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Chapitre 11 Probabilités : variables aléatoires
Avant de commencer
1 Réponse D. Quand on tire deux boules successivement dans un sac
contenant 5 boules en remettant la première boule tirée dans le sac, on
a 5 choix possibles pour le premier tirage, et pour chacun de ces cinq
choix, on a encore 5 choix possibles pour le tirage de la seconde boule.
Il y a donc 5  5 = 25 tirages distincts possibles.
On peut construire un arbre de choix.
Réponse C. Dans cet exercice, on ne remet pas la seconde boule tirée
dans le sac. Il y a toujours 5 choix possibles de la première boule, mais
pour chacun de ces cinq choix, il n’y a plus que 4 choix possibles pour le
tirage de la seconde boule (les 5 boules du sac moins la boule déjà tirée).
Il y a donc dans ce cas 5  4 = 20 tirages distincts possibles.
2
Réponse C. Puisqu’on prélève au hasard une boule de l’urne, on peut
faire l’hypothèse d’équiprobabilité. Il y a 5 cas possibles, et il y a 2 cas
favorables à la réalisation de l’événement « obtenir une boule verte »,
2
donc la probabilité d’obtenir une boule verte est .
5
4 Réponse C. La somme des probabilités de toutes les issues est égale
à 1, soit : P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1.
D’où :
0,1 + 0,1 + 0,1 + P(4) + 0,2 + 0,2 = 1,
soit :
P(4) + 0,7 = 1 et P(4) = 0,3.
3
5 Réponse D. Si on note A l’événement « on n’a aucune réponse exacte
au questionnaire », alors l’événement « il y a au moins une réponse exacte
–
au questionnaire » est A .
–
Ainsi : P(A) = 1 – P(A) = 1 – 0,15 = 0,85.
Le lancer de la première pièce de monnaie conduit à deux issues :
PILE ou FACE.
Pour chacune de ces deux issues, le lancer de la seconde pièce conduit
aussi à deux issues, et de même pour la troisième pièce.
Il y a donc 2  2  2 = 8 issues possibles.
6
Quand on lance deux dés simultanément, il y a 36 issues possibles,
car on a 6 résultats possibles sur le premier dé, et pour chacun de ces
résultats, encore 6 résultats possibles sur le second dé.
Il n’y a qu’une seule issue telle qu’il y ait six sur chaque dé.
On fait l’hypothèse d’équiprobabilité car les deux dés ne sont pas
1
truqués, d’où la probabilité cherchée :
.
36
8 1. Au premier tirage, il y a cinq choix possibles, et au second tirage,
pour chacun de ces cinq choix, il y a encore cinq choix possibles, puisqu’on
remet la boule dans l’urne.
Il y a ainsi 5  5 = 25 résultats possibles pour cette expérience.
7
2. Le nombre d’issues donnant deux boules vertes est : 2  2 = 4.
Il y a une seule issue donnant deux boules rouges (car on doit tirer la boule
rouge, puis à nouveau cette même boule rouge), et de même une issue
donnant deux boules noires et une issue donnant deux boules jaunes.
Il y a en tout 7 issues avec deux boules de la même couleur.
Les tirages ayant lieu au hasard, on peut faire l’hypothèse d’équiprobabilité, donc la probabilité d’obtenir deux boules de la même
7
couleur est
, soit 0,28.
25
9
Attention Il se peut qu’il soit indiqué par erreur la réponse —
dans
25
le manuel.
Une formule du cours donne :
–
1
3
P(A) = 1 – P(A) = 1 –
= .
4
4
On a aussi :
1 1 1 15+20-12 23
= .
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = + - =
4 3 5
60
60
Attention Il se peut qu’il soit indiqué par erreur dans le manuel :
1 1 1 23
P(A ∙ B) = + – =
4 3 5 60
9
Pour faire le point
1 Réponse B. Si on tire deux boules jaunes, on perd 2 € ; si on tire une
boule jaune et une boule rouge, on gagne 1 € ; si on tire deux boules
rouges, on gagne 4 €.
L’ensemble des valeurs prises par X est {– 2 ; 1 ; 4}.
2 Réponse A. L’événement « X = 4 » est réalisé lorsqu’on tire deux
boules rouges.
Puisqu’il y a 5 boules dans le sac, il y a 25 tirages distincts possibles
(5  5). Pour obtenir deux boules rouges, on a trois choix possibles au premier tirage et encore trois choix au second tirage, ce qui fait 9 choix possibles. Les tirages ayant lieu au hasard, on fait l’hypothèse d’équiproba9
bilité des 25 issues, d’où P(X = 4) = = 0,36.
25
3 Réponse B. P(X  0) = 1 – P(X = –2), car « X  0 » et « X = –2 » sont
des événements contraires.
L’événement « X = –2 » est réalisé lorsqu’on tire deux boules jaunes :
pour obtenir deux boules jaunes, on a deux choix possibles au premier
tirage et encore deux choix possibles au second tirage, soit 4 choix distincts possibles.
4
Ainsi : P(X = –2) = = 0,16 , d’où : P(X  0) = 1 – 0,16 = 0,84.
25
4 Réponse C. La somme des probabilités P(N = ni) est égale à 1, soit :
0,01 + 0,02 + 0,03 + 0,05 + 0,09 + 0,13 + 0,20
+ a + 0,16 + 0,08 + 0,04 = 1.
On en déduit : a + 0,81 = 1, donc a = 0,19.
5 Réponse C.
P(N  4) = P(N = 0) + P(N = 1) + P(N = 2) + P(N = 3) + P(N = 4)
= 0,01 + 0,02 + 0,03 + 0,05 + 0,09 = 0,20.
6 Réponse A. La probabilité qu’un opérateur ait plus de 8 appels par
heure est :
P(N  8) = P(N = 9) + P(N = 10) = 0,08 + 0,04 = 0,12.
7 Réponse B. On suppose l’équiprobabilité des 500 issues possibles
au tirage.
1
Ainsi : P(X = 1 000) = = 0,002.
500
500
Il y a 50 billets se terminant par 0 (
= 50),
10
50
donc P(X = 10) = = 0,1.
500
P(X = 0) + P(X = 10) + P(X = 1000) = 1,
d’où :
P(X = 0) = 1 – 0,002 – 0,1 = 0,898.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est donnée par :
xi
P(X = xi)
0
10
1000
0,898
0,1
0,002
On en déduit :
E(X) = 0  0,898 + 10  0,1 + 1000  0,002 = 3.
Mathématiques Indice 1re S © Bordas
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8 Réponse B.
V(X) = 02  0,898 + 102  0,1 + 1 0002  0,002 – 32 = 2 010 – 9 = 2 001.
On peut aussi le module STAT de la calculatrice pour calculer E(X) et V(X).
La probabilité d’obtenir 4 fois le 6 est :
P(SSSS) = 0,2  0,2  0,2  0,2 = 0,24 = 0,0016.
Réponse B. On répète 4 fois de façon indépendante une même
expérience : on peut construire une partie de l’arbre pondéré associé
en notant S l’issue « obtenir la face numérotée 6 » et S’ l’issue « obtenir
une autre face que celle numérotée 6 ».
la liste S’S’S’S’, soit 0,8  0,8  0,8  0,8 = 0,84. L’événement « obtenir au moins une fois le six » est l’événement contraire de l’événement précédent : il a donc pour probabilité 1 – 0,84 = 0,5904 ≈ 0,59,
à 0,01 près.
9
0,2
0,2
…
S
0,2
S
S
0,2
S
…
…
0,8
…
S’
…
0,8
S’
…
0,8
S’
0,8
S’
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10 Réponse C. La probabilité de n’obtenir aucune fois le six est celle de