Mathématiques : cours de 6

Mathématiques : cours de 6e
P.Tilmant - D.De Groote
2009

Table des matières
1 Notions de base 7
1.1 Rappels .................................................. 7
A. Lesfonctionsdupremierdegré ................................. 7
B. Lesfonctionsduseconddegré.................................. 10
C. Lesfonctionsusuelles ...................................... 12
D. La factorisation par la méthode d’Horner .......................... 17
E. Desproduitsremarquables ................................... 17
F. Lesconditionsd’existence.................................... 17
G. Lesdérivées............................................ 18
1.2 La règle de l’Hospital .......................................... 20
A. Exemplesintroductifs ...................................... 20
B. Règle de l’Hospital ....................................... 20
C. Exercices ............................................. 22
1.3 Lesfonctionscyclométriques....................................... 23
A. LafonctionArcsinus....................................... 23
B. LafonctionArccosinus...................................... 26
C. LafonctionArctangente..................................... 29
D. Exercices ............................................. 31
1.4 Récurrence ................................................ 32
A. Positionduproblème....................................... 32
B. Conditiond’application ..................................... 32
C. Idée du raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
D. Retourànotreexemple ..................................... 32
1

TABLE DES MATIÈRES 2
E. Exercices ............................................. 33
2 Exponentielles et logarithmes 34
2.1 Introduction................................................ 34
2.2 Lesfonctionsexponentielles ....................................... 35
A. Présentation ........................................... 35
B. Définition............................................. 36
C. Observationsetpropriétés.................................... 37
D. Dérivée des fonctions exponentielles en base quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
E. La fonction exponentielle népérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
F. Équations et inéquations exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
G. Exercices ............................................. 41
2.3 Lesfonctionslogarithmiques....................................... 43
A. Retourenarrière......................................... 43
B. Définition............................................. 43
C. Observationsetpropriétés.................................... 45
D. Propriétésalgébriques ...................................... 45
E. Changementdebase....................................... 47
F. Équations et inéquations logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
G. Dérivée des fonctions logarithmiques et exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
H. La fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 Exercices ................................................. 52
A. Propriétésdeslogarithmes.................................... 52
B. Équationsexponentielles..................................... 52
C. Equationslogarithmiques .................................... 52
D. Inéquations logarithmiques ou exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
E. Systèmes ............................................. 53
F. Dérivées.............................................. 54
G. Applications particulières : dérivation logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
H. Problèmes............................................. 55
I. Limites .............................................. 56

TABLE DES MATIÈRES 3
3 Le calcul intégral 58
3.1 Plan .................................................... 58
3.2 Différentielle ............................................... 58
A. Variation ............................................. 58
B. Rappelsetréflexion ....................................... 59
C. Définition............................................. 59
D. Représentation graphique de la différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
E. Notation différentielle de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
F. Propriétés ou formulaire de différentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
G. Exercices ............................................. 61
3.3 Primitives................................................. 62
A. Définitions, théorème, propriétés, notations et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
B. Primitives immédiates simples et généralisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
C. Exercices ............................................. 67
D. Méthodes particulières d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
E. Exercicesmélangés........................................ 70
F. Exercicesd’auto-contrôle .................................... 71
G. Primitives particulières (vues en classe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
H. Décomposition de fonctions rationnelles en une somme de fractions simples . . . . . . . . 72
I. Primitivation de fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
J. Exercices de primitivation par changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
K. Auto-contrôle........................................... 76
3.4 Calculintégral .............................................. 77
A. Valeur approchée de l’aire d’une partie du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
B. Définitions : fonction intégrable - intégrale définie d’une fonction continue . . . . . . . . . 77
C. Théorème et propriétés de l’intégrale définie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
D. Interprétationgéométrique ................................... 80
E. Théorèmedelamoyenne .................................... 81
F. Calcul de l’intégrale définie - Lien entre intégrale indéfinie et intégrale définie . . . . . . . 83
G. Retouraucalculd’aire...................................... 84

TABLE DES MATIÈRES 4
H. Solidederévolution ....................................... 86
I. Exercices ............................................. 88
4 Les nombres complexes 95
4.1 Introduction................................................ 95
A. Brefhistorique .......................................... 95
B. Ensemblesdenombres...................................... 95
C. Équation cubique - Formule de Cardan ............................ 96
D. Nombre de solutions d’équations polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2 Définitions-Terminologie ........................................ 98
A. Exempleintroductif ....................................... 98
B. Notation.............................................. 98
C. Vocabulaire............................................ 98
4.3 Égalités et opérations dans C...................................... 99
A. Egalité............................................... 99
B. Additiondenombrescomplexes................................. 99
C. Multiplicationdecomplexes...................................100
D. Multiplicationscalaire......................................101
4.4 Calculdanslescomplexes ........................................102
4.5 EquationduseconddegrédansC....................................102
4.6 Représentation géométrique et forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.7 Produits, quotients de complexes écrits sous forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.8 Racines nièmes d’un nombre complexe (n > 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5 Analyse combinatoire 103
5.1 Introduction................................................103
5.2 Quelquesnotionsutiles..........................................103
A. Cardinald’unensemble .....................................103
B. Factorielle.............................................104
5.3 Principesfondamentaux .........................................105
A. Loi du produit : "et" signifie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105