Matrices Les vecteurs Vecteurs et transposé Addition de vecteurs

Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propri´et´es
Matrices
Vincent Nozick
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Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propri´et´es
Les vecteurs
Un vecteur (colonne) :x=
x1
x2
.
.
.
xn
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Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propri´et´es
Vecteurs et transpos´e
x=
x1
x2
.
.
.
xn
x>=x1x2· · · xn
Autrement dit:
x1
x2
.
.
.
xn
=x1x2· · · xn>
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Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propri´et´es
Addition de vecteurs
x=
x1
x2
.
.
.
xn
y=
y1
y2
.
.
.
yn
x+y=
x1+y1
x2+y2
.
.
.
xn+yn
Conditions : xet ysont de mˆeme dimension.
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Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propri´et´es
Produit scalaire
x=
x1
x2
.
.
.
xn
y=
y1
y2
.
.
.
yn
produit scalaire :
x>·y=x1y1+x2y2+· · · +xnyn
=Pn
i=1 xiyi
Conditions : xet ysont de mˆeme dimension.
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Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propri´et´es
Produit scalaire
Propri´et´e g´eom´etrique :
Le produit scalaire est l’intensit´e (sign´ee) de la projection d’un vecteur
sur un autre.
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Produit scalaire
Propri´et´e g´eom´etrique :
u·v=kukkvkcos α
o`u αest l’angle entre uet v(valable pour toutes dimensions).
Applications g´eom´etriques :
→trouver l’angle entre 2 vecteurs : α=±cos−1 u·v
kukkvk!
→trouver la projection de usur v: projv(u) = u·v
kvk·v kvk
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Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propri´et´es
Produit vectoriel
x=
x1
x2
x3
y=
y1
y2
y3
z=x×y=
x2y3−x3y2
x3y1−x1y3
x1y2−x2y1
Conditions : d´efini uniquement en dimension 3.
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Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propri´et´es
Norme de vecteurs
Propri´et´es :
•kxk>0ssi x6=0et kxk= 0 ssi x=0
•kkxk=|k|.kxk
•kx+yk≤kxk+kyk
Norme L1:kxk1=Pn
i=1 |xi|(norme de Manhattan)
Norme L2:kxk2=px2
1+... +x2
n(norme euclidienne)
Norme Lp:kxkp=Pn
i=1 |xi|p1
p
Norme L∞:kxk∞= max |x1|, ..., |xn|
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Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propri´et´es
Les matrices
Une matrice : M=
m11 m12 m13
m21 m22 m23
m31 m32 m33 
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Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propri´et´es
Les matrices
´
El´ement d’une matrice : Mij
M=
m11 m12 m13
m21 m22 m23
m31 m32 m33 
| {z }
j
i
i: lignes
j: colonnes
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Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propri´et´es
Addition matricielle
M=
m11 m12 m13
m21 m22 m23
m31 m32 m33 
N=
n11 n12 n13
n21 n22 n23
n31 n32 n33 
A=M+N=
m11 +n11 m12 +n12 m13 +n13
m21 +n21 m22 +n22 m23 +n23
m31 +n31 m32 +n32 m33 +n33 
Aij =Mij +Nij → O(n2)
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Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propri´et´es
Multiplication matrice-vecteur
y=Mx=
m11 m12 m13
m21 m22 m23
m31 m32 m33 
x1
x2
x3
=
m11x1+m12x2+m13x3
m21x1+m22x2+m23x3
m31x1+m32x2+m33x3
Mx=
m>
1•x
m>
2•x
m>
3•x
→produit scalaire
→produit scalaire
→produit scalaire
o`u m>
i•correspond `a la ieme ligne de M
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Multiplication vecteur-matrice
y>=x>M=x1x2x3
m11 m12 m13
m21 m22 m23
m31 m32 m33 
=
m11x1+m21x2+m31x3
m12x1+m22x2+m32x3
m13x1+m23x2+m33x3
>
x>M=
x>m•1
x>m•2
x>m•3
>→produit scalaire
→produit scalaire
→produit scalaire
o`u m•jcorrespond `a la jeme colonne de M
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Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propri´et´es
Produit ext´erieur
Produit scalaire : x>y=u
Produit externe : xy>=A
x1
x2
.
.
.
xn
y1, y2,· · · , ym=
x1y1x1y2· · · x1ym
x2y1x2y2· · · x2ym
.
.
..
.
..
.
..
.
.
xny1xny2· · · xnym
Aij =xiyj
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Multiplication matricielle
A=MN =
m11 m12 m13
m21 m22 m23
m31 m32 m33 
n11 n12 n13
n21 n22 n23
n31 n32 n33 
=
m>
1•n•1m> 1•n•2m> 1•n•3
m>
2•n•1m> 2•n•2m> 2•n•3
m>
3•n•1m> 3•n•2m> 3•n•3
o`u m>
i•correspond `a la ieme ligne de M
et n•jcorrespond `a la jeme colonne de N
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Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propri´et´es
Multiplication matricielle
Pour chacune des m×ncase de A:
1 produit scalaire de l´el´ements.
complexit´e : O(lmn)∼ O(n3)
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Strassen
Introduction :
•multiplication matricielle standard : O(n3)
•avec la m´ethode de Strassen : O(nlog27) = O(n2.81)
•m´ethode r´ecursive.
•efficace seulement sur les grosses matrices.
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Strassen
M´ethode :
r s
t u
=
a b
c d
×
e f
g h
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Strassen
ae+bg af+bh
ce+dg cf+dh
=
a b
c d
×
e f
g h
8 produits de sous matrices
4 additions de sous matrices
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