Cours d`algèbre linéaire de J.-P. Troallic

Cours d’algèbre linéaire de J.-P. Troallic
FMdKdD
fmdkdd [à]free.fr
Université du Havre
Année 2007–2008

Table des matières
I Espaces vectoriels 4
I.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Convention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I.2 Structures d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1 Conséquences immédiates des axiomes . . . . . . . . . . . 6
I.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.4 Base et dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.5 Rang d’une suite finie de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.1 Méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I.6 Espaces vectoriels quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.1 Notation et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.2 Proposition et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I.7 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7.1 Espaces isomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7.2 Notation et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7.3 Théorème et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.4 Proposition et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.8 Sous-espaces vectoriels supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . 23
8.1 Proposition et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8.2 Proposition et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8.3 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I.9 Espace vectoriel produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9.1 Définition et proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I.10 Espaces vectoriels d’applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . 26
10.1 Notation et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
10.2 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1

TABLE DES MATIÈRES 2
II Matrices 28
II.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
II.2 Matrices particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
II.3 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
II.4 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1 Remarques utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Notation matricielle d’une application linéaire . . . . . . . 32
4.3 Notation et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
II.5 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II.6 Matrices carrées inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.1 Définitions et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
II.7 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
III Déterminants 37
III.1 Permutations d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
III.2 Formes multilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
III.3 Formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimen-
sion finie n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
III.4 Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1 Notations et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Notation et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
III.5 Calcul de l’inverse d’une matrice carrée inversible . . . . . . . . . 47
III.6 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.1 Notation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.2 Système de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.3 Systèmes linéaires quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . 50
IV Réduction de matrices carrées 52
IV.1 Valeurs propres, vecteurs propres,
sous-espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.1 Notation et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
IV.2 Endomorphismes diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.1 Cas particulier important . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
IV.3 Polynômes caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
IV.4 Cas des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
IV.5 Applications de la diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1 Élévation à la puissance kd’une matrice carrée . . . . . . 59

TABLE DES MATIÈRES 3
5.2 Résolution de systèmes différentiels linéaires . . . . . . . 60
IV.6 Endomorphismes trigonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.1 Proposition et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
IV.7 Théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Chapitre I
Espaces vectoriels
I.1 Préliminaires
1.1 Groupes
Voir le cours d’algèbre générale.
1.2 Corps
Voir le cours d’algèbre générale.
1.3 Convention
Dans toute la suite, Kdésigne un corps commutatif, principalement Rou C.
I.2 Structures d’espace vectoriel
2.0.1 Définition. Soit E un ensemble. On dit que E est muni d’une structure
d’espace vectoriel sur K, ou encore que E est un espace vectoriel sur K, si E est
muni d’une loi de composition interne et d’une loi de composition externe de
domaine d’opérateurs Kavec les propriétés suivantes :
1. La loi interne, le plus souvent notée additivement, confère à E une struc-
ture de groupe commutatif. On notera 0Eou 0 son élément neutre.
2. La loi externe, qui est une application de K×E dans E, le plus souvent
notée multiplicativement, est telle que pour tous λ,µ∈Ket x,y∈E :
–λx+y=λx+λy
–λ+µx=λx+µx
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