Division euclidienne, nombres premiers

Spé-TS, 1 octobre 2008
feuille 3
Division euclidienne, nombres premiers
.
sible par 6. On pourra raisonner en introduisant le reste
de la division euclidienne de p par 6.
Division euclidienne
Exercice 1 : Déterminer les entiers naturels non nuls
dont la division euclidienne par 43 donne un reste égal Exercice 10 : Soit p un nombre premier. On pose
au carré du quotient.
n = 2 × 3 × · · · × p.
Exercice 2 : Déterminer les entiers a satisfaisant
1000 ≤ a ≤ 2000 et tels que le quotient et le reste de
leur division euclidienne par 127 soient égaux.
1. Montrer que les nombres
n + 2, n + 3, . . . , n + p;
sont composés.
Exercice 3 :
a2 +b2
1. Montrer que si a et b sont des entiers tels que
est impair, alors a et b sont de parité différente.
2. En déduire un exemple de 2008
consécutifs non premiers.
nombres
2. Montrer qu’un entier impair n qui est somme de Exercice 11 :
deux carrés est de la forme n = 4k + 1.
1. Montrer que la somme de 5 entiers naturels im3. En déduire qu’un entier de la forme 4k − 1 ne peut
pairs consécutifs n’est jamais un nombre premier.
être la somme de deux carrés.
2. Plus généralement, la somme de n entiers natuExercice 4 : Déterminer les valeurs de n ∈ N pour
lesquelles n + 1 divise 3n2 + 15n + 19.
Nombres premiers
rels impairs consécutifs peut-elle être un nombre
premier ?
Exercice 12 : Les nombres de Mersenne sont les
nombres premiers de la forme N = 2p − 1, avec p ∈ N.
Exercice 5 : Montrer que si p et 8p − 1 sont premiers,
alors 8p + 1 est composé. On pourra utiliser le reste de
la division eulidienne de p par 3
1. Pour a 6= 1 et n entier naturel supérieur à 2, simplifier la somme
Exercice 6 : Montrer que si p est premier et différent
de 3, alors 8p2 + 1 est composé. On pourra utiliser le
reste de la division eulidienne de p par 3
2. Montrer que si an − 1 est un nombre premier, alors
a = 2.
Exercice 7 : Montrer que pour n ∈ N, n2 + 8n + 15
n’est pas premier.
4. montrer que si p est premier, alors 2p − 1 est premier pour certaines valeurs de p, et composé pour
d’autres valeurs.
Exercice 8 : Soit p un nombre premier au moins égal
à 5.
1. Montrer que p s’écrit sous l’une des formes
12k + 1; 12k − 1; 12k + 5; 12k − 5.
avec k entier.
2. Soit N = p2 +11. Déterminer le reste de la division
de N par 24.
1 + a + a2 + · · · + an
3. Montrer que si n est composé, alors 2n − 1 est
composé.
Exercice 13 :
1. Déterminer le nombre de diviseurs dans N de l’entier A = 2a 5b , où a et b sont des entiers naturels
non nuls.
2. Calculer la somme de ces diviseurs.
Exercice 14 :
Exercice 9 : Montrer que si p et p + 2 sont deux
nombres premiers plus grands que 3, alors p + 1 est divi-
1. Montrer que si 2 divise a2 alors 2 divise a.
2. Qu’en est-il avec un autre nombre premier ?