Division euclidienne, nombres premiers

Sp´e-TS, 1 octobre 2008 feuille 3
Division euclidienne, nombres premiers
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Division euclidienne
Exercice 1 : D´eterminer les entiers naturels non nuls
dont la division euclidienne par 43 donne un reste ´egal
au carr´e du quotient.
Exercice 2 : D´eterminer les entiers asatisfaisant
1000 ≤a≤2000 et tels que le quotient et le reste de
leur division euclidienne par 127 soient ´egaux.
Exercice 3 :
1. Montrer que si aet bsont des entiers tels que a2+b2
est impair, alors aet bsont de parit´e diff´erente.
2. Montrer qu’un entier impair nqui est somme de
deux carr´es est de la forme n= 4k+ 1.
3. En d´eduire qu’un entier de la forme 4k−1 ne peut
ˆetre la somme de deux carr´es.
Exercice 4 : D´eterminer les valeurs de n∈Npour
lesquelles n+ 1 divise 3n2+ 15n+ 19.
Nombres premiers
Exercice 5 : Montrer que si pet 8p−1 sont premiers,
alors 8p+ 1 est compos´e. On pourra utiliser le reste de
la division eulidienne de ppar 3
Exercice 6 : Montrer que si pest premier et diff´erent
de 3, alors 8p2+ 1 est compos´e. On pourra utiliser le
reste de la division eulidienne de ppar 3
Exercice 7 : Montrer que pour n∈N,n2+ 8n+ 15
n’est pas premier.
Exercice 8 : Soit pun nombre premier au moins ´egal
`a 5.
1. Montrer que ps’´ecrit sous l’une des formes
12k+ 1; 12k−1; 12k+ 5; 12k−5.
avec kentier.
2. Soit N=p2+11. D´eterminer le reste de la division
de Npar 24.
Exercice 9 : Montrer que si pet p+ 2 sont deux
nombres premiers plus grands que 3, alors p+ 1 est divi-
sible par 6. On pourra raisonner en introduisant le reste
de la division euclidienne de ppar 6.
Exercice 10 : Soit pun nombre premier. On pose
n= 2 ×3× · · · × p.
1. Montrer que les nombres
n+ 2, n + 3,...,n+p;
sont compos´es.
2. En d´eduire un exemple de 2008 nombres
cons´ecutifs non premiers.
Exercice 11 :
1. Montrer que la somme de 5 entiers naturels im-
pairs cons´ecutifs n’est jamais un nombre premier.
2. Plus g´en´eralement, la somme de n entiers natu-
rels impairs cons´ecutifs peut-elle ˆetre un nombre
premier ?
Exercice 12 : Les nombres de Mersenne sont les
nombres premiers de la forme N= 2p−1, avec p∈N.
1. Pour a6= 1 et nentier naturel sup´erieur `a 2, sim-
plifier la somme
1 + a+a2+···+an
2. Montrer que si an−1 est un nombre premier, alors
a= 2.
3. Montrer que si nest compos´e, alors 2n−1 est
compos´e.
4. montrer que si pest premier, alors 2p−1 est pre-
mier pour certaines valeurs de p, et compos´e pour
d’autres valeurs.
Exercice 13 :
1. D´eterminer le nombre de diviseurs dans Nde l’en-
tier A= 2a5b, o`u aet bsont des entiers naturels
non nuls.
2. Calculer la somme de ces diviseurs.
Exercice 14 :
1. Montrer que si 2 divise a2alors 2 divise a.
2. Qu’en est-il avec un autre nombre premier ?