Texte - TACT

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Lamothe, Jean-François
[e-mail]
Exploration de la géométrie hyperbolique.
Acte de CabriWorld 2001
Atelier 404
Université du Québec à Trois-Rivières
CANADA
En ce 11 juin 2001

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La géométrie a pris naissance il y a environ 2500 ans. Euclide réunit tout le matériel
mathématique de son époque en un seul ouvrage, Les Éléments. Les fondements de la géométrie
s’y trouvent. Selon Euclide, par un point hors d’une droite, il ne passe qu’une seule parallèle à la
droite donnée. Pendant 2000 ans, les mathématiciens cherchèrent à prouver cet énoncé ou à le
contredire. Lorsque Bolyai, Gauss et Lobatchevsky développèrent une géométrie à l’intérieur de
laquelle par un point hors d’une droite, il passe plus qu’une parallèle à la droite donnée, la
géométrie hyperbolique voyait le jour. Cette géométrie s’affirma davantage consistante lorsque
Beltrami, Klein et Poincaré présentèrent leur modèle.
Durant cet exposé, nous allons ensemble définir la géométrie neutre. Ensuite, nous
aborderons la géométrie hyperbolique par le modèle de Poincaré. Nous verrons les
caractéristiques des points, des droites, des triangles et des cercles hyperboliques. À l’aide des
transformations géométriques de la géométrie neutre, nous construirons les différentes macros
que contient Cabri-Géomètre II. Finalement, nous démontrerons les propriétés hyperboliques,
qui sont pour tout dire assez fascinantes.
La Géométrie Neutre
La géométrie neutre est la théorie axiomatique munie des axiomes d’incidence, d’ordre,
de congruence et de continuité. Voici la liste de ces axiomes selon la formulation de Hilbert.
Incidence
I(1) : Par deux points distincts passe une et une seule droite.
I(2) : Toute droite contient au moins deux points.
I(3) : Il existe trois points non-incidents à une même droite.
Ordre
O(1) : Si CBA ∗∗ , alors A, B et C sont trois points distincts d’une même droite et ABC ∗∗ .
O(2) : Si A et B sont deux points distincts, alors il existe toujours un point C tel que CBA ∗∗ .
O(3) : Si A, B et C sont trois points alignés distincts, alors l’un des trois au plus est situé
entre les deux autres.
O(4) : Toute droite coupant un côté d’un triangle coupe un second côté ou passe par le sommet
opposé.

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Congruence
C(1) : De part et d’autre d’un point donné sur une droite, on peut construire un et un seul
segment congruent à un segment donné.
C(2) : Si CDAB ≅ et EFAB ≅, alors EFCD ≅. De plus, chaque segment est congruent à lui-
même.
C(3) : Si '',''', BAABCBACBA ≅∗∗∗∗ et ''CBBC ≅, alors '.'CAAC ≅
C(4) : De part et d’autre d’une demi-droite, on peut construire un et un seul angle congruent à un
angle donné.
C(5) : Si BA ∠≅∠ et CA ∠≅∠ , alors CB ∠≅∠ . De plus, tout angle est congru à lui-même.
C(6) : Deux ∆s sont congrus lorsqu’ils ont un angle congru compris entre deux côtés
respectivement congrus.
Continuité
Axiome de Dedekind
Supposons que l’ensemble des points incidents à la droite m est l’union 21 ∑∪∑ de deux
sous-ensembles non-vides tel qu’aucun point de 1 ∑ n’est entre deux points de 2 ∑ et vice
versa. Alors il y a un unique point O incident à m tel que 21 POP ∗∗ pour tout point 1P
de 1∑ et tout point 2P de 2∑ si 1P et 2P sont différents de O.
Les théôrèmes de la géométrie neutre sont indépendants des axiomes des parallèles. Lorsque
nous voulons travailler en géométrie euclidienne, nous rajouterons l’axiome euclidien des
parallèles:
Pour toute droite et pour tout point hors de la droite, il existe exactement une droite
parallèle à la droite donnée passant par le point donné.
Si nous voulons, par contre, travailler en géométrie hyperbolique, nous rajouterons l’axiome
hyperbolique des parallèles :
Pour toute droite et pour tout point hors de cette droite, il existe deux et même une infinité
de droites parallèles à la droite donnée passant par le point donné.
Voyons à l’aide du modèle de Poincaré, comment cet axiome s’intègre à la géométrie neutre.

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Le Modèle de Poincaré
Ce modèle se situe à l’intérieur d’un cercle de référence appelé cercle horizon.
Points : •points intérieurs au cercle horizon.
Droites : •diamètres ouverts du cercle horizon
•la partie intérieure des cercles orthogonaux au cercle horizon.
Il est facile de voir qu’avec ce modèle tous les axiomes de la géométrie neutre sont vérifiés, et en
plus l’axiome hyperbolique des parallèles. Définissons et classifions les points, les droites, les
triangles et les cercles hyperboliques.
Définitions et Classifications
Commençons par les points :
Points.fig
Passons à la classification des droites parallèles :
-Deux droites sont dites parallèles lorsqu’elles n’ont aucun point incident en commun.
-Soit une droite m et un point P hors de la droite m, on peut tracer deux droites parallèles
asymptotiques à m passant par P. Nous les appelerons les droites parallèles limitantes de
m.
Maintenant, voyons les différents triangles :
-Un triangle est l’ensemble formé par trois sommets non-colinéaires et les trois segments
reliants ces sommets deux à deux.
Parallèles.fig
Triangles.fig

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À présent, les cercles :
-Un cercle de centre O et de rayon OP est l’ensemble des points X tels que OPOX ≅.
-On peut le définir aussi comme l’ensemble des points X tels que la médiatrice de XP
passe par le centre O.
* Il est important de noter que le cercle hyperbolique est la représentation d’un cercle euclidien.
La seule différence est que le centre hyperbolique du cercle ne coïncide pas avec le centre
euclidien.
Transformations géométriques
Définissons bien chaque transformation géométrique, et appliquons-les au modèle de
Poincaré.
Symétrie orthogonale(appelée symétrie axiale dans Cabri II) par rapport à une droite m :
-Transformation du plan notée Rm définie par Rm (A) = A si A est incident à m, sinon
Rm(A) est l’unique point 'A tel que AMA ∗∗
' et MAMA ≅ ' où M est le pied de la
perpendiculaire à m passant par A.
*Notons que notre œil est habitué à la géométrie euclidienne. Les symétriques
hyperboliques ne semblent pas toujours de même longueur, mais ils le sont bel et bien.
Nous verrons, plus tard, dans les propriétés hyperboliques, la formule de distance dans le
modèle de Poincaré.
Symétrie centrale par rapport à un point O :
-Transformation du plan qui à tout point P du plan fait correspondre le point 'P tel que le
point O soit le milieu du segment 'PP . Entre d’autres mots, O, P et 'P sont colinéaires et
'OPPO ≅. On peut considérer la symétrie centrale comme une rotation de 180°.
Cercles.fig