Devoir surveillé 9 Problème : étude d`une famille de matrices

MPSI 832,
2014-2015 Devoir surveillé 9 L.PETION
On soignera la rédaction et on sera rigoureux et précis dans les raisonnements.Bien lire le sujet il y a des questions
indépendantes. Dans le cas d’utilisation d’abréviations merci de les définir en 1ère page.( pas plus de 5) Je ne lis pas
le crayon à papier les résultats doivent être soulignés La machine est interdite.
+1 si cette consigne est respectée, -1 dans le cas contraire
Problème : étude d’une famille de matrices carrées d’ordre 3
Dans l’algèbre M3(R)des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels,
on note El’ensemble des matrices M(a, b, c) = 
a+b+c b +c b +c
b a +b b
b−c b −c a +b−c
avec (a, b, c)∈R3
On note I=M(1,0,0) J=M(0,1,0) K=M(0,0,1).
On note e1= (1,0,0), e2= (0,1,0) e3= (0,0,1) les vecteurs de la base canonique de R3.
Partie I
Généralités sur l’ensemble Eet étude de certains éléments de E
1. Montrer que Eest un sev de M3(R)dont on donnera la dimension et une base.
2. Montrer que Eest un sous anneau de M3(R). L’anneau est-il commutatif ?
3. Déterminer les matrices Mde Equi vérifient l’égalité M2=I
4. Dans cette question, on pose S=M1,−2
3, cSoit fl’endomorphisme de R3dont la matrice est S dans
la base canonique. Préciser la nature de f.Calculer tr(f), que pouvez vous en déduire quant à la nature des
éléments caractéristiques ?
Partie II
Calcul de la puissance n-ième d’une matrice de E.
On fixe a, b, c. Pour simplifier on note Mplutôt que M(a, b, c). On note L=bJ +cK.
1. Pour tout n∈N∗, calculer Lnen fonction de b, n, L.
2. En déduire, sib6= 0, une expression de Mn(avec n>0) en fonction de n, a, b, I, L
3. Dans cette question, on suppose ab(a+ 3b)6= 0. Montrer que Mest inversible et donner M−1.
4. Dans cette question, on suppose b= 0. Calculer Mnpour tout nde N.
Partie III
Changement de base :inversibilité des éléments de E.
On fixe a, b, c. Pour simplifier on note Mplutôt que M(a, b, c).Soit fl’endomorphisme de R3dont la matrice est M
dans la base canonique. On définit les vecteurs u1= (1,−1,0), u2= (1,0,−1) et u3= (b+c, b, b −c).
1. Montrer que (u1, u2, u3)est une base de R3ssi b6= 0.
2. On suppose b6= 0. Déterminer la matrice Dde fdans la base (u1, u2, u3). Quel est le lien entre Met D? On
donnera les deux matrices liant Met Dlorsque b=c= 1
3. On suppose b= 0. Montrer que les vecteurs (u1, u2, e1)forment une base de R3, et calculer la matrice Tde f
dans cette base.
4. En déduire que M(a, b, c)est inversible ssi a(a+ 3b)6= 0
Exercice : Matrice de trace nulle
Soit Eun Kev de dimension n>1.
1. Soit u∈ L(E)Montrer que : si ∀x∈E, (x, u(x)) est liée alors u est une homothétie (on pourra introduire une
base de E)
Dans toute la suite udésigne un endomorphisme de Enon nul de trace nulle
2. (a) Montrer que : ∃x∈Etel que (x, u(x)) soit libre.
1

(b) Montrer qu’il existe un supplémentaire Fde vect(x)contenant u(x). On note pla projection sur F
parallèlement à vect(x).
(c) Montrer que la restriction à Fde p◦uest un endomorphisme de Fde trace nulle.
(d) Montrer qu’il existe un base de Edans laquelle la matrice de ua tous ces éléments diagonaux nuls (on
pourra procéder par récurrence sur n).
3. Soit Dune matrice diagonale de Mn(R),D = diag(a1, a2, . . . , an)telle que ∀i6=j ai6=aj
(a) Montrer que l’application f:M−→ DM −MD est un endomorphisme de Mn(R)et en déterminer le
noyau. Calculer dimKerf
(b) Calculer rgf
(c) Montrer que Imf est l’ensemble des matrices dont les coefficients diagonaux sont nuls
(d) Montrer que : A∈KerT r ssi ∃(B, C)∈ Mn(R)2telles que A=BC −CB
Problème :Décomposition LU
Soit A∈Mn(K).
Une décomposition ”LU”de A est une égalité A=LU où Lest une matrice triangulaire inférieure (Lpour Low)à
diagonale unité (dont tous les coefficients sont égaux à 1) et Uest une matrice triangulaire supérieure (Upour Up).
Exemple : 
2−3 1 −1
−2 2 −3 2
4−9−2 3
−2 5 5 −4
=
1 0 0 0
−1 1 0 0
2 3 1 0
−1−211
2−3 1 −1
0−1−2 1
0 0 2 2
0 0 0 −5
Pour tout entier k∈[[1, n]], on appelle sous-matrice principale d’ordre kde A, la sous matrice Akles kpremières
lignes et kpremières colonnes de A. Par exemple,avec la matrice Adans l’exemple précédent :
A1= (2),A2=2−3
−2 2 , A3=
2−3 1
−2 2 −3
4−9−2
, A4=
2−3 1 −1
−2 2 −3 2
4−9−2 3
−2 5 5 −4
Dans tout le sujet Aest supposée inversible.
Partie I
Dans cette partie, on voit une condition nécessaire et suffisante portant sur la matrice Apour qu’elle admette une
décomposition LU
1. Soit (M, M 0)∈ Tn+(R)2. On pose M= (mi,j )(i,j)∈[[1,n]]2M0= (αi,j )(i,j)∈[[1,n]]2MM 0= (βi,j )(i,j)∈[[1,n]]2
Calculer ∀i∈[[1, n]] βi,i en fonction de mi,i et αi,i.
2. Montrer que la décomposition LU de A, si elle existe, est unique.
3. Montrer que la matrice A=1 2
0 3possède une décomposition LU.
4. Montrer en revanche que la matrice B=0 3
1 2n’en possède pas.
5. . On suppose que la matrice Apossède une décomposition LU Montrer que toutes ses sous matrices principales
sont inversibles.
Pour cela on utilisera une décompostion pas blocs de A,L,U sous la forme :
A=AkA0
k
A00
kA000 k, L =Lk0
L00
kL000 k, U =UkU0
k
0U000
k
6. Montrer que la réciproque de la propriété précédente est vraie : si toutes les sous-matrices principale de A
sont inversibles, alors A possède une décomposition LU Pour cela on raisonnera par récurrence sur l’ordre n
de A: dans le passage de nàn+ 1 on écrira Ln+1 =Ln0
Rn1et Un+1 =UnCn 0λnoù Rnest une matrice
ligne de largeur net Cnest une matrice colonne de hauteur net λnest un scalaire.
7. Conclusion ?
Partie II
Dans cette partie on suppose que la matrice Apossède une décomposition LU et on voit comment mettre en oeuvre
une méthode de calcul des matrices Let U.
On note A= (ai,j )(i,j)∈[[1,n]]2, L = (li,j )(i,j)∈[[1,n]]2, U = (ui,j )(i,j)∈[[1,n]]2.
2

1. A titre d’exemple, trouver la décomposition de A=
2−3 1
−2 2 −3
4−9−2
2. On revient maintenant au cas général. Ecrire les égalités donnant ai,k en fonction de li,j (avec j6i) et uj,k
(avec j6k).
3. En déduire les expressions :
(a) De ui,k pour i6k, en fonction de ai,k, de li,j (j < i), de uj,k (j < i).
(b) De li,k pour i>k, en fonction de ai,k, de li,j (j < k), de uj,k (j6k).
4. Montrer comment les égalités obtenues permettent de calculer de proche en proche (et on précisera dans quel
ordre) tous les coefficients de Let U.
Partie III
ATTENTION CETTE PARTIE NE DOIT ETRE TRAITEE QUE SI LE RESTE A ETE FAIT ! SI
CE N’EST PAS LE CAS VOUS NE SEREZ PAS NOTE
On sait qu’il existe des matrices Aqui n’ont pas de décomposition LU . Dans cette partie,on va voir que pour que une
telle matrice, il est possible de trouver une matrice inversible "simple" Ptelle que P A admette une décomposition LU .
On appelle matrice de permutation toute matrice Pσd’ordre ndont le terme général pi,j peut s’écrire pi,j =δσ(i),j
(notation de Kronecker), où σest une permutation de [[1, n]].
Si par exemple n= 4 et σest définie par 
σ(1) = 3
σ(2) = 2
σ(3) = 4
σ(4) = 1
Alors Pσ=
0010
0100
0001
1000
1. Dans cette question, on étudie quelques propriétés des matrices de permutation.
(a) Que représente Pσsi σest la permutation "identité" de [[1, n]] ?
(b) Soient σet sdeux permutations de [[1, n]]. Montrer que PσPs=Ps◦σ
(c) Montrer que toute matrice Pσest inversible. Quel est son inverse ?
2. On va étudier l’influence du produit par une matrice de permutation.
(a) Avec la matrice Adu préambule et la matrice Pσde l’exemple ci-dessus, calculer les produits PσAet
AP −1
σ. Que remarque-t-on ?
(b) Plus généralement, pour toute matrice Ad’odre n, et toute matrice de permutation P=Pσ, comment
passe-t-on de AàP A et de AàAP −1?
(c) On va montrer que pour toute matrice carrée Ainversible et d’ordre n, il existe une matrice de permutation
Ptelle que la matrice P A possède une décomposition LU . Pour cela, on raisonne par récurrence sur n.
i. . Montrer que c’est évident si n= 1. On suppose donc que la propriété est vraie pour un certain n>1
et on se donne une matrice carrée Ainversible et d’ordre n+ 1.
ii. Montrer qu’il existe une matrice de permutation Stelle que la sous-matrice principale Bnd’ordre nde
B=SA soit inversible.
iii. En appliquant l’hypothèse de récurrence à Bn, montrer qu’il existe une matrice de permutation Qtelle
que QB admette une décomposition LU.
iv. Conclure.
(d) Montrer très simplement que la décomposition P A =LU n’est en général pas unique. Combien peut-il
exister de triplets (P, L, U)au maximum ?
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