Chapitre 4 Les Nombres Complexes.

1/Les Nombres Complexes
Terminale S
Chapitre 4
Les Nombres Complexes.
I.
Définitions
Objectif :
On veut « construire » un ensemble de nombres contenant l’ensemble des nombres
réels, muni de deux opérations qui généralisent l’addition et la multiplication des
nombres réels, dans lequel l’équation x2 = -1 a au moins une solution.
Dans l’ensemble du chapitre, on considère le plan muni d’un repère orthonormal
direct (O; i , j ) .
1. L’ensemble ℂ.
x 
Soit M un point du plan (ou v un vecteur du plan) de coordonnées notées  
y 
x 
On dit que   est un nombre « complexe » (au sens de « composé » défini avec
y 
deux composantes).
On peut désigner un nombre complexe par une lettre, par exemple z. On pourra donc
dire :
x 
soit le nombre complexe z =   .
y 
Vu les propriétés des coordonnées, à un point M du plan (ou à un vecteur v du plan)
on associe un et un seul nombre complexe z ; et réciproquement.
On dit que le nombre complexe z est l’affixe du point M (ou du vecteur v ).
Obligatoire
Année 2011-2012
2/Les Nombres Complexes
Terminale S
L’ensemble des nombres complexes est noté ℂ.
Il se représente par l’ensemble des points du plan muni d’un repère orthonormal
direct.
x 
On veut que ℂ contienne ℝ. On décide d’identifier le nombre complexe   au
0 
nombre réel x.
Cela consiste à représenter dans le plan, l’ensemble des nombres réels par l’axe des
abscisses.
2. Addition des nombres complexes.
x 
 x '
Soit M et M’ d’affixes respectives   et   .
y 
y '
 x + x '
En remarquant que le vecteur OM + OM' a pour coordonnées 
 , on définit
y
+
y
'


l’addition de deux nombres complexes en posant :
 x   x '  x + x '
  + =

y  y ' y + y ' 
Cas particulier :
Si l’on considère des nombres réels, avec l’identification faite, on a :
 x   x '  x + x '
x + x’ =   +   = 
 = x + x’, ce qui montre que l’addition dans ℂ
0  0   0 
prolonge l’addition dans ℝ.
Propriétés :
On peut vérifier que l’opération que l’on vient de définir a les mêmes propriétés que
l’addition dans ℝ.
x 
 −x 
En particulier, un nombre complexe a un opposé : l’opposé de z =   est  
y 
 −y 
que l’on écrit – z.
Obligatoire
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3/Les Nombres Complexes
Terminale S
3. Multiplication des nombres complexes.
On veut que la multiplication des nombres complexes prolonge la multiplication des
nombres réels.
x 
x 
1   x 
En particulier on veut que :   = 1 ×   =   ×   .
y 
y 
 0  y 
En conséquence on ne peut pas prendre comme définition du produit de deux
nombres complexes :
 x   x '   xx ' 
 × = 
 y   y '   yy ' 
 x  1   x 
1 
Revenons à l’égalité   =   ×   , et regardons la comme le produit de   par
y   0  y 
0
x 
 .
y 
Géométriquement, passer du point A d’affixe
x 
1 
  au point M d’affixe  
0
y 
correspond à la composée de l’homothétie de centre O et de rapport OM, et de la
rotation de centre O et d’angle u ;OM .
(
)
On généralise en considérant les coordonnées polaires.
Soit M (M ≠ O)
d’affixe
 x   r cos(θ) 
z =  = 

 y   r sin(θ) 
et
M’ (M’ ≠ O)
d’affixe
 x '   r 'cos(θ ') 
z’ =   = 
.
 y '   r 'sin(θ ') 
 x   x '
On définit   ×   en considérant l’affixe du point M’’, image de M’
y   y '
Obligatoire
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4/Les Nombres Complexes
Terminale S
par la composée de l’homothétie de centre O et de rapport r, et de la rotation
de centre O et d’angle θ;
 rr 'cos(θ + θ ') 
ce qui donne le point M’’ d’affixe : 
.
 rr 'sin(θ + θ ') 
Or à partir de l’égalité : cos(θ + θ’) = cos(θ) cos(θ’) – sin(θ) sin(θ’),
on a : r r’ cos(θ + θ’) = x x’ – y y’ ;
A partir de l’égalité : sin(θ + θ’) = sin(θ) cos(θ’) + cos(θ) sin(θ’),
on a : r r’ sin(θ + θ’) = x y’ + y x’.
On donne alors la définition :
 x   x '   r cos(θ)   r 'cos(θ ')   rr 'cos(θ + θ ')   xx '− yy ' 
 ×  = 
×
=
=
,
 y   y '   r sin(θ)   r 'sin(θ ')   rr 'sin(θ + θ ')   xy '+ yx ' 
et quel que soit le nombre complexe z : z × 0 = 0.
Remarque :
 x   x '
 x '  x 
On a immédiatement :   ×   =   ×   .
y   y '
y '  y 
Géométriquement, cela signifie que dans la démarche exposée plus haut, on arrive au
même point M’’ en permutant les rôles de M et de M’.
Obligatoire
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5/Les Nombres Complexes
Terminale S
Cas particulier :
1. Si on considère les nombres réels x et x’, avec l’identification faite,
 x   x '   xx ' 
on a : xx’ =   ×   =   = xx’,
0   0   0 
qui montre que la multiplication dans ℂ prolonge celle de ℝ.
 x   k   x   kx 
x 
 kx 
2. On a également : k ×   =   ×   =   ou encore   × k =   .
 y   0   y   ky 
y 
 ky 
Propriétés :
Hormis la question de l’inverse et du quotient (voir II), on peut vérifier facilement
que les opérations dans ℂ ont les mêmes propriétés de calcul que les opérations dans
ℝ.
4. Nouvelle écriture des nombres complexes.
a. Un cas particulier :
 0   0   −1 
Avec la définition donnée, on a :   ×   =   = -1.
1 1  0 
On a donc un nombre complexe dont le « carré » est égal à –1.
0
On note i le nombre complexe   . On a donc i 2 = –1.
1
L’équation z 2 = -1 a donc au moins une solution dans ℂ.
Obligatoire
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6/Les Nombres Complexes
b.
Terminale S
Cas général :
x  x  0  x  0
z =   =   +   =   +  ×y = x + i ×y ,
 y   0  y   0   1 
en notant dorénavant, comme dans ℝ, iy le produit i × y.
Un nombre complexe z peut s’écrire sous la forme : z = x + i y = x + y i,
avec x et y réels.
Les opérations s’écrivent alors :
(x + iy) + (x’ + iy’) = (x + x’) + i (y + y’)
(x + i y) × (x’ + iy’) = (x x’ – y y’) + i (x y’ + y x’)
Remarque pratique :
En pratique, on retrouve les égalités définissant les opérations en utilisant les règles
usuelles d’algèbre et l’égalité : i 2 = -1.
5. Conclusion.
Définition 1 :
On désigne par ℂ l’ensemble des nombres complexes z qui s’écrivent sous la forme
z = x + i y, où x et y sont des nombres réels où i est un nombre complexe tel que :
i 2 = –1.
Cet ensemble est muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent
l’addition et la multiplication des nombres réels.
Définition 2 :
Si z = x + iy, x s’appelle la partie réelle de z, notée Re(z) ; y s’appelle la partie
imaginaire de z, notée Im(z).
Obligatoire
Année 2011-2012
7/Les Nombres Complexes
Terminale S
Si Re(z) = 0, on dit que le nombre complexe z est imaginaire pur.
Définition 3 :
Etant donné un nombre complexe z = x + iy, le point M (ou le vecteur v ) de
coordonnées (x ; y) a pour affixe z, et est appelé image ponctuelle (ou
vectorielle) du nombre complexe z.
Si le point M a pour coordonnées polaires [r ; θ;], on dit que r est le module de z,
noté | z |, ;θ est un argument de z, noté arg(z), il est défini à 2π-près.
L’écriture z = x + iy est dite forme algébrique de z.
L’écriture z = r cos(θ);;+ i*r sin(θ) est dite forme trigonométrique de z.
II. Inverse et quotient.
Soit z un nombre complexe non nul on veut définir son inverse, c’est-à-dire un
nombre z’ tel que z z’ = 1.
Géométriquement, pour passer du point M (M ≠ O) au point A d’affixe 1, on compose
une homothétie de centre O, de rapport
(
)
OM ; u .
1
, et une rotation de centre O, d’angle
OM
En notant [r ; θ;] les coordonnées polaires de M, cela revient à diviser la norme de
OM par r, et à soustraire θ à son argument.
Donc si z = r (cos(θ) + i sin(θ)) (avec r non nul ), le nombre complexe
z’ =
1
1
(cos(-θ;) + i sin(-θ;)) vérifie: z z’= r (cos(θ; - θ;) + i sin (;θ - θ;)) = 1.
r
r
Obligatoire
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8/Les Nombres Complexes
Terminale S
On dit que z’ est l’inverse de z, on le note
1
. On a :
z
1
1
1
=
et arg   = – arg(z)
z
z
z 
[2π].
Cas particulier : si z est réel non nul, on retrouve la notion d’inverse dans ℝ.
Avec la forme algébrique:
Soit le complexe non nul z = x + iy = r (cos(θ) + i sin(θ)).
On a :
1
1
=
(cos(θ) – i sin(θ)) =
z
r

 x − iy
x
y

=
−i
x 2 + y 2  x 2 + y 2
x 2 + y 2  x 2 + y 2
1
Définition 4 :
On appelle conjugué de z, et on note z , le nombre complexe x – i y.
On définit la division de z’ par z en multipliant z’ par l’inverse de z :
z'
1
= z '× .
z
z
Technique :
Pour déterminer la partie réelle et la partie imaginaire d’un quotient, on multiplie le
numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :
z ' x '+ iy ' (x '+ iy ')(x − iy ) xx '+ yy '+ i (xy '− x 'y )
=
=
=
z
x + iy
(x + iy )(x − iy )
x2 + y2
Obligatoire
Année 2011-2012
9/Les Nombres Complexes
Terminale S
III. Propriétés.
1. Du conjugué.
1. Les points du plan associés à deux nombres complexes conjugués sont
symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
2. Soit z = x + i y un nombre complexe.
3.
z +−z = 2x et z – −z = 2iy.
z ∈ ℝ ⇔ −z = z ; z est un imaginaire pur ⇔ −z = - z
z  z
4. z + z ' = z + z ' ; z × z ' = z × z ' ;   =
 z ' z '
Démonstration :
Soient z = x + iy et z’ = x’ + iy, alors −z = x – iy et z ' = x’ – i y’.
1. Les points d’affixes respectives z et −z ont la même abscisse et une ordonnée opposée, ils sont donc symétrique
par rapport à (Ox).
2. z + −z = (x + iy) + (x – iy) = 2x ; z – −z = (x + iy) – (x – iy) = 2iy ;
3. ( z ∈ IR ) ⇔ ( y = 0 ) ⇔ ( z – −z = 0 ) ⇔ ( z = −z ); ( z est un imaginaire pur ) ⇔ ( x = 0 ) ⇔ (z + −z = 0 )
⇔ ( z = – −z ) ;
4. z + z ' = (x + x’) – i(y + y’) = z + z ' ; zz ' = (xx’ – yy’) – i(xy’ + x’y) = (x – iy) (x’ – iy’) = zz ' ;
 z  xx '+ yy '− i (x 'y − xy ') (x − iy )(x '+ iy ') z
=
=
.
 =
x '2 + y '2
x '2 + y '2
z'
 z'
2. Des modules et des arguments.
Soient z = x + i y, et z’ = x’ + i y’ deux nombres complexes.
1. z = 0 ⇔ z = 0
2. -z=−z= z ;Si z est non nul : arg(-z) = arg(z) + π [2π] ; arg(−z) = - arg(z)
[2π]
3. z2 = x2 + y2 = z −z (Attention : z2 n’est pas z2 !!)
4. z × z’= zz’; si z est non nul, arg(z×z’) = arg(z) + arg(z’) [2π].
Obligatoire
Année 2011-2012
10/Les Nombres Complexes
5.
Terminale S
z
z 
z
=
; si z est non nul, arg   = arg(z) - arg(z’) [2π].
z'
z'
 z '
6. Inégalité triangulaire: z + z’≤ z+ z’.
Démonstration :
Soit M le point d’affixe z = x + iy.
1.
(z = 0 ) ⇔ ( OM = 0 ) ⇔ ( M = O ) ⇔ ( z = 0 ).
2.
Les points M et M1 d’affixes respectives z et –z sont symétriques par rapport
M(z)
à O, donc -z= z et (s’ils sont distincts de O) arg(-z) = arg(z)+ π [2π].
Les points M et M2 d’affixes respectives z et −z sont symétriques par rapport
−
M2( z)
M1(-z)
à (Ox), donc −z = z et (s’ils sont distincts de O) arg(−z) = - arg(z) [2π].
3.
z2 = OM2 = x2 + y2 = ( x + iy ) (x – iy) = z −z.
4.
et 5. Ce sont des conséquences directes de la construction du produit et de l’inverse dans ℂ.
On les retrouve avec les formes trigonométriques des nombres complexes.
6.
M(z)
Soient M, M’ et M’’ les points d’affixes respectives z, z’ et z + z’.
O
z + z’= OM’’ ≤ OM + OM’ = z+z’ (d’après l’inégalité triangulaire dans OMM’’).
3. Notation exponentielle
Considérons la fonction f définie sur ℝ par f (θ) = cos(θ) + i sin(θ).
On a f (θ + θ’) = f(θ) × f(θ’). Ainsi f vérifie l’équation fonctionnelle des
exponentielles.
De plus, en considérant i comme une constante, et en dérivant comme dans ℝ, on a:
f ’(θ) = i f (θ). Ainsi f vérifie l’équation différentielle y’ = i y, et f (0) = 1.
On convient alors de noter f(θ) = eiθ.
Ainsi tout nombre complexe z se met sous la forme z = r eiθ , où r =z, et
θ = arg(z) [2π].
Obligatoire
M’’(z+z’)
Année 2011-2012
M’(z’)
11/Les Nombres Complexes
Terminale S
Définition 5 :
Cette forme s’appelle forme exponentielle de z.
Avec cette notation les règles de calcul sur les complexes se traduisent comme les
règles de calcul sur les puissances : soient z = r eiθ ; et z’ = r’ eiθ’ deux nombres
complexes :
z z’ = rr 'ei (θ+θ') ;
z n = r neinθ ;
1 1 −i θ
= e ;
z r
z ' r ' i (θ'−θ)
= e
;
z
r
z = re −i θ
Remarque :

1
cos(θ) = (ei θ + e −i θ )


2
De z = re −i θ , on déduit les formules d’Euler : 
.
1
i
θ
−
i
θ
sin(θ) = (e − e )

2i
IV. Applications des nombres complexes
1. En géométrie
a.
Si M est d’affixe zM et M’ d’affixe zM’ alors le vecteur MM ' est d’affixe zM’–zM.
Démonstration :
MM ' = OM ' − OM .
b.
Equation paramétrique d’un cercle.
Soit r un nombre réel positif. L’ensemble des points M d’affixe z tel que z = ω + rei θ
lorsque θ décrit [0 ; 2π[est le cercle de centre Ω d’affixe ω et de rayon r.
Obligatoire
Année 2011-2012
12/Les Nombres Complexes
Terminale S
Démonstration :
Soient M un point d’affixe z, et C le cercle de centre Ω d’affixe ߱ et de rayon r.
( ∃θ ∈ / z = ω + re ) ⇔ (∃θ ∈ / z − ω = re
iθ
iθ
) ⇔ ( z − ω = r ) ⟺ ( ΩM = r ) ⟺ ( M ∈ C).
c. Transformations.
Soit f une transformation du plan qui à tout point d’affixe z associe le point d’affixe
z’.
•
f est la translation de vecteur v d’affixe β, si et seulement si
z’ = z + β .
•
f est la rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle θ si et seulement si
z’ - ω = eiθ ( z - ω).
•
f est l’homothétie de centre Ω d’affixe ω et de rapport k si et seulement si
z’–ω = k(z– ω),
Démonstration :
On note M le point d’affixe z, M’ le point d’affixe z’.
o f est la translation de vecteur v d’ affixe ߚsi et seulement si :
MM ' = v ⇔ ( z’ – z = ߚ ) ⟺ ( z’ = z + ߚ ).
)
(
o
v
f est la rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle θ si et seulement si
ΩM ' = ΩM
ΩM ' = ΩM


iθ
⇔ et
⟺ ( z '− ω = e (z − ω) )
et
   ΩM ; ΩM ' = θ [2π]
 u ; ΩM ' = u ; ΩM + θ [2π]
(
o
)
(
) (
)
f est l’homothétie de centre Ω d’affixe ω et de rapport k si et seulement si
( ΩM ' = k ΩM ) ⇔ (z '− ω = k (z − ω) )
Obligatoire
Année 2011-2012
13/Les Nombres Complexes
Terminale S
2. Résolution des équations du second degré
Théorème 1 :
Toute équation du second degré az2 + bz + c = 0, à coefficients a, b et c réels
( a ≠ 0 ), admet dans ℂ des solutions.
Soit ∆ = b2 – 4ac, appelé disciminant de l’équation.
b
;
2a
−b − ∆
−b + ∆
∗ Si ∆ > 0 : l’équation admet deux solutions réelles
et
;
2a
2a
∗ Si ∆ < 0 : l’équation admet deux solutions complexes conjuguées
∗ Si ∆ = 0 : l’équation admet une solution réelle z = −
−b − i ∆
et
2a
−b + i ∆
2a
.
Démonstration :
2
2


b
c
b  b 2 − 4ac 
b 
∆ 

az2 + bz + c = a  z 2 + z +  = a   z +  −
=
a
z
+



 − 2 
2



a
a
2a 
4a
2a  4a 




2
Si ∆ = 0:
b 
b

az2 + bz + c = 0 ⇔ a  z +  = 0 ⇔ z = − .
2a 
2a

Si ∆ > 0:
2

b   ∆
az2 + bz + c = 0 ⇔ a   z +  − 


2a   2a 

2

b
∆
z = − +
2a 2a


 = 0 ⇔ 
ou



z = − b − ∆

2a 2a

b
z = − +
2
a
2

b   −∆  

Si ∆ < 0: az2 + bz + c = 0 ⇔ a   z +  − 
i
=
0
⇔
ou



2a   2a  



z = − b −

2a
2
Obligatoire
−∆
i
2a
−∆
i
2a
Année 2011-2012