probabilites conditionnelles

L3 AES PROBABILITES CONDITIONNELLES
I INTRODUCTION
On considère les données suivantes, concernant le personnel d'une entreprise de 1500 personnes, suite à une étude sur le travail à
temps partiel, selon le sexe des individus.
FFemmes HHommes total
BPlein temps 200 700 900
ATemps Partiel 300 300 600
total 500 1000 1500
T ableau de Caroll (Lewis)
1. Quelle est la probabilité, en tirant au hasard un nom sur le listing de l'entreprise, de tomber sur une personne travaillant à temps
partiel (événement noté A) ?
On a une probabilité uniforme, c'est à dire que les événements élémentaires sont équiprobables, on a donc : P(A) = card (A)
card () =
600
1500 = 0:40 soit 40%; cette probabilité est en terme statistique, la fréquence du caractère ”temps partiel” dans la population totale
de cette entreprise.
2. Quelle est la fréquence du caractère ”temps partiel” dans la population féminine de cette entreprise ?
Cette fréquence est : f=card (A\F)
card (F)=300 500 = 0:60 soit 60% ; c'est la proportion d'employés travaillant à temps partiel parmi
les femmes; on a changé d'univers, on travaille non plus sur la population totale ;mais sur F: On notera que la fréquence fpeut
s'écrire : f=card (A\F)
card (F)=
card (A\F)
card ()
card (F)
card ()
=P(A\F)
P(F); cette fréquence relative, sera notée P(A=F );lu ” Pde Asachant
F(réalisé) ” ou PF(A):
II PROBABILITE CONDITIONNELLE
1. dénition : Soit un univers ;et un événement B;de probabilité non nulle ; pour tout événement Ade ;on dénit :
PB(A) =P(A\B)
P(B)
cette probabilité, se lit :"Pde Aconditionné par B"et était notée avant également : P(A=B)(on a changé d'univers, on travaille
sur Bet non plus sur ):
2. Remarque : on notera que si la connaissance de la réalisation de Bdouble la probabilité de la réalisation de A; c'est à dire si :
PB(A) = 2P(A);alors on a également PA(B) = 2P(B):Démontrer le.
3. Propriétés : On démontre que PBest une probabilité sur ;elle en vérie donc toutes les propriétés ; en particulier :
a. 0PB(A)1
b. PB() = 1
c. Si A1et A2sont incompatibles (A1\A2=;):PB(A1[A2) = PB(A1) + PB(A2)
d. P(A=B) = 1 P(A=B)c'est à dire PB(A) = 1PB(A).
III THEOREME DES PROBABILITES COMPOSEES
1. Théorème : Il vient directement de la dénition d'une probabilité conditionnelle :
P(A\B) = PB(A)P(B)
P(A\B) = PA(B)P(A)
2. ATTENTION : Ne pas confondre P(A\B)et PB(A); celà semble simple....mais c'est une source d'erreur très fréquente.
Reprenons l'exemple de l'introduction :
Quelle est la probabilité p1;en tirant au hasard un nom sur le listing de l'entreprise, de tomber sur une femme travaillant à temps
partiel ? Quelle est la probabilité p2de tomber sur une femme, sachant qu'il s'agit d'une personne travaillant à temps partiel ?
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2PROBABILITES CONDITIONNELLES
p1=P(A\F) = 300
1500 =1 5= 0:20 et p2=P(F=A) = 300 600 = 0:5:
3. Promenades aléatoires :”la règle multiplicative”
0:50
%F P (F\A) = 0:40:5 = 0:20 = 3
15
A
0:40
% &
0:50 FPF\A= 0:40:5 = 0:20 = 3
15
I
&
0:60
2
9
%F P (F\B) = 0:60 2
9=2 15
B
&
7
9FPF\B= 0:60 7
9=7 15
T otal : 1
Representation par un arbre
IV INDEPENDANCE
1. Dénition :
A et B indépendants () 
PB(A) = P(A)
ou P(A\B) = P(A)P(B)
ceci revient à dire que la réalisation de l'un n'inue pas sur la réalisation de l'autre. Deux événements sont dépendants si
PB(A)6=P(A)::::
Remarque : Il faut bien distinguer incompatibilité et indépendance ; on note A;l'événement :” obtenir l'UE mineure et B: " avoir
20 en statistiques et mathématiques appliquées ” ; Que pensez -vous des événements Aet Bdu point de vue de l'incompatibilité et
de l'indépendance ?
2. Exemple:
Femmes- BHommes -B
Fumeurs- A200 600
Non-fumeurs -A100 300
Les événements Aet Bsont-ils indépendants ? même question pour Aet B:
3. Epreuves répétées :
a. Exemple
Si on joue deux fois de suite à pile ou face et que l'on note A1l'événement :”obtenir face au premier jet” et A2:”obtenir face au
deuxième jet”, il est clair que ces deux événements sont indépendants, car la pièce n'a aucune mémoire et le résultat du premier
jet n'a ancune inuence sur le résultat du second.
b. Règle : le cas des épreuves répétées identiques, est le seul cas où l'on pourra afrmer l'indépendance de deux résultats; on
retrouvera cette notion importante dans le schéma de Bernoulli.Dans les autres cas, on doit tester l'indépendance éventuelle par
le calcul.
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V THEOREME DES PROBABILITES TOTALES
1. Exemple
Une agglomération est constituée de trois villes, V1; V2et V3; 40% des gens habitent V1;25%V2et 35% V3:Une enquête a révélé
que ces trois villes comportent respectivement 10%, 20% et 30% de fumeurs.On prend au hasard une personne sur le listing des
habitants de l'agglomération ; quelle est la probabilité de l'événement F: ”la personne fume”.
0:10
%FP(F\V1) = 0:40:1 = 0:0 4
V1
0:40
% &
0:90 F P F\V1= 0:40:9 = 0:36
0:20
%F P (F\V2) = 0:25 0:20 = 0:0 5
I0:25 ! V2
&
0:80 F P F\V2= 0:25 0:80 = 0:20
&
0:35
0:30
%F P (F\V3) = 0:35 0:30 = 0:105
V3
&
0:70 F P F\V3= 0:35 0:7 = 0:245
Total :1
2. LE THEOREME
P(A) =
i=n
X
i=1
PBi(A)P(Bi)
Les Biconstituant une PARTITION de 
A
B1
B2
B3
B4
B5
3. La représentation par un arbre
On peut noter sur l'arbre que la probabilité de l'évenement F est la somme des probabilité des différents chemins aléatoires menant
à la réalisation de F:
VI LE THEOREME DE BAYES(1701-1761): ”probabilité des causes”
1. EXEMPLE
Une société a effectué 200 expéditions de radios à ses revendeurs et a acquis la réputation de faire de mauvais contrôle de qualité.
Dans les 128 premières expéditions, il y avait 44% de radios defectueuses; après des mesures de remaniement, le taux de radios
defectueuses dans les 72 envois restants a été réduit à 15%. En tant que responsable d'un magasin, vous devez prendre une décision
quant à une livraison de ces radios qui a été stockée dans un de vos entrepôts : garder la livraison ou la renvoyer, that is the question.
a. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une bonne livraison ?
b. Pour tester la livraison, vous prenez une radio au hasard ; cette radio est defectueuse ; quelle est maintenant la probabilité qu'il
s'agisse d'une mauvaise livraison ? d'une bonne ?
Solution :
c. Question a : A PRIORI (avant le test).
Notons Bl'événement ” la livraison est bonne” et Bl'événement contraire ; de même D: " la radio tirée est defectueuse ” et D
son contraire.
P(B) = 72
200 = 0:36 et P(B) = 128 200 = 0:64:
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4PROBABILITES CONDITIONNELLES
d. Question b : A POSTERIORI ( après le test)
PD(B) = P(B\D)
P(D); on connait PB(D) = 0:44;ce qui donne :P(B\D) = P B(D)P(B) = 0:44 0:64 = 0:281 6:
Il reste à calculer P(D);nous utiliserons le théorème des probabilités totales: P(D) = PB(D)P(B) + PB(D)P(B) =
0:36 0:15 + 0:64 0:44 = 0:335 6 On en déduit: PD(B) = 0:44 0:64
0:3356 '0:839 1:On en conclut que si la radio choisie
au hasard est defectueuse, il est très vraisemblable qu'elle provienne d'une mauvaise livraison.Il faut sans doute renvoyer la
livraison.
0:15
%D
B
0:36
% &
0:85
D
&
0:64
0:44
%D
B
&
0:56
D
ARBRE
0:84
%B
D
0:3356
% &
0:16
B
&
0:6644
0:46
%B
D
&
0:54
B
ARBRE INVERSE
2. LE THEOREME
Les événements Biformant une partition de l'univers (système complet d'événement) :
La probabilité que Bisoit la ”cause” de la réalisation de Aest :
PA(Bi) = PBi(A)P(Bi)
P(A)=PBi(A=)P(Bi)
PPBj(A)P(Bj)
Cette probabilité mesure le ”poids ”probabiliste du chemin aléatoire allant vers Aet venant de Bicomparé à la somme des proba-
bilités de tous les chemins conduisant à A:
Application : reprenons l'exemple 1 du paragraphe 5 et calculons :
PF(V3) = P V3(F)P(V3)
PPVj(F)P(Vj)=0:30 0:35
0:10 0:40 + 0:20 0:25 + 0:30 0:35 '0:538 5:
VII"TO BE OR NOT TO BE"
VII.1 Epreuve de Bernoulli
1. Dénition : On appelle épreuve de Bernoulli, une expérience aléatoire admettant deux résultats possibles que l'on pourra noter S
(succès) et E=S(échec).
On note pla probabilité d'un succès et q= 1 pla probabilité d'un échec.
p=P(S)et q=PS;pest appelé le paramètre de l'épreuve.
2. Variable de Bernoulli
On appelle variable aléatoire de Bernoulli, l'application notée X; de l'univers dans f0; 1gdénie par :
X(!) = 1 si !2S
X(!) = 0 si ! =2S: X() = f0; 1gest l'ensemble des valeurs possibles de X; on l'appelle l'univers image.
3. Loi BINOMIALE B(1; p)
a. Exemple : On tire deux cartes d'un jeu de 52 cartes et on appelle succès, l'événement : ” les deux cartes tirées sont de même
couleur ” (il y a quatre couleurs : pique, coeur, carreau et treie ).Soit Xla variable aléatoire de Bernoulli associée:
X= 1 si les deux cartes sont de même couleur
X= 0 si elles sont de couleurs différentes ;déterminons P(X= 1) et P(X= 0) ; on aura déterminé la loi de prob-
abilité de X: Card() = 52
2et Card(X= 1) = 4 13 2donc p=P(X= 1) = 413
2
52
2=413 12
52 51 '0:235 3 et
q=P(X= 0) = 1 p'10:2353 = 0:764 7
b. Dénition : Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire, c'est déterminer l'ensemble des nombres pi=P(X=xi)
quand iprend toutes les valeurs de f1; 2; ::;ng:
Dans le cas d'une variable de Bernoulli, cette loi sera notée B(1; p)(voir suite), 1désignant le nombre de parties et pla probabilité
de succès lors d'une partie.
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VII.2 Schéma de Bernoulli
1. Jacobi Bernoulli (1654-1705)est un des huit mathématiciens que donna la famille Bernoulli, sur trois générations, de 1650 à 1800;
son célèbre ouvrage de probabilité “ Ars conjectandi” fut publié en 1713 , quelques années après sa mort.
On appelle schéma de Bernoulli, une suite de n épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes; on note Xle nombre de succès,
à l'issue des n ”parties”; Xest une variable aléatoire, c'est à dire une application de l'univers des cas possibles dans IR:L'ensemble
des valeurs possibles de X, appelé univers image, et noté X();est : X() = f0; 1; 2; :::;ng;c'est le nombre de points que l'on
peut avoir à l'issue de nparties, si à chaque partie, on marque un point pour une partie gagnante et 0 en cas de perte; Xest le
compteur des succès.On a pour kentier naturel variant de 0àn:
P(X=k) = n
kpkqnk
On dit que Xsuit la loi binomiale B(n;p)(nparties).
On retrouve ici la patte du “Lion”, Isaac Newton :(p+q)n=
k=n
X
k=0 n
kpkqnk= 1 , qui donne
k=n
X
k=0
P(X=k) = 1 (probabilité de
l'univers).
2. Justication rapide de la formule :
On suppose que l'on joue 5 fois de suite à pile ou face, avec une pièce truquée, telle que la probabilité de faire face soit de 1
3:Si
l'on joue 5 fois de suite, on a évidemment un schéma de Bernoulli ; notons Xle nombre de face obtenu à l'issue des 5 parties,
et calculons P(X= 3) ;fX= 3g=f(1; 1; 1; 0; 0) ; (1; 1; 0; 1; 0) (1; 1; 0; 0; 1) ; ::::; (0; 0; 1; 1; 1)g;Il est clair que ces événements
élémentaires sont équiprobables et que du fait de l'indépendance, chacun a pour probabilité :1
332 32
;il reste à les compter
compter pour déterminer P(X= 3):pour les dénombrer il suft de calculer le nombre de possibilités de positions pour les trois
succès parmi les cinq parties : il y en a 5
3donc P(X= 3) = 5 31
332 32
:
Dans le cas général, c'est la même chose : pour B(n;p); X () = f0; 1; 2; :::;ng:Si k2X() ;chaque événement élémentaire
de l'événement fX=kgest un nuplet formé de kchiffres 1et de (nk)chiffres 0;par exemple : (1; 1; 1; 1; :::; 1
| {z }
k succes
; 0; 0; :::; 0
| {z }
(n-k) echecs
);
chaque événement élémentaire a une probabilité de :pkqnk(indépendance) et il y en a n
k:le nombre de possibilités de choisir
la place des ksuccès parmi les nparties. C.Q.F.D.
3. Fonction de répartition :
on appelle fonction de répartition de la variable aléatoire X;la fonction Fdénie de Rdans [0; 1] ;par :
F(x) = P(Xx)
Cette fonction de répartition est à rapprocher des effectifs cumulés croissants en statistique.
a. Exemple :
Calculs et représentation : la loi B(5; 1=3) : loi de probabilité et fonction de répartition.
kP(X=k) F(k)
00,1317 0,1317
10,3292 0,4609
20,3292 0,7901
30,1646 0,9547
40,0412 0,9959
50,0041 1,0000
Total 1,0000
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