Chapitre 4 Les Nombres Complexes.

1/Les Nombres Complexes Terminale S
Obligatoire Année 2011-2012
Chapitre 4
Les Nombres Complexes.
I. Définitions
Objectif :
On veut « construire » un ensemble de nombres contenant l’ensemble des nombres
réels, muni de deux opérations qui généralisent l’addition et la multiplication des
nombres réels, dans lequel l’équation x
2
= -1 a au moins une solution.
Dans l’ensemble du chapitre, on considère le plan muni d’un repère orthonormal
direct
(
)
O; i , j
.
1. L’ensemble ℂ.
Soit M un point du plan (ou
v
un vecteur du plan) de coordonnées notées
x
y
On dit que
x
y
est un nombre « complexe » (au sens de « composé » défini avec
deux composantes).
On peut désigner un nombre complexe par une lettre, par exemple z . On pourra donc
dire :
soit le nombre complexe z =
x
y
.
Vu les propriétés des coordonnées, à un point M du plan (ou à un vecteur
v
du plan)
on associe un et un seul nombre complexe z ; et réciproquement.
On dit que le nombre complexe z est l’affixe du point M (ou du vecteur
v
).

2/Les Nombres Complexes Terminale S
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L’ensemble des nombres complexes est noté ℂ.
Il se représente par l’ensemble des points du plan muni d’un repère orthonormal
direct.
On veut que ℂ contienne ℝ. On décide d’identifier le nombre complexe
0
x
au
nombre réel x.
Cela consiste à représenter dans le plan, l’ensemble des nombres réels par l’axe des
abscisses.
2. Addition des nombres complexes.
Soit M et M’ d’affixes respectives
x
y
et
'
'
x
y
.
En remarquant que le vecteur
OM +OM'
a pour coordonnées
'
'
x x
y y
+
+
, on définit
l’addition de deux nombres complexes en posant :
x
y
+
'
'
x
y
=
'
'
x x
y y
+
+
Cas particulier :
Si l’on considère des nombres réels, avec l’identification faite, on a :
x + x’ =
0
x
+
'
0
x
=
'
0
x x
+
= x + x’, ce qui montre que l’addition dans ℂ
prolonge l’addition dans ℝ .
Propriétés :
On peut vérifier que l’opération que l’on vient de définir a les mêmes propriétés que
l’addition dans ℝ .
En particulier, un nombre complexe a un opposé : l’opposé de z =
x
y
est
x
y
−
−
que l’on écrit – z.

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3. Multiplication des nombres complexes.
On veut que la multiplication des nombres complexes prolonge la multiplication des
nombres réels.
En particulier on veut que :
x
y
= 1 ×
x
y
= 1
0
x
y
×
.
En conséquence on ne peut pas prendre comme définition du produit de deux
nombres complexes :
' '
' '
x x xx
y y yy
× =
Revenons à l’égalité
1
0
x x
y y
= × , et regardons la comme le produit de
1
0
par
x
y
.
Géométriquement, passer du point A d’affixe
1
0
au point M d’affixe
x
y
correspond à la composée de l’homothétie de centre O et de rapport OM, et de la
rotation de centre O et d’angle
(
)
;
u OM
.
On généralise en considérant les coordonnées polaires.
Soit M (M O) d’affixe z =
cos( )
sin( )
x r
y r
θ
=
θ
et M’ (M’ ≠ O) d’affixe
z’ =
' 'cos( ')
' 'sin( ')
x r
y r
θ
=
θ
.
On définit
'
'
x x
y y
×
en considérant l’affixe du point M’’, image de M’
≠

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par la composée de l’homothétie de centre O et de rapport r, et de la rotation
de centre O et d’angle θ
ce qui donne le point M’’ d’affixe :
'cos( ')
'sin( ')
rr
rr
θ + θ
θ + θ
.
Or à partir de l’égalité : cos( θ + θ ’) = cos( θ ) cos( θ ’) – sin( θ ) sin( θ ’),
on a : r r’ cos( θ + θ ’) = x x’ – y y’ ;
A partir de l’égalité : sin( θ + θ ’) = sin( θ ) cos( θ ’) + cos( θ ) sin( θ ’),
on a : r r’ sin( θ + θ ’) = x y’ + y x’.
On donne alors la définition :
' cos( ) 'cos( ') 'cos( ') ' '
' sin( ) 'sin( ') 'sin( ') ' '
x x r r rr xx yy
y y r r rr xy yx
θ θ θ + θ −
× = × = =
θ θ θ + θ +
,
et quel que soit le nombre complexe z : z × 0 = 0.
Remarque :
On a immédiatement :
'
'
x x
y y
×
= '
'
x x
y y
×
.
Géométriquement, cela signifie que dans la démarche exposée plus haut, on arrive au
même point M’’ en permutant les rôles de M et de M’.

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Cas particulier :
1. Si on considère les nombres réels x et x’, avec l’identification faite,
on a : xx’ =
' '
0 0 0
x x xx
× =
= xx’,
qui montre que la multiplication dans ℂ prolonge celle de ℝ .
2. On a également : 0
x k x kx
k
y y ky
× = × =
ou encore
x kx
k
y ky
× =
.
Propriétés :
Hormis la question de l’inverse et du quotient (voir II), on peut vérifier facilement
que les opérations dans ℂ ont les mêmes propriétés de calcul que les opérations dans
ℝ .
4. Nouvelle écriture des nombres complexes.
a. Un cas particulier :
Avec la définition donnée, on a :
0 0 1
1 1 0
−
× =
= -1.
On a donc un nombre complexe dont le « carré » est égal à –1.
On note i le nombre complexe
0
1
. On a donc i
2
= –1.
L’équation z
2
= -1 a donc au moins une solution dans ℂ .