n, p ∈N∗et A= (ai,j )∈Mn,p(K). Notons LA:X∈Kp→AX ∈Kn,où,
LA
x1
.
.
.
xp
=
a11 a12 . . . a1p
a21 a22 . . . a2p
.
.
..
.
..
.
.
an1an2. . . anp
x1
.
.
.
xp
=
p
X
j=1
a1,j xj
.
.
.
p
X
j=1
an,j xj
∈Kn.
Alors pour tous X, Y ∈Kp,∀λ, µ ∈K, LA(λ.X +µ.Y ) = λLA(X) + µLA(Y).
LAest l’application linéaire (endomorphisme si n=p)canoniquement associé a A.
Ainsi, résoudre le système AX =B, où B∈Kp, c’est finalement rechercher les antécédents
de Bpar l’application LA, i.e Sol =LA
−1{B}.
Donnons une description des formes linéaires sur Kn:
Proposition .2 (Formes linéaires sur Kn)
ϕ:Kn→Kest une forme linéaire sur Knsi et seulement si
il existe a1, . . . , an∈Ktels que ϕ:
x1
.
.
.
xn
∈Kn7→
n
X
i=1
aixi∈K.
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Structure, Image et Noyau
Proposition .3 (Structures de L(E, F )et L(E))
Soient Eet Fdeux K−espaces vectoriels .
IL’ensemble L(E, F )des applications linéaires de Edans Fest un sous-espace vectoriel de
F(E, F ).
IL(E)est stable par composition, i.e la composée de deux applications linéaires est linéaire.
Rappelons les deux notions d’image directe et d’image inverse d’un ensemble par une application
quelconque, centrales pour exprimer simplement des notions ensemblistes.
Remarques :
Bf:E→Fet X⊂E. On note
f(X) = {f(x)où x∈X}l’image directe de Xpar f.
L’image de Eest f(E). On la note Im f. Rappelons enfin que fest surjective ssi Im f=E.
Bf:E→Fet Y⊂F. On note
f−1(Y) = {x∈Etels que f(x)∈Y}On l’appelle image inverse de Ypar f.
Elle ne nécessite pas l’inversibilité de f.
BAvec ces notations, on a ainsi f(X)⊂Fet f−1(Y)⊂E.
Dans le cadre linéaire, ces deux notions sont compatibles avec la structure :
Propriétés .4
Soient Eet Fdeux K−espaces vectoriels , et f:E→Fune application linéaire.
1. Soit Wun sous-espace vectoriel de F. L’image inverse f−1(W)de Wpar fest un sous-espace
vectoriel de E.
2. Soit Vun sous-espace vectoriel de E. L’image directe f(V)de Vpar fest un sous-espace
vectoriel de F.
Pour montrer qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel , il suffira bien souvent de prouver que
c’est l’image ou le noyau d’une application linéaire :
Corollaire .5 (L’image et le noyau sont des sous-espaces vectoriels )
Soient Eet Fdeux K−espaces vectoriels , et f:E→Fune application linéaire. Alors :
1./ ker f=nx∈Etels que f(x)=0Foest un sous-espace vectoriel de E. On l’appelle le noyau
de f.
2./ Im f=f(E) = {f(x)où x∈E}est un sous-espace vectoriel de F. Autrement dit :
∀y∈F, y ∈Im f⇐⇒ ∃x∈Etel que y=f(x).
Si Im fest de dimension finie, on appelle rang de fsa dimension.
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EXEMPLES
IL’ensemble des solutions du système linéaire homogène associé à une matrice A∈Mn,p est
le noyau de LA∈L(Rp,Rn). On retrouve ainsi sa structure de sous-espace vectoriel de Rp.
On parlera souvent du noyau de la matrice A, plutôt que du noyau de l’application linéaire
canoniquement associée à A.
I{f∈F(R,R)telles que f(π)=0}est le noyau de l’opérateur d’évaluation en π.
If∈F(R,R)telles que Z1
0
f(t)dt = 0est le noyau de l’intégrale.
Expiquons maintenant ce que cela donne lorsque f=LA:
Proposition .6 (Image et Noyau d’une matrice)
Soit A∈Mn,p(K). Notons C1, . . . , Cpses colonnes.
1./ Le noyau de LAest l’ensemble des 
x1
.
.
.
xp
∈Kptels que x1.C1+· · · +xp.Cp= 0.
2./ L’image de LAest Vect (C1, . . . , Cp), sous-espace vectoriel de Kn.
Ainsi, toute combinaison linéaire nulle des vecteurs colonne de Aprésente deux intérêts : elle fournit
à la fois un vecteur du noyau de A, et permet d’éliminer un des vecteurs colonnes lorsque l’on cherche
à extraire de (C1,...Cp)une base de l’image de A.
Dans le cadre linéaire, l’injectivité et la surjectivité d’une application se traduit par des égalités de
sous-espaces vectoriels :
Proposition .7 (Injectivité et surjectivité d’une application linéiare)
Soient Eet Fdeux K−espaces vectoriels , et f:E→Fune application linéaire. Alors :
Ifest injective ⇐⇒ ker f={0E}.
Ifest surjective ⇐⇒ f(E) = F.
Linéarité en dimension finie
Pour toute famille E= (e1,...ep)de E, on appelle image de Epar l’application linéaire fla famille
(f(e1), . . . , f(ep)).
Si e1,...epest une base de E, alors Im f=Vect f(e1),...f(ep),
Le théorème central de ce paragraphe est le suivant :
Théorème .8 (Interpolation Linéaire)
Soient Eun K−espace vectoriel de dimension finie et Fun K−espace vectoriel.
Soient 
B= (e1, . . . , en)une base de vecteurs Eet
(b1, . . . , bn)une famille de vecteurs de F.
Alors il existe une unique application linéaire f∈L(E, F )
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qui vérifie pour tout i∈[[1, n]], f(ei) = bi.
Remarques :
1./ Les deux notions de rang (celle des familles et celle des applications linéaires) coïncident
dans le cas suivant :
Si e1,...epest une base de E, alors Rang f=Rang f(e1),...f(ep).
2./ L’image d’une base quelconque de Epar fpeut donner beaucoup d’informations sur f:
Soit f∈L(E, F ),(e1, . . . , en)une base de E. Alors,
I(fest injective)⇐⇒ (f(e1, . . . , f(en)) est libre.
I(fest surjective)⇐⇒ (f(e1, . . . , f(en)) est génératrice de F.
I(fest bijective)⇐⇒ (f(e1, . . . , f(en)) est une base de F.
Voici un des résultats les plus importants d’algèbre linéaire :
Théorème .9 (du rang (version faible))
Soit Eun espace vectoriel de dim finie, Fun espace vectoriel , et f∈L(E, F ). Alors Im fest de
dimension finie et
dim ker f+Rang f= dim E.
Donnons-en une version plus fine, au programme, mais beaucoup moins usitée :
Théorème .10 (du rang, version forte)
Soit Eun espace vectoriel de dim finie, Fun espace vectoriel , et f∈L(E, F ). Soit de plus, G
un supplémentaire de ker fdans E. Alors, l’application G−→ Im f
x7−→ f(x)
est un isomorphisme.
Nous tirons du théorème précédent :
Corollaire .11
Soient Eet Fdeux K−espaces vectoriels de dimensions finies, et f∈L(E, F ). Alors,
1. Si fest injective, alors dim E6dim F.
2. Si fest surjective, alors dim E>dim F.
3. Si fest bijective, alors dim E= dim F.
Considérons maintenant les applications bijectives entre deux espaces vectoriels de même dimen-
sion finie.
Théorème .12
Soient Eet Fdeux K−espaces vectoriels tels que dim E= dim F=n∈N, et f∈L(E, F ). Alors,
fest injective ⇐⇒ fest surjective ⇐⇒ fest bijective ⇐⇒ Rang f=n⇐⇒ dim ker f= 0.
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EXEMPLES
1. Un cas à retenir, car il est sous-jacent aux merveilleux polynomes d’interpo-
lation de Lagrange : Si a0, . . . , an∈Ksont distincts deux à deux, alors
ΨKn[X]−→ Kn+1
P7−→ P(a0, . . . , P (an)
est bijective.
2. C’est FAUX en dimension infinie, par exemple la dérivation sur R[X]est surjective mais
pas injectif.
Définition .13 (Groupe linéaire)
Soit Eun K−espace vectoriel de dimension finie. On note GL(E)l’ensemble des isomorphismes
de E. C’est un sous-groupe de Bij(E),◦.
Remarques :
Soit n∈N∗. Tout K- espace vectoriel de dimension nest isomorphe à Kn.
Des exemples notoires
Pour les projecteurs et les symétries, il est absolument nécessaire d’avoir en tête LE dessin qui
résume toutes les propriétés.
Définition .14 (PROJECTEURS)
Soit Eun espace vectoriel . On appelle projecteur de Etout endomorphisme f∈L(E)qui vérifie
f◦f=f.
Notons les propriétés de celui-ci :
Iker f⊕Im f=E(ce qui est faux pour un endomorphisme général).
Ifest égal à l’identité sur Im f, i.e Im f= ker(f−IdE).
Réciproquement, étant donnés deux sous-espaces vectoriels de Esupplémentaires (i.e F⊕G=E),
on peut définir un endomorphisme fde Een posant f=IdEsur F, et f= 0 sur ker f.
Cet endomorphisme fest alors un projecteur, appelé projecteur sur Fparallèlement à G:
f:y+z∈E7−→ y∈Epour tout (y, z)∈F×G.
Définition .15 (SYMETRIES)
Soit Eun espace vectoriel . On appelle symétrie de Etout endomorphisme f∈L(E)qui vérifie
f◦f=Id.
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