Mathématiques : cours de 6

Mathématiques : cours de 6e
P.Tilmant - D.De Groote
2009
Table des matières
1 Notions de base
1.1
1.2
1.3
1.4
7
Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
A.
Les fonctions du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
B.
Les fonctions du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
C.
Les fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
D.
La factorisation par la méthode d’Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
E.
Des produits remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
F.
Les conditions d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
G.
Les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
La règle de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
A.
Exemples introductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
B.
Règle de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
C.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Les fonctions cyclométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
A.
La fonction Arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
B.
La fonction Arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
C.
La fonction Arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
D.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A.
Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
B.
Condition d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
C.
Idée du raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
D.
Retour à notre exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1
TABLE DES MATIÈRES
E.
2
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Exponentielles et logarithmes
34
2.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2
Les fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3
2.4
A.
Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
B.
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
C.
Observations et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
D.
Dérivée des fonctions exponentielles en base quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
E.
La fonction exponentielle népérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
F.
Équations et inéquations exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
G.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Les fonctions logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A.
Retour en arrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
B.
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
C.
Observations et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
D.
Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
E.
Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
F.
Équations et inéquations logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
G.
Dérivée des fonctions logarithmiques et exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
H.
La fonction logarithme népérien
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
A.
Propriétés des logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
B.
Équations exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
C.
Equations logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
D.
Inéquations logarithmiques ou exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
E.
Systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
F.
Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
G.
Applications particulières : dérivation logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
H.
Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
I.
Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
TABLE DES MATIÈRES
3 Le calcul intégral
3
58
3.1
Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2
Différentielle
3.3
3.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
A.
Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
B.
Rappels et réflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
C.
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
D.
Représentation graphique de la différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
E.
Notation différentielle de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
F.
Propriétés ou formulaire de différentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
G.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
A.
Définitions, théorème, propriétés, notations et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
B.
Primitives immédiates simples et généralisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
C.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
D.
Méthodes particulières d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
E.
Exercices mélangés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
F.
Exercices d’auto-contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
G.
Primitives particulières (vues en classe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
H.
Décomposition de fonctions rationnelles en une somme de fractions simples . . . . . . . . 72
I.
Primitivation de fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
J.
Exercices de primitivation par changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
K.
Auto-contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
A.
Valeur approchée de l’aire d’une partie du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
B.
Définitions : fonction intégrable - intégrale définie d’une fonction continue . . . . . . . . . 77
C.
Théorème et propriétés de l’intégrale définie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
D.
Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
E.
Théorème de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
F.
Calcul de l’intégrale définie - Lien entre intégrale indéfinie et intégrale définie . . . . . . . 83
G.
Retour au calcul d’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
TABLE DES MATIÈRES
H.
Solide de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
I.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4 Les nombres complexes
4.1
4.2
4.3
4
95
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.
Bref historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
B.
Ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
C.
Équation cubique - Formule de Cardan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
D.
Nombre de solutions d’équations polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Définitions - Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
A.
Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
B.
Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
C.
Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Égalités et opérations dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
A.
Egalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
B.
Addition de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
C.
Multiplication de complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
D.
Multiplication scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4
Calcul dans les complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.5
Equation du second degré dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.6
Représentation géométrique et forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.7
Produits, quotients de complexes écrits sous forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.8
Racines nièmes d’un nombre complexe (n > 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5 Analyse combinatoire
103
5.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2
Quelques notions utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3
A.
Cardinal d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
B.
Factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Principes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
A.
Loi du produit : "et" signifie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5
TABLE DES MATIÈRES
B.
5.4
5.5
5.6
Loi de la somme : "ou" signifie somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
A.
Permutations (simples) sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
B.
Permutations (composées) avec répétitions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A.
Les arrangements (simples) sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
B.
Les arrangements (composés) avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
C.
Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
A.
Combinaisons (simples) sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
B.
Loi du produit et de la somme dans le cadre de combinaisons. . . . . . . . . . . . . . . . . 110
C.
Exercices : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.7
Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.8
Exercices récapitulatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.9
Triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.
Propriétés des Cnp
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
B.
Triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.10 Binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
B.
Généralisation : formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
C.
Constatations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
D.
Corollaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
E.
Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
F.
Description du raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
G.
Démonstration de la formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.
Exercice résolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
B.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
C.
Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.12 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
TABLE DES MATIÈRES
6 Probabilités
6.1
6.2
6.3
6.4
7.2
7.3
125
Calcul élémentaire des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
A.
Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
B.
Opérations sur les ensembles et sur les évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Axiomes et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
A.
Axiomes de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
B.
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Calcul des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.
Méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
B.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Probabilités conditionnelles et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.
Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
B.
Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7 Variables aléatoires
7.1
6
139
Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
A.
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
B.
Exercice récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
C.
Loi Binomiale : B(n, p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
D.
Loi de Poisson : P (λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Cas continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A.
Variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
B.
Loi Normale : N (µ, σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A Table N (0, 1)
163
B Remerciements
164
Chapitre 1
Notions de base
1.1
A.
Rappels
Les fonctions du premier degré
r Équations
Dans un plan muni d’un système d’axes OXY :
• une fonction linéaire est représentée par une droite vectorielle ≡ y = mx ;
• une fonction affine est représentée par une droite ≡ y = mx + p;
∆y
;
∆x
• le symbole p représente l’ordonnée à l’origine de la droite : l’ordonnée du point d’intersection de la droite
et de l’axe OY des ordonnées.
• la lettre m est la pente ou le coefficient angulaire de la droite : m =
Cas particuliers :
• si la droite d est parallèle à l’axe OX des abscisses alors sa pente est nulle et d ≡ y = p ;
• si la droite d est parallèle à OY alors sa pente n’est pas un nombre réel, mais est infinie et d ≡ x = constante.
Cette droite ne représente pas une fonction. En effet, à une valeur unique de x est associée une infinité de
valeurs de y.
r Parallélisme et perpendicularité
• Deux sont droites parallèles si et seulement si elles ont la même pente.
• Dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires si la pente de l’une est l’opposé de l’inverse
1
de la pente de l’autre (m et − ).
m
r Segment de droite
• Si le point A≡ (xA , yA ) et le point B≡ (xB , yB ) alors le point milieu du segment de droite [AB] possède
xA + xB yA + yB
pour coordonnées cartésiennes (
,
).
2
2
• Si le repère est orthonormé, alors la longueur du segment [AB] vaut
p
p
(∆x)2 + (∆y)2 = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 .
7
8
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
Fig. 1.1 – Équations de droites
Fig. 1.2 – Longueur d’un segment de droite
r Signe d’une fonction du premier degré
Si le coefficient m est un réel non nul,
−
x
mx + p
signe contraire de m
p
m
0
signe de m
9
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
r Exercices
1. Le plan est rapporté à un repère :
– la droite c1 comprend le point A ≡ (6; −1) et est parallèle à la droite d1 comprenant les points B ≡ (2; 4)
et C ≡ (8, −1) ;
– la droite c2 comprend le point D ≡ (5; 1) et est parallèle à la droite d2 ≡ y − 2x = 3 ;
1
– la droite c3 comprend le point E ≡ (2; −1) et admet comme coefficient angulaire.
2
Les trois droites c1 , c2 et c3 sont-elles concourantes (sécantes) en un même point ? Justifie algébriquement
votre affirmation et vérifie graphiquement. Les cinq droites doivent être représentées.
2. Le plan est muni d’un repère orthonormé : A ≡ (5; 1) , D ≡ (−3; −2) , E ≡ (9; 7).
– la droite d1 comprend le point A et est parallèle à l’axe des abscisses ;
– la droite d2 comprend le point A et est parallèle à l’axe des ordonnées ;
– la droite d3 comprend les points D et E ;
– le point B est l’intersection des droites d1 et d3 ;
– le point C est l’intersection des droites d2 et d3 .
Recherche algébriquement les coordonnées cartésiennes des points B et C. Calcule la longueur des côtés
du triangle ABC.
3. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère le trapèze rectangle ABCD. La droite AD
est parallèle à BC, tandis que DC est perpendiculaire à BC.
A ≡ (−9; 0)
B ≡ (0; −8)
D ≡ (3; 6)
Démontre algébriquement que le point d’intersection des diagonales de ce trapèze, le point d’intersection
des droites AB et CD, le point milieu du côté [A, D] et celui de [B, C] sont quatre points colinéaires
(alignés ou en ligne droite). Vérifie graphiquement.
4. Détermine le domaine de définition des fonctions numériques 1 f suivantes, définies par f (x) = . . . :
r
√
√
4+x 2−x
1) 2 − 3x. 10 − x
5)
−
p
3−x 1+x
2) (2 − 3x)(10 − x)
√
√
6) 1 − x
3) 9x3 − 4x2
p
r
7)
(1 − x)2
x−2
p
4)
8)
|1 − x|
2−x
5. Résous dans R2
7 − 2x
1−x
+
=0
3 − 4x 2x + 3
−7x − 10
2)
− 2 ≤ −6
x−1
9 − 8x
−3x − 10
3)
+
≥ −1
2 − 16x
2x + 6
1)
1 Par
6 − 6x
−4x − 6
+
< −1
1 − 18x
3x + 4
2 − 3x 7x − 9
5)
+
> −2
x−3
7x − 4
3x − 3 7x − 4
6)
+
=8
3x − 2
x−4
4)
défaut, les fonctions envisagées seront numériques : ce sont des fonctions de R dans R.
f : R −→ R : x 7−→ f (x)
2 Merci
Alain !
10
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
B.
Les fonctions du second degré
Le graphe de la fonction f du second degré, définie par f (x) = ax2 + bx + c, est une parabole qui sera notée P.
Le réalisant ou discriminant sera noté ∆ et vaut b2 − 4ac.
r Concavité
S
Si a > 0 alors la fonction f admet un minimum et la concavité de la parabole P est tournée vers le haut ( ).
T
Si a < 0 alors la fonction f admet un maximum et la concavité de la parabole P est tournée vers le bas ( ).
r Axe de symétrie - Sommet
Axe de symétrie ≡ x = −
b
2a
Coordonnées cartésiennes du sommet = (
−b −∆
−b
−b
;
) = ( ; f ( ))
2a 4a
2a
2a
r Intersection avec les axes
Coordonnées cartésiennes du point d’intersection de la parabole P et de l’axe OY = (0; c).
Coordonnées cartésiennes du point d’intersection de la parabole P et de l’axe OX :
√
)
b2 − 4ac
; 0) .
ä Si ∆ > 0 alors P ∩ OX = (
2a
−b
ä Si ∆ = 0 alors P ∩ OX = ( ; 0) .
2a
ä Si ∆ < 0 alors P ∩ OX = Ø.
(
−b ±
r Signe d’une fonction du second degré
Les éventuelles racines réelles du trinôme du second degré seront notées x1 et x2 (x1 ≤ x2 ).
ä Si ∆ > 0,
x
ax2 + bx + c
x1
signe de a
0
x
ä Si ∆ = 0, ax2 + bx + c
x2
signe contraire de a
0
signe de a
x1 = x2
signe de a
0
signe de a
x
ä Si ∆ < 0, ax2 + bx + c
signe de a . . . signe de a . . . signe de a . . . signe de a
11
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
Fig. 1.3 – Parabole
r Factorisation d’un trinôme du second degré
ä Si ∆ > 0 alors ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
ä Si ∆ = 0 alors ax2 + bx + c = a(x − x1 )2
ä Si ∆ < 0 alors ax2 + bx + c n’est pas factorisable . . . dans R !
r Exercices
1. Résolution dans R d’équations du second degré, d’équations bicarrées, d’équations trinômes, etc
2. Étudie le signe de fonctions numériques
3. Résous dans R les inéquations
4. Domaine de définition de fonctions numériques
5. Détermine des caractéristiques d’une fonction du second degré
6. Recherche une équation cartésienne d’une parabole (P ≡ y = ax2 + bx + c), connaissant certaines de ses
caractéristiques.
1) Sommet ≡ (2; −1) et un point ≡ (−1; 8) de la parabole.
2) Axe de symétrie ≡ x = 2 et un point ≡ (0; 5) de la parabole.
3) Trois points de la parabole : A ≡ (−1; −8), B ≡ (1; −18) et C ≡ (5; −14).
7. Étudie graphiquement et algébriquement l’ensemble des points (lieu géométrique) équidistants de la droite
d (la directrice) ≡ y = −2 et du point F (le foyer) ≡ (0; 2) sachant que le plan est muni d’un R.O.N
(repère orthonormé).



 y = x2 − 9
8. Résous, vérifie graphiquement et commente le système d’équations :


 y = 4x − 13
12
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
C.
Les fonctions usuelles
Associe chaque graphe à une des fonctions f définies par f (x) = . . . :
1. x
2. x
2
3. x3
√
4. x
5.
√
3
x
6. |x|
7. cos x
9. tg x
8. sin x
10. cotg x
Fig. 1.4 – f (x) = . . . . . .
Fig. 1.5 – f (x) = . . . . . .
13
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
Fig. 1.6 – f (x) = . . . . . .
Fig. 1.7 – f (x) = . . . . . .
14
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
Fig. 1.8 – f (x) = . . . . . .
Fig. 1.9 – f (x) = . . . . . .
15
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
Fig. 1.10 – f (x) = . . . . . .
Fig. 1.11 – f (x) = . . . . . .
16
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
Fig. 1.12 – f (x) = . . . . . .
Fig. 1.13 – f (x) = . . . . . .
r Exercices
Représente "rapidement" le graphe des fonctions f suivantes et définies par f (x) = . . .
1. x2 + 2
2. (x + 2)
3. x3 − 3
2
4. (x − 3)
3
5. cos x − 3
7. |x + 4|
6. − tg x
8. |x| + 4
9. 5 sin x
1
10. cos x
2
11. −3 sin x
12. x + |x|
17
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
D.
La factorisation par la méthode d’Horner
Soit P (x), un polynôme de degré strictement supérieur à 2, à factoriser.
1. Si le terme indépendant de ce polynôme est entier, recherche un entier a tel que P (a) = 0 en essayant les
diviseurs de ce terme indépendant : a sera une racine du polynôme P .
Coefficients de P (x)
2. Réalise la grille d’Horner : a
..............
Coefficients du quotient Q(x)
Reste = 0.
3. Factorise selon la formule : P (x) = (x − a)Q(x).
E.
Des produits remarquables
3 Carrés parfaits : (a ± b)2 = a2 + b2 ± 2ab
3 Différence de deux carrés : a2 − b2 = (a + b)(a − b)
3 Cube d’une somme ou d’une différence : (a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3
3 Somme ou différence de deux cubes : a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2 )
F.
Les conditions d’existence
3 Chaque dénominateur doit être différent de 0.
3 Si un radical est d’indice pair (racine carrée, racine quatrième, ...), alors le radicand (l’expression sous le
radical) doit être ≥ 0.
3 D’autres conditions d’existence apparaîtront : fonctions trigonométriques, logarithmiques, exponentielles,
...
r Exercices
1. Résous dans R les équations cubiques :
1) 2x3 + 3x2 − 7x + 2 = 0
2) 5x3 + 9x2 + 5x + 1 = 0
3) x3 − 5x − 100 = 0
2. Factorise les polynômes connaissant une ou plusieurs racines :
√
1) x5 − 2x3 + 3x2 − 6 sachant que ± 2 sont des racines de ce polynôme.
2
2) 27x3 + 9x2 + 3x − 14 sachant que est une racine de ce polynôme.
3
3)
3. Détermine le domaine de définition des fonctionsf définies par f (x) = . . .
x
1)
3
2
2x + 3x − 7x + 2
√
2) 5x3 + 9x2 + 5x + 1
r
10 − x
3)
3
x − 5x − 100
√
4) 27x3 + 9x2 + 3x − 14
18
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
G.
Les dérivées
r Définitions
Soit f : R −→ R : x 7−→ f (x).
Le nombre dérivé de la fonction f en a se note f 0 (a) et vaut lim
x→a
f (x) − f (a)
.
x−a
La fonction f est dérivable en a signifie que f 0 (a) ∈ R.
La fonction f est dérivable au sens large en a signifie que le nombre dérivé f 0 (a) est un nombre réel ou
infini.
Une équation cartésienne de la tangente à la courbe Gf (le graphe de la fonction f ) au point ≡ (a; f (a))
s’écrit :
y − f (a) = f 0 (a)(x − a)
r Applications des dérivées
Le signe de la dérivée (première) permet de connaître les variations de la fonction :
x
f 0 (x)
+
f (x)
.........................
0
−
0
.........................
+
.........................
Le signe de la dérivée (première) permet également de déterminer les maxima et les minima relatifs ou
absolus, les points anguleux , les points de rebroussement, les tangentes horizontales, verticales, etc
Le signe de la dérivée seconde permet de connaître la concavité, les points d’inflexion du graphe de la
fonction :
x
f ”(x)
+
0
Gf
.........................
−
.........................
r Exercices
Calcule la fonction dérivée des fonctions f définies par f (x) = . . . :
1. . . .
4. . . .
7. . . .
10. . . .
2. . . .
5. . . .
8. . . .
11. . . .
3. . . .
6. . . .
9. . . .
12. . . .
19
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
r Formulaire de dérivation
Les symboles u et v représentent deux fonctions dérivables de la variable x et k une constante réelle.
f (x) = . . . . . .
f 0 (x) = . . . . . .
f (x) = . . . . . .
f 0 (x) = . . . . . .
k
0
x
1
u(x) + v(x)
u0 (x) + v 0 (x)
u(x)v(x)
u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x)
k.u(x)
k.u0 (x)
u(x)
v(x)
u0 (x)v(x) − u(x)v 0 (x)
v 2 (x)
xn
n.xn−1
un (x)
n.un−1 (x).u0 (x)
sin x
cos x
sin u(x)
cos u(x).u0 (x)
cos x
− sin x
cos u(x)
− sin u(x).u0 (x)
tg x
1
cos2 x
tg u(x)
1
.u0 (x)
cos2 u(x)
cotg(u(x))
..........
cotg x
−
1
sin2 x
Arcsin x
Arcsin(u(x))
Arccos x
Arccos(u(x))
Arctg x
Arctg(u(x))
exp x = ex
exp(u(x)) = eu(x)
expa x = ax
expa (u(x)) = au(x)
ln x
ln(u(x))
loga x
loga (u(x))
v(u(x)) ou (v ◦ u)(x)
v 0 (u(x)).u0 (x)
20
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
1.2
A.
La règle de l’Hospital
Exemples introductifs
Comment déterminer rapidement et aisément les limites suivantes ?
lim
x→0
1 − cos x
x
lim
x→0
x − sin x
x + sin x
0
∞
Des formes d’indétermination du type
ou
demeurent malaisés à lever avec les techniques évoquées en
0
∞
cinquième !
Rappelons-les : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
B.
Règle de l’Hospital
Le mathématicien Jean Bernouilli (1667-1747) a trouvé une propriété pour lever ce type d’indétermination
et le mathématicien Guillaume de l’Hospital l’a publiée.
Si f et g sont deux fonctions numériques d’une variable réelle telles que :
f (x)
0
∞
3 lim
présente un cas d’indétermination de la forme ou
;
x→a g(x)
0
∞
3 il existe un intervalle ouvert centré en a sur lequel :
– les fonctions f et g sont dérivables, sauf éventuellement en a ;
0
0
Théorème : – f et g0 ne sont ni simultanément nulles, ni simultanément infinies, sauf éventuellement en a ;
f (x)
– lim 0
existe (réelle ou infinie).
x→a g (x)
Alors,
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
lim
x→a g (x)
x→a g(x)
Cette règle s’étend au cas où x tend vers l’infini en remplaçant le réel a par −∞ ou +∞ et l’intervalle centré
en a par une demi-droite ] − ∞; a[ si x → −∞ ou ]a; +∞[ si x → +∞.
21
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
Exemples :
1 − cos x
1. lim
=........................................................................................
x→0
x
........................................................................................................
........................................................................................................
2. lim
x→0
x − sin x
= ........................................................................................
x + sin x
........................................................................................................
........................................................................................................
Attention - Attention !
1. Si les cas d’indétermination 0.∞ ou ∞ − ∞ se présentent, on peut essayer de revenir à l’indétermination
0
∞
du type ou du type
.
0
∞
Exemples :
1
(a) lim x sin = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x→+∞
x
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
(b) lim
x→0
1
1
−
sin x x
= ...............................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
22
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
2. Il ne faut pas confondre l’application de la règle de l’Hospital avec celle de la dérivée d’un quotient !
3. Si la limite peut être traitée par les méthodes vues en cinquième, il n’est pas obligatoire d’appliquer la
règle de l’Hospital !
Exemples :
5x3 + x + 1
(a) lim
= .............................................................................
x→+∞
2x3 + 9
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
(b) lim
x→0
x − sin x
= ..................................................................................
x + sin x
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
C.
Exercices
Calcule les limites suivantes :
xn
où n ∈ N0
x→1 x − 1
sin πx
lim
x→1 x − 1
4x − π
limπ √
x→ 4
2 − 2 cos x
cos 5x − cos 7x
lim
x→0 sin 8x + sin 3x
2
2
lim x 1 − cos
x→+∞
x
1. lim
2.
3.
4.
5.
x3 − x2 + 2x − 8
x→2
x2 − 4
7. limπ (2t − π) tg t
6. lim
t→ 2
sin x2
8. lim
x→0 x sin x
2
1
− 2
9. lim
x→0 1 − cos x
x
cos t
10. limπ
t→ 2 cos 3t
11. lim x cotg 2x
x→0
sin2 x (tg x − 1)
x→π
1 + cos x
x − sin x
13. lim
x→0 1 − cos x
tg t − sec t
14. limπ
t→ 2
cos t
12. lim
15. lim (cotg x − csc x)
x→0
16. lim √
x→0
sin x
1 − cos x
23
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
1.3
A.
Les fonctions cyclométriques
La fonction Arcsinus
Ci-dessous, est tracé le graphe de la fonction sinus. Dessine sa réciproque . . . .
Fig. 1.14 – Arcsinus
La réciproque de la fonction sinus est-elle une fonction ? Justifie ta réponse ?
.............................................................................................................
.............................................................................................................
Si ce n’est pas le cas, à quel domaine peux-tu restreindre la fonction sinus afin que sa réciproque devienne une
fonction ?
.............................................................................................................
.............................................................................................................
Quels sont alors le domaine de définition et l’ensemble des images de ta nouvelle fonction ?
.............................................................................................................
.............................................................................................................
24
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
r Définition
3 La fonction Arcsinus sera notée Arcsin.
h π πi
est telle que
3 La fonction Arcsin : [−1; 1] −→ − ;
2 2
y = Arcsin x ⇔ x = sin y et −
π
2
≤y≤
π
2.
3 Autres notations : asn, arcsin, Asin, sin−1 (notation équivoque avec la notation d’inverse).
r Exemples et valeurs particulières
√
x
:
−1
2
−
2
1
−
2
0
1
2
√
2
2
1
Arcsin x
r Étude partielle de la fonction arcsin
ä Domaine de définition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................................
ä Parité, périodicité : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................................
ä Intersection avec les axes, tableau de signes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
ä Asymptotes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................................
........................................................................................................
25
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
3 En admettant que la fonction Arcsin soit dérivable sur ] − 1; 1[ alors
ä Dérivée première :
∀x ∈] − 1; 1[ : (Arcsin)0 (x) = √
1
1 − x2
Démonstration :
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
Exemples :




f (x) = Arcsin(3x2 )






p



f
(x)
=
x.
Arcsin
x
+
1 − x2






f 0 (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f 0 (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ä Monotonie : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ä Propriétés :
∀(u; v) ∈ [−1; 1]2 : Arcsin u = Arcsin v ⇔ u = v
∀(u; v) ∈ [−1; 1]2 : Arcsin u < Arcsin v ⇔ u . . . . . . v
Justifications :
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
26
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
B.
La fonction Arccosinus
Sur le graphique ci-dessous, est représenté le graphe de la fonction cosinus et de sa réciproque . . .
Fig. 1.15 – Arccosinus
Sur quel domaine la fonction cosinus a-t-elle été restreinte afin que sa réciproque soit une fonction ?
.............................................................................................................
Quels sont alors le domaine de définition et l’ensemble des images de cette fonction réciproque ?
.............................................................................................................
r Définition
3 La fonction Arccosinus sera notée Arccos
3 La fonction Arccos : [−1; 1] −→ [0; π] est telle que
y = Arccos x ⇔ x = cos y et 0 ≤ y ≤ π.
3 Autres notations : acs, arccos, Acos, cos−1 (notation dangereuse).
27
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
r Exemples et valeurs particulières
√
x
−1
:
2
−
2
1
−
2
0
1
2
√
2
2
1
Arccos x
r Étude partielle de la fonction Arccos
ä Domaine de définition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ä Parité, périodicité : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................................
ä Intersection avec les axes, tableau de signes :
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
ä Asymptotes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 En admettant que la fonction Arccos soit dérivable sur ] − 1; 1[ alors
ä Dérivée première :
∀x ∈] − 1; 1[ : (Arccos)0 (x) = √
−1
1 − x2
Démonstration :
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
28
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
Exemples :




f (x) = Arccos(1 − x)









f (x) = Arccos(x3 )






f 0 (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f 0 (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ä Monotonie : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ä Propriétés :
∀(u; v) ∈ [−1; 1]2 : Arccos u = Arccos v ⇔ u = v
∀(u; v) ∈ [−1; 1]2 : Arccos u < Arccos v ⇔ u . . . . . . v
Justifications :
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
29
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
C.
La fonction Arctangente
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté la fonction tangente et sa réciproque . . . .
Fig. 1.16 – Arctangente
Sur quel domaine la fonction tangente a-t-elle été restreinte afin que sa réciproque soit une fonction ?
.............................................................................................................
Quels sont alors le domaine de définition et l’ensemble des images de cette fonction réciproque ?
.............................................................................................................
r Définition
3 La fonction Arctangente sera notée Arctg
3 La fonction Arctg : : R −→] −
π π
; [ est telle que
2 2
y = Arctg x ⇔ x = tg y et −
π
π
<y< .
2
2
3 Autres notations : atn, arctan, Atan, tan−1 (notation ambiguë utilisée par certaines calculatrices
scientifiques).
30
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
r Exemples et valeurs particulières
√
− 3
x
√
√
−1
3
−
3
0
3
3
1
√
3
Arctg x
r Étude partielle de la fonction Arctg
ä Domaine de définition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ä Parité, périodicité : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................................
ä Intersection avec les axes, tableau de signes :
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
ä Asymptotes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................................
3 En admettant que la fonction Arctg soit dérivable sur R, alors
ä Dérivée première :
∀x ∈ R : (Arctg)0 (x) =
1
1 + x2
Démonstration :
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
31
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
Exemples :



 f (x) = Arctg(1 + 2x)
f 0 (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

√

 f (x) = x. Arctg x
f 0 (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ä Monotonie : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ä Propriétés :
∀(u; v) ∈ . . . . . . : Arctg u = Arctg v ⇔ u = v
∀(u; v) ∈ . . . . . . : Arctg u < Arctg v ⇔ u . . . . . . v
Justifications :
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
D.
Exercices
1. Résous dans R les équations cyclométriques suivantes :
√ !
3) Arcsin x2 − 3x + 2 = 0
− 2
+ Arctg 1
1) x = Arccos
2
√
π
8
3
2) Arctg x + Arctg 3 =
4) Arctg x = Arctg + Arctg
4
3
8
2. Détermine le domaine de définition des fonctions f définies par f (x) = . . .
1) Arcsin(1 − 2x)
x−1
2) Arctg
x+1
3) Arccos(1 − 2x − x2 )
x
Arccos
2
4)
Arctg x
3. Calcule la dérivée des fonctions f définies par f (x) = . . . et commente les deux derniers exercices.
1)
2)
3)
4)
5)
Arcsin x2
x Arccos x
√
Arctg x + 1
cos (Arcsin 2x)
√
Arctg x
6)
1
x
Arccos
x
2
7) Arcsin x + Arccos x
8) Arctg x + Arctg
1
x
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
1.4
A.
32
Récurrence
Position du problème
Comment démontrer que
1
1
1
1
n
∀n ∈ N0 :
+
+
+ ··· +
=
?
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)
n+1
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
B.
Condition d’application
Une démonstration par récurrence peut s’appliquer lorsque, dans l’énoncé de la propriété, figure une expression
telle que " Pour tout nombre entier n supérieur à l’entier a ".
C.
Idée du raisonnement par récurrence
1. Démontrer la propriété pour la plus petite valeur autorisée de n.
2. Supposer la propriété vraie pour un nombre entier quelconque k supérieur à la plus petite valeur autorisée
(hypothèse de récurrence) et ensuite démontrer que la propriété est vérifiée pour k + 1.
D.
Retour à notre exemple
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
33
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
E.
Exercices
Démontre par récurrence que ( ∀n ∈ N0 : · · ·
1. 1.2 + 2.3 + 3.4 + · · · + n(n + 1) =
n(n + 1)(n + 2)
3
n(n + 1)
2
n(n + 1)(2n + 1)
3. 12 + 22 + 32 + · · · + n2 =
6
Détermine la valeur de (112 + 122 + 132 + · · · + 232 )
2. 1 + 2 + 3 + · · · + n =
n2 (n + 1)2
4
1
1
2n − 1
n
5.
+
+ ··· +
=
1.3 3.5
2n + 1
2n + 1
4. 13 + 23 + 33 + · · · + n3 =
Remarque :
P
représente le signe de sommation.
Exemples :
1. 1 + 2 + 3 + · · · + n = . . . . . . . . . . . . . . . .
2. 1.2 + 2.3 + 3.4 + · · · + n(n + 1) = . . . . . . . . . . . . . . . .
3. 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 2
Exponentielles et logarithmes
2.1
Introduction
L’exemple des nénuphars . . . 1
Le nombre de fleurs de nénuphars d’un étang près de chez moi double chaque jour. Aujourd’hui, la première
fleur est apparue.
ä Combien de fleurs y aura-t-il dans huit jours ?
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
ä Combien de fleurs y aura-t-il dans huit jours ?
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
ä Exprime, en fonction de n, le nombre de fleurs qu’il y aura dans n jours : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Savoir
et Savoir-Faire, Mathématique 6e .
34
CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
35
ä Si dix fleurs sont écloses ce matin, combien y aura-t-il de fleurs dans n jours ?
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
ä Dans combien de jours y aura-t-il plus de mille fleurs, plus de 50.000 fleurs ou plus d’un million de fleurs ?
Ce problème peut-il être résolu très rapidement ?
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
ä Représente graphiquement le phénomène sur une feuille de papier millimétrée en prenant un centimètre
comme unité. N’utilise que la moitié de ta feuille.
ä S’il faut trente jours pour couvrir toute la surface de l’étang, combien en faut-il pour couvrir la moitié de
l’étang ?
........................................................................................................
2.2
A.
Les fonctions exponentielles
Présentation
Jusqu’à présent . . .
ä les puissances à exposants naturels ont été développées en deuxième, tandis que les exposants entiers ont
été introduits en troisième et les exposants rationnels en quatrième ;
∀a ∈
R+
0 , ∀p
p
√
∈ Z, ∀q ∈ N\ {0; 1} : a q = q ap
ä dans l’activité sur les nénuphars, nous avons construit le graphe de la fonction f , définie par f (x) = 2x ,
pour des valeurs de x entières ou rationnelles. Et nous avons complété le graphe de cette fonction sur R
par un tracé continu. On a donc étendu la fonction à l’ensemble des irrationnels.
Dès lors, comment déterminer une puissance à exposant irrationnel ?
Puisque tout nombre irrationnel peut être encadré par une suite de nombres rationnels, nous pouvons encadrer
une puissance à exposant irrationnel par une suite de puissances à exposants rationnels.
√
Exemple : 2
2
peut être encadré par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.............................................................................................................
CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
36
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
Propriétés admises : les propriétés des puissances à exposants rationnels s’étendent aux puissances à exposants irrationnels lorsque la base est strictement positive. Elles sont décrites à la page 37 aux propriétés
algébriques.
B.
Définition
r Activité préparatoire
1. Sur une feuille de papier millimétrée, tu as déjà tracé le graphe de la fonction f1 définie par f1 (x) = 2x .
2. Dans un même repère, trace le graphe de la fonction f2 définie par f2 (x) = 3x .
3. Sur l’autre
de la feuille
dans un même repère, trace le graphe des fonctions f3 et f4 définies par
x
et
moitié
x
1
1
et f4 (x) =
. Prends toujours un centimètre comme unité.
f3 (x) =
2
3
4. Sur la deuxième feuille de papier millimétrée et dans un même repère, trace cette fois-ci le graphe des
fonctions f1 et f2 pour des valeurs de x comprises entre -1 et 1.
• 1 cm = 0,2 unité.
• Utilise le maximum de points.
• Trace ensuite la tangente en 0 au graphe de la fonction f1 .
• Fais de même pour le graphe de f2 .
r Définition
Toute fonction du type f : R −→ R : x 7−→ ax , où a ∈ R+
0 \ {1} est la base et x la variable, est appelée fonction exponentielle de (en) base a.
Elle est notée expa .
r Propriété admise
Toute fonction exponentielle définie sur Q de base a ∈ R+
0 \ {1}, se prolonge de façon unique en une fonction
dérivable dans R.
Vocabulaire : exp2 t se lit " exponentielle en base 2 de t "
Exemples :
• exp10 x = 10x
• exp10 4 = . . .
• Exponentielle en base 4 de 2 = . . .
37
CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
C.
Observations et propriétés
r Analyse partielle de la fonction
Dom f = . . . . . . . . . . . .
Im f = . . . . . . . . . . . .
Racines : . . . . . . . . . . . .
Étude du signe : . . . . . . . . .
+
Toute fonction exponentielle de base a ∈ R+
0 \ {1} est continue et bijective de R sur R0
Les graphes des fonctions exponentielles de base a comprennent tous les points : ≡ (. . . . . . ; . . . . . . ) et (. . . . . . ; 1)
ä Si a > 1, la fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
lim ax = . . . . . . . . . . . . . . .
lim ax = . . . . . . . . . . . . . . .
x→−∞
x→+∞
ä Si 0 < a < 1, la fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
lim ax = . . . . . . . . . . . . . . .
lim ax = . . . . . . . . . . . . . . .
x→−∞
x→+∞
Ces dernières propriétés pourront être démontrées ultérieurement.
r Propriétés algébriques
+
2
∀a ∈ R+
0 \ {1} , ∀b ∈ R0 , ∀(x; y) ∈ R :
ax ay = ax+y
y
(ax ) = axy
ax
= ax−y
ay
x
(ab) = ax bx
a x
ax
= x
b
b
D.
Dérivée des fonctions exponentielles en base quelconque
Soit f (x) = ax .
ax − au
ax−u − 1
ax−u − 1
= lim au
= au lim
x→u x − u
x→u
x→u x − u
x−u
f 0 (u) = lim
ah − 1
= au k
h→0
h
En posant h = x − u, f 0 (u) = au lim
On constate que la fonction exponentielle et sa dérivée sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
As-tu déjà rencontré de telles fonctions ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
Que vaut la dérivée de la fonction exponentielle à l’origine ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.............................................................................................................
Revenons aux graphes des fonctions f1 (x) = 2x et f2 (x) = 3x . Compare la pente de la tangente à l’origine pour
ces deux graphes ? Quelle est la pente la plus importante ?
.............................................................................................................
.............................................................................................................
Ces pentes sont-elles supérieures ou inférieures à 1 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.............................................................................................................
Dès lors on admet qu’il existe un nombre, noté e, compris entre 2 et 3 tel que la pente de la tangente à la courbe
≡ y = ex passant par l’origine du repère soit égale à . . . !
E.
La fonction exponentielle népérienne
Nous cherchons un nombre tel que la dérivée de la fonction exponentielle de cette base en 0 soit égale à 1. Ceci
revient à résoudre le problème suivant :
ah − 1
=1
k = lim
h→0
h
Pour ce nombre réel et pour une valeur de h très petite, nous avons :
ah − 1
≈ 1 ⇔ ····················· ⇔ ····················· ⇔ ·····················
h→0
h
lim
r Définition
n
1
1
En posant n = , nous obtenons : e = lim
1+
. Ce nombre a été baptisé e en l’honneur du
n→±∞
h
n
mathématicien Euler
Complète le tableau suivant pour découvrir la valeur de cette limite : e = lim
n→+∞
1
1+
n
n
39
CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
n
1
2
3
10
100
n
1
1+
n
2
...............
...............
...............
...............
n
1000
105
106
...............
...............
n
1
1+
n
...............
...............
...............
...............
...............
Ce nombre e est irrationnel (propriété admise) comme le nombre π et vaut approximativement . . . . . . . . . .
r Dérivée
exp(x) = ex
(exp)0 (x) = ex
Et par le théorème des fonctions composées :
(exp ◦u)(x) = exp(u(x)) = eu(x)
(exp ◦ u)0 (x) = eu(x) u0 (x).
r Analyse complète de la fonction exp : exp(x) = ex
1. Domaine de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Symétrie/Parité de la fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................................
3. Intersection avec les axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Signe de la fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Dérivée première . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Dérivée seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
40
9. Graphe de la fonction
Fig. 2.1 – Exponentielle népérienne
F.
Équations et inéquations exponentielles
r Définition
Une (in)équation exponentielle est une (in)équation où l’inconnue apparaît dans un (ou plusieurs) exposant(s).
r Propriétés
2
∀a ∈ R+
: au = av ⇔ u = v
0 \ {1} , ∀(u; v) ∈ R
∀a ∈]0; 1[, ∀(u; v) ∈ R2 : au < av ⇔ u > v
∀a ∈]1; +∞[, ∀(u; v) ∈ R2 : au < av ⇔ u < v
r Exemples
1. 2x = 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
........................................................................................................
2. 3x−5 < 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................................
4x+5
1
1
<
.........................................................................................
3.
2
4
........................................................................................................
4. 2.4x + 3 − 2.4−x < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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........................................................................................................
........................................................................................................
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G.
Exercices
1. Réduis en une seule exponentielle.
2
1) 5.5x
2) 0, 0001.10
5)
5x
3) 3 .9
6)
x
1000
4)
x
(0, 001)
7)
8)
(7x )
7x
√
1
. 2
2
36x .6
√
3
4
2x
x
1
.36
9)
6
√
10) 3 64.2x
11) 1024.2x
12) π x π −x
2. Résous dans R les équations exponentielles simples ci-dessous.
1) 2x = 64
√
2) 5x = 5
3) 10x = 1
1
4) 2x =
8
1
5) 2x = −
8
6) 4.2x = 0, 25
7) 8x = 2
8) 4x = 8
9) 3x − 243 = 0
x
5
10)
= 0, 16
2
x2 −3x 2x−2
5
3
11)
=
3
5
x
!
1 2
12) 41−2x −
=0
16
13) 3x + 3x+1 = 4
14) 4x+3 − 22(x+2) = 192
15) 2x + 23+x =
9
4
16) 30.3x − 9x − 81 = 0
17) 52x − 30.5x + 125 = 0
18) 2x + 4x = 2
42
CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
3. Résous dans R les inéquations exponentielles simples ci-dessous.
x−1
1) 3 x + 4 < 1
x
1
≤ 52x−1
2)
5
!
3)
1−x
1 x+4 1
<
3
81
2x
3
16
5)
>
4
9
!
4) (0, 5)
x2 −3x+2
> 0, 25
6) 10x < −10
4. Dérive les fonctions f suivantes, définies par f (x) = · · ·
1) ex x3 − 4
2) xe + ex
3) x2 esin x
ex − 1
4)
ex
5) e6x−5
6) xe2−x
7) ee
1
8) (ex + e−x )
2
9)
ex − e−x
ex + e−x
5. Calcule les limites suivantes.
1)
x2
x→+∞ ex
lim
3
xex (2 + x)
x→0
ex − 1
2) lim
−1
3) lim x2 e(x )
x→0
43
CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
2.3
A.
Les fonctions logarithmiques
Retour en arrière
Revenons au problème des nénuphars.
Lors de la résolution du point 4, nous n’avons pas été capables de déterminer aisément le nombre de jours où il
y aurait plus de mille fleurs, plus de 50.000 fleurs ou plus d’un million de fleurs.
Que peux-tu dire sur ce problème ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Quel est le lien avec la fonction exponentielle ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.............................................................................................................
B.
Définition
r Activité préparatoire
Sur une feuille de papier millimétrée, tu as déjà tracé le graphe de la fonction f1 définie par f1 (x) = 2x . Ensuite,
dans un même repère, trace le graphe de sa fonction réciproque.
Puisque les fonctions exponentielles sont bijectives, leurs réciproques sont des fonctions.
r Définition
La réciproque de la fonction exponentielle de base a s’appelle fonction logarithmique de base a. Elle est
notée loga .
+
x
Si expa : R −→ R+
0 : x −→ y = a , avec ∈ R0 \ {1} , alors la réciproque est la fonction
loga : R+
0 −→ R : x −→ y = loga x et par définition :
loga x = y ⇔ ay = x
Exemples : log2 8 = . . . . . . . . .
log10
√
10 = . . . . . . . . .
log3
1
9
= .........
Retour aux nénuphars : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
44
r Notations et cas particuliers
ä Le logarithme de base e est appelé le logarithme népérien2 ou naturel.
ä Au lieu d’écrire loge , il est noté ln et parfois ... Log.
ä Le logarithme (décimal ou vulgaire) en base 10 est noté par défaut log au lieu de log10 .
r Graphe de la fonction ln, log2 et log0,5
A partir du graphe de la fonction exponentielle népérienne, il est aisé de construire celui de sa réciproque. De
même pour le graphe des fonctions log0,5 et log2 , à partir du graphe des fonctions exp0,5 et exp2 .
Graphe des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.............................................................................................................
Fig. 2.2 – Exp. et log. en base a
Fig. 2.3 – Exp. et log. en base quelconque
2 Neper
(1550-1617)
45
CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
C.
Observations et propriétés
r Analyse partielle de la fonction loga
Les fonctions logarithmes sont des bijections continues de . . . . . . dans . . . . . . car . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Dom loga = . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Im loga = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
loga 1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
loga a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Racine(s) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les graphes des fonctions logarithmes passent tous par les points ≡ (. . . . . . ; . . . . . . ) et (. . . . . . ; . . . . . . ).
ä Si a > 1, la fonction logarithme est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
lim loga x = . . . . . .
x→0
lim loga x = . . . . . .
x→+∞
ä Si 0 < a < 1, la fonction logarithme est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
lim loga x = . . . . . .
x→0
lim loga x = . . . . . .
x→+∞
r Conséquences
Il est très important de remarquer que l’argument des fonctions logarithmes est toujours strictement positif. En
aucun cas, dans l’ensemble des réels, il n’est permis de calculer un logarithme d’un nombre négatif. Ainsi, lors de
la résolution d’(in)équations logarithmiques, il faudra établir les conditions d’existence portant sur l’argument
des fonctions logarithmes.
D.
Propriétés algébriques
Dans la suite, nous supposons une fois pour toute que a ∈ R+
0 \{1}.
1. Propriétés liées à la définition
∀x ∈ . . . . . . . . . : loga (ax ) = . . . . . . . . .
Démonstration :
........................................................................................................
........................................................................................................
∀x ∈ ......... : aloga x = . . . . . . . . .
CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
46
Démonstration :
........................................................................................................
2. Produit :
∀ (x; y) ∈ . . . . . . . . . : loga (xy) = loga x + loga y
Démonstration :
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
3. Quotient :
x
= loga x − loga y
∀ (x; y) ∈ . . . . . . . . . : loga
y
Démonstration :
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
4. Puissance :
∀x ∈ . . . . . . . . . , ∀m ∈ . . . . . . . . . : loga (xm ) = m. loga x
Démonstration :
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
47
CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
E.
Changement de base
Comment calculer aisément les logarithmes ? Dresser une table pour chaque valeur possible de la base est
fastidieux. Des tables de valeurs du logarithme décimal et du logarithme népérien sont actuellement mémorisées
dans les calculatrices : on peut encore trouver des livres scolaires, utilisés au siècle précédent, contenant ces
tables. Nous allons donc rechercher une formule permettant d’exprimer un lien entre des logarithmes de bases
différentes.
r Formule générale
∀x ∈ . . . . . . . . . , ∀a ∈ . . . . . . . . . , ∀b ∈ . . . . . . . . . : loga x =
logb x
logb a
Démonstration :
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.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
Cas particuliers
ä Base 10 :
∀x ∈ . . . . . . . . . , ∀a ∈ . . . . . . . . . : loga x = . . . . . . . . .
Démonstration :
........................................................................................................
ä Base e :
∀x ∈ . . . . . . . . . , ∀a ∈ . . . . . . . . . : loga x = . . . . . . . . .
Démonstration :
........................................................................................................
CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
F.
48
Équations et inéquations logarithmiques
r Définition
Une (in)équation logarithmique est une (in)équation où l’inconnue apparaît dans l’argument d’un (ou plusieurs) logarithme(s).
r Propriétés
+
∀a ∈ . . . . . . . . . , ∀x ∈ R+
0 , ∀t ∈ R0 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+
∀a ∈]0; 1[, ∀x ∈ R+
0 , ∀t ∈ R0 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+
∀a ∈]1; +∞[, ∀x ∈ R+
0 , ∀t ∈ R0 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemples :
1. ln x + ln(x − 2) = ln 3
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........................................................................................................
........................................................................................................
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2. log2 x < 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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........................................................................................................
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3. ln(x + 3) < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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........................................................................................................
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4. log 12 (x + 1) ≥ log 12 (4x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
G.
49
Dérivée des fonctions logarithmiques et exponentielles
r Dérivée de la fonction ln
∀x ∈ . . . . . . . . . : (ln)0 (x) = . . . . . .
Recherche : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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r Dérivée de la fonction loga
∀x ∈ . . . . . . : (loga )0 (x) = . . . . . .
Recherche : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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.............................................................................................................
50
CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
r Dérivée de la fonction expa
∀x ∈ . . . . . . : (expa )0 (x) = . . . . . .
Recherche : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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ah
h→0 h
Remarque : lien avec lim
ah
en prenant différentes valeurs de a.
h→0 h
Compare la valeur ln a avec la valeur de k = lim
a
h=0,1
h=0,01
h=0,001
ln a
2
3
5
H.
La fonction logarithme népérien
Analyse complète de la fonction ln
1. Domaine de définition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Symétrie/Parité de la fonction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................................
3. Intersection avec les axes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................................
CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
51
4. Signe de la fonction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. Asymptotes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6. Etude de la dérivée première : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Etude de la dérivée seconde : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Tableau récapitulatif : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9. Graphe de la fonction
Fig. 2.4 – Logarithme népérien
52
CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
2.4
A.
Exercices
Propriétés des logarithmes
1. Calcule sans calculatrice :
1)
2)
3)
4)
log2 8 = . . . . . .
log 100 = . . . . . .
log5 1 = . . . . . .
log3 27 = . . . . . .
5) log2
√
2 = ......
6) ln e = . . . . . .
1
7) ln 7 = . . . . . .
e
8) log0,5 4 = . . . . . .
2
9) log2 1024 = . . . . . .
2. Complète pour avoir l’égalité
1) log64 · · · · · · =
1
3
2) ln · · · · · · =
1
4
3) log√3 9 = . . . . . .
3. Connaissant ln 2 , ln 3 et ln 5 calcule :
√
3
1) ln 4 = . . . . . .
4) ln 30 = . . . . . .
7) ln
2) ln 6 = . . . . . .
5) ln 4, 8 = . . . . . .
8) ln 2 = . . . . . .
3) ln 0, 4 = . . . . . .
6) ln 3, 75 = . . . . . .
9) ln 1024 = . . . . . .
√
5 = ......
4. Sachant que log 2 = 0, 301 calcule :
1) log 4 = . . . . . .
2) log 0, 2 = . . . . . .
3) log 1, 25 = . . . . . .
4) log 5 = . . . . . .
6) log
1
= ......
16
5) log 3, 2 = . . . . . .
5. Réduis en un seul logarithme :
B.
1) log a − 3 log b = . . . . . .
2) log5 4a + log5 b3 = . . . . . .
4) log3 a − 4 log3 b2 = . . . . . .
3) 5 (log a + log b) = . . . . . .
6) ln a + ln b − ln (a + b) = . . . . . .
5) log20 a2 − log20 b − log20 c3 = . . . . . .
Équations exponentielles
Résous dans R les équations exponentielles ci-dessous.
1) 2.e2x − 7.ex + 3 = 0
6) 21+3x − 21−3x − 3 = 0
2) e4x − 3.e2x − 4 = 0
3) 33x − 6.32x + 11.3x − 6 = 0
7) 3x + 32−x − 10 = 0
√
8) e2x−1 − e2x+2 − 2e3 = 0
4) e3x − 4.e2x + ex − 4 = 0
9) 106x − 3.103x − 4 = 0
5) 23+2x + 7.2x − 1 = 0
C.
Equations logarithmiques
Résous dans R, les équations suivantes ( ! aux C.E.) :
1. ln x = 2 + ln 3
10) 16x + 161−x = 10
53
CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
2. log3 (2x2 − x − 1) + log3 9 = log3 9x4 + log3 2 − log3 x2
3. 3 log(−x) + 3 log 3 = log 3x2 − log(−x) − 2
4. log22 x + log2 x − 6 = 0
5. log3 x − 4 log2 x + log x − 4 = 0
6. ln2 x + ln x − 1 = 0
7. 2 ln3 x − 9 ln2 x − 2 ln x + 9 = 0
8. log4 x − 34 log2 x + 225 = 0
9. 8 log3 x − 9 log2 x + log x = 0
10. ln(x − 1) = ln 3 + ln(x2 − 2x − 1)
11. 2 ln 2 + ln(x2 − 1) = ln(4x − 1)
12. log(x − 2) + log(x + 3) = 2
13. log2 (4x2 + x − 3) + 4 = 3 log2 2x − log2
x
8
14. ln(2x − 3) + ln(x − 4) = 2 ln 5
15. ln(x + 2) + ln(−x) = ln 0, 75
16. 2 ln(x − 3) + ln(x − 1) = ln(2x − 2)
17. ln x + ln(2 − x) + ln(x + 4) = ln 5x
18. ln(−x2 + x + 6) + 2 ln x = ln(x + 2) + ln(x2 − x + 2)
19. loga (x + 3) + loga (x(x + 7)) − loga ((x + 4)(x2 + 4x + 3)) = 0
√
1
20. loga 2x − 3 = loga (6 − x) − loga x
2
21. log2 x. log4 x = 8
22. log√2 x. log2 x. log2√2 x. log4 x = 864
D.
Inéquations logarithmiques ou exponentielles
Résous dans R les inéquations ci-dessous.
1)
2)
3)
4)
E.
ln(x + 3) < 1
e3x ≥ 3e2
(0, 5)4x−2 < 0, 25
log2 (1 + x) + 4 log4 x < 1
√
5) log x > log x − 1
6) log0,5 (x + 1) ≥ log0,5 4x
x2
1
7)
≤ 52x+1
5
8) (ln x)x(lnx)
2x
9) (cos 6)
−1
<1
Systèmes
Résous dans R2 les différents systèmes suivants :






 x+y =7
 x + y = 65



 x + y = e(e + 1)


 ln x + ln y = ln 12


 ln x + ln y = 3


 log x + log y = 3



 5x+y = 625



 xy = 256


 2xy = 16


 7(logy x + logx y) = 50
x
> 4 (cos 6) + 5
54
CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
F.
Dérivées
1. Détermine les dérivées des fonctions f suivantes, définies par f (x) = . . . . . . :
15) ln(1 + x2 ) + 2x2 Arcsin(ln x)
1) ex (1 − x2 )
2) x2 esin x
16) ex ln(Arctg x)
1
17) tg2 x + ln cos x
2
√
√
18) ln( x + 1 3 x2 − 1)
2
3) 5(x )
4) 35−2x
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
2
8x +1
√
5 x
ln(1 − x2 )
log5 (x2 − x + 1)
ln x
x2
ln x
1 − ln x
x ln x
1 − ln2 x
ln(ln x)
Arctg(ln x)
p
ln 1 − 2 sin2 x
19) log4 (2x + 1)
1
2
−
2x + 1 2(2x + 1)
2
21) 3(1−cotg x) sin x
√
3
x√ 2
4x + 3 + ln(2x + 4x2 + 3)
22)
2
4
tg
x
23) a
20) ln(2x + 1) +
24) e
25)
√
x−ln
√
x
√
x 9 − x2 + 9 Arcsin x3
s√
2x + 3 − 3
26) ln 3 √
2x + 3 + 3
1
2
2. Détermine le domaine de définition des fonctions f suivantes et dérive-les.
√
ln x
ln(ln x)
√
ln(x + x2 + 1)
ln(sin x)
−1
5) 10ln(x )
6) 42x−1 log4 (2x − 1)
1)
2)
3)
4)
7)
p
8) ln
ln2 x − ln x
1 + sin x
1 − sin x
3. Dérivation de fonctions de la forme (f (x))g(x)
Préambule théorique via un exemple : comment calculer la dérivée de xx ?
On ne peut utiliser la formule de (expa )0 car la base n’est pas un réel fixé, ni la formule (f n )0 car l’exposant
est une variable .
Deux méthodes sont proposées :
ä Première méthode : en utilisant la définition
xx = · · · · · · · · · · · · · · · = · · · · · · · · · · · · · · · .
Cela revient donc à calculer la dérivée de · · · · · · · · · · · · · · · .
ä Deuxième méthode : par dérivée logarithmique.
Si y = xx , alors ln y = ln xx . Dés lors, (ln y)0 = (x ln x)0 ⇔
y0
= (x ln x)0 et donc
y
y 0 = (xx )0 = y(x. ln x)0 = · · · · · · · · · · · · · · · = xx (ln x + 1)
Exercices : dérive les fonctions f suivantes, définies par f (x) = . . .
2
−1
1) x(x )
x
2) (sin x)
√
3) x2 .x
x
4) xx
5) (x + 1)x
7) (sin x)ln x
6) xtg x
9) xln x
8) (cos x)sin x
55
CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
G.
Applications particulières : dérivation logarithmique
Remarque : (ln ◦f )0 (x) =
f 0 (x)
, donc f 0 (x) = f (x)(ln ◦f )0 (x)
f (x)
Dérive les fonctions suivantes par dérivation logarithmique.
p
(x + 1)2
(x + 1)3 (x − 2)3
1)
p
3)
3
(x + 2)3 (x + 3)4
(x − 3)2
s
(2 − x)(x2 + 1)
x(x2 + 1)
4) 3
2) √
(x − 1)2
1 − x2
H.
p
5
(x − 1)2
p
5) p
4
(x − 2)3 . 3 (x − 3)7
Problèmes
Résous, dans R, les problèmes suivants :
1. Un capital de 250 e est placé à intérêts composés au taux annuel de 8 % (période de capitalisation
annuelle). Dans combien de temps ce capital . . .
(a) aura-t-il doublé ?
(b) aura-t-il triplé ?
(c) aura-t-il décuplé ?
(d) vaudra-t-il dix mille e ?
2. Un sapin augmente sa taille de 10 % chaque année. Après combien d’années ce sapin aura t’il . . .
(a) doublé sa taille ?
(b) triplé sa taille ?
3. Les chimistes utilisent un nombre noté pH pour décrire quantitativement la nature acide ou basique des
solutions. Par définition, pH = − log[H + ], ou [H + ] est la concentration d’ions d’hydrogène en moles par
litre. Donne approximativement le pH de chaque substance.
(a) vinaigre : [H + ] = 6, 3.10−3 ;
(b) carotte : [H + ] = 10−5 .
Une solution est dite basique si [H + ] < 10−7 et acide si [H + ] > 10−7 . Détermine les inéquations correspondantes faisant intervenir le pH.
4. La consommation d’énergie d’un pays double tous les six ans. Calcule le rapport entre la consommation
d’énergie en 2001 et en 2002.
5. Prenons une feuille de papier de 0,1 mm d’épaisseur. Imaginons que nous la plions en deux, puis encore
en deux, puis encore en deux, et ainsi de suite ...
Très vite, le pliage sera impossible mais, en imaginant que ce pliage soit indéfiniment réalisable, calcule
(a) le nombre de pliages nécessaires pour obtenir une épaisseur de 1 km ;
(b) le nombre de pliages nécessaires pour obtenir une épaisseur de 10 km ;
(c) l’épaisseur obtenue après 80 pliages.
6. Lorsqu’un médicament est injecté dans le sang, sa concentration t minutes plus tard est exprimée par la
k
e−bt − e−at où a, b et k sont des constantes positives.
formule C(t) =
a−b
(a) A quel moment la concentration sera -t-elle maximale ?
(b) Que peut on dire de la concentration après une longue période de temps ?
56
CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
I.
Limites
1. Première série : calcule les limites suivantes.
Rappel : si 00 ou ∞
∞ utilise la règle de l’Hospital.
x3 − 8
1) lim 2
x→2 x − 4
2)
7) lim
x→1
2x
x→+∞ 3x
x→0
13)
8) lim (sin x ln x)
lim
3) lim
πx
)
2
ln x
cos(
14)
x→0+
1 − cos x
x2
x
x
a −b
x
ln sin x
10) limπ
x→ 2 (π − 2x)2
9) lim
x→0
3x3 + x2 − x
x→0 5x3 + x2 + x
4) lim
sin 3x
5) lim
x→0 sin 2x
15)
ln(x2 + 1)
11) lim
x→+∞ ln(x2 + 8)
2
tg x − x
12) lim
x→0 x − sin x
(ln x)
6) lim
x→+∞
x
16)
17)
1
lim
− tg x
x→ π
cos x
2
x+1
ln
x
lim
x−1
x→+∞
ln
x
x3 + 8
lim
x→2 x + 2
x
1
lim
−
x→1 x − 1
ln x
−2
lim x2 e(x )
x→0
18) lim (1 − x) tg
x→1
πx
2
2. Deuxième série : calcule les limites suivantes.
Autres indéterminations de la forme 00 , 1∞ , 0∞ ou ∞0 . Pour ces dernières indéterminations, remplace
f (x) par eln f (x) .
1) lim xx
„
x→0
2)
πx 7) lim tg
x→1
4
x−1 )
(
8) lim x
−1
lim x(log3 x)
x→+∞
−1
3) lim (1 + 3x)(2.x )
x→0
4) lim (tg x)tg 2x
x→0+
−1
5) lim (cos x)(x )
x→0
6) lim (sin x)e
x
−1
x→0+
tg
πx «
2
tg x
1
12) lim
x→0 x
−1
13) lim (cotg x)(ln x)
x→+∞
x→0+
−1
9) lim (sin x)(ln x)
x→0
2x
2
10) lim
1−
x→−∞
x
11) lim (1 + sin 2x)csc x
14)
15)
x→0
lim
x→+∞
2x − x2
lim
x→−∞
(x−1 )
3x + 18
3x − 6
x
3. Auto-contrôle : calcule les limites suivantes
−1
1. lim x(1−x)
x→1
2x2 − x + 1
x→±∞ 6x2 + 4x + 7
log2 x
3. lim
x→1 log3 x
2.
lim
e2x − 1
4. lim x
x→0 e x cos2 x
x−1
1 + 2x ( )
5. lim
x→0
2
6. lim sin 2x
x→+∞
e−x
x→+∞ x2
ln sin 3x
8. lim
x→0+ ln sin 2x
7.
lim
xex − 1
x→+∞ xex + 1
5x + 3x
10. lim
x→2
x
−1
(
11. lim x x )
9.
lim
x→0+
ln(x − 1) − x
12. lim
π
x→1+
tg
2x
x−2
sin x ( )
13. lim
x→0
x
ex − e−x
x→−∞ ex + e−x
−1
17. lim x(3.(ln x) )
16.
lim
x→1
18. limπ
π
)
2
cotg x
ln(x −
x→ 2
x5 + 3x2
x→0 ex sin x − x
19. lim
20.
x−1 )
lim (1x + 2x + 3x )(
x→±∞
21. lim (−1)x
x→0
tg4 x − tg2 x
14. lim
(x−1 )
x→0
1 − cos x
lim 1 + 10−2009
√
√
22. x→0
15. lim
x2 + 3 − x2 + 4x
(x−1 )
x→±∞
23. lim 1 − 10−2009
x→0
57
CHAPITRE 2. EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
Solutions :
1
e
1
2.
3
3. log2 3
1.
4. 2
√
5. 2
6. n’existe pas
7. 0+
8.
9.
10.
11.
12.
1
1
17
0+
0−
1
13. √
6
e
14. −2
15. ∓2
16. −1
17. e3
18. +∞
19. 3
20. 3 (en +∞) et 1 (en −∞)
21. ? ? ?
22. ? ? ?
23. ? ? ?
Chapitre 3
Le calcul intégral
3.1
Plan
Nous commencerons ce chapitre important d’analyse par développer le concept de différentielle. Cette partie
fera le lien entre le calcul des dérivées et les différentes notations adoptées pour ces mêmes dérivées.
Ensuite la notion de primitive sera développée. Différentes techniques de calculs seront introduites. De nombreux
exercices seront présents dans cette section. Tous ne seront pas réalisés en classe.
Viendra ensuite le calcul intégral proprement dit avec les applications courantes telles que la détermination
d’une aire, d’un volume, etc.
La réussite de ce chapitre se base sur un travail personnel conséquent de l’élève dans la réalisation de ces
exercices.
3.2
A.
Différentielle
Variation
Soit f une fonction de R dans R dérivable au point a.
On va étudier la variation ∆f (x) = f (x + ∆x) − f (x) pour un accroissement ∆x non nul.
Exemple : la fonction carrée
a. Détermine la variation pour la fonction carrée qui à x associe x2 .
∆f (x) = f (x + ∆x) − f (x)
= (x + ∆x)2 − x2
= ..............................
= ..............................
∼
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · · · = f 0 (x)∆x
b. Applique ce calcul pour déterminer la variation de surface d’un carré de côté 100 si ce côté augmente de 0,01.
Compare avec l’approximation.
f (x) = . . . . . . . . . , x = . . . . . . . . . et ∆x = . . . . . . . . .
f (x) = 2.(100).(0, 01) + (0, 01)2 = 2 + 0, 0001 ∼
= 2.
58
59
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
Exercice à domicile : la fonction cube
a. Détermine la variation pour la fonction cube qui à x associe x3 .
b. Applique ce calcul pour déterminer la variation de volume d’un cube de côté 100 si ce côté augmente de 0,01.
Représentation graphique
Fig. 3.1 – Variations
B.
Rappels et réflexion
• Nombre dérivé de la fonction f en a : f 0 (a) = lim
x→a
f (x) − f (a)
.
x−a
• Autre formulation du nombre dérivé de f en a.
∆f (a)
∆a→0 ∆a
Si on note x − a = ∆a alors f (x) − f (a) = f (a + ∆a) − f (a) = ∆f (a) et f 0 (a) = lim
Si f 0 (a) 6= 0, nous avons donc :
∆f (a)
∆f (a)
1
lim
ou encore lim 0
= 1.
1) 1 = 0
∆a→0
∆a→0
f (a)
∆a
f (a)∆a
2) Pour ∆a « petit », le produit f 0 (a)∆a est une « bonne »approximation de ∆f (a).
• Équation cartésienne de la droite tangente au graphe de la fonction f au point d’abscisse a :
T(angente) ≡ y − f (a) = f 0 (a)(x − a)
C.
Définition
Soit f une fonction de R dans R dérivable au point a.
On appelle différentielle de f au point x , notée df (x, ∆x) ou df (x), le produit de f 0 (x) et d’un accroissement quelconque ∆x non nul :
df (x) = f 0 (x)∆x
60
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
D.
Représentation graphique de la différentielle
Comparaison des variations sur le graphe de la fonction et sur la droite tangente : lorsque ∆x « est petit » alors
df (x) est une bonne approximation de ∆f (x) = f (x + ∆x) − f (x)
Fig. 3.2 – Différentielle
df (x) ∼
= ∆f (x)
0
f (x)∆x ∼
= f (x + ∆x) − f (x)
f (x + ∆x) ∼
= f (x) + f 0 (x)∆x
Exemple Calcule une approximation de
Soit la fonction f qui à x associe
√
4
√
17.
x.
Prenons x = 16 et ∆x = 1.
f (x + ∆x) = · · · · · · · · · · · · · · · · · · = · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
f (x) = · · · · · · · · · · · · · · · · · · = · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
1
Puisque : f 0 (. . . ) = √
, nous avons f (. . . . . . . . . ) = . . . . . . . . .
4 4 ......
√
Donc : 4 17 ∼
= ...............
Comment estimer f(x) ?
1) Trouve un nombre a « proche » de x pour lequel f (a) et f 0 (a) sont faciles à calculer.
2) Calcule ∆a = x − a (∆a est positif ou négatif) ;
3) Estime f (x) comme étant égal à f (a) + f 0 (a)∆a.
61
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
E.
Notation différentielle de la dérivée
En reprenant ce qui a été vu précédemment : df (x) = f 0 (x)∆x.
Notons localement la fonction identique sur R par i ; ∀x ∈ R : i(x) = x
Nous avons donc : di(x) = dx et di(x) = i0 (x).∆x = 1.∆x = ∆x
Ce qui revient à écrire : dx = ∆x.. Il n’y a donc pas de différence entre l’accroissement ∆x et la différentielle
dx pour la variable x.
On en déduit la notation différentielle de la dérivée,fréquemment utilisée dans de nombreux domaines scientifiques et surtout en physique :
df (x) = f 0 (x)dx
F.
f 0 (x) =
df (x)
dx
Propriétés ou formulaire de différentiation
• Différentielle d’une somme : d(f + g) = df + dg
• Différentielle d’un produit : d(f.g) = df.g + f.dg
f
df.g − f.dg
• Différentielle d’un quotient : d
=
g
g2
• Différentielle d’une puissance : d(f n ) = n.f n−1 .df
• Différentielle d’une composée : d (f (g(x)) = f 0 (g(x)) g 0 (x).dx
Posons g(x) = t, on obtientdt = dg(x) = g 0 (x).dx et d(f (g(x)) = f 0 (t).dt
• Différentielle des fonctions usuelles.
√
√
1
Exemple : d (sin x ) = cos ( x ) . √ .dx ou encore ...
2 x
√
√
√
√
1
d (sin x ) = cos ( x ) .d x = cos ( x ) . √ .dx.
2 x
G.
Exercices
1) Calcule la différentielle des fonctions f suivantes définies par f (x) = ...
√
1
Arctg 6 2x + 1
√
cos
1+ x
2) Calcule, sans calculatrice, une valeur approchée des expressions suivantes en utilisant la notion de différentielle.
√
3
62
(4, 03)
−1
3) Explique la provenance de la formule suivante :
la valeur de a.
3
(2, 1)
√
a2 + b ≈ a +
b
où a > 0 et |b| est « petit »par rapport à
2a
4) L’erreur relative dans la mesure du côté d’un carré n’excède pas 5%. Estime l’erreur relative lors du calcul
de l’aire de ce carré.
62
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
3.3
A.
Primitives
Définitions, théorème, propriétés, notations et exemples
r Définitions
Si f et F sont deux fonctions de R dans R définies sur l’intervalle I, alors la fonction F est une primitive
de f sur I si et seulement si ∀x ∈ I : F 0 (x) = f (x).
Si une telle fonction F existe pour f sur I alors, on dit que la fonction f est primitivable sur I.
r Exemples
f (x) = x2
F1 (x) = · · · · · · · · ·
F2 (x) = · · · · · · · · ·
f (x) = sin x
F1 (x) = · · · · · · · · ·
F2 (x) = · · · · · · · · ·
f (x) = ex
F1 (x) = · · · · · · · · ·
F2 (x) = · · · · · · · · ·
r Théorèmes
1. Théorème de Lagrange :
Si la fonction numérique f est continue sur l’intervalle fermé [a; b] et dérivable sur l’intervalle ouvert
]a; b[, alors
f (b) − f (a)
∃ c ∈]a; b[ : f 0 (c) =
b−a
Théorème admis sans démonstration, mais illustré graphiquement.
Fig. 3.3 – Théorème de Lagrange
63
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
La tangente au graphe de la fonction f au point d’abscisse c admet pour pente f 0 (c). Tandis que la corde
f (b) − f (a)
CD a pour pente
. La tangente est parallèle à la droite comprenant C etD.
b−a
Si les fonctions F et G sont deux primitives de la fonction f sur l’intervalle I alors F − G est une fonction
constante sur I.
2.
Démonstration :
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
r Notations et définition de l’intégrale indéfinie d’une fonction
L’ensemble des primitives d’une fonction f porte le nom d’intégrale indéfinie de f et est notée :
Z
f (x) dx
Si la fonction F est une primitive de la fonction f alors
Z
f (x) dx = F (x) + c.
Démonstration :
.............................................................................................................
.............................................................................................................
Remarques :
R
R • On admet la notation f où
f (x) = F (x) + c.
• Intégrer une fonction, c’est déterminer toutes les primitives de cette fonction c.à.d. calculer son intégrale
indéfinie.
r Propriétés
Soit f et g deux fonctions primitivables sur l’intervalle I et une constante k ∈ R.
1.
R 0
f =f
2.
R
(f ± g) =
R
f±
R
g
R
R
3. (k.f ) = k. f
Démonstration :
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...........................................................................................................
...........................................................................................................
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
64
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...........................................................................................................
...........................................................................................................
Exemple :
R
3x2 + 7x − 4) dx =
65
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
B.
Primitives immédiates simples et généralisations
Il est indispensable d’avoir une très bonne connaissance de la dérivation pour reconnaître du premier coup d’œil
les fonctions dont les primitives sont bien connues. Par défaut, dans la résolution des exercices, c désignera
toujours une constante réelle.
Z
f (x) = . . . . . .
f (x) dx = F (x) + c avec c ∈ R
0
................
a
................
x
................
xn où n ∈ Q\ {−1}
................
1
x
................
sin x
................
cos x
................
1
= 1 + tg2 x
cos2 x
................
1
sin2 x
................
ex
................
ax
................
1
1 − x2
................
1
1 + x2
................
√
66
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
Généralisation : u représente une fonction numérique dérivable.
Z
f (x) = . . . . . .
f (x) dx = F (x) + c avec c ∈ R
u0 (x).un (x) où n ∈ Q\ {−1}
................
u0 (x)
u(x)
................
u0 (x). sin u(x)
................
u0 (x). cos u(x)
................
u0 (x)
= u0 (x). 1 + tg2 u(x)
2
cos u(x)
................
u0 (x)
sin2 u(x)
................
u0 (x).eu(x)
................
u0 (x)
p
1 − u2 (x)
u0 (x)
1 + u2 (x)
................
................
Comme déjà mentionné, la reconnaissance des différentes fonctions de base dans les exercices ne peut se faire
que si les deux tableaux mentionnés ci-dessus sont parfaitement assimilés.
Remarque concernant le logarithme népérien :
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
67
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
C.
Exercices
A. Détermine la primitive F de f sachant que
π
2) f (x) = cos x et F ( ) = 3
2
R
B. Primitives immédiates : calcule les intégrales indéfinies f (x) dx suivantes où f (x) = . . . . . . :
1) f (x) = x − 7 et F (1) = 0
1) x5
4
2) 2
x
√
3) 4 x
1
4) √
3
x2
3
5) x − x2 + 2x − 1
6) 2x2 − 5x + 3
√
3
7) 2 + 3 x4
√
8) (1 − x) x
√
√
1
9) 2 x5 − x + 3
2
x5 + 4x3 + 2
10)
x3
√
3
11) 3 x + 5 cos x −
sin2 x
12) 1 − cos x
1
1 − x2
2
3x3 + 3
x
x2 − 1
x2
2 cos x − 3 sin x
5
x−4
x−1
x
2
x +1
x−1
x2 − x + 1
x−2
13) x2 + √
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
C. Substitutions simples : calcule les intégrales indéfinies
1) sin 5x
2) cos(−3x)
3) (3x + 4)2
−1
4)
1 + 4x2
5
5)
sin2 2x
21
6)
2
5x + 125
4
7) √
1 − 25x2
2
8) √
16 − x2
√
9) 3x − 4
1
10) √
3 + 2x
1
11)
1 + 9x2
R
12)
f (x) dx suivantes où f (x) = . . . . . . :
2x2 − 4x + 1
3x − 5
13) sin2 x cos x
14)
2
3 − 4x
1 − x − x2
1 − 3x
x
16)
1 + 9x2
1
17)
2x + 3
15)
18) e2x
ln x
x
x−1
20) 2
x − 2x + 2
19)
D. Auto-contrôle
f (x) = . . . . . .
R
f (x) dx = . . . . . .
5
(5x + 3)4
1
1
sin
2
x
x
1
p
(x + 1)3
(5x + 3)
+c
25
1
cos + c
x
−2
√
+c
x+1
68
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
x
(1 + x2 )4
sin 2x(1 + sin2 x)
√
3
x x
√ −
4
x
D.
−1
3 +c
6 (1 + x2 )
2
1 + sin2 x
+c
2 √
√
x2 x
6. x −
+c
10
Méthodes particulières d’intégration
Le but des différentes méthodes proposées est de transformer l’écriture de la fonction à intégrer dans un format
où les primitives sont « immédiates ».
r Intégration par substitution (par changement de variable - par composition)
Rappel : df (x) = f 0 (x) dx
Exemples :
R
1. sin (2x + 5) dx =?
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
2.
R
√
x
dx =?
1 + x2
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
3.
R √
x 1 − x dx =?
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
69
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
........................................................................................................
........................................................................................................
Exercices : calcule par substitution les intégrales indéfinies
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
cos x
sin2 x
2x
cos2 x2
x
(2x + 1)3
√
x 2 − 3x
√
x2 3x + 2
x2
√
x−1
1 + tg x
cos2 x
8) tg x
11)
12)
13)
f (x) dx suivantes où f (x) = . . . . . .
14)
3
9) x2 e(x )
10)
R
1
(2x − 3)5
ln2 x + 3 ln x + 7
x
1
√
16)
Arcsin3 x. 1 − x2
ex
ex − 1
ex − 1
ex
−3x3
2x4 + 2
√
ln x
x
15)
17)
6x − 5
√
2. 3x2 − 5x + 6
18)
tg2 x
cos2 x
r Intégration par parties
Cette méthode permet d’intégrer, sous certaines conditions « favorables », un produit de deux fonctions.
Propriété :
Si les deux fonctions f et g sont dérivables alors
Z
f (x).g 0 (x) dx = f (x).g(x) −
Z
f 0 (x).g(x) dx
Démonstration :
On connaît la formule de dérivation d’un produit : (f.g)0 (x) = f 0 (x).g(x) + f (x).g 0 (x)
Donc, d’une part :
D’autre part :
R
R
0
(f.g) (x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
(f.g) (x) dx =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Donc, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.............................................................................................................
.............................................................................................................
Exemples :
R
1. x. sin x dx =
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
70
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
2.
R
x.ex dx =
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
3.
R
ln x dx =
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
Exercices : calcule par parties les intégrales indéfinies
√
x 1+x
x cos 2x
Arcsin x
x2 sin x
x
5) √
1+x
6) sin3 x
1)
2)
3)
4)
E.
8)
9)
10)
11)
12)
f (x) dx suivantes où f (x) = . . . . . .
x
(1 +
2x)2
x sin2 x
ex sin x
x ln x
ex sin 3x
x sin x
x
cos2 x
14) x2 ex
13)
15) xe−x
16) x3 ln x
17) x Arctg x
18) Arctg x
Exercices mélangés
Calcule les intégrales indéfinies
1 + x2
√
x
2) cos3 x
3) tg2 x
1)
7) p
3
R
R
f (x) dx suivantes où f (x) = . . . . . .
1+x
4) √
1 − x2
5) (cos x − sin x)2
6) (2x − 1) cos x
√
7) sin x
8) (ex − 1)2
x
9)
(2x + 1)3
10) ln x2 + 2
71
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
F.
Exercices d’auto-contrôle
f (x) = . . . . . .
√
3
x x+1
f (x) dx = · · · · · · + c avec c ∈ R
√
3
x+1
(12x2 + 3x − 9) + c
28
x
p
3
(4x + 1)5
24x
p
+c
32. 3 (4x + 1)2
x cos2 x
2x2 + 2x sin 2x + cos 2x
+c
8
√
1
1 − 9x2
1
Arcsin 3x + c
3
Arccos2 x
√
1 − x2
1
− Arccos3 x + c
3
1
x2 − 2x + 2
Arctg(x − 1) + c
x3 cos x
(x3 − 6x) sin x + (3x2 − 6) cos x + c
cos2
√
2. tg x − 1 + c
1
√
x tg x − 1
√
x
1 − x4
x Arcsin x
√
1 − x2
p
√
1+ x
√
x
√
G.
R
1 − x2
1
Arcsin x2 + c
2
x−
√
4
3
1 − x2 Arcsin x + c
q
(1 +
√
3
x) + c
1 √
x 1 − x2 + Arcsin x + c
2
Primitives particulières (vues en classe)
1
où n est un nombre rationnel.
(ax + b)n
Exemples :
R
1
(a)
dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3x − 5
R
1
(b)
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(3x − 5)2
1) Primitive
72
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
1
.
+ bx + c
Discute selon le signe du réalisant ∆.
2) Primitive
ax2
(a) ∆ = 0
Exemple :
R
x2
1
dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+ 4x + 4
(b) ∆ < 0
Exemples :
R
1
1.
dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
x + 3x + 4
...................................................................................................
...................................................................................................
2.
R
x2
1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+ 4x + 6
...................................................................................................
...................................................................................................
Généralisation : nous pouvons prouver que . . .
Z
2
2ax + b
1
dx = √
Arctg √
+c
ax2 + bx + c
−∆
−∆
Appliquons cette généralisation à
R
2x2
1
dx
− 2x + 1
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
(c) ∆ > 0
Exemple :
Résolution :
R
1
dx
2x2 + 2x − 3
• décomposition en une somme de fractions simples ;
• méthode des pôles et des coefficients indéterminés.
H.
Décomposition de fonctions rationnelles en une somme de fractions simples
r Fonctions (ou fractions) rationnelles
a) Définition
Une fonction numérique f de la variable réelle x est une fonction rationnelle si
f (x) =
N (x)
D(x)
où N (x) et D(x) sont des polynômes en x et D(x) est un polynôme de degré supérieur ou égal à 1.
73
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
b) Fractions simples
Il existe deux types de fractions simples.
A
avec A ∈ R0 , a ∈ R0 , b ∈ R et b ∈ N0 .
• Fractions simples de type I :
(ax + b)n
Ax + B
• Fractions simples de type II :
n où A et B sont deux nombres réels non tous nuls.
(ax2 + bx + c)
De plus, les coefficients a, b et c sont des nombres réels, le réalisant ∆ = b2 − 4ac est strictement négatif
et a est non nul.
c) Exercices
Parmi les fonctions rationnelles suivantes, détermine celles qui sont des fractions simples ainsi que leur type :
1)
2)
3)
4)
5)
2
x+3
2x + 3
(x + 1)2
3
x2 + x + 1
3x
(x2 − 2x + 4)2
x−1
x2 − 4x + 3
6)
x3
5x
+ x2 + x
7)
2x + 4
x2 + x + 4
8)
4
x2
9)
5
x2 − 2x + 1
d) Décomposition des fonctions rationnelles en une somme de fractions simples
Toute fonction rationnelle peut se décomposer en une somme d’un polynôme et de fractions simples. On
admettra ici qu’une telle décomposition existe, l’unicité et le type sont fixés par un théorème attribué à
Euler.
N (x)
(a) Marche à suivre : On donne
.
D(x)
N1 (x)
1. Rends la fonction irréductible (simplifie par les facteurs communs). On obtient
.
D1 (x)
2. Le degré du numérateur N1 (x) est-il strictement inférieur à celui du dénominateur D1 (x) ?
– Si oui, passe à l’étape (3) suivante.
N1 (x)
R(x)
R(x)
– Sinon, effectue la division euclidienne
= Q(x) +
et continue les calculs avec
.
D1 (x)
D1 (x)
D1 (x)
3. Décompose D1 (x) en facteurs indécomposables chacun comptés avec son ordre de multiplicité.
4. Un facteur du type :
• (ax + b)n donne naissance à n fractions simples de type I ;
• (ax2 + bx + c)m donne naissance à m fractions simples de type II.
(voir exemples)
(b) Exemples
x+2
A
B
C Dx + E
• 2
= + 2+
x (x + 1)(x2 + 1)
x
x
x + 1 x2 + 1
1
•
= ...............................................................................
2
(x − 3) (x + 2)3
A
B
x4 − x3 − x − 1
x+1
C
=x+ + 2 +
•
=x− 2
3
2
x −x
x (x − 1)
x
x
x−1
1
A
Bx + C
Dx + E
=
•
(x + 1)(x2 + x + 1)2
x + 1 x2 + x + 1 (x2 + x + 1)2
Le problème qui se pose alors est de déterminer les coefficients indéterminés A, B, C, etc.
(c) Calcul des coefficients Pour toutes les décompositions, on réduit les deux membres au même dénominateur et on exprime l’égalité des numérateurs.
1. Méthode des pôles
On appelle pôle une racine du dénominateur. Substituée dans l’égalité entre numérateurs, la valeur
d’un pôle annule tous les termes du membre contenant les coefficients indéterminés sauf un.
74
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
2. Méthode d’identification des polynômes
On exprime que pour les numérateurs, les coefficients des puissances identiques de la variable x sont
égaux. Ce qui conduit à un système linéaire dont le nombre d’équations égale le nombre d’inconnues
et admettant une solution unique.
La méthode « idéale »consiste à combiner les deux méthodes précédentes.
e) Exercice résolu
x3 + x + 1
.
x (x2 + 1)
Le degré du numérateur égale le degré du dénominateur, il faut donc en premier lieu effectuer la division
euclidienne et nous obtenons :
Décompose en fractions simples
x3 + x + 1
x (x2 + 1)
1
x3 + x
1
x(x2 + 1)
1
x(x2 + 1)
=1+
x3
1
+x
1
x(x2 + 1)
a
bx + c
= + 2
x x +1
a(x2 + 1) + x(bx + c)
=
x(x2 + 1)
=
1 = a(x2 + 1) + x(bx + c)
Méthode des pôles : si x = 0 alors nous obtenons a = 1.
Méthode d’identification : 1 = (a + b)x2 + cx + a




coefficients de x2 : 0 = a + b




Nous obtenons le système d’équations :
coefficients de x : 0 = c






 termes indépendants : 1 = a
Il en résulte que a = 1, b = −1 et c = 0.
x3 + x + 1
1
x
Donc :
=1+ − 2
.
3
x +1
x x +1
r Intégrations
Calcule les intégrales indéfinies
1 − 2x
(x + 1)(x + 2)2
x+1
2) 2
x +x−6
x2 − 3x + 2
3)
x2 − 1
2x + 1
4) 2
x (x + 3)
1)
R
f (x) dx suivantes où f (x) = . . . . . .
2x3 − x2 + 1
x2 − 3x + 2
2x2 + 1
6) 2
x + 2x
x2 − 8x + 4
7) 2
x − 5x + 4
x3 + 4x2 + 5x + 7
8)
(x + 2)2 (x2 + 1)
5)
75
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
I.
Primitivation de fonctions trigonométriques
Calcule les intégrales indéfinies
R
f (x) dx suivantes où f (x) = . . . . . .
1)
2)
3)
4)
cos2 2x
sin 3x cos 3x
cos 3x sin x
sin3 2x cos 2x
sin 2x
5)
1 + cos2 x
sin 2x
6)
1 − sin2 x
J.
7)
sin 4x
cos2 2x
8)
cos 2x − 1
cos 2x + 1
9) sin 4x sin x
10) cos 5x cos 3x
Exercices de primitivation par changement de variable
Calcule les intégrales indéfinies
R
f (x) dx suivantes :
a) Premier cas
f (x) = · · · · · ·
t = ······
x(3x + 10)17
3x + 10
√
x
√
x
+1
s √
x
√
4
x3 + 1
x+1
√
4
x
tg3 x
tg x
p
b) Fonctions du type f x, ax2 + bx + c
La variable auxiliaire t = ?
f (x) = · · ·
1
x
+x+1
1
√
2
−x − x + 2
√
a>0 : t=
x2
s
a<0 : t=
√
ax+
√
ax2 + bx + c
a(x − x1 )
où x1 etx2 sont les racines de ax2 + bx + c et x1 > x2
x − x2
c) Fonctions du type f (sin x, cos x)
R dx
sin x
R sin2 x
dx
cos x
Changement de variable « conseillé » : x = 2 Arctg t. Ensuite, exprime sin x et cos x en fonction de tg f racx2
sans oublier dx.
d) Fonctions du type f (sin2 x, cos2 x)
R
dx
2 − sin2 x
R
tg4 x sec4 x dx
Changement de variable « conseillé » : x = Arctg t. Ensuite, exprime sin2 x et cos2 x en fonction de tg x sans
omettre dx.
76
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
K.
Auto-contrôle
Calcule les intégrales indéfinies
R
f (x) dx suivantes où f (x) = . . . . . .
f (x) = · · · · · ·
cos(ln x)
x
x
ex
3x
ex2
R
f (x) dx = · · · · · · · · · + c
sin(ln x) + c
x+1
+c
ex
−3
+c
2ex2
−
ln(1 + x)
x ln(x + 1) − x + ln(x + 1) + c
Arctg x
1
ln(1 + x2 ) + c
2
√
√
2x
2
x ln(x + 2) − 2x + 2 2. Arctg
+c
2
ln(x2 + 2)
2x3 − x2 + 1
x2 − 3x + 2
4 cos x
√
2 sin x − 1
sin 10x
5 + cos2 5x
cos 2x
2 + 3 sin 2x
xex
(x − ex )2
√
1 + tg x
cos2 x
1
2x2 − 2x + 1
4x − 1
x2 + x − 2
x Arctg x −
x2 + 5x + 13 ln |x − 2| − 2 ln |x − 1| + c
√
4. 2 sin x − 1 + c
1
− ln(5 + cos2 5x) + c
5
1
ln |2 + 3 sin 2x| + c
6
xex − ex + c
1 3 1 2x
x + e − 2ex (x − 1) + c
3
2
2p
(1 + tg x)3 + c
3
Arctg(2x − 1) + c
3 ln |x + 2| + ln |x − 1| + c
ln(x2 + 1)
x ln(x2 + 1) − 2x + 2 Arctg x + c
tg x csc2 x
ln |tg x| + c
1
x + 4 sin2 x
x
√
4 − 9x4
x+1
2x2 + 3x − 2
x Arcsin x
p
(1 − x2 )3
cos2
ex cos x
ln(x2 + 1)
x2
x2 ln(x2 + 1)
x
4x2 + 8x + 13
1
Arctg(2 tg x) + c
2
1
3x2
Arcsin(
)+c
6
2
1
3
ln |x + 2| +
ln |2x − 1| + c
5
10 Arcsin x 1 1 − x √
+ ln +c
2
1 + x
1 − x2
1 x
e (cos x + sin x) + c
2
ln(x2 + 1)
−
+ 2 Arctg x + c
x
x3
2x3
2
2
ln(x2 + 1) −
+ x − Arctg x + c
3
9
3
3
1
1
2x + 2
ln(4x2 + 8x + 13) − Arctg
+c
8
6
3
77
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
3.4
A.
Calcul intégral
Valeur approchée de l’aire d’une partie du plan
Voir notes manuscrites.
B.
Définitions : fonction intégrable - intégrale définie d’une fonction continue
L’aire est définie comme étant la limite des aires des rectangles c’est-à-dire :
A = lim Sn = lim Sn =
n→+∞
n→+∞
8
.
3
Cette valeur est appelée intégrale définie de la fonction f dans l’intervalle [0, 2].
r Première généralisation
Soit f une fonction continue et non négative sur un intervalle [a, b].
L’objectif est de déterminer l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe, l’axe des abscisses et les droites
d’équations cartésiennes x = a et x = b.
• Subdivisons l’intervalle [a; b] en n sous-intervalles de même longueur :
...........................................................................................................
avec ∆x = · · · · · · .
• Pour chaque i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}, nous dessinons un rectangle ayant pour base le segment [xi−1 ; xi ] et comme
hauteur f (xi−1 ), image de l’origine du segment par la fonction f .
Aire totale des rectangles = f (x0 )∆x + f (x1 )∆x + · · · + f (xn−1 )∆x = . . . . . . . . . . . . .
Lorsque le nombre n de sous-intervalles augmente, la largeur de chaque sous-intervalle diminue et l’approximation de l’aire sous la courbe devient plus précise.
La limite de A pour n tendant vers l’infini, nous donne l’expression exacte de l’aire :
78
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
A = lim
n
X
n→+∞
f (xi−1 ).
i=1
b−a
.
n
Cette limite est appelée intégrale définie de la fonction f sur l’intervalle [a, b] et est notée
Rb
a
f (x) dx.
Remarques :
R
– l’origine du symbole
est une calligraphie de la lettre « s », première lettre du mot « somme » dans la
définition d’intégrale définie ;
– le même développement
peut être fait si la hauteur est égale à f (xi ), ou encore si la hauteur est égale à
xi−1 + xi
f
. Le résultat sera identique dans tous les cas.
2
r Somme de Darboux
1. Définitions
• Somme de Darboux inférieure
En travaillant sur l’intervalle [a, b] relativement à une subdivision {x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn }, la somme
inférieure de Darboux est définie par
Sn =
n
X
inf f (Ii )∆xi .
i=1
où :
– inf f (Ii ) est la plus petite valeur prise par f sur l’intervalle Ii = [xi−1 , xi ] ;
– ∆xi est la longueur du ième sous-intervalle Ii .
• Somme de Darboux supérieure
Définie de manière analogue à la somme de Darboux inférieure, mais la hauteur est la plus grande
valeur prise par f sur l’intervalle Ii .
• La somme de Darboux inférieure minore l’aire et la somme de Darboux supérieure majore l’aire.
• Si la « meilleure »(plus grande) somme de Darboux inférieure est égale à la « meilleure »(plus petite)
somme de Darboux supérieure, cette valeur S est égale à l’aire sous la courbe et est appelée l’intégrale
de Riemann (après passage à la limite sur le nombre de sous-intervalles et la longueur de ceux-ci).
2. Dans ce cas, nous pouvons montrer que pour n’importe quelle valeur ci choisie dans l’intervalle Ii , toutes
n
X
les sommes
f (ci )∆xi admettent également S pour limite si le nombre des sous-intervalles tend vers
i=1
l’infini et si la longueur de chaque intervalle Ii tend vers 0.
Soit : une fonction f numérique continue sur l’intervalle [a; b].
Soit une subdivision finie de [a; b] en n sous-intervalles : ∆x = . . . . . . . . .
Si ... alors f est intégrable sur [a; b]
L’intégrale définie de la fonction f entre les bornes a et b est égale à ...
Z
b
f (x) dx = . . .
a
79
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
Cette définition de l’intégrale est peu pratique car elle demande des calculs longs et difficiles.
C.
Théorème et propriétés de l’intégrale définie
r Théorème 1
Toute fonction continue sur [a ; b] est intégrable sur [a; b].
Nous admettons cet énoncé sans démonstration.
Dans les théorèmes suivants, nous supposerons que toutes les fonctions sont continues sur l’intervalle [a ; b]
considéré.
r Propriété 1
Si on permute les bornes de l’intégrale définie d’une fonction alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z
a
f (x) dx = . . . . . . . . . . . .
b
Démonstration :
.............................................................................................................
.............................................................................................................
r Propriété 2
Si la borne inférieure est égale à la borne supérieure alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z
a
f (x) dx = . . . . . .
a
Démonstration :
.............................................................................................................
.............................................................................................................
80
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
r Propriétés 3 : linéarité, additivité, . . .
Z
b
(f (x) + g(x)) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
•
Zab
k.f (x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z b
• ∀c ∈ [a; b] :
f (x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
Z b
Z b
g(x) dx
f (x) dx . . . . . .
• Si ∀x ∈ [a ; b] : f (x) ≤ g(x) alors
•
a
a
a
Nous admettons ces propriétés sans démonstration.
Exercice : à l’aide de ces propriétés exprime plus simplement le calcul suivant :
Z 2
Z 5
Z 8
Z 5
Z 3
g(x) dx = . . . . . .
g(x) dx −
f (x) dx −
g(x) dx +
f (x) dx −
−2
D.
3
2
7
−1
Interprétation géométrique
1) f est positive sur [a ; b] : aire = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fig. 3.4 – Fonction positive
2) f est négative sur [a ; b] : aire = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
Fig. 3.5 – fonction négative
3) f est « quelconque » sur [a ; b] et c ∈]a, b[, est le « point » où f change de signe : aire = . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fig. 3.6 – fonction « quelconque »
E.
Théorème de la moyenne
Si f est une fonction continue sur [a ; b], alors il existe ∈ [a ; b] tel que
Z
b
f (x) dx = (b − a)f (c).
a
Le nombre f (c) est appelé la valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b].
82
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
Illustration dans le cas où la fonction f est positive sur l’intervalle [a ; b].
Fig. 3.7 – Théorème de la moyenne
Démonstration :
Notons respectivement m et M , le minimum et le maximum de f sur [a ; b].
Nous avons donc ∀x ∈ [a ; b] : m ≤ f (x) ≤ M.
Par la propriété (3-4) de l’intégrale définie, nous déduisons que :
Z
b
b
Z
Z
m dx ≤
f (x) dx
a
a
Z
b
M dx.
a
b
m(b − a) ≤
f (x) dx ≤ M (b − a)
a
m≤
1
b−a
Z
b
f (x) dx ≤ M
a
La fonction f étant continue sur [a ; b], elle prend toutes les valeurs comprises entre m et M . Dès lors, il existe
Z b
1
c ∈ [a ; b] tel que : f (c) =
f (x) dx
b−a a
83
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
F.
Calcul de l’intégrale définie - Lien entre intégrale indéfinie et intégrale définie
r Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral
Si la fonction f est continue sur [a ; b] alors la fonction, « localement » notée P , définie par
Z
P : [a ; b] −→ R : x 7−→
x
f
a
est une primitive de la fonction f sur l’intervalle fermé [a ; b] .
Remarque : nous désignons la Zborne supérieure
par x et éventuellement la variable d’intégration par t pour
Z x
x
f (t) dt.
f=
éviter toute confusion :P (x) =
a
a
Démonstration
∀x0 ∈ [a ; b] ;
0
P (x0 )
P (x) − P (x0 )
= lim
= lim
x→x0
x→x0
x − x0
Rx
Ra
f + x0 f
a
= lim
x→x0
x − x0
Ra
Rx
f+ a f
x0
= lim
x→x0
x − x0
Rx
f
= lim x0
x→x0 x − x0
= lim
x→x0
(x − x0 )f (c)
x − x0
Rx
a
Rx
f − a0f
x − x0
permutation des bornes
linéarité
où c est compris « entre » x0 et x (théorème de la moyenne)
= lim f (c) = lim f (c)
x ≤ c ≤ x0 ou x0 ≤ c ≤ x
= f (x0 )
continuité de la fonction f
x→x0
c→x0
Ainsi la fonction P est dérivable et est une primitive de f sur l’intervalle[a ; b] .
r Formule de Newton - Leibniz
Rb
b
Si f est une fonction continue sur [a ; b] alors a f (x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . et se note [F (x)]a où la
fonction F est une primitive de f sur l’intervalle [a ; b]
Démonstration
84
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
Soit F une primitive de la fonction f sur l’intervalle fermé [a ; b].
Puisque deux primitives d’une même fonction sur un intervalle fermé diffèrent par une constante, nous pouvons
écrire
P (x) − F (x) = c(onstante)
Z x
f (t) dt = F (x) + c
a
Pour x = a, cette égalité devient
Z
a
f (t) dt = F (a) + c
a
Donc F (a) + c = 0 et c = −F (a)
Pour x = b, cette même égalité devient
Z
b
f (t) dt = F (b) + c
a
b
Z
f (t) dt = F (b) − F (a)
a
Exemple : reprenons le calcul de l’aire évaluée lors de l’exemple introductif ;
Z 2
x2 dx = . . . . . . . . . . . .
0
G.
Retour au calcul d’aire
Nous souhaitons calculer l’aire de la partie du plan limitée par le graphe de la fonction f (Gf ) et celui de
la fonction g. Les deux fonctions sont supposées continues sur l’intervalle fermé [a ; b]. Nous allons examiner
différents cas.
a) ∀x ∈ [a ; b] : f (x) ≥ g(x).
(a) Aire= ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.....................................................................................................
Fig. 3.8 – Cas a)
85
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
(b) Aire= ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.....................................................................................................
Fig. 3.9 – Cas b)
(c) Aire= ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.....................................................................................................
Cas c)
86
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
(d) ∀x ∈ [a ; c] : f (x) ≥ g(x) et ∀x ∈ [c ; b] : f (x) ≤ g(x). Aire= ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.....................................................................................................
Cas d
H.
Solide de révolution
Le calcul intégral permet aussi de calculer, par exemple, le volume de solides de révolution c’est-à-dire de solides
obtenus en faisant tourner une surface plane autour d’une droite.
r Définition - Formule du volume
S est un solide de révolution d’axe D si et seulement si S est le solide engendré par la rotation d’une surface
plane autour de D. Tout point de la surface plane décrit, dans un plan perpendiculaire à l’axe D de rotation,
un cercle dont le centre est le point d’intersection de ce plan et de l’axe de rotation.
87
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
Si f : [a ; b] −→ R est continue et P est la partie du plan limitée par le graphe Gf de la fonction f , l’axe X
des abscisses et les droites ≡ x = a et ≡ x = b. Enfin si S est le solide de révolution engendré par P tournant
autour de l’axe X alors
Z
b
Volume de S = π
f 2 (x) dx
a
r Exemple
Détermine le volume de la sphère (ou de la « boule ») de rayon r.
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
Rappel : équation d’un cercle de rayon r et de centre ≡ (a ; b)
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
88
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
I.
Exercices
r Aire d’une partie du plan
1. Calcule les intégrales définies suivantes.
Ces intégrales représentent-elles une aire (oui - non) ? Justifie. Dans le cas où l’intégrale définie ne représente
pas une aire, détermine l’aire sous la courbe entre le graphe de la fonction et les bornes mentionnées.
1)
R 16 √
4
x dx
R3 1
2) 1 2 dx
x
3)
4)
5)
R2
x4 dx
R−2
π
sin x dx
−π
R3 2
(x + x +
1
1) dx
6)
R4
7)
R
0
(x2 − 5x + 6) dx
π
2
π
3
3 cos x dx
2. Détermine l’aire de la zone colorée et limitée par les courbes d’équation cartésienne
y = x3 − 4x et y = x2 − 2x.
3. Détermine l’aire de la surface délimitée par les courbes suivantes :
1) les droites d’équation y = −x, y = x − 2 et l’axe X des abscisses.
2) Γ ≡ y = x2 − x − 2, les droites d1 ≡ x = −2 et d2 ≡ x = 1 et l’axe X.
1
3) Γ1 ≡ y = 2 et Γ2 ≡ y = −x2 et les droites ≡ x = 1 et x = 2.
x
4) les droites d1 ≡ y = −x + 2, d2 ≡ y = x − 4 et d3 ≡ y = 9x + 12.
1
16
5) les droites d1 ≡ y = −2x + 2, d2 ≡ y = x − 7, d3 ≡ y = x −
et l’axe X.
7
7
6) Γ1 ≡ y = x2 + 2x + 4 et Γ2 ≡ y = 2x2 + 5x + 6.
(réponse =
1
us)
6
7) Γ1 ≡ y = x2 − 3x et d ≡ 2y − x + 3 = 0.
8) Γ1 ≡ y = x2 + 3x − 4 et Γ2 ≡ y = −3x2 + 3x.
√
9) Les courbes d’équation cartésienne y = x2 − 4x + 6 et y = 3x.
π
5π
10) Γ ≡ y = sin x, d1 ≡ x = et d2 ≡ x =
.
6
3
11) Les courbes d’équation cartésienne y = sin x et y = cos x sur l’intervalle [0, 2π] .
1
1
12) Γ1 ≡ y =
et Γ2 ≡ y =
sur [0; 1] .
2−x
2+x
(réponse = 5 us)
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
13) Γ1 ≡ y = ln x, Γ2 ≡ y = − ln x, d1 ≡ x = 1 et d2 ≡ x = e2 .
14) Γ ≡ y = x3 − 6x2 + 11x − 6 et l’axe des abscisses.
15) Γ1 ≡ y = ex , Γ2 ≡ y = e−x , d1 ≡ x = 0 et d2 ≡ x = 4.
16) Les courbes d’équation y 2 = 4x et x2 = 4y.
4. Détermine l’aire de la zone colorée et limitée par les courbes d’équation cartésienne
y = sin x et y = sin x + cos 2x.
5. Détermine l’aire de la zone colorée et limitée par les courbes d’équation cartésienne
y = cos 2x et y = sin x + cos 2x.
6. Par intégration, détermine l’aire du cercle de centre ≡ (0 ; 0) et de rayon r.
7. Détermine l’aire comprise entre les graphes des fonctions f et g définies par . . .
– f (x) = x5 + sin 5x+ ln |x − 5| + ln|2x + 3| − 4 ln |x|;
(x − 5)(2x + 3) + x4 + 2x3 .
– g(x) = sin 5x + ln x4
89
(réponse = 16/3 us)
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
r Volume d’un solide de révolution
1. Détermine le volume du cône de révolution à une seule nappe.
2. Détermine le volume du tronc de cône de révolution à bases parallèles.
90
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
91
3. Calcule le volume du solide engendré par la rotation autour de l’axe X de la partie du plan limitée par la
parabole P ≡ y 2 = x + 4 et de la droite d ≡ x − 4y + 7 = 0.
4. Calcule le volume du solide engendré par la rotation autour de l’axe X de la partie du plan limitée par X,
x2
l’axe des ordonnées Y , d ≡ x = 1 et P ≡ y =
+ x − 3.
3
5. Calcule le volume du solide engendré par la rotation autour de l’axe X de la partie du plan limitée par la
courbe ≡ y = sin x, l’axe X et les droites d’équation x = 0 et x = π.
1
6. Soit la fonction f définie par f (x) = √ .
x
a) Calcule l’aire de la partie du plan comprise entre le graphe Gf , l’axe des abscisses X et les droites
d1 ≡ x = t et d2 ≡ x = 2t avec t > 0. Puis précise la réponse dans le cas où t = 1.
b) Calcule le volume du solide engendré par la rotation autour de l’axe X de la partie du plan décrite au a)
et montre que ce volume est indépendant de t.
7. Calcule le volume de révolution engendré par la rotation autour de l’axe des X, de la partie du plan limitée
par les courbes :
1
e2 − 5
a) Γ ≡ y = ln x, d1 ≡ x = et d2 ≡ x = e.
(réponse = π
uv)
e
e
92
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
e8 − 1
uv)
2e2
c) Γ ≡ x2 + y 2 = 9 et la droite comprenant les points ≡ (0 ; 3) et ≡ (3 ; 0).
(réponse = 9π uv)
√
4π
d) Γ ≡ y = 1 − x2 (demi cercle) et la parabole ≡ y = 1 − x2
uv)
(réponse =
15
√
8
e) Γ ≡ y = 2 − x et la droite d comprenant les points A ≡ (−2 ; 2) et B ≡ (2 ; 0).
(réponse = π uv)
3
8. Calcule le volume du tore (solide engendré par la rotation autour de l’axe des abscisses, d’un disque de rayon
r et de centre ≡ (0 ; d) où d > 0, l’axe de rotation étant non sécant au cercle.
(réponse = 2π 2 r2 d uv)
b) Γ ≡ y = ex , d1 ≡ x = −1 et d2 ≡ x = 3.
(réponse = π
Note : théorèmes de Guldin1
On désigne sous le nom de théorèmes de Guldin deux énoncés de géométrie euclidienne établis par le
mathématicien suisse Paul Guldin. Il est probable que ces résultats aient déjà été connus de Pappus
1 Wikipédia
93
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
d’Alexandrie et c’est pourquoi on rencontre aussi l’appellation de théorème de Pappus-Guldin. Il exprime
sous certaines conditions : l’aire de la surface engendrée par un arc de courbe et la mesure du volume engendré
par une surface.
Une autre application courante de ce théorème est le calcul de la position du centre de gravité d’un arc de
courbe ou d’une surface.
Théorème I : la mesure de l’aire engendrée par la rotation d’un arc de courbe plane autour d’un axe de son
plan ne traversant pas l’arc de courbe est égale au produit de la longueur de l’arc de courbe par la longueur
de la circonférence décrite par son centre de gravité.
Théorème II : la mesure du volume engendré par la révolution d’un élément de surface plane autour d’un
axe situé dans son plan et ne le coupant pas est égale au produit de l’aire de la surface par la longueur de la
circonférence décrite par son centre de gravité.
r Applications diverses
1. Dérive les fonctions f définies par f (x) = . . . . . .
Rx
0
(t2 + 1) dt
Rx
2
R4
sin5 t dt
x
ln(t2 + 1) dt
2. Soient les fonctions f définies par ∀x ∈ R : f (x) =
Rx
R11
Rx0
x
2
dt.
Calcule f 00 (0).
2
sin(t ) dt.
Calcule f 00 (1).
cos(t2 ) dt.
Calcule f 00 (2).
e(t
)
3. Calcule les intégrales définies suivantes :
R e2 1
dx
(réponse = ln 2)
a) e
x ln x
R 4 √x
b) 0 e dx
(réponse = 2e2 + 2)
R π2 2
c) 0 x sin x dx
(réponse = π − 2)
R +∞
1
1
d) 6
dx
(réponse = )
(x − 1)2
5
R1 1+x
11 − 12 ln 2
√ dx
e) 0
)
(réponse =
3
1+ x
4. Soit la fonction f définie par f (x) = x2 . Détermine la valeur moyenne de la fonction f sur [0 ; 2]. Détermine
ensuite l’abscisse du point dont l’image est égale à la valeur moyenne.
√
Z π2
sin x
π
√
5. Calcule
dx en posant t = − x.
√
2
sin x + cos x
0
Z x
3
π
6. Résous :
tg t 1 + tg2 t dt = et x ∈]0 ; [.
2
2
0
R
√
1
√
7. Démontre que :
dx = 2 Arctg 2x − 1 + c.
x 2x − 1
8. Soit la fonction f = ln .
a) Détermine l’équation de la tangente au graphe de la fonction f au point d’abscisse e2 .
b) Détermine le volume du solide engendré par la rotation de la tangente autour de l’axe des abscisses
« entre » x = a et x = e2 , où a est la racine de la fonction tangente.
ln2 x
.
x
a) Calcule l’aire de la surface limitée par le graphe de f et l’axe X « entre »les deux extrema de f .
9. Soit la fonction f définie par f (x) =
b) Calcule k ∈]0; 1[ tel que l’aire de la surface limitée par le graphe de f et l’axe des abscisses entre x = k
et x = 1 soit égale à l’aire précédente.
94
CHAPITRE 3. LE CALCUL INTÉGRAL
r Longueur d’un arc de courbe plane
1. Formule
– la fonction f est continue et dérivable sur [a; b] ;
– sa dérivée première f 0 est continue ;
– le graphe cartésien de f est représenté dans un repère orthonormé ;
– le point A ≡ (a; f (a)) et le point B ≡ (b; f (b)).
Z bq
2
1 + (f 0 (x)) dx
La longueur de l’arc de courbeAB =
a
2. Applications
a) Par intégration, calcule la longueur de la circonférence d’un cercle de rayon r.
b) Calcule la longueur de l’arc de la courbe ≡ 6xy = x4 + 3 et (a ; b) = (1 ; 2).
c) Calcule la longueur de l’arc de la courbe ≡ y = x
3/2
et (a ; b) = (0 ; 5).
(réponse = 17/12)
(réponse = 335/27)
r Surface d’un solide de révolution
1. Définition
S est une surface de révolution d’axe D si et seulement si S est engendrée par la rotation d’une courbe
autour de la droite D.
2. Formule
– la fonction f est continue et dérivable sur [a; b] ;
– sa dérivée première f 0 est continue ;
– le graphe cartésien de f est représenté dans un repère orthonormé ;
– le point A ≡ (a; f (a)) et le point B ≡ (b; f (b)).
L’aire de la surface de révolution engendrée par l’arc de courbe AB, tournant autour de l’axe X des
abscisses vaut
Z
q
b
2
f (x) 1 + (f 0 (x)) dx
2π
a
3. Applications
Calcule . . .
a) L’aire d’une surface sphérique de rayon r.
(réponse = 4πr2 us)
b) L’aire de la surface latérale d’un cylindre.
(réponse = 2πrh us)
c) L’aire de la surface latérale d’un cône à une nappe.
(réponse = πrg us)
Chapitre 4
Les nombres complexes
4.1
A.
Introduction
Bref historique
Les nombres complexes furent introduits au XVIe siècle afin d’exprimer les solutions d’équations du troisième
degré en toute généralité par la méthode dite de Jérôme Cardan. D’autres mathématiciens de l’école algébrique
de Bologne sont associés à la résolution de ces équations : del Ferro, Tartaglia, Bombelli, ...
Scipione del Ferro (1465-1526), professeur de mathématiques à Bologne, fournit pour la première fois dans
toute l’histoire des mathématiques, la solution positive d’une équation du troisième degré de la forme x3 +px = q
où p et q sont strictement positifs. Il ne publie pas sa méthode de résolution, mais aurait probablement confié
des notes contenant ses découvertes à son gendre et/ou à un de ses élèves.
Quelques décennies plus tard, Niccolo Fontana (1500-1557) surnommé Tartaglia (« tartagliare » signifie
bégayer en italien) résout, suite à un défi, trente problèmes aboutissant à des équations du troisième degré. Il
révèle sa méthode à Cardan. La solution se présente sous la forme d’une somme de racines cubiques de binômes
conjugués. Cardan publie la méthode de Tartaglia.
Jérôme Cardan (1501-1576) : résolution d’équations cubiques de la forme x3 + px + q = 0.
s
x=
3
q
− +
2
r
4p3 + 27q 2
+
108
s
3
q
− −
2
r
4p3 + 27q 2
108
Enfin, Rafaele Bombelli (1526-1573( ?)) trouve toutes les solutions des équations du troisième degré en introduisant de nouveaux nombres : les nombres imaginaires. Il détermine également les solutions des équations du
quatrième degré.
B.
Ensembles de nombres
Ce chapitre est totalement autonome. Il traite du travail dans un ensemble de nombres incluant celui des réels.
Hiérarchiquement, nous avons travaillé dans les ensembles suivants :
• l’ensemble des entiers naturels se note N et comprend les nombres entiers plus grands ou égaux à zéro (les
entiers positifs) ;
N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . , 10, 11, . . . , 1942, . . . }
95
96
CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES
• l’ensemble des entiers relatifs se note Z et comprend les entiers positifs, négatifs sans oublier le nombre 0 ;
Z = {0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, . . . , -1789, 1789, . . . }
• l’ensemble des nombres rationnels se note Q et comprend les quotients de nombres entiers (ou les nombres
décimaux illimités périodiques) ;1 .
1
22
a
Q = { ; a ∈ Z et b ∈ Z0 } = 0, 1, -1, 2, -2, . . . , 0.35, 40.3399, , − , . . .
b
3
7
• l’ensemble des nombres irrationnels se note I : il comprend les décimaux illimités non périodiques ;
√ √ √
2, 3, 5, . . . , π, e, . . . , Φ, . . . 2
I=
• l’ensemble des nombres réels se note R : il comprend les rationnels et les nombres irrationnels.
R = Q ∪ I.
N⊂Z⊂Q⊂R
Il serait difficile de dresser une typologie complète des nombres utilisés en mathématiques. Citons encore les
nombres complexes, les hypercomplexes, les nombres p-adiques, les nombres de Mersenne, les nombres algébriques, les transcendants, etc.
Chaque passage à un ensemble plus « grand » a été motivé par le fait que certaines opérations n’étaient pas
partout définies dans l’ensemble de référence.
Exemples
En effet, l’équation x + 7 = 6 n’a pas de solution dans N, mais elle en possède dans Z. Dans cet ensemble la
solution est égale à . . . .
De même, l’équation 3x = 1 n’a pas de solution dans . . . , alors que dans un ensemble plus grand, . . . par exemple,
il y en a une : x = . . . .
Enfin, l’équation x2 = 2 n’a pas de solution dans . . . ; il faut chercher dans l’ensemble des . . . . . . pour en trouver.
Bref, quand une équation n’a pas de solution, une démarche naturelle (et historique) consiste à en chercher dans
un ensemble plus grand. Au stade de nos connaissances actuelles, l’ensemble numérique le plus grand que l’on
a rencontré est . . . Pourtant, l’équation x2 + 1 = 0 n’a pas de solution dans . . .
Dans ce chapitre, on construira un ensemble plus grand que . . . dans lequel l’équation x2 + 1 = 0 possède des
solutions.
C.
Équation cubique - Formule de Cardan
• Exercice : en utilisant la méthode de Cardan et la grille d’Hornër, déterminer toutes les racines de
l’équation x3 − 15x − 126 = 0
1. Grille d’Hornër :
On peut constater que 6 est une solution de cette équation car 63 − 15.6 − 126 = 0.
1
6
6
1 Un
2 Le
0
-15
-126
0
36
126
6
21
0
nombre décimal limité peut être considéré
√ comme un illimité périodique dont la période serait 0. Exemple : 4.25 = 4.25000. . .
nombre d’or Φ vaut exactement (1 + 5)/2.
97
CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES
L’équation initiale est équivalente à (x − 6)(6x2 + 6x + 21) = 0.
(x − 6)(6x2 + 6x + 21) = 0 ⇔ (x − 6 = 0) ∨ (6x2 + 6x + 21 = 0)
Le trinôme 6x2 + 6x + 21 n’admet pas de racine dans R. Donc l’unique racine réelle de x3 − 15x − 126 = 0
est le nombre 6.
2. Formule de Cardan :
a) p = −15 et q = −126.
s
s
r
r
3
2
3
3
q
4p + 27q
q
4p3 + 27q 2
b) x = − +
+ − −
2
108
2
108
3
2
3
2
4(−15) + 27(−126)
4p + 27q
=
= 3844 = 622
c)
108
108
r
r
√
√
−126
−126
3
3
3
3
d) x = −
+ 62 + −
− 62 = 125 + 1 = 6
2
2
• Une équation polynomiale de degré 3, dite cubique, est de la forme ax3 + bx2 + cx + d = 0 où le coefficient
a est non nul.
• Transformation de ax3 + bx2 + cx + d = 0 en X 3 + pX + q = 0 : diviser l’équation initiale par le coefficient a
et ensuite substituer l’inconnue x par (X − b/3a).
• A la fin du XVIe siècle, Rafaelle Bombelli applique la formule dite de Cardan à l’équation x3 = 15x + 4.
Il obtient littéralement
q
q
√
√
3
3
x = 2 + −121 + 2 − −121.
√
Cette écriture n’a pas de sens puisque Bombelli ne sait pas ce que représente l’expression −121. Or le
nombre 4 est une racine de cette équation !
√
Au XVIIIe siècle, le mathématicien suisse Euler notera −1 par la lettre i.
A mémoriser : i2 = −1.
Mais Bombelli constate qu’en utilisant les règles usuelles du calcul algébrique que (2 + i)3 = 2 + 11i et
(2 − i)3 = 2 − 11i. Si bien qu’il découvre finalement que :
q
q
√
√
3
3
2 + −121 + 2 − −121 = (2 + i) + (2 − i) = 4.
Une question naturelle s’est alors posée : peut-on légitimement calculer avec des symboles imaginaires (qualificatif créé par Descartes au XVIIe siècle) ? C’est ainsi qu’est née la théorie des nombres complexes (terme
inventé par Gauss au XIXe siècle).
p
√
√
√
• Danger : 1 = 1 = (−1)(−1) = −1. −1 = i.i = i2 = −1 ! ! !
D.
Nombre de solutions d’équations polynomiales
Exercice : détermine l’ensemble des solutions et le nombre de solutions des équations suivantes si le référentiel
pour l’inconnue x est respectivement N, Z, Q et R.
17
17
Exemple : l’ensemble des solutions de l’équation 2x + 17 = 0 est respectivement φ, φ, {− } , {− }. En
2
2
17
effet la solution −
n’est pas un nombre entier, mais est un rationnel.
2
√
2=0
x2 − x − 1 = 0
x3 − 125 = 0
3x − 60 = 0
0x + 0 = 0
√
x2 + 2 2x + 2 = 0
x3 − 8x2 + 16x = 0
4x + 72 = 0
0x − π = 0
x2 + x − 110 = 0
2x3 − 7x2 + 7x − 2 = 0
5x + 17 = 0
ex + e7 = 0
13x2 + x + 1 = 0
Par dichotomie : x3 + x − 1 = 0
2x + 17 = 0
Théorème
x−
98
CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES
Toute équation polynomiale, définie sur R, de degré n (≥ 1) possède au plus n solutions distinctes dans
R.
L’idée qu’une équation polynomiale de degré n ait exactement n racines ne pouvait émerger avant que
les nombres négatifs ou imaginaires ne soient jugés acceptables.
Exercice : détermine le nombre de solutions réelles des équations suivantes et calcule une valeur approchée
d’une seule racine (erreur absolue = 0.125).
2x3 − 183x2 + 5580x − 56699 = 0
45x3 − 18x2 − 53x − 14 = 0
x4 − 2x2 + x − 1 = 0
2x3 − 183x2 + 5580x − 56701 = 0
8x3 − 36x2 + 30x − 7 = 0
3x4 − 20x3 + 36x2 − 7 = 0
2x3 − 15x2 − 300x + 2000 = 0
x3 − 3x − 1 = 0
3x4 − 244x3 + 5580x2 + 1 = 0
−2x3 − 15x2 + 300x − 800 = 0
x4 − 2x3 − 6x2 − 7x − 4 = 0
4x4 − x3 − 56x2 + 57x + 36 = 0
4.2
A.
Définitions - Terminologie
Exemple introductif
Résolvons l’équation x2 + x + 1 = 0. Le réalisant de cette équation vaut −3.
2
Imaginons qu’il existe un
√ noté i, tel que i = −1. Nous obtiendrons alors les deux solutions
√ nombre (non réel),
−1 − i 3
−1 + i 3
et x2 =
, qui sont des nombres complexes. Ces solutions sont de la forme
suivantes : x1 =
2
2
a + bi.
B.
Notation
Tout nombre complexe s’écrit de manière unique sous la forme : z = a + bi où a et b sont des réels et i2 = −1.
Le nombre complexe z = a + bi se note également sous la forme d’un couple ordonné de réels (a ; b).
Conclusion : C = a + bi tels que (a ; b) ∈ R2 et i2 = −1 .
La notation sous forme de couples est présente sur certaines calculatrices. Par facilité, nous nous limiterons dans
un premier temps à l’écriture des complexes sous la forme z = a + bi.
C.
Vocabulaire
Soit z = a + bi où (a ; b) ∈ R2 .
– Partie réelle : le réel a est appelé la partie réelle de z et notée <(z).
– Partie imaginaire : le réel b est appelé la partie imaginaire de z et notée =(z).
– Nombre imaginaire pur : si a = 0 alors z = bi est appelé nombre imaginaire pur.
– Nombre complexe conjugué : le conjugué de z est le nombre complexe a − bi et est noté z̄.
Par exemple : z = 2 + 3i et z̄ = 2 − 3i.
99
CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES
4.3
A.
Égalités et opérations dans C
Egalité
Quels que soient les nombres complexes z = a+bi et z 0 = a0 +b0 i : z = z 0 ⇐⇒ a+bi = a0 +b0 i ⇐⇒ a = a0 et b = b0
B.
Addition de nombres complexes
r Définition
Quels que soient les nombres complexes z = a+bi et z 0 = a0 +b0 i : z +z 0 = (a+bi)+(a0 +b0 i) = (a+a0 )+(b+b0 )i.
On additionne les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles.
Exercices : à effectuer . . .
2 + 3i − 7
(5 − 6i) − (3 + 2i)
−9 − 5i + −6i
(3i) + (−2 − i)
√
2
1
2+ i+2+ i
3
3
2008 + πi + 0 + 0i
(7 + 5i) + (7 − 5i)
(−9 + 3i) + (9 + 4i)
r Propriétés
Les propriétés « élémentaires » de l’addition dans R sont vérifiées dans l’ensemble des complexes.
(C , +) est un groupe commutatif (ou abélien).
• L’addition est interne et partout définie dans C.
Quels que soient les nombres complexes z et z 0 , il existe un et un seul nombre complexe z” tel que z” = z + z 0 .
∀(z, z 0 ) ∈ C2 , ∃! z” ∈ C : z” = z + z 0 .
• L’addition est associative dans C.
Quels que soient les nombres complexes z, z 0 et z” : (z + z 0 ) + z” = z + (z 0 + z”).
∀(z, z 0 , z”) ∈ C3 : (z + z 0 ) + z” = z + (z 0 + z”).
• L’addition admet un neutre dans C.
Il existe un nombre complexe, noté n, tel que pour tous les nombres complexes z : z + n = n + z = z.
∃n ∈ C tel que ∀z ∈ C : z + n = n + z = z. Le neutre n de l’addition est 0 (= 0 + 0i).
• L’addition est symétrisable dans C.
Pour tout nombre complexe z, il existe un nombre complexe z 0 , appelé l’opposé de z, tel que z+z 0 = z 0 +z = n.
∀z ∈ C, ∃z 0 ∈ C : z + z 0 = z 0 + z = n. L’opposé du complexe (a + bi) est (−a − bi).
• L’addition est commutative3 dans C.
Quels que soient les nombres complexes z et z 0 : z + z 0 = z 0 + z.
∀(z, z 0 ) ∈ C2 : z + z 0 = z 0 + z.
3 Dans
les démonstrations, il est efficace de justifier au plus vite la commutativité.
100
CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES
C.
Multiplication de complexes
r Définition
Quels que soient les nombres réels a, b, c et d :
(a + bi).(c + di) = ac + adi + bci + bdi2
= (ac − bd) + (ad + bc)i
car i2 = −1
Exemples : à effectuer . . .
(2i)3
(2 + 3i).(4 + 5i) =
(2 + 3i).(−7)
(2 − i)3
(1 + i).(1 − i)
(1 − 2i)2
(9 + 8i) + (7 + 6i).(3 + 2i) − (2 + 5i)2
r Propriétés
(C0 , .) est un groupe commutatif.
• La multiplication est interne et partout définie dans C :
∀(z ; z 0 ) ∈ C2 , ∃! z” ∈ C : z” = z.z 0 .
• La multiplication est associative dans C :
∀(z ; z 0 ; z”) ∈ C3 : (z.z 0 ).z” = z.(z 0 .z”).
• La multiplication admet un neutre dans C :
∃z ∈ C tel que ∀(a + bi) ∈ C : (a + bi).z = z.(a + bi) = a + bi. Le neutre z de la multiplication est 1 + 0i = 1.
• La multiplication est symétrisable dans C0 :
∀(a + bi) ∈ C0 , ∃(x + yi) ∈ C0 : (a + bi).(x + yi) = (x + yi).(a + bi) = 1.
Recherche :
(a + bi).(x + yi) = (ax − by) + (ay + bx)i
= 1 + 0i
Cette équation est équivalente au système :



 ax − by = 1


 bx + ay = 0
a
2
2
Le déterminant principal de ce système vaut a + b = b
−b a 101
CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES
L’inverse du complexe (a + bi) vaut (
a2
b
a
− 2
i) ssi (a + bi) 6= 0.
2
+b
a + b2
Vérification à droite :
(a + bi).(
b
a
− 2
i) =
a2 + b2
a + b2
= (1, 0)
Exercice : détermine l’inverse de 3 + 4i.
...........................................................................................................
Méthode du complexe conjugué :
(a + bi)−1 =
1
a − bi
1(a − bi)
a − bi
= 2
=
= 2
a + bi
(a + bi)(a − bi)
a − b2 i 2
a + b2
a + bi
(a + bi)(c − di)
=
= ...
c + di
(c + di)(c − di)
• La multiplication est commutative dans C :
∀(z ; z 0 ) ∈ C2 : z.z 0 = z 0 .z.
• La multiplication est distributive par rapport à l’addition dans C : ∀(z ; z 0 ; z”) ∈ C3
z.(z 0 + z”) = z.z 0 + z.z” et (z 0 + z”).z = z 0 .z + z”.z
Courage pour la vérification !
Conclusion : la structure algébrique (C, +, .) est un champ (ou corps commutatif).
Nous connaissons d’autres champs : (R, +, .) ; (R2 , +, .) ; (R3 , + , .).
D.
Multiplication scalaire
r Définition
∀(a ; b ; c) ∈ R3 : a.(b + ci) = (ab) + (ac)i.
r Proriétés
La structure algébrique (R, C, +) est un espace vectoriel réel.
En effet :
1. (C, +) est un groupe commutatif.
2. La multiplication scalaire « . » vérifie les propriétés suivantes :
• Elle est partout définie : ∀r ∈ R, ∀z ∈ C, ∃! z 0 ∈ C : z 0 = r.z
• ∀(r, s) ∈ R2 , ∀(z, z 0 ) ∈ C2 :
a) r.(s.z) = (rs).z
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Associativité mixte.
b) r.(z + z 0 ) = r.z + r.z 0 et (r + s).z = r.z + s.z
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Double distributivité.
c) 1.z = z
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le nombre 1 est neutre pour la multiplication scalaire.
Autres exemples d’espaces vectoriels réels : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES
102
4.4
Calcul dans les complexes
4.5
Equation du second degré dans C
4.6
Représentation géométrique et forme trigonométrique
4.7
Produits, quotients de complexes écrits sous forme trigonométrique
4.8
Racines nièmes d’un nombre complexe (n > 1)
Chapitre 5
Analyse combinatoire
5.1
Introduction
L’analyse combinatoire a pour objet le dénombrement c’est-à-dire la détermination du nombre d’éléments d’un
ensemble fini ou encore la détermination du nombre de cas possibles à une situation bien définie.
De nouvelles formules seront développées permettant de calculer plus aisément de tel dénombrement, sans
oublier qu’il est parfois plus aisé de résoudre le problème grâce au "bon sens".
Le calcul des probabilités étudié dans le chapitre suivant utilisera énormément ces formules de l’analyse combinatoire.
5.2
A.
Quelques notions utiles
Cardinal d’un ensemble
r Définition - Notation
– Le cardinal d’un ensemble (fini) est le nombre d’éléments de cet ensemble.
– Le cardinal de l’ensemble A se note #A.
r Propriétés
Celles décrites ci-dessous sont évidentes en réalisant un diagramme de Venn :
1. si A et B sont des ensembles finis alors #(A ∪ B) = #A + #B − #(A ∩ B);
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
2. si les ensembles A et B sont finis et disjoints alors #(A ∪ B) = #A + #B.
........................................................................................................
103
104
CHAPITRE 5. ANALYSE COMBINATOIRE
B.
Factorielle
r Définition - Notation - Exemples
– La factorielle d’un nombre naturel non nul n est égale au produit 1.2.3.4. . . . .(n − 1).n.
– La "factorielle de n" ou encore "factorielle n" se note n!.
– Par convention 0! = 1. Elle se justifiera ultérieurement lors de l’étude des combinaisons simples par l’application de formules à Cn0 .
– Exemples :
1! = . . . . . . . . .
2! = . . . . . . . . .
3! = . . . . . . . . .
4! = . . . . . . . . .
5! = . . . . . . . . .
6! = . . . . . . . . .
7! = . . . . . . . . .
8! = . . . . . . . . .
9! = . . . . . . . . .
10! = . . . . . . . . .
..
.
100! ≈ . . . . . . . . .
..
.
99! ≈ . . . . . . . . .
r Exercices
1. Sans calculer 10!, démontre que (6!).(7!) = 10!
........................................................................................................
........................................................................................................
2. Simplifie les expressions suivantes :
20!
,
18!
30!
,
27!3!
(n + 1)!
,
n!
27!
,
26! + 25!
(n + 1)! − n!
.
(n + 1)! + n!
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
3. Écris à l’aide de deux factorielles, le produit (5.6.7.8). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. (a) Démontre que pour tout naturel k : (k + 1)! − k! = k.k!
...................................................................................................
(b) En utilisant la propriété précédente, déduis que pour tout naturel n non nul : n! = 1 +
n−1
X
k.k!
k=0
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
CHAPITRE 5. ANALYSE COMBINATOIRE
5.3
A.
105
Principes fondamentaux
Loi du produit : "et" signifie produit
Exemples
1. Alfred se rend au restaurant et prend un menu comprenant trois plats (services). Il a le choix entre 4
entrées, 3 plats (de résistance) et 2 desserts. Combien y a-t-il de menus différents ?1
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
2. Dénombre les codes secrets à 4 chiffres du système décimal des cartes bancaires ?
........................................................................................................
Conclusion : si les différentes étapes sont reliées par un "et", on multiplie.
B.
Loi de la somme : "ou" signifie somme
Exemple
Gertrude a fait exploser sa carte bleue. Profitant des soldes, elle a acheté trois jupes, deux pantalons et deux
chemisiers. De combien de façons différentes peut-elle s’habiller (décemment) avec ses nouveaux habits ?
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
Conclusion : si les différents cas sont reliés par un "ou", on additionne.
1 Diagramme
en forme d’arbre
106
CHAPITRE 5. ANALYSE COMBINATOIRE
5.4
A.
Permutations
Permutations (simples) sans répétition
r Exemples
– Dénombre les couples (l’ordre est essentiel) formés des éléments différents a et b ?
...........................................................................................................
– De combien de manières peut-on permuter trois objets différents a, b et c ?
...........................................................................................................
– Combien y a-t-il de possibilités pour mettre onze personnes en file indienne ?
...........................................................................................................
3 Une permutation simple de n éléments distincts est une suite (ordonnée) de ces n éléments.
3 Le nombre de permutations simples de n éléments différents se note Pn .
Pn = . . . . . .
Remarque : en termes de tirage, cela revient à effectuer n tirages successifs sans remise parmi n éléments
différents, l’ordre du tirage étant pris en considération.
B.
Permutations (composées) avec répétitions
r Exemple
Combien existe-t-il de façons "<d’arranger"> cinq craies dont trois blanches et deux jaunes ?
.............................................................................................................
3 Une permutation avec répétitions de n éléments non nécessairement distincts est une suite (ordonnée)
de ces n éléments.
3 Le nombre de permutations de n éléments dont l’un est répété i fois, un autre j fois, . . . , un autre k fois
est noté Pni, j, ..., k .
n!
Pni, j, ..., k = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · · · =
i!j! . . . k!
(avec i + j + ... + k = n)
CHAPITRE 5. ANALYSE COMBINATOIRE
107
r Exercices
De combien de façons différentes, trois garçons et deux filles peuvent-ils s’asseoir sur un banc . . .
1. sans autre contrainte ?
........................................................................................................
2. si les garçons s’assoient les uns à côté des autres et s’il en est de même pour les filles ?
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
3. si seulement les filles s’assoient l’une à côté de l’autre ?
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
5.5
A.
Arrangements
Les arrangements (simples) sans répétition
r Exemple
De combien de manières peut-on tirer successivement (l’ordre a de l’importance) et sans remise trois boules
dans une urne qui contient cinq boules numérotées de 1 à 5 ?
.............................................................................................................
.............................................................................................................
r Formule
On prend p éléments distincts avec ordre parmi n éléments différents.
On crée ainsi un p-uple : (. . . , . . . , . . . , . . . . . . . . . , . . . )
Nombre de choix possibles pour . . .
1. le premier élément de ce p-uple : n ;
2. le deuxième élément de ce p-uple lorsque le premier est choisi : (n − 1) ;
108
CHAPITRE 5. ANALYSE COMBINATOIRE
3. pour les deux premiers éléments de ce p-uple : n(n − 1) ;
4. pour le troisième élément de ce p-uple si les deux premiers sont fixés : (n − 2) ;
5. pour les trois premiers éléments de ce p-uple : n(n − 1)(n − 2) ;
6. ... et ainsi de suite.
Nombre de possibilités = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − (p − 1))
r Notation - Formule - Définition
Le nombre d’arrangements simples de p éléments pris parmi n éléments différents se note Apn .
Apn = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − (p − 1))
= n(n − 1)(n − 2) . . . (n − p + 1)
(n − p)(n − p − 1) . . . 2.1
(n − p)(n − p − 1) . . . 2.1
= ...
3 Un arrangement sans répétition de p éléments pris parmi n éléments distincts est une suite (ordonnée)
de p éléments distincts pris parmi les n (avec p ≤ n).
3 En termes de tirage, cela revient à effectuer p tirages successifs et sans remise parmi n éléments distincts,
l’ordre étant pris en considération.
Apn = . . .
Cas particulier : si n = p alors Apn = Ann = . . . . . . . . . . . . . . . . On retrouve le cas des . . . . . . . . . . . . .
B.
Les arrangements (composés) avec répétitions
r Exemples
1. De combien de manières peut-on tirer successivement et avec remise trois boules dans une urne qui contient
cinq boules numérotées de 1 à 5 ?
........................................................................................................
........................................................................................................
dotfill
2. Dénombre les "mots" de quatre lettres de l’alphabet latin ?
........................................................................................................
........................................................................................................
CHAPITRE 5. ANALYSE COMBINATOIRE
109
r Notation - Définition - Formule
3 Un arrangement avec répétitions de p éléments choisis parmi n éléments distincts est une suite
(ordonnée) de p éléments non nécessairement distincts pris parmi les n éléments (avec p ≤ n).
3 Le nombre de ces arrangements se note αnp ou Bnp
3 De combien de manières peut-on "tirer" successivement et avec remise p éléments parmi n éléments
distincts ?
αnp = . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.
Exercice
Combien peut-on former d’entiers naturels de quatre chiffres distincts, non nuls du système décimal . . .
1. sans restriction ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................................
2. commençant par 1 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................................
3. se terminant par 54 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................................
4. comprenant 3 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
5. multiples de 5 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................................
6. pairs ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
110
CHAPITRE 5. ANALYSE COMBINATOIRE
5.6
A.
Combinaisons
Combinaisons (simples) sans répétition
Nous nous limiterons à ce seul cas.
r Exemple
De combien de manières peut-on tirer simultanément (sans remise et l’ordre n’a plus d’importance !) trois boules
dans une urne qui contient cinq boules numérotées de 1 à 5 ?
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
r Définition - Notation - Formule
Soit un ensemble E fini et de cardinal n.
3Une combinaison simple de p éléments pris parmi les n éléments de E est un ensemble (l’ordre n’a
pas d’importance) de p éléments différents de E. Cela revient à extraire un sous-ensemble (une partie) de
cardinal p de E.
3 Le nombre de combinaisons simples de p éléments pris parmi n éléments se note


 n 

Cnp ou 


p
3 De combien de manières peut-on "tirer" simultanément p éléments parmi n éléments distincts ?
Cnp =
B.
Apn
= ............
p!
Loi du produit et de la somme dans le cadre de combinaisons.
r Rappels
– si les différentes étapes sont reliées par un "et", on multiplie ;
– si les différents cas sont reliés par un "ou", on additionne.
111
CHAPITRE 5. ANALYSE COMBINATOIRE
r Exemple
Dans un jeu de 32 cartes, on extrait une "main" (cinq cartes différentes et l’ordre n’est pas essentiel) au hasard.
1. Combien de mains contiennent exactement deux dames et un roi ? (6624)
........................................................................................................
2. Combien de mains contiennent au moins trois rois ? (1540)
........................................................................................................
C.
Exercices :
1. On veut élire trois délégués parmi les 19 élèves de la classe. Combien de possibilités y-a-t-il ?
........................................................................................................
2. Distribution de jouets
De combien de façons peut-on offrir sept jouets à trois enfants sachant que le plus jeune reçoit trois jouets
et chacun des autres en reçoit deux ?
........................................................................................................
........................................................................................................
5.7
Remarques
Les notions d’arrangement et de combinaison ont été exprimées en termes de "tirage" mais seront facilement
applicables dans d’autres situations.
Différence fondamentale entre arrangements et combinaisons :
4 dans le cas d’un arrangement, deux listes d’éléments diffèrent par la nature et/ou par l’ordre des éléments ;
4 dans le cas d’une combinaison, deux listes ne diffèrent que par la nature des éléments.
5.8
Exercices récapitulatifs
Pour rappel ou information :
r Alphabet latin : parmi les 26 lettres de l’alphabet, il y a 6 voyelles
2
et 20 consonnes.
r Jeux de cartes :
ä les couleurs sont cœur, carreau, trèfle et pique ;
ä les valeurs (ou les figures) sont as, roi, dame, . . . jusqu’au 2 ;
ä un jeu de 32 cartes contient dans les quatre couleurs, les huit figures du 7 à l’as ;
ä un jeu de 52 cartes contient, dans les quatre couleurs, treize cartes (du 2 à l’as) ;
ä les teintes sont le rouge et le noir.
2 La
lettre "y" est parfois considérée comme une consonne.
CHAPITRE 5. ANALYSE COMBINATOIRE
112
r Chiffres : il existe plusieurs systèmes de numération.
Exemples :
ä le système décimal comportant dix chiffres (0, 1, 2 . . . , 8 et 9) ;
ä le système binaire (informatique) comportant deux chiffres (0 et 1) ;
ä le système hexadécimal, également utilisé dans les langages informatiques, comportant seize chiffres
(0, 1, 2 . . . , 8, 9, A, B, C, D, E et F).
Par défaut, le système décimal sera utilisé dans cette série d’exercices.
1. Emilie possède deux pantalons, trois pulls, deux vestes et quatre jupes. De combien de façons différentes
Emilie peut-elle s’habiller ?
2. Combien existe-t-il de naturels de cinq chiffres différents (le premier chiffre ne peut pas être nul) ?
3. Combien de comités comprenant deux garçons et trois filles peut-on former dans une classe de douze
garçons et quinze filles ?
4. Nombres
(a) Combien de nombres naturels de quatre chiffres différents peut-on former à l’aide des sept chiffres :
2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 ?
(b) Combien de ces nombres sont inférieurs à 4000 ?
(c) Combien sont pairs ?
5. Combien existe-t-il de "mots" de six lettres différentes commençant par une consonne et finissant par une
voyelle ?
6. Lors d’un examen oral, un étudiant doit répondre à huit questions sur dix.
(a) Combien de choix possibles y a-t-il ?
(b) Combien de choix y a-t-il s’il doit répondre à trois questions fixées ?
(c) Combien de choix y a-t-il s’il doit répondre au moins à quatre questions parmi cinq fixées ?
7. Combien y a-t-il de naturels formés de trois chiffres pairs différents (0 étant exclu) et de deux chiffres
impairs différents ?
8. A l’occasion d’une loterie, mille billets sont mis en vente et cent lots sont affichés. Une personne achète
dix billets. De combien de façons différentes pourrait-elle gagner un et seulement un lot ?
9. Les quatre pompistes d’une localité envisagent de fermer chacun un jour par semaine, jour qui ne peut
pas être le dimanche. De combien de façons différentes le choix peut-il être fait s’il ne peut y avoir plus
d’une station fermée par jour ?
10. Une assemblée de vingt hommes et vingt femmes décide de constituer une commission de trois hommes
et trois femmes. De combien de façons peut-on constituer cette commission si monsieur A doit en faire
partie et si madame B ne veut pas en faire partie ?
11. Un train se compose d’une locomotive, de deux wagons postaux, de trois voitures de première classe et
de sept voitures de seconde classe. De combien de façons peut-on former ce train si les voitures de mêmes
types doivent être groupées, la locomotive se trouvant en tête du convoi ?
12. Le traitement d’un malade nécessite la prise de deux sirops différents et de trois sortes de cachets. Le
médecin dispose de trois sortes de sirops et de quatre sortes de cachets qui auraient des effets analogues.
De combien de façons différentes peut-il rédiger son ordonnance sachant que le sirop X ne doit pas être
pris en même temps que le cachet Y ?
13. Trois convives doivent participer à un repas. Détermine le nombre de façons de les placer autour d’une
table
(a) en forme de U ;
(b) ronde.
14. Combien de naturels de quatre chiffres peut-on écrire ?
15. De combien de façons différentes peut-on arranger les lettres de CONTEST en commençant par les deux
voyelles ?
16. Parmi les permutations des lettres du mot ARRANGEMENT combien y en a-t-il :
(a) où cinq lettres consécutives forment le mot NATAN ?
CHAPITRE 5. ANALYSE COMBINATOIRE
113
(b) où cinq lettres consécutives sont celles du mot NATAN ?
17. Avec dix lettres différentes, combien peut-on former de "mots" de six lettres différentes de telle sorte que
chaque "mot" contienne trois lettres désignées d’avance
(a) quand on peut séparer les trois lettres ?
(b) quand elles sont inséparables et toujours dans le même ordre ?
(c) quand elles sont inséparables mais qu’elles peuvent être placées dans un ordre quelconque ?
18. Dans une école, il y a soixante élèves en première année. Détermine le nombre de possibilités de répartir
ces élèves en
(a) trois classes A, B, C contenant le même nombre d’élèves ;
(b) quatre groupes égaux indiscernables dans la cour de récréation.
19. Combien peut-on former de naturels de 5 chiffres distincts à l’aide de 0, 1, 2, 3, 4, ?
20. Pour la Saint-Nicolas, des parents proposent à leur enfant de choisir quatre jouets parmi six répartis en
deux groupes : trois jouets éducatifs et trois jouets quelconques. Combien l’enfant a-t-il de choix possibles
s’il doit prendre au moins deux jouets éducatifs ?
21. De combien de façons peut-on choisir 5 cartes de la même couleur parmi un jeu de 32 cartes ?
22. Avec un alphabet de deux lettres (comme le morse), combien de mots différents d’au plus quatre lettres
peut-on constituer ?
23. Quel est le nombre de pièces dans un jeu de dominos ?
24. Combien y a-t-il de nombres naturels compris entre 3000 et 4000 et renfermant les chiffres 2, 3, 4 et 5 (pas
de répétition ) ?
25. De combien de manières peut-on choisir un président, un secrétaire et un trésorier dans un comité de 10
membres ?
26. Combien peut-on écrire de produits de trois facteurs différents choisis parmi les cinq nombres 2,3,5,7 et
11 ?
27. Combien d’équipes comprenant cinq garçons et quatre filles peut-on former en puisant dans une classe
comprenant douze garçons et treize filles ?
28. Parmi les permutations des lettres a, b, c, d, e, f,
(a) Combien commencent par a ?
(b) Combien commencent par ab ?
(c) Dans combien d’entre elles a et b se suivent-elles ?
(d) Dans combien d’entre elles a, b et c sont-elles groupées mais dans un ordre quelconque ?
29. Bridge
(a) Combien y a-t-il de mains (13 cartes) possibles au bridge ?
(b) Combien de mains contiennent les 4 as ?
(c) Combien de mains ne contiennent pas 4 as ?
30. De combien de manières différentes peut-on arranger les lettres du mots HARMONIE en commençant par
les quatre voyelles ?
31. Quinze joueurs offensifs, huit défensifs et trois gardiens de but se sont présentés à l’entraîneur d’une équipe
de foot.
(a) Combien de groupes offensifs de cinq joueurs peut-il former en ne tenant pas compte de la position
de chacun à l’intérieur du groupe ?
(b) Combien de groupes défensifs de cinq joueurs peut-il former en ne tenant pas compte de la position
de chacun à l’intérieur du groupe ?
(c) Combien d’équipes peut-il former ? Chaque équipe est composée de cinq joueurs offensifs, cinq joueurs
défensifs et d’un gardien. L’entraîneur ne tient pas compte de la position des joueurs à l’intérieur de
chaque groupe.
32. Un directeur d’entreprise se propose d’engager sept ouvriers qui devront remplir des tâches identiques.
Quatorze candidats postulent.
(a) De combien de manières l’industriel pourra-t-il effectuer son choix ?
(b) Même question mais un certain candidat doit absolument être engagé.
CHAPITRE 5. ANALYSE COMBINATOIRE
(c) Même question mais un certain candidat est exclu de la sélection.
33. Dénombre les nombres naturels formés de cinq chiffres significatifs et distincts.
Ensuite, parmi eux, combien . . .
(a) se terminent par 3 ?
(b) commencent par 12 ?
(c) contiennent 5 ?
(d) contiennent 7 et 5 dans un ordre quelconque ?
(e) contiennent 7 et 5 sous la forme 75 ?
(f) ne contiennent pas 3 ?
(g) ne contiennent ni 3, ni 6 ?
(h) contiennent 3 et pas 7 ?
(i) sont formés de 2 chiffres pairs et de 3 chiffres impairs ?
114
CHAPITRE 5. ANALYSE COMBINATOIRE
5.9
A.
115
Triangle de Pascal
Propriétés des Cnp
1. ∀(n, p) ∈ N2 et p ≤ n : Cnp = Cnn−p
Démonstration :
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
Cas particuliers :
– Cn0 = Cnn = . . .
– Cn1 = Cnn−1 = . . .
p+1
2. Cnp + Cnp+1 = Cn+1
Démonstration :
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
116
CHAPITRE 5. ANALYSE COMBINATOIRE
B.
Triangle de Pascal
r Considérons le tableau des valeurs Cnp :
Cnp
0
0
C00
1
C10
C11
2
C20
C21
C22
3
..
.
C30
C31
C32
C33
n
Cn0
Cn1
Cn2
Cn3
...
Cnp
Cnp+1
n+1
..
.
0
Cn+1
1
Cn+1
2
Cn+1
3
Cn+1
...
p
Cn+1
p+1
Cn+1
1
2
3
...
p
p+1
...
Les propriétés décrites dans la section A, permettent d’éviter de longs calculs. Si dans ce tableau, on considère
les nombres situés dans les cases mises en évidence, la propriété (2) permet d’user de la formule
p+1
Cnp + Cnp+1 = Cn+1
En remplaçant, à l’aide des propriétés (1) et (2), les valeurs de Cnp , nous obtenons :
Cnp
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ce tableau sert au développement de (x + y)n (binôme de Newton)
8
9
10
117
CHAPITRE 5. ANALYSE COMBINATOIRE
r Autre façon de présenter le triangle de Pascal.
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
CHAPITRE 5. ANALYSE COMBINATOIRE
5.10
A.
118
Binôme de Newton
Introduction
On peut exprimer facilement les formules donnant un développement des puissances (entières et positives) du
binôme (x + y) lorsque n = 1, 2, 3 ou 4. On a en effet :
(x + y)1 = 1.x + 1.y
(x + y)2 = 1.x2 + 2.xy + 1.y 2
(x + y)3 = 1.x3 + 3.x2 y + 3.xy 2 + 1.y 3
(x + y)4 = 1.x4 + 4.x3 y + 6.x2 y 2 + 4.xy 3 + 1.y 4
On constate que les coefficients apparaissent dans le triangle de Pascal. On peut ainsi écrire :
(x + y)1 = C10 .x + C11 .y
(2 termes)
(x + y)2 = C20 .x2 + C21 .xy + C22 .y 2
(3 termes)
(x + y)3 = C30 .x3 + C31 .x2 y + C32 .xy 2 + C33 .y 3
(4 termes)
(x + y)4 = C40 .x4 + C41 .x3 y + C42 .x2 y 2 + C43 .xy 3 + C44 .y 4
(5 termes)
B.
Généralisation : formule du binôme de Newton
(x + y)n = Cn0 .xn + Cn1 .xn−1 y + Cn2 .xn−2 y 2 + · · · + Cni .xn−i y i + · · · + Cnn .y n
n
X
=
Cni xn−i y i
i=0
= (y + x)n
n
X
=
Cni xi y n−i
i=0
C.
3
3
3
3
Constatations
le développement possède (n + 1) termes ;
les puissances de x (ou de y) vont en décroissant de n −→ 0 ;
les puissances de y (ou de x) vont en croissant de 0 −→ n ;
la somme des exposants de x et y dans un même terme vaut n.
D.
Corollaire
(x − y)n = (x + (−y))
n
= Cn0 .xn − Cn1 .xn−1 y + Cn2 .xn−2 y 2 + · · · + (−1)i Cni .xn−i y i + · · · + (−1)n Cnn .y n
n
X
=
(−1)i Cni xn−i y i
i=0
119
CHAPITRE 5. ANALYSE COMBINATOIRE
E.
Conséquences
Que devient (x + y)n pour des valeurs particulières de x et y ?
1. x = y = 1
n
n
(1 + 1) = 2 =
n
X
Cni = Cn0 + Cn1 + Cn2 + · · · + Cni + · · · + Cnn
i=0
Quelle interprétation peux-tu donner ?
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
2. x = 1 et y quelconque
n
(1 + y) =
n
X
Cni y i = 1 + Cn1 y + Cn2 y 2 + · · · + Cni y i + · · · + Cnn−1 y n−1 + y n
i=0
3. x = 1 et y = −1
0=
n
X
(−1)i Cni
i=0
F.
Description du raisonnement par récurrence
Pour démontrer par récurrence qu’une formule, qui dépend du nombre entier n, est vraie pour tout entier n ≥ a
(a est un naturel), nous pouvons procéder comme suit :
ä l’amorçage de la récurrence : on vérifie que la formule est vraie pour n = a ;
ä le pas récurrent : on admet que la formule est vérifiée pour n = k (hypothèse de récurrence) et on démontre
que la formule reste vraie pour la valeur suivante n = k + 1 ;
ä nous pouvons conclure que la formule est vraie car cela a été démontré pour n = a ainsi que pour la valeur
suivante n = a + 1, donc aussi pour la valeur suivante n = a + 2, etc . Donc la formule est démontrée pour
tout n ≥ a.
120
CHAPITRE 5. ANALYSE COMBINATOIRE
G.
Démonstration de la formule du binôme de Newton
∀n ∈ N0 , ∀(x, y) ∈ R2 : (x + y)n =
n
X
Cni xn−i y i
i=0
ä Si n = 1, la proposition est vraie
En effet : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ä Si la proposition est vraie pour n = k alors elle est vraie pour n = k + 1.
En effet : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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121
CHAPITRE 5. ANALYSE COMBINATOIRE
5.11
A.
Exercices
Exercice résolu
Calcule le terme en x5 dans (2x + 4)7 sans développer .
Solution : terme général C72 (2x)7−2 42 =
B.
7!
32x5 16 = 10752x5
5!2!
Exercices
1. Trouve . . .
6
1
(a) le "troisième" terme de x −
x
7
1
(b) le "sixième" terme de x +
x
(Solution :
(Solution :
2. Détermine le terme en x3 du développement de (3x − 2y)10
6
3. Détermine le terme en x4 du développement de 1 − 2x2
4
√
1
x2
4. Calcule : (x2 + )4 et
2−
x
2
5. Simplifie (sans calculatrice)
15
)
x2
21
)
x3
(Solution : −414720x3 y 7 )
(Solution : 60x4 )
(0, 34)5 + 5(0, 34)4 (0, 66) + 10(0, 34)3 (0, 66)2 + 10(0, 34)2 (0, 66)3 + 5(0, 34)(0, 66)4 + (0, 66)5
1
2
3
6. Résous : C2n
+ C2n
+ C2n
− 387n = 0
p−1
(1 ≤ p ≤ n), déduis la valeur de la somme :
7. Après avoir démontré la relation p.Cnp = n.Cn−1
Cn1 + 2.Cn2 + 3.Cn3 + . . . + n.Cnn
(Liège, sept.1996).
8. Démontre que pour tout n ≥ 2 : Cn2 = 1 + 2 + 3 + ... + (n − 1)
n+1
n
n
9. Démontre que pour tout n ∈ N : (n + 1).C2n+2
− 4n.C2n
= 2.C2n
10. Démontre par récurrence que ∀M ∈ N0 :
M
X
2
3
Cn+1
= CM
+2
(Liège)
n=1
11. Soit k ∈ N. Démontre que
k
X
Cni 1 Cnk−i
= Cnk1 +n2 où (n1 , n2 ) ∈ N2 .
2
i=0
(Dans un ensemble X de cardinal (n1 + n2 ), considère deux sous-ensembles E et F disjoints tels que
#E = n1 et #F = n2 . Dénombre de deux façons différentes le nombre de parties à k éléments de E ∪ F ).
C.
Exercices complémentaires
1. Dénombre les nombres naturels de cinq chiffres distincts et significatifs (écriture dans le système décimal) :
(a) sans autre condition ?
(b) qui se terminent par 7 ?
(c) qui commencent par 70 ?
(d) qui comprennent 0 ?
(e) qui se terminent par 07 ?
(f) qui comprennent 0 et 7 dans un ordre quelconque ?
(g) qui comprennent 7 et 0 sous la forme 07 ?
CHAPITRE 5. ANALYSE COMBINATOIRE
122
(h) qui ne comprennent pas 7 ?
(i) qui ne comprennent ni 0, ni 7 ?
(j) qui comprennent 0, mais pas 7 ?
(k) qui se terminent par 0 ?
(l) qui se terminent par 70 ?
(m) qui comprennent 7 ?
(n) qui commencent par 70 ?
(o) qui comprennent 7 et 0 sous la forme 70 ?
(p) qui ne comprennent pas 0 ?
(q) qui comprennent 7, mais pas 0 ?
(r) qui commencent par 7 ?
(s) qui comprennent 7 et 6 dans un ordre quelconque, mais pas 0 ?
(t) dont quatre sont impairs et un pair ?
2. Un code d’accès est composé de trois chiffres du système décimal et de deux lettres de notre alphabet.
Exemple : Z13P3. Dénombre les codes formés de ...
(a) deux lettres quelconques suivies de trois chiffres quelconques ;
(b) trois chiffres différents suivis de deux lettres distinctes ;
(c) deux lettres quelconques et de trois chiffres "groupés" ;
(d) sans autres contraintes.
3. Un code d’accès est composé de trois chiffres du système décimal et de deux consonnes de notre alphabet.
Exemple : Z13P3. Dénombre les codes formés de ...
(a) deux consonnes quelconques suivies de trois chiffres quelconques ;
(b) trois chiffres différents suivis de deux consonnes distinctes ;
(c) de deux consonnes quelconques et de trois chiffres "groupés" ;
(d) sans autres contraintes.
4. Un code d’accès est composé de dix lettres de notre alphabet. Dénombre les codes d’accès respectant
successivement une des contraintes suivantes :
(a) formés de dix lettres différentes ;
(b) formés de cinq voyelles différentes et de cinq consonnes différentes ;
(c) comprenant au moins une consonne ;
(d) ayant le format d’un palindrome (code qui se "lit" de la même façon de droite à gauche ou de gauche
à droite : radarradar, tabaccabat, ...) ;
(e) est formé de quatre voyelles différentes et de six consonnes différentes ;
(f) comprend les cinq lettres C, N, D, B et W et cinq autres lettres distinctes et différentes des cinq
lettres imposées ;
5. Un code d’accès est composé de six chiffres du système décimal : trois chiffres pairs suivis de trois chiffres
impairs. Exemple : 004319. Dénombre ces codes respectant successivement une des consignes suivantes :
(a) sans autres contraintes ;
(b) les six chiffres sont différents ;
(c) le code se termine par 99 ;
(d) le code comporte au moins deux fois le chiffre 9.
6. Un mot de passe est composé de trois voyelles et de quatre consonnes de notre alphabet. Exemple :
ZAAKYBC. Dénombre les mots de passe formés de ...
(a) trois voyelles quelconques suivies de quatre consonnes quelconques ;
(b) quatre consonnes différentes suivies de trois voyelles distinctes ;
(c) de trois voyelles quelconques et de quatre consonnes "groupées" ;
(d) sans autres contraintes.
123
CHAPITRE 5. ANALYSE COMBINATOIRE
7. Un mot de passe est composé de trois voyelles de notre alphabet et de quatre chiffres du système décimal.
Exemple : 9AA8Y91. Dénombre les mots de passe formés de ...
(a) trois voyelles quelconques suivies de quatre chiffres quelconques ;
(b) quatre chiffres différents suivis de trois voyelles distinctes ;
(c) de trois voyelles quelconques et de quatre chiffres "groupés" ;
(d) sans autres contraintes.
8. D’un jeu de 32 cartes ( quatre couleurs : cœur, carreau, trèfle et pique - 8 figures : as, roi, dame,..., huit et
sept), on extrait aléatoirement et sans remise cinq cartes. Recherche la probabilité d’obtenir respectivement
les événements suivants :
(a) un carré ;
(b) aucun full ;
(c) une paire d’as et une paire de rois, mais pas de full ;
(d) cinq cartes consécutives de couleurs quelconques (une quinte).
9. Une urne contient quarante-deux boules identifiées par les naturels de 1 à 42. De cette urne, on "tire"
aléatoirement et sans remise sept boules. Dénombre les tirages comprenant quatre nombres pairs et trois
nombres impairs si ...
(a) l’ordre n’a pas d’importance ;
(b) l’ordre a de l’importance.
10. Une urne contient quarante-deux boules identifiées par les naturels de 1 à 42. De cette urne, on "tire"
aléatoirement, successivement (l’ordre a de l’importance) et sans remise sept boules. Dénombre les tirages
vérifiant "séparément" les contraintes suivantes :
(a) les nombres sont quelconques ;
(b) les sept nombres sont pairs ;
(c) un nombre au moins est impair.
11. Les plaques d’immatriculation des automobiles comportent trois lettres suivies de trois chiffres non simultanément nuls. De plus, la Division de l’Immatriculation des Véhicules exclut 45 mots comprenant les
sigles de partis politiques( FDF, PRL, PSC, PCB, ...) ainsi que des mots grossiers ou injurieux ( PUE,
GEK, SOT, ZOT, ...). Déterminez le nombre de plaques d’immatriculation possibles.
12. Dénombre les nombres entiers positifs formés de cinq chiffres différents, supérieurs à 30000 et pairs.
13. Résous dans R les deux équations suivantes :
p−1
Cnp = x.Cn−1
p+1
Cnp = x.Cn+1
où n et p sont des naturels et 1 ≤ p ≤ n.
14. Dénombre les naturels impairs x vérifiant les conditions suivantes : 2000 ≤ x ≤ 9000 et x s’écrit avec
quatre chiffres différents du système décimal.
15. Démontre les relations suivantes :
n
X
i=0
Cni .3i =
2n
X
i
C2n
i=0
16. Détermine le terme indépendant de la variable x du développement de ...
1
2x − 2
2x
99
97
1
2
2x −
2x
1
x+ 2
x
33
124
CHAPITRE 5. ANALYSE COMBINATOIRE
5.12
Résumé
Dans la situation traitée, tous les éléments d’un ensemble de cardinal n interviennent-ils ?
Oui
Non
Permutations
L’ordre a t’il de l’importance ?
sans répétition
Pn = n!
avec répétitions
Pni, j, ..., k =
n!
i!j! ... k!
Oui
Non
Arrangements
Combinaisons
sans répétition
Apn =
n!
(n − p)!
avec répétitions
αnp = np
sans répétition
Cnp =
n!
p!(n − p)!
Chapitre 6
Probabilités
6.1
A.
Calcul élémentaire des probabilités
Vocabulaire
r Phénomène aléatoire
3 On appelle phénomène aléatoire ou fortuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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..........................................................................................................
3 On appelle catégorie d’épreuves d’un phénomène aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................
3 On la note Ω.
Le jet d’un dé à six faces suivi de l’examen du point qui apparaît sur sa face supérieure est un exemple de
phénomène aléatoire.
Ω = ............
#Ω = . . . . . . . . . . . .
3 On appelle évènement d’un phénomène aléatoire tout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................
3 On note les évènements par des lettres majuscules.
3 On dit qu’un évènement se réalise lorsque le résultat de l’expérience aléatoire appartient à cet évènement.
Dans le phénomène aléatoire décrit au paragraphe précédent, A est l’évènement défini par "obtenir un nombre
pair" et B est l’évènement associé à "ne pas obtenir 6".
A = ............
#A = . . . . . . . . . . . .
B = ............
#B = . . . . . . . . . . . .
125
126
CHAPITRE 6. PROBABILITÉS
r Évènements particuliers
3 L’ensemble ∅ est appelé évènement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 L’ensemble Ω est appelé évènement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Tout singleton de Ω est appelé évènement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple : on lance un dé à six faces et on considère l’évènement C "obtenir 5 sur la face supérieure".
B.
Ω = ............
#Ω = . . . . . . . . . . . .
∅ = ............
#∅ = . . . . . . . . . . . .
C = ............
#C = . . . . . . . . . . . .
Opérations sur les ensembles et sur les évènements
Supposons que A et B soient deux évènements d’une même catégorie d’épreuves Ω.
Exemple : A est l’évènement défini par "obtenir un nombre impair sur la face supérieure" et B est l’évènement
associé à "obtenir 3 sur cette même face" lors d’un jet d’un dé à six faces.
A = ............
#A = . . . . . . . . . . . .
B = ............
#B = . . . . . . . . . . . .
r Intersection, union et différence d’évènements
3 L’évènement A ∩ B se produit si et seulement si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................
3 L’évènement A ∪ B se produit si et seulement si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................
3 L’évènement A \ B se produit si et seulement si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................
Exemple : suite à l’exemple précédent . . .
A ∩ B = ............
A ∪ B = ............
A \ B = ............
127
CHAPITRE 6. PROBABILITÉS
r Évènements contraires
3 Deux évènements A et B sont contraires si et seulement si les ensembles A et B sont complémentaires
par rapport à Ω.
C’est-à-dire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................
3 Le contraire de l’évènement A est noté A.
Exemple : A est l’évènement déterminé par "obtenir un nombre pair sur la face supérieure" lors d’un jet d’un
dé à six faces.
A = ............
A = ...............
6.2
A.
Axiomes et propriétés
Axiomes de Kolmogorov
r Exemple
On lance un dé à six faces non truqué.
1. La probabilité d’obtenir sur la face supérieure un chiffre quelconque entre 1 et 6 vaut . . . . . . .
2. On introduit la notion de probabilité dans le cas où le cadre d’hypothèse conduit à affecter la même probabilité (. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ) à chacun des évènements élémentaires de la catégorie d’épreuves.
3. La probabilité d’obtenir un chiffre pair ...
P ("obtenir un chiffre pair") = P ({2, 4, 6}) = . . . . . . = . . . . . .
On constate que :
P (A) =
#A
= ............
#Ω
r Remarques
1. ∀A ⊂ Ω : . . . · · · ≤ P (A) ≤ . . . . . .
2. P (Ω) = . . . . . .
3. Si A ∩ B = ∅ alors P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
En effet : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.............................................................................................................
.............................................................................................................
Ces trois relations sont des éléments de l’axiomatique de Kolmogorov permettant de définir le concept de
probabilité.
128
CHAPITRE 6. PROBABILITÉS
r Définition de probabilité
Soit une expérience aléatoire dont la catégorie d’épreuves Ω est finie.
3 Une probabilité P sur Ω est une application de P(Ω) dans R :
P : P(Ω) −→ R
A 7−→ P (A)
qui vérifie les axiomes de Kolmogorov :
1. ∀A ⊂ Ω : 0 ≤ P (A) ≤ 1
2. P (Ω) = 1
3. Si A ∩ B = ∅ alors P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
Note : P(Ω) est l’ensemble des parties de Ω ou l’ensemble des évènements.
r Remarques
ä si #Ω = n alors #P(Ω) = 2n ;
ä le troisième axiome de Kolmogorov est le principe d’addition : "si la réalisation d’un évènement s’opère
par la réalisation de deux évènements disjoints, alors sa probabilité est égale à la somme des probabilités
de chacun de ces évènements."
B.
Propriétés
r Évènements contraires
∀A ⊂ Ω : P
A
= 1 − P (A)
Démonstration : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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.............................................................................................................
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Cette propriété sera surtout utilisée dans le cas où on demande de déterminer la probabilité de l’évènement "au
moins un . . . ". En effet, il est l’évènement contraire de "n’obtenir aucun . . . " dont la probabilité est souvent
beaucoup plus facile à calculer !
r Propriété 1
P (∅) = 0
129
CHAPITRE 6. PROBABILITÉS
Démonstration : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.............................................................................................................
r Propriété 2
∀A ⊂ Ω et ∀B ⊂ Ω : si A ⊂ B alors P (B\A) = P (B) − P (A) et P (A) ≤ P (B)
Démonstration : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.............................................................................................................
r Propriété 3
Si A1 , A2 , . . . , An sont disjoints 2 à 2 et inclus à Ω, alors
!
n
n
[
X
P
Ai =
P (Ai )
i=1
où n ∈ N0
i=1
Autrement dit,
P (A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + . . . + P (An )
Démonstration : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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.............................................................................................................
r Propriété 4
Si A et B sont deux évènements (non disjoints) quelconques de Ω, alors
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Démonstration : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CHAPITRE 6. PROBABILITÉS
130
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.............................................................................................................
r Évènements équiprobables
Dans le cas d’un phénomène aléatoire où tous les singletons sont équiprobables, la probabilité d’un évènement
élémentaire est égale à . . . . . . . . . . . . . . . .
Et,
∀A ⊂ Ω : P (A) = . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . .
Démonstration : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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.............................................................................................................
Exemple où les évènements élémentaires ne sont pas équiprobables.
Un dé à six faces est truqué de telle sorte que la probabilité d’apparition d’un chiffre sur la face supérieure est
proportionnelle à ces chiffres. Détermine la probabilité d’obtenir un chiffre pair.
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CHAPITRE 6. PROBABILITÉS
6.3
A.
131
Calcul des probabilités
Méthodes
On calcule une probabilité selon différentes méthodes :
ä en utilisant les propriétés des lois de probabilité ;
ä par comptage (dénombrement) ;
ä en disposant les données en arbre ou dans un tableau.
Les exercices illustreront ces différents procédés.
B.
Exercices
1. On tire au hasard huit cartes d’un jeu de trente-deux cartes. Quelle est la probabilité de prendre (exactement) :
(a) un roi ?
(b) un roi et deux dames ?
(c) au moins un valet ?
(d) cinq trèfles ?
(e) cinq cartes de la même couleur ?
(f) quatre as ou cinq cœurs ?
2. Un professeur rend au hasard les copies à ses dix élèves. Déterminez la probabilité que :
(a) chaque élève reçoive sa copie ;
(b) Alfred reçoive sa copie ;
(c) Alfred ou Emile reçoive sa copie ;
(d) au moins un élève ne reçoive pas sa copie.
3. Une urne contient cinq boules blanches, six boules noires et quatre boules rouges. On prend trois boules
au hasard et simultanément. Déterminez la probabilité d’avoir :
(a) deux boules blanches et une boule rouge ;
(b) trois boules de la même couleur ;
(c) des boules de 3 couleurs différentes.
4. On lance deux dés à six faces et différentiables (il est équivalent de lancer un dé deux fois de suite).
Déterminez la probabilité que :
(a) les deux chiffres soient différents ;
(b) la somme des chiffres obtenus soit égale à 7 ;
(c) le plus grand chiffre soit égal à 4.
5. Dans une loterie, il y a cent billets dont six sont gagnants. Une personne détient trois billets. Quelle est
la probabilité qu’elle gagne exactement un lot ?
6. On prend au hasard et sans remise cinq montres dans un lot qui en contient septante dont huit sont
défectueuses. Quelle est la probabilité de prendre au moins une montre qui fonctionne ?
7. On lance trois dés à six faces et différentiables (il est équivalent de lancer un dé trois fois de suite). Quelle
est la probabilité d’obtenir :
(a) 421 ?
(b) au moins un as ?
(c) deux as et un six ?
(d) au moins deux chiffres identiques ?
(e) une somme paire ?
(f) trois as ?
CHAPITRE 6. PROBABILITÉS
132
8. On choisit deux boules au hasard dans une urne qui en contient dix, numérotées de 1 à 10. Calcule la
probabilité pour que la somme des chiffres inscrits sur les deux boules soit impaire, sachant que :
(a) on tire les deux boules simultanément ;
(b) on effectue un tirage sans remise (on prend les deux boules l’une après l’autre, sans remettre la
première) ;
(c) on effectue un tirage avec remise (on remet la première boule dans l’urne avant de prendre la
deuxième).
9. On lance un dé trois fois de suite. Quelle est la probabilité d’obtenir un résultat plus grand chaque fois ?
10. On tire au hasard deux cartes d’un jeu de 32. Quelle est la probabilité de prendre un seul roi ou une seule
dame ?
11. Un pickpocket plonge la main dans une poche contenant quatre pièces de 5 cents, cinq pièces de 20 cents
et trois pièces de 50 cents. Il en retire trois pièces au hasard. Détermine la probabilité qu’il vole :
(a) trois pièces de la même valeur ;
(b) au moins une pièce de 50 cents ;
(c) une somme impaire.
12. Un dé à six faces est truqué de telle sorte que la probabilité d’apparition d’un chiffre est inversement
proportionnelle à ce chiffre. Déterminez la probabilité d’obtenir, lors d’un lancer, un chiffre supérieur ou
égal à 4.
13. Un joueur lance une pièce de monnaie équilibrée. Si le résultat est face, il a gagné et arrête. Si le résultat
est pile, il peut rejouer une fois. Si le second résultat est face, il a gagné, sinon il arrête définitivement et
a perdu. Quelle probabilité a-t-il de gagner ?
133
CHAPITRE 6. PROBABILITÉS
6.4
A.
Probabilités conditionnelles et indépendance
Probabilités conditionnelles
r Exemple
On lance un dé à six faces non truqué deux fois de suite :
Ω = .........................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
#Ω = . . . . . .
1. Soit A l’évènement "la somme des chiffres obtenus est égale à 8" :
A = ..................................................................................................
#A = . . . . . .
et
P (A) = . . . . . .
2. Soit B l’évènement "le chiffre obtenu au premier jet est impair" :
B = ..................................................................................................
........................................................................................................
#B = . . . . . .
´
et
P (B) = . . . . . .
3. Donc, A ∩ B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
#(A ∩ B) = . . . . . .
et
P (A ∩ B) = . . . . . . . . .
4. Quelle est la probabilité que l’évènement A se réalise sachant que l’évènement B s’est produit ? On note
cette probabilité P (A|B). Si l’évènement B s’est produit, la catégorie d’épreuves se réduit à :
Ω0 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
#Ω0 = . . . . . .
et
on constate que P (A|B) = . . . . . . .
5. Conclusion : puisque B devient certain . . .
(a) l’évènement A n’intervient plus que par son intersection avec B ;
(b) la nouvelle unité de mesure devient P (B) ;
(c) P (A|B) est égale à P (A ∩ B) mesurée par rapport à P (B).
134
CHAPITRE 6. PROBABILITÉS
r Définition
Soient A et B, deux évènements attachés à une même expérience aléatoire.
La probabilité pour qu’un évènement A se produit, l’évènement B s’étant réalisé auparavant, ou en d’autres
termes, la probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé, que l’on écrit P (A|B), est définie
par :
P (A ∩ B)
P (A|B) =
P (B)
De manière équivalente :
P (B|A) =
P (A ∩ B)
P (A)
r Remarques
ä la probabilité de l’évènement condition doit être non nulle évidemment !
ä P (A|B) se lit ...
• probabilité de A conditionnée par B ;
• probabilité de A sachant que B s’est produit ;
• probabilité de A si B.
r Autre formulation
Lorsque la réalisation d’un évènement s’opère par la réalisation (successive ou simultanée) de deux évènements, sa probabilité est égale au produit de la probabilité de l’un deux par la probabilité de l’autre sachant
que le premier s’est produit :
∀A, B ⊂ Ω : P (A ∩ B) = P (B).P (A|B) = P (A).P (B|A)
Exemple
Deux machines produisent respectivement 70% et 30% du nombre total de pièces fabriquées dans une usine.
Les pourcentages de pièces défectueuses de ces machines sont respectivement 3 et 5%. Si on prend une pièce au
hasard, quelle est la probabilité qu’elle soit défectueuse ?
Soit D l’évènement "la pièce est défectueuse", M1 "la pièce est produite par la première machine", M2 "la pièce
est produite par la deuxième machine".
Que vaut P (D) ?
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
135
CHAPITRE 6. PROBABILITÉS
r Théorème des probabilités composées
Soit {A1 , A2 , . . . , An } une partition de Ω où n ∈ N0 .
Si,
3 ∀i ∈ [1, n] ∩ N : Ai 6= ∅ et Ai ⊂ Ω ;
3 les évènements Ai sont disjoints deux à deux ;
3 A1 ∪ A2 . . . ∪ An = Ω.
Alors,
P (B) = P (B|A1 ) .P (A1 ) + P (B|A2 ) .P (A2 ) + . . . + P (B|An ) .P (An )
r Formule de Bayes
Soient A et B, deux évènements non vides attachés à une même expérience aléatoire (A ⊂ Ω et B ⊂ Ω).
P (A|B) =
P (A).P (B|A)
P (A).P (B|A)
=
P (B)
P (A).P (B|A) + P (A).P B|A
Démonstration immédiate par les formules précédentes.
Exemple
Supposons que 2,5% des femmes et 5% des hommes portent des lunettes. Dans une salle contenant dix hommes
et vingt femmes, on choisit une personne au hasard. Sachant que la personne porte des lunettes, quelle est la
probabilité que ce soit un homme ?
Que vaut P (H|L) ?
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
B.
Indépendance
r Définition
Soient A et B, deux évènements attachés à une même expérience aléatoire (A ⊂ Ω et B ⊂ Ω) tels que P (A)
et P (B) soient non nulles.
Ces deux évènements sont dits indépendants si la réalisation de l’un n’influence pas celle de l’autre.
A et B sont indépendants ⇔ P (A|B) = P (A) et P (B|A) = P (B)
136
CHAPITRE 6. PROBABILITÉS
r Principe de multiplication et indépendance
A et B sont indépendants ⇔ P (A ∩ B) = P (A).P (B)
Démonstration immédiate !
Cette propriété permet donc d’analyser aussi l’indépendance de deux évènements. En effet, on calcule séparément
P (A), P (B) et P (A ∩ B). Si l’égalité ci-dessus est vérifiée, on peut affirmer que A et B sont indépendants sinon
A et B sont dépendants l’un de l’autre.
r Proposition
L’indépendance entre A et B implique l’indépendance entre A et B, entre B et A et également entre A et
B.
r Définition
Trois évènements A, B, C liés à une même expérience aléatoire sont dits deux à deux indépendants si les
trois relations suivantes sont satisfaites :
P (A ∩ B) = P (A).P (B)
P (A ∩ C) = P (A).P (C)
P (C ∩ B) = P (C).P (B)
Exemple : on lance deux dés à six faces non truqués.
– A est l’évènement "obtenir un chiffre pair sur la face supérieure du premier dé" ;
– B est l’évènement "obtenir un chiffre impair sur la face supérieure du deuxième dé" ;
– C est l’évènement " obtenir deux chiffres de même parité".
P (A) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P (B) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P (C) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P (A ∩ B) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P (A).P (B) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P (A ∩ C) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P (A).P (C) =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P (C ∩ B) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P (C).P (B) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P (A ∩ B ∩ C) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P (A).P (B).P (C) =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
CHAPITRE 6. PROBABILITÉS
r Définition
Trois évènements A, B, C liés à une même expérience aléatoire sont indépendants si les relations suivantes
sont satisfaites :
3 P (A ∩ B) = P (A).P (B)
3 P (A ∩ C) = P (A).P (C)
3 P (C ∩ B) = P (C).P (B)
3 P (A ∩ B ∩ C) = P (A).P (B).P (C)
r Exercices
1. Considérons deux évènements A et B tels que P (A) =
dants, calcule : P (A ∪ B), P (A) et P (A\B).
1
2
et P (B) = 23 . Sachant que A et B sont indépen-
2. On lance un dé régulier. On dépose dans une urne autant de boules blanches qu’il est indiqué par le chiffre
du dé. On complète l’urne par des boules rouges de telle sorte que le nombre total de boules soit égal à 6.
On tire une boule au hasard dans l’urne. Quelle est la probabilité qu’elle soit rouge ?
3. En admettant l’indépendance entre les naissances successives dans une même famille et l’équiprobabilité
des garçons et des filles, quelle est la probabilité :
(a) qu’une famille de deux enfants compte deux garçons sachant que l’aîné est un garçon ?
(b) qu’une famille de deux enfants compte deux filles sachant qu’elle en compte au moins une ?
4. On estime à 15% le pourcentage de vacanciers français qui choisissent de sortir de France. Parmi ceux-ci,
cinq sur vingt vont en Italie. Quelle est la probabilité pour qu’un Français prenne ses vacances en Italie ?
5. Deux étudiants cherchent indépendamment la solution d’un problème. Le premier a une probabilité de 0,7
et le deuxième une probabilité de 0,4 de trouver la solution. Quelle est la probabilité que le problème ne
soit pas résolu ?
6. En Injustice, le juge décide du sort des accusés après un tirage au sort. Il dispose de trois sacs ayant le
même aspect et contenant des boules blanches et des boules noires :
(a) le premier contient dix boules dont deux noires ;
(b) le deuxième contient huit boules dont sept noires ;
(c) le troisième contient six boules dont trois noires.
L’accusé choisit un sac et y prend une boule. Si elle est noire, il est condamné, sinon il est acquitté. Quelle
est la probabilité qu’il soit condamné ?
7. On demande à un groupe d’enfants composé d’un nombre égal de garçons et de filles s’ils ont déjà été
effrayés par la télévision.
On obtient le résultat suivant :
Fille
Garçon
OUI
40%
30%
NON
60%
70%
Si un enfant est choisi au hasard dans ce groupe, calcule les probabilités suivantes :
(a) l’enfant a été effrayé ;
(b) l’enfant choisi est une fille, sachant que cet enfant a été effrayé ;
(c) un garçon est choisi, sachant que l’enfant n’a pas été effrayé.
8. On lance un dé à six faces. Calcule la probabilité d’obtenir un chiffre inférieur ou égal à 3 sachant que le
dé est truqué de telle sorte que la probabilité de sortir un As est deux fois plus grande que celle de sortir
n’importe quel autre chiffre.
9. Le tableau suivant donne, pour les deux classes terminales d’un lycée français, le nombre d’élèves ayant
été reçus au baccalauréat et l’effectif de chaque classe.
138
CHAPITRE 6. PROBABILITÉS
Classe A
Classe B
Effectif de la classe
26
32
Nombre de reçus
18
14
Quelle est la probabilité pour qu’un élève reçu, pris au hasard, provienne de A ?
10. Deux personnes travaillent indépendamment à déchiffrer un message. Les probabilités respectives qu’elles
le déchiffrent sont 0,7 et 0,5. Quelle est la probabilité que le message soit déchiffré ?
Chapitre 7
Variables aléatoires
7.1
A.
Cas discret
Définitions
r Exemple
On lance trois fois une pièce de monnaie et on s’intéresse au nombre de sorties de "pile".
Résultats :
Nombre de piles
Probabilité
Probabilité cumulée
0
1
2
3
3 Le nombre de piles est appelé variable aléatoire (v.a.) et est noté X.
3 La probabilité correspondante est P (X).
• La distribution ou loi de probabilité est la fonction notée P et définie par . . .
P : R −→ [0, 1]
• On écrit : P (X = 0) = . . . . . .
: X 7−→ P (X)
P (X = 1) = . . . . . .
P (X = 2) = . . . . . .
P (X = 3) = . . . . . .
P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = . . . . . .
3 La probabilité cumulée de x est la probabilité d’obtenir un résultat inférieur ou égal à x. On la note
F (x).
3 La fonction de répartition F de la variable aléatoire X est décrite par . . .
F : R
−→
[0, 1]
x
7−→
P (X ≤ x)
139
CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
140
3 On écrit :
• P (X ≤ 0) = . . . . . .
• P (X ≤ 1) = . . . . . .
• P (X ≤ 2) = . . . . . .
• P (X ≤ 3) = . . . . . .
r Exercice
On lance deux dés à six faces et on s’intéresse à la valeur absolue de la différence des points obtenus sur les
faces supérieures.
1. Définis la variable aléatoire et donne les résultats possibles ?
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
2. Établis la distribution de probabilité.
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
3. A partir de la loi de distribution, détermine :
• P (X = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• P (X ≤ 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• P (X ≥ 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Établis la fonction de répartition.
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
5. A partir de la loi de répartition, détermine :
• P (X = 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• P (X ≤ 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• P (X ≥ 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
r Graphique
Revenons à notre premier exemple (avec les pièces de monnaies) et représentons le graphique de la loi de
probabilité et de la fonction de répartition
Loi de probabilité
Fonction de répartition
r Espérance mathématique et variance d’une variable aléatoire
3 L’espérance mathématique est l’équivalent de la moyenne en statistique.
• Le mot « espérance »vient du fait que le calcul des probabilités a d’abord été appliqué aux jeux de
hasard.
• Dans le cas d’un joueur, l’espérance mathématique représente le gain moyen par partie lorsqu’il joue
un grand nombre de fois.
3 La variance est l’équivalent de la variance en statistique.
• La variance et l’écart-type sont des paramètres de dispersion. Ils renseignent sur l’étalement de la
variable de part et d’autre de l’espérance mathématique.
3 Rappel de statistique :
X=
n
X
Modalité
X1
X2
.........
Xn
Fréquence
f1
f2
.........
fn
fi Xi
V =
i=1
n
X
fi Xi − Xi
i=1
3 En probabilité :
Variable aléatoire
X1
X2
.........
Xn
Probabilité
P (X1 )
P (X2 )
.........
P (Xn )
r Remarques
• ∀i ∈ [1, n] ∩ N : P (Xi ) = pi
E(X) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V (X) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
L’écart-type : σ(X) = V (X)
• ...........................................................................................................
142
CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
r Exercices
1. A une machine à sous, le joueur a une probabilité 0.1 de gagner 50 e et une probabilité 0.2 de gagner
10 e, mais . . . il risque de ne rien gagner.
(a) Donne la loi de distribution et la fonction de répartition de la variable aléatoire "gain du joueur".
Xi
P (Xi )
F (Xi )
0
10
50
(b) Si l’organisateur demande un droit de jeu de 10 e, à quel bénéfice l’organisateur peut-il s’attendre
après 10000 jeux ?
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
2. La demande d’un produit périssable est donnée par la variable aléatoire X. Le prix de vente est de 90 e
et le prix de revient de 40 e.
X
0
1
2
3
4
5
6
7
P (X)
0.08
0.12
0.14
0.18
0.20
0.13
0.10
0.05
(a) Si le stock est de 5, détermine la loi de distribution de la variable aléatoire "bénéfice" notée Y .
(b) A quel bénéfice moyen peut-il s’attendre sur une longue période ?
Dans le tableau suivant, X représente la demande de vente, M est le montant reçu et C le coût du stock.
X
0
1
2
3
4
5
6
7
M
C
Y
P (Y )
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
143
CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
B.
Exercice récapitulatif
1. Enoncé
Tirons au hasard une boule d’une urne contenant une boule rouge (R), une boule verte (V) et une boule
bleue (B). Remettons-là dans l’urne et effectuons un second tirage d’une boule. Chacune des trois boules
possède la même probabilité d’être choisie.
2. Arbre - Tableau
3. Définissons l’ensemble Ω :
4. Exemple de probabilité :
Déterminons la probabilité d’obtenir au moins une boule verte : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................................
........................................................................................................
5. Complétons la situation précédente par une règle du jeu :
• pour chaque boule rouge tirée, on gagne 6 e ;
• pour chaque boule verte tirée, on gagne 1 e ;
• pour chaque boule bleue tirée, on perd 4 e.
6. Déterminons les différents gains possibles :
Tirage
Gain
7. Définissons la variable aléatoire "gain" : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................................
8. Loi de probabilité ou distribution d’une variable aléatoire :
CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
144
• Tableau de valeurs
• Diagramme en bâtons
9. Espérance mathématique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
10. Variance et écart-type : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
11. Fonction de répartition
• Tableau de valeurs
145
CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
• Représentation graphique de F
C.
Loi Binomiale : B(n, p)
r Epreuve de Bernoulli
ä Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire dont on ne retient que deux résultats contraires,
l’un est nommé succès, l’autre est nommé échec.
ä Notation :
• la probabilité de succès est notée p ;
• la probabilité d’échec (1 − p) est notée q.
ä Exemples :
1. une pièce parfaitement équilibrée est lancée et retombe sur le sol.
Succès : "avoir pile"
P (S) = p = . . . . . . . . .
Echec : "avoir face"
P (E) = q = . . . . . . . . .
2. un dé à six faces est lancé.
Succès : "le 1 apparaît"
P (S) = p = . . . . . . . . .
Echec : "2,3,4,5 ou 6 apparaît"
P (E) = q = . . . . . . . . .
r Schéma de Bernoulli
Si on réalise n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, on réalise un schéma de Bernoulli.
146
CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
r Variable aléatoire binomiale B(n, p)
ä Soit un phénomène fortuit sur lequel on réalise un schéma de Bernoulli de n épreuves ayant une probabilité de succès égale à p.
ä Si on considère comme variable aléatoire X le nombre de succès, elle porte le nom de variable aléatoire
binomiale de paramètre n et p.
ä On la notera X = B(n, p).
r Exemple introductif
Le taux d’échec du bilan de math de Noël de 6iéme est de 35%. Sélectionnons à présent cinq élèves de la classe
et regardons le résultat de leur examen. Quelle est la probabilité que deux étudiants réussissent ?
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.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
En généralisant ce résultat, nous obtenons :
P (X = k) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(k = 0, 1, ..., n)
r Loi de distribution
La loi de probabilité d’une variable aléatoire binomiale est donnée par
Pk = P (X = k) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · · · = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (k = 0, 1, ..., n)
où :
3 X est la variable aléatoire binomiale ;
3 n est le nombre d’épreuves ;
3 k est le nombre de succès ;
3 p est la probabilité de succès ;
3 q = 1 − p est la probabilité d’échec.
CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
147
Remarque : prouvons que la somme des probabilités est égale à 1.
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
r Écriture de la fonction de répartition d’une variable aléatoire binomiale
P (X ≤ k) = . . . . . . . . . . . . . . . · · · = . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Remarque : P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)
Espérance, variance et écart-type
ä Espérance : E(X) = n.p
ä Variance : V (X) = n.p.(1 − p) = . . . . . . . . . . . .
p
ä Ecart-type : σ(X) = V (X)
r Exercices
1. Vaccin : la probabilité pour qu’une vache soit atteinte d’une certaine maladie est de 3%.
Sachant que :
• le troupeau est composé de 80 vaches ;
• le manque à gagner s’élève à 500 e par vache malade ;
• le coût des vaccins pour le troupeau s’élève à 1125 e.
. . . l’éleveur doit-il vacciner son troupeau ?
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
2. Cible : la probabilité que le soldat touche sa cible est de 41 .
CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
148
(a) en supposant qu’il tire sept fois, quelle est la probabilité qu’il atteigne la cible au moins deux fois ?
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
(b) combien de fois doit-il tirer pour que la probabilité d’atteindre la cible au moins une fois soit supérieure
ou égale à 32 .
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
3. Lors d’un tir, un artilleur atteint la cible avec une probabilité de 0,4. Combien de fois cet artilleur doit-il
tirer pour que la probabilité de toucher (au moins une fois) la cible soit supérieure à 0,9 ?
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
4. Une entreprise du secteur de l’électronique fabrique des résistances en grande série. Une étude statistique
a montré que la probabilité qu’une résistance prise au hasard dans l’ensemble de la production journalière
soit défectueuse est 2.10−3 . On tire avec remise dix résistances dans la production d’une journée ; les
tirages sont donc indépendants.
Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants (tous les résultats seront donnés à 10−6 près) :
(a) "obtenir un jour donné exactement deux résistances défectueuses" ;
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
(b) "obtenir un jour donné au plus deux résistances défectueuses" ;
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
149
(c) "obtenir un jour donné au moins deux résistances défectueuses".
...................................................................................................
...................................................................................................
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r Remarque
Lorsque le nombre d’épreuves d’un schéma de Bernoulli est très grand, le calcul de P (X = k) est fastidieux.
Il sera possible d’éviter ces calculs en recourant à des approximations de la loi binomiale grâce soit à la loi de
Poisson, soit à la loi normale (ou Gaussienne).
D.
Loi de Poisson : P (λ)
r Loi de probabilité
Définition :
Une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ si la loi de probabilité est donnée par :
P (X = k) = e−λ
λk
, λ étant un réel strictement positif.
k!
On la note P (λ).
Exemple : P (X = 3) avec λ =
1
10 .
.............................................................................................................
r Conditions d’application
La loi de Poisson s’applique aux variables aléatoires discrètes définies par le nombre d’événements observés
dans le cas où :
3 ces événements sont rares (peu de chance de se produire), leur probabilité p est plus petite que (1 − p) ;
3 le nombre d’épreuves est très grand ;
3 ces évènements se produisent de manière aléatoire dans le temps et dans l’espace.
Exemple : le nombre d’accidents automobiles, de naissances gémellaires, ...
r Fonction de répartition
P (X ≤ k) = e−λ
k
X
λr
r=0
r!
CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
150
r Espérance, variance et écart-type
3 Espérance : E(X) = λ
3 Variance : V (X) = λ
√
3 Ecart-type : σ(X) = λ
r Exemples
1. Administration communale
Dans une maison communale, le nombre de personnes se présentant quotidiennement au bureau d’état civil
suit une loi de Poisson. En moyenne, huit personnes se présentent chaque jour. Calculer les probabilités
des événements suivants :
(a) au plus 5 personnes se présentent le jeudi 18 mai ;
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(b) il ne viendra personne ce mercredi matin ;
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(c) il viendra au moins six personnes la première semaine de novembre.
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2. Nombre d’enfants
Lors d’une enquête réalisée auprès de mille femmes âgées de 20 à 25 ans, on a noté le nombre d’enfants
que chacune avait. La variable X représentant le nombre d’enfants suit une loi de Poisson. Dans notre
échantillon, il y a 135 femmes sans enfant. Détermine la valeur de λ.
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151
CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
Approximation de la loi Binomiale par la loi de Poisson
Soit une loi binomiale d’espérance mathématique E(X) = n.p que nous supposerons finie lorsque n tend vers
l’infini. Nous allons montrer que dans le cas où n est grand et p très petit, nous pouvons approcher la loi
binomiale B(n, p) par une loi de Poisson P (λ) avec λ = np.
En effet :
P (X = k) = Cnk .pk .(1 − p)n−k
n−k
λk
λ
n!
. . 1−
=
k!(n − k)! n
n
n −k
k
λ
λ
n!
λ
. 1−
=
.
. 1−
k! (n − k)!nk
n
n
posons λ = n.p
λk
Si n −→ +∞ : on trouve comme limite P (X = k) = e−λ . En pratique, on utilise la loi de Poisson lorsque
k!
n > 50 et p < 0, 1.
Exemples
1. Réaction à un vaccin 1
Lors de l’application d’un vaccin, on constate que le nombre de réactions graves est de quatre cas sur
10000. On vaccine 2000 nouveaux patients.
ä Quelle variable allons-nous utiliser ?
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ä Probabilité d’avoir :
• aucune mauvaise réaction ;
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...............................................................................................
...............................................................................................
• une mauvaise réaction ;
...............................................................................................
...............................................................................................
...............................................................................................
1 Actimath
6-4
CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
152
• deux mauvaises réactions ;
...............................................................................................
...............................................................................................
...............................................................................................
• au moins deux mauvaises réactions.
...............................................................................................
...............................................................................................
...............................................................................................
2. Comparaison binomiale - Poisson
Sur une chaîne de montage, cinq appareils sur mille sont défectueux (prouvé statistiquement). Soit X, la
variable aléatoire " nombre d’appareils défectueux ".
Ê Quelle loi suit-elle ?
Ë Quelle est la probabilité d’avoir aucun appareil défectueux. ?
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3. Résultat de la comparaison :
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........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
153
CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
7.2
A.
Cas continu
Variables aléatoires continues
r Contexte
ä Variable discrète : nous associons des probabilités à des valeurs observables.
ä Variable continue : nous ne travaillons plus sur des valeurs mais sur des intervalles.
ä Dans le cas continu : il est impossible de donner une liste de toutes les valeurs possibles. Les variables
aléatoires sont contenues dans un intervalle.
Discret
Continu
r Densité de probabilité et fonction de répartition
Si la fonction de répartition est continue, on parle de distribution continue et de variable aléatoire continue.
Dans ce cas, il existe une fonction F appelée densité de probabilité, telle que la fonction de répartition F (x) =
P [X ≤ x] = . . . . . . . . . . . .
Discret
Nous admettons :
Continu








lim F (X) = . . . . . . . . . . . .
x→−∞






 ∀x ∈ R : 0 ≤ F (X) ≤ 1
et
et
lim F (X) = . . . . . . . . . . . .
x→+∞
F est une fonction . . . . . . . . . . . .
CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
r Propriétés
1. P [X = a] = 0
Ra
2. P [X ≤ a] = −∞ f (x)dx et P [X ≥ a] = . . . . . . . . . . . .
3. P [a ≤ X ≤ b] = . . . . . . . . . · · · = . . . . . . . . . · · · = . . . . . . . . . . . .
Fig. 7.1 – P [a ≤ X ≤ b]
Remarque : P [X = a] = P [a ≤ X ≤ a] = . . . . . . . . . . . .
Donc : P [a < X < b] = . . . . . . . . . . . .
154
155
CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
4. P [X ≥ a] = 1 − . . . . . . . . . . . .
"="
"-"
B.
Loi Normale : N (µ, σ)
r Introduction
La loi normale est présente dans des problèmes où une majorité des individus se présentent autour de la moyenne
et où il y a peu de personnes aux extrémités. C’est une courbe en "cloche".
r Définition
La distribution normale N (µ, σ) est une distribution continue qui dépend de deux paramètres µ et σ. Elle
est définie par
f (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
r Loi normale centrée réduite
Une loi normale est centrée si son espérance est . . . . . . . . . et réduite si son écart-type vaut . . . . . . . . . La densité
de probabilité devient f (x) = . . . . . . . . . . . . .
Nous noterons une variable centrée réduite par Z = N (0, 1).
156
CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
r Propriétés
Constatations :
• ...........................................................................................................
• ...........................................................................................................
• ...........................................................................................................
• ...........................................................................................................
Par symétrie par rapport à l’axe OY : F (−t) = . . . . . . . . . . . . , P [Z ≥ −t] = . . . . . . . . .
r Table N (0, 1)
Page en annexe.
r Exercices
P [Z < 2, 4] = . . . . . .
P [Z < −2, 41] = . . . . . .
P [0 < Z < 2] = . . . . . .
P [Z > 2] = . . . . . .
P [Z > −0, 4] = . . . . . .
P [−1 < Z < −0, 63] = . . . . . .
CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
157
r Les variables aléatoires normales non réduites
Par un changement de variable adéquat, la loi normale N (µ, σ) se ramène à une loi normale standard N (0, 1).
Exemples :
ä X = N (10, 3)
ä X − 10 = . . . . . .
ä ......... = .........
Généralisation :
Si X = N (µ, σ) alors Z = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = N (0, 1)
158
CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
r Exercices
1. Soit X = N (14, 6). Calcule :
P (X < 17) =
P (X = 15) =
P (X > 12) =
P (X ≥ 20, 11) =
2. Soit X la température pendant le mois de mai. Sachant que X = N (20°, 3°), quelle est la probabilité que
la température soit comprise entre 21°et 26° ?
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3. Sachant que le QI suit une loi normale N (100, 15), détermine
(a) le QI maximum atteint par 90% de la population ;
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(b) l’intervalle de QI centré sur la moyenne qui comprend la moitié de la population.
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CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
159
...................................................................................................
4. Le temps nécessaire pour accomplir ses opérations financières au guichet de banque suit une loi normale
de moyenne 130 secondes et de variance 2025. Quelle est la probabilité pour qu’un client choisi au hasard
...
(a) accomplisse toutes ses opérations en moins de 100 secondes ?
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(b) passe de 2 à 3 minutes au guichet ?
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CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
160
r Approximation de la loi binomiale par la loi normale
ä Lorsque n est grand, la distribution binomiale a une allure proche de la distribution normale (cf. le
tableau montré en classe). Il nous semble ainsi intéressant d’essayer d’approximer la loi binomiale
par la loi normale.
ä Résultat admis : lorsque n est grand et que p et q ne sont pas proches de zéro, la distribution
binomiale
peut être approchée par une distribution normale de moyenne µ = np et d’écart-type
p
σ = np(1 − p).
En pratique : n > 40 et 0.1 ≤ p ≤ 0.9, np ≥ 5 et nq ≥ 5
p
Si X = B(n, p), on approche X par N (np, np(1 − p)).
ä Comment calculer P (X = t) en l’approximant par une loi normale puisque dans le cas d’une v.a.
continue, P (X = t) = 0 ?
r Exercice de comparaison entre la loi binomiale et la loi normale
On jette douze fois une pièce équilibrée. Calcule la probabilité pour que le nombre de "face" soit compris
entre 4 et 7, en utilisant les deux lois.
(a) Loi binomiale
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CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
161
(b) Loi normale
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r Exercice
On lance 400 fois une pièce de monnaie. Calcule la probabilité que l’on obtienne "pile" . . .
(a) au moins 220 fois ;
(b) un nombre de fois compris entre 180 et 220.
Quelle distribution de probabilité vas-tu utiliser ? Pourquoi ?
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162
CHAPITRE 7. VARIABLES ALÉATOIRES
7.3
Résumé
Loi Binomiale B(n, p)
Variable discrète finie
P (X = k) = Cnk pk q n−k
p
E(X) = n.p et σ(X) = np(1 − p)
Loi de Poisson P (λ)
Variable discrète infinie
λk
k!
√
E(X) = λ et σ(X) = λ
P (X = k) = e−λ
Sous les conditions suivantes, la loi de Poisson approxime la loi binomiale :
n > 50
p < 0, 1
et en posant λ = np
np < 10
Loi Normale N (µ, σ)
Variable continue
1
P (a ≤ X ≤ b) = √
σ 2π
Z
b
−(x − µ)2
2σ 2
e
dx
a
E(X) = µ et σ(X) = σ
Les valeurs de la loi normale N (µ, σ) s’observent dans le tableau de la normale N (0, 1) après avoir déterminé
la variable centrée réduite.
Sous les conditions suivantes, la loi normale approxime la loi binomiale :
n > 40
0, 1 ≤ p ≤ 0, 9
np ≥ 5
nq ≥ 5
et en posant µ = np et σ =
p
np(1 − p)
Annexe A
Table N (0, 1)
X
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0
0,5000
0,5040
0,5080
0,5120
0,5160
0,5199
0,5239
0,5279
0,5319
0,5359
0,1
0,5398
0,5438
0,5478
0,5517
0,5557
0,5596
0,5636
0,5675
0,5714
0,5753
0,2
0,5793
0,5832
0,5871
0,5910
0,5948
0,5987
0,6026
0,6064
0,6103
0,6141
0,3
0,6179
0,6217
0,6255
0,6293
0,6331
0,6368
0,6406
0,6443
0,6480
0,6517
0,4
0,6554
0,6591
0,6628
0,6664
0,6700
0,6736
0,6772
0,6808
0,6844
0,6879
0,5
0,6915
0,6950
0,6985
0,7019
0,7054
0,7088
0,7123
0,7157
0,7190
0,7224
0,6
0,7257
0,7291
0,7324
0,7357
0,7389
0,7422
0,7454
0,7486
0,7517
0,7549
163
Annexe B
Remerciements
Je remercie ...
– Yves de m’avoir inoculé le virus du LATEX ;
– Charlotte, Francis et toute l’équipe dynamique de l’UREM de leur accueil parmi eux et de leur amitié ;
– Patrick de son autorisation à me « servir » de ses notes de cours pour obtenir un objectif de travail lors de
mon apprentissage du LATEX et d’avoir maintenu des liens avec le C.N.D.B.W.
D.De Groote
164