calcul trigonometrique - les mathematiques pour tous

Abderrahmane KARMIM 2016-2017
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CALCUL TRIGONOMETRIQUE
PARTIE 1
I) RAPPELLES ET EXTENSION
1) Activités
Activité1:
Soit  un triangle rectangle en  tel que    et    ;
soit  la projection orthogonal de  sur 
1. Calculer 
2. a) Calculer 
b) En déduire une valeur approchée de la mesure de l'angle 
c) Déterminer la distance 
3. ) déterminer 
 en déduire 
Activité2:
Dans le triangle ci-contre on considère    et   
Calculer 
 en déduire   et 
2) Unités de mesure des angles et des arcs géométriques
2.1 Activité
Activité:
Soient  deux cercles de même centre  et de rayons respectifs
 et  (on suppose que   ).
Soient  et  deux points du cercle  tels que 
  (    )
 est le point d'intersection de la droite  avec le cercle 
 est le point d'intersection de la droite  avec le cercle 
1. a) Montrer que les droites  et  sont parallèles.
b) En déduire la valeur du rapport   
 en fonction de  et .
2. a) Déterminer la longueur du cercle  et celle du cercle 
b) Déterminer la longueur de l'arc 
 en déduire celle de l'arc 
3. Déterminer une relation entre la longueur d'un arc de cercle et la rayon de ce cercle.
2.2 Unités de mesure:
Pour mesurer un angle on a trois unités: le degré ; le grade et le radian
Définition:
Un angle d'un radian intercepte sur la circonférence de ce cercle un arc d'une longueur égale au rayon.
Un cercle complet représente un angle de 2π radians, appelé angle plein.
Remarques:

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Propriété:
Si  sont les mesures d'un angle en radian, degré et en grade respectivement alors: 
Application:
Compléter le tableau suivant:
Mesure de
l'angle en degré
45
210
360
Mesure de
l'angle en radian
2.2 Mesure et longueur d'un arc géométrique
Définition:
La mesure d'un arc géométrique est la mesure de l'angle géométrique centrique qui l'intercepte.
Propriété:
Si  est la mesure d'un arc géométrique en radian sur un cercle de rayon ,
alors la longueur de cet arc est 
Cas particulier:
La longueur d'un arc géométrique sur un cercle de rayon    est la mesure de l'angle
géométrique centrique qui l'intercepte.
II) LE CERCLE TRIGONOMETRIQUE; LES ABSCISSES CURVILIGNES
1) Orientation d'un cercle; cercle trigonométrique
1.1 Orientation du cercle.
Soit  un cercle de centre  et de rayon .  un point sur le cercle .
Si on veut se déplacer sur le cercle  à partir du point , deux sens s'impose.
L'orientation du cercle revient à choisir un sens, l'un sera directe (positif) l'autre sera
indirecte (négatif).
On convient que le sens contraire au déplacement de l'aiguille d'une montre est le sens positif
Si on oriente tous les cercles du plan de même sens on dit qu'on a orienté le plan.
1.2 Cercle trigonométrique.
Définition:
Le cercle trigonométrique est un cercle:
 de centre  l'origine du plan
 de rayon   
 orienté une orientation positive.
 et admet une origine 

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2) Les abscisses curvilignes
1.1 L'abscisse curviligne principale d'un point sur le C.T
Soit  le cercle trigonométrique d'origine ; considérons l'intervalle 
tel que 0 l'abscisse de  sur l'axe perpendiculaire sur . Si on fait enrouler
le segment qui représente  au tour du cercle  on remarque que
chaque point d'abscisse  de l'intervalle  s'associe avec un point unique
 du cercle trigonométrique.
Le réel  s'appelle l'abscisse curviligne principale du point 
et inversement si  est un réel de l'intervalle , alors il existe un point  unique
de  qui s'associe avec le point 
Le réel  représente aussi la mesure de l'angle géométrique centrique 
.
Exercice:
Placer sur le cercle trigonométrique  les points d'abscisse curviligne principale:
1.2 Les abscisses curvilignes d'un point sur le cercle trigonométrique
Considérons le cercle trigonométrique  d'origine .  est la droite
passante par  et perpendiculaire à  et d'unité égale à .
Soit  un point sur le cercle  et d'abscisse curviligne principale .
Si on suppose que la droite  est un file qu'on peut enrouler autour du cercle 
on remarque que la point  du cercle  coïncide avec une infinité de points de
la droite ; et qui ont pour abscisses
En générale: chaque point  de la droite  qui coïncidera avec le point 
aura pour abscisse  
Ces réels s'appellent les abscisses curvilignes du point  sur le cercle .
Définition:
Soit  un point sur le cercle  et d'abscisse curviligne principale .
Les réels qui s'écrivent de la forme  où  est un entier relatif s'appellent les abscisses curvilignes du point
 sur le cercle .
Remarque:
La mesure en radian de l'angle géométrique 
 est .
1.3 Exercices
Exercice1:
Représenter sur le cercle trigonométrique les points d'abscisses curvilignes, les réels: 
Exercice 2:
1. Les réels 
 sont-elles des abscisses curvilignes du même point sur le cercle trigonométrique.
2. Les réels 
 sont-elles des abscisses curvilignes du même point sur le cercle trigonométrique.
Exercice 3:
Déterminer toutes les abscisses curvilignes du point 
 et qui appartiennent à l'intervalle 
Exercice 4:
Construire sur le cercle trigonométrique les points d'abscisses curvilignes 
 où   .

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Propriété :
 et  sont des abscisses curvilignes du même point  sur le cercle trigonométrique s’il existe un entier relatif  tel
que   
On dit que  est congru à  modulo 
Applications :  et  sont-elles des abscisses curvilignes du même point  sur le cercle trigonométrique dans les cas
suivants :
 et   
 et   
II LES ANGLES ORIENTES
1) Les angles orientés de deux demi droites.
Définition :
Dans le plan orienté on considère deux demi droites  et  l’angle déterminé par le couple  s’appelle
l’angle orienté de deux demi droites on le note : 
.
.  .
2) Mesure d’un angle orienté de deux demi droites.
Définition :
Soient 
 un angle orienté de deux demi droites, et  le cercle trigonométrique de centre ,  et  sont
respectivement les points d’intersection de  et  et .
Soient  et  les abscisses curvilignes de  et  respectivement sur le cercle trigonométrique.
le réel  s’appelle mesure de l’angle orienté 
.
Chaque réel qui s’écrit de la forme  où  un entier relatif est aussi une mesure de l’angle orienté
.
On note la mesure de l’angle orienté
 par 
. et on écrit : 
   où   
On écrit aussi : 
   et on lit :
la mesure de l’angle orienté 
 est congru à modulo .
3) Angle orienté de deux vecteurs non nuls
Définition : Soient  et  deux vecteurs non nuls ; et soient  et  deux points du
plan orienté tels que  .
l’angle orienté des demis droites  ;  s’appelle aussi angle orienté des
vecteurs  et  et on le note par : 
.
la mesure de l’angle orienté 
 est la mesure de l’angle orienté 
 et se
note par  .

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Remarque :
 Parmi les mesures de l’angle orienté 
, il y a une mesure dans l’intervalle  et qui s’appelle la mesure
principale de l’angle orienté 
.
 Si  est la mesure principale de l’angle orienté 
 alors toutes les mesures de cet angle orienté s’écrivent sous
la forme de  où  un entier relatif.
et  sont colinéaires si et seulement si 
  ou 
 Si  alors la valeur absolue de la mesure principale de l’angle orienté 
 est la mesure de
l’angle géométrique 
4) Relation de Shales et conséquence.
Propriété : Soient  trois vecteurs on a :
Cette relation s’appelle relation de Shales pour les angles orientés.
Exemple :
Propriétés :
Soient   et  et  deux réels non nuls ; on a :
 si    alors : 
 si    alors : 