Université Paris Sud Année 2013-2014 S5/L3 M309 Topologie et

Université Paris Sud Année 2013-2014
S5/L3 M309 Topologie et calcul différentiel
TD n◦II
Exercice A (Distances sur R2) On définit sur l’ensemble X:= R2(le plan) les trois applications
suivantes de X×Xdans R+:
d2(P, Q) := q(xP−xQ)2+ (yP−yq)2
d1(P, Q) := |xP−xQ|+|yP−yQ|
d∞(P, Q) := max(|xP−xQ|,|yP−yQ|
où (xP, yP)désigne les coordonnées du point P.
1) Montrer que d1, d2et d∞sont des distances et que d2est la distance usuelle du plan euclidien.
2) Dessiner les boules fermées de rayon 1pour ces trois métriques.
3) Prouver les inégalités
d∞≤d2≤√2d∞et d∞≤d1≤2d∞.
4) Montrer que les trois métriques précédentes admettent les mêmes suites convergentes.
5) Montrer que les espaces métriques (R2, di)i∈{1;2;∞} ont les mêmes ouverts.
6) a) Trouver trois normes sur l’espace vectoriel R2qui induisent respectivement les distances d1, d2et
d∞.
b) Ces normes sont-elles uniques?
c) Ces normes sont-elles équivalentes?
Exercice B 1) Si (x, y)∈R2,on pose ||(x, y)|| = max(|x+y|,|x−2y|).Montrer qu’il s’agit d’une
norme sur R2et dessiner sa boule unité fermée.
2) Soit p, q deux normes sur Rn, Bpet Bqleurs boules unités fermées. Montrer que
Bq⊂Bp⇐⇒ p≤q.
Que signifie 1
2Bp⊂Bq⊂2Bp? Exemples.
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Exercice C Soit (X, d)un espace métrique. Sur X×Xon définit δ(x, y) := min(1, d(x, y)).
1) Montrer que (X, δ)est un espace métrique.
2) a) Montrer que (X, d)et (X, δ)ont les mêmes suites convergentes.
b) Ont-ils les mêmes ouverts? Les mêmes fermés ?
3) a) Montrer que
∀(x, y)∈X×X , δ(x, y)≤d(x, y).
b) Existe-t-il α∈R∗+tel que
d(x, y)≤αδ(x, y) ?
Exercice D 1) Étants données deux distances d1et d2sur un ensemble X, montrer que les trois assertions
suivantes sont équivalentes :
a) Les espaces métriques (X, d1)et (X, d2)ont les même suites convergentes.
b) Les espaces métriques (X, d1)et (X, d2)ont les mêmes ouverts.
c) Les espaces métriques (X, d1)et (X, d2)ont les mêmes fermés.
Deux distances d1et d2sur un ensemble Xsont topologiquement équivalentes.
Étant données deux distances d1et d2sur un ensemble Xon dit que d1est équivalente à d2s’il
existe deux nombres réels strictements positifs αet βtels que pour tout (x, y)∈X×X,
αd1(x, y)≤d2(x, y)≤βd1(x, y)
on note alors d1∼d2.
2) Montrer que la relation ∼définie ci-dessus est une relation d’équivalence. On dira alors que d1et d2
sont équivalentes.
3) Montrer que si Xest un R-espace vectoriel, d1et d2des distances sur X, respectivement associées à
des normes N1et N2,les distances d1et D2sont équivalentes si et seulement si les normes N1et N2sont
équivalentes.
4) Donner des exemples de distances équivalentes pour X=Rn, X =C([0,1],R)l’ensemble des
fonctions continues de [0,1] dans R.
5) a) Montrer que deux distances équivalentes sont topologiquement équivalentes.
b) La réciproque est-elle vraie?
Exercice E Soit (E, d)un espace métrique.
1) Montrer que d′(x, y) = pd(x, y)est une distance sur E. Enoncer des conditions suffisantes sur une
fonction f, définie de R+dans R+pour que (x, y)−→ f(d(x, y)) soit une distance sur E.
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2) Montrer que l’application d′′ définie sur E×Epar
d′′(x, y) := d(x, y)
+d(x, y)
est une distance sur E. Indication : On utilisera la croissance de la fonction u−→ u
1 + u.
3) Comparer les distances det d′′ .
4) Dans le cas où Eest l’ensemble des nombres réels et où dest la distance valeur absolue, construire
Bd′′ (0, a)où aest un réel.
Exercice F (La distance SNCF) On identifie le plan R2à l’ensemble des nombres complexes Cet on
note
d:C×C→R+
l’application définie par d(z, z′) = |z−z′|si arg z= arg z′[π]et |z|+|z′|sinon.
1) Montrer que dest une distance sur R2.
2) Dessiner quelques boules ouvertes pour d.
3) Soit tun élément non nul de R2.Construire une suite (xn)n∈Nd’éléments de R2qui converge vers 0et
telle que la suite (xn+t)n∈Nne converge pas.
Ceci prouve que les translations non triviales ne sont pas des transformations continues de l’espace
métrique (R2, d).
4) Existe-t-il une norme de l’espace vectoriel R2dont la distance associée est d?
Exercice G Sur X:= ]0,1[,on définit d(x, y) := |1
x−1 y|.
1) Montrer que (X, d)est un espace métrique.
2) a) Montrer que toute suite qui converge pour dconverge pour la distance usuelle.
b) La réciproque est-elle vraie?
c) La distance usuelle et dsont-elles équivalentes?
Exercice H Dans un espace métrique (X, d)on définit la boule fermée de centre a∈Xet de rayon
r∈R+par
Bf(a, r) := {x∈X / d(x, a)≤r}.
1) Montrer que, pour tout a∈Xet tout r∈R+, Bf(a, r)est un sous-ensemble fermé de (X, d).
2) Montrer que si Xest un espace vectoriel normée et dla distance définie par la norme, alors Bf(a, r)
est l’adhérence de la boule ouverte B(a, r)de centre aet de rayon r.
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3) Sur X=R2,on définit δ(x, y) = 1 si x6=yet δ(x, y) = 0 sinon.
a) Montrer que δest une distance sur X.
b) Est-ce que chaque boule fermée dans (X, δ)est l’adhérence de la boule ouverte correspondante?
c) Exist-t-il une norme Nsur Xtelle que δsoit la distance associée à N?
Exercice I Soit
E:= C1([0,1],R),|| · ||∞
l’espace vectoriel réel des fonctions de classe C1sur [0,1] à valeurs réelles, muni de la norme infini.
Pour tout f∈E, on pose
N(f) := |f(0)|+ sup
t∈[0,1]
(|f′(t)|.
1) Montrer que Nest une norme sur E.
2) Montrer qu’il existe un réel k > 0tel que pour tout f∈E, on ait
||f||∞≤kN(f).
3) Les normes || · ||∞et Nsont-elles équivalentes?
Exercice J Soit E=C1([0,1],R).Comparer les normes
N1(f) := ||f||∞, N2(f) := ||f||∞+||f||1, N3(f) := ||f′||∞+||f||∞, N4(f) := ||f′||1+||f||∞.
Exercice K Soit Rk[X]l’ensemble des polynômes P∈R[X]tels que deg(P)≤k . On définit
||P||1:= Z1
0|P(t)|dt ∀P∈R[X].
1) Montrer que || · ||1est une norme sur R[X].
2) Soit Pnn∈Nune suite à valeurs dans Rk[X], k ∈Nétant fixé. Pour tout n∈N,on pose
Pn=
k
X
j=0
an,j Xj.
Montrer que si la suite Pnn∈Na une limite P:= Pp
j=0 ajXjdans (R[X],||·||1),pour tout 0≤j≤p,
la suite (an,j )n∈Na pour limite ajdans (R,|·|).
3) En déduire que p≤kc’est-à-dire que P∈Rk[X].
4) Le sous-ensemble Rk[X]de R[X]est-il ouvert, fermé dans (R[X],|| · ||1) ?
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Exercice L 1) Soit (X, d)un espace métrique et xnn∈Nune suite à valeurs dans Xvérifiant : Il
existe c > 0et 0< k < 1tels que pour tout n∈N,
d(xn, xn+1)≤ckn.
Montrer qu’alors xnn∈Nest une suite de Cauchy.
2) Donner un exemple de suite xnn∈Nvérifiant
lim
n→+∞d(xn, xn+1) = 0
et qui n’est pas de Cauchy.
Exercice M Soit Lle R-espace vectoriel des fonction lipschitzienne de l’intervalle [0,1] dans R.Pour
tout f∈ L,on pose
C(f) := sup
(x,y)∈[0,1]×[0,1] , x6=y|f(x)−f(y)
x−y|.
1) Justifier l’existence de C(f).
Pour tout f∈ L,on pose
N(f) := ||f||∞+C(f).
2) Montrer que Nest une norme.
3) Les normes Net || · ||∞sont-elles équivalentes?
Exercice N Soit (E, d)un espace métrique. On dit que dest ultramétrique si elle vérifie :
∀(x, y, z)∈E3d(x, z)≤sup (d(x, y), d(y, z)) .
Cette inégalité entraine évidemment l’inégalité triangulaire.
1) Montrer que Emuni de la distance ddéfinie par
d(x, y) = 1 si x6=y, d(x, x) = 0
est un espace ultramétrique.
On suppose maintenant que (E, d)est ultramétrique.
2) Montrer que si d(x, y)6=d(y, z),on a d(x, z) = sup (d(x, y), d(y, z)) .
3) Montrer qu’une boule ouverte (resp. fermée) est une partie à la fois ouverte et fermée.
4) Montrer que si deux boules ont un point commun l’une est contenue dans l’autre. Montrer de plus que si
ces boules ont même rayon et sont toutes les deux des boules ouvertes (resp. fermées) elles sont confondues.
5) Montrer que si deux boules ouvertes distinctes B1, B2de rayon rsont contenues dans une boule fermée
de même rayon, alors leur distance est égale à r:
d(B1, B2) := inf
(a,b)∈B1×B2
d(a, b) = r.
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