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Dury Marie-Eliette – L2EG S3 1/8
TD-Chapitre 3
Variables aléatoires discrètes
CORRECTION EXERCICES D'APPLICATION DIRECTE DU CHAPITRE 3
> Exercice 1 – TD-CH3
Soit X la variable aléatoire dont la distribution est donnée par le tableau suivant :
IM(X) : x
i
-3 0 3
P(X=xi) 0,35 0,3 a?
1/ 1.a /Donner l’ensemble image de X : Im(X)={-3;0;3}
1.b/ Calculer a en donnant la partition utilisée. Rappeler les 3 propriétés qu'elle doit vérifier.
Partition : ({X=-3}, {X=0}, {X=3})
Dans une partition : 1/Chaque événement a bien une probabilité non nulle, 2/ils sont incompatibles 2 à 2 et
3/ leur réunion est égale à Ω=Im(X)
donc
2/ Calculer la probabilité pour que X soit :
2.a/ inférieur ou égal à 0,3 :
2.a/ supérieur ou égal à 0 :
2.a/ strictement supérieur à 3 : car l'événement {X>3} est impossible
3/ Exprimer et calculer :
3.a/ l’espérance de X. En déduire sa moyenne. Est-elle centrée ?
!"!
#!$
X est centrée car son espérance est nulle.
3.b/ la variance de X. En déduire son écart-type. Est-elle réduite ?
%& '
(
(
!"!
) )
%&
(
!"!
(
Ecart-type de X
: ' *%& + , - : la variable X n'est donc pas réduite.
4/ Soit Y la variable aléatoire définie par Y=X². 4.a/ Donner le tableau de distribution de Y
x
i
-3 0 3
y
j
=(x
i
)²
9 0 9
P(X=xi) 0,35 0,3 0,35
De ce tableau de valeurs, on déduit le tableau de distribution (ou tableau statistique) de Y :
y
j
0 9
P(Y=y
j
)
0,3 0,7
Car . et . ) # $ / # $ 0
4.b/ Calculer l'espérance et la variance de Y
. 12
. 2
3
"!4
#!)$ et %&.12
(
. 2
3
"!4
(
0
Dury Marie-Eliette – L2EG S3 2/8
> Exercice 2 – TD-CH3
Dans une station-service d'un village isolé, le nombre d'automobilistes qui viennent faire le plein d'essence est
représenté par une variable aléatoire de distribution :
Ensemble image de X, noté IM(X) : valeurs xi 0 1 2 3 4 5
Probabilité associée à chaque valeur P(X=xi) 0,02 0,14 0,26 0,42 0,14 0,02
Probabilités cumulées P(X ≤ xi) 0,02 0,16 0,42 0,84 0,98 1,00
1/ Quelle est le nombre moyen de pleins journaliers ?
"!5!(! !6!7
,8 #!$
2/ Quelle est la variance ? En déduire l’écart-type.
%&
(
"!5!(! !6!7
,8
(
08,8
(
,
On en déduit que ' *%& 9, +,
3/ Lors d'une journée où l'équivalent de 3 pleins est disponible à la pompe, quelle est la probabilité pour qu’il
reste de l'essence à la fermeture, en fin de journée ?
« Il reste de l'essence » si strictement moins de 3 pleins (quantité disponible) sont effectués dans la journée
« Il reste de l'essence » se traduit par l’événement : # : $# ,$
# ,$ ,;, ;,
4/ De quelle quantité d'essence (en nombre de pleins) doit disposer cette station-service chaque jour afin que
la demande soit satisfaite avec une probabilité supérieure ou égale à 70% ?
La demande est satisfaite si le nombre de pleins effectués (X) est inférieur ou égal à la quantité d’essence
disponible (ainsi tous les pleins « souhaités » peuvent bien être effectués)
La demande est satisfaite si <
=>
où <
=>
est le nombre de pleins dont doit disposer la station.
?@A B CDEF
D'après les valeurs cumulées, # ,$ ;, : 0 et # $ 8; 0
La station doit donc disposer de l'équivalent d'au moins 3 pleins pour que la demande soit satisfaite avec une
probabilité supérieure ou égale à 70%.
Dury Marie-Eliette – L2EG S3 3/8
> Exercice 3 – TD-CH3
En plus du nombre de pleins d'essence journaliers de l'exercice précédent, on évalue à 70% la probabilité qu’un
client ayant réalisé un plein d'essence achète aussi, le même jour, au moins un article dans la boutique de la
station-service.
On appelle Y la variable aléatoire modélisant, pour un jour, dans cette boutique, le nombre de clients qui
achètent au moins un article, suite à l'achat d'un plein d'essence.
On suppose qu’il y a indépendance du comportement des consommateurs.
On constate que 2 automobilistes ont fait le plein d'essence dans la journée : @A CD
1/ Quelle est la loi conditionnelle suivie par le nombre de ventes d'articles ? distribution de la variable Y
(X=2)
.
indication : Y
(X=2)
est Y (nombre de ventes d'articles) sachant {X=2} (pour 2 pleins d'essence).
Sachant que 2 clients ont effectué le plein d’essence, le nombre de clients qui achètent aussi à la boutique est 0, 1 ou 2
k 0 1 2
.
@
G
H
(
D
I
(
)
,
0
;,
0
(
;)
On vérifie 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1
En effet, chaque consommateur (1 ou 2) peut acheter ou non un produit
L’événement J
5
est « le consommateur n°1 achète un article » avec J
5
0F K0
L’événement J
(
est « le consommateur n°2 achète un article » avec J
(
0F K0
Alors . J
5
L
L
L
MJ
(
L
L
L
J
5
L
L
L
J
(
L
L
L
produit des termes par indépendance des consommateurs 1et 2
D’où .
(
)
De même, si un produit est acheté (événement @. D), alors cela peut être soit par le conso n°1, soit par le conso n°2
Ainsi . J
5
MJ
(
L
L
L
J
5
L
L
L
MJ
(
J
5
J
(
L
L
L
J
5
L
L
L
J
(
,KK0
2/ Pour cette loi conditionnelle, l’espérance mathématique est . 1I. I
N@"!5!(D
; #!,$
3/ La variance est %&O.
#GH($
P 1 I;
(
. I
N"!5!(
,8;
(
;,
puis l'écart-type de Y
(X=2)
est ' *%&.
#GH($
;8
> Exercice 4 – TD-CH3
On constate maintenant que 3 pleins d'essence ont été réalisés dans la journée : @A D
1/ Quelle est la loi conditionnelle suivie par le nombre de ventes d'articles ?
Construire le tableau de distribution de cette variable Y
(X=3)
indication : Y
(X=3)
est Y (nombre de ventes d'articles) sachant {X=3} (pour 3 pleins d'essence).
Sachant que 3 clients ont effectué le plein d’essence, le nombre de clients qui achètent aussi à la boutique est 0, 1, 2 ou 3
k 0 1 2 3
.
@
G
H
(
D
I
,0
(
0
8)
0
(
;;
0
;
2/ Déterminer, pour cette loi conditionnelle, l’espérance mathématique Y
(X=3)
.
#GH $
I. I
N@"!5!(! D
, #!$
3/ En déduire la variance puis l'écart-type de Y
(X=3)
%&.
#GH $
I,
(
. I
N"!5!(!
;,
(
et
l'écart-type
' Q%&.
#GH $
0);
Dury Marie-Eliette – L2EG S3 4/8
> Exercice 5 – TD-CH3
A la sortie du stade Marcel Michelin, on interroge 1000 supporters de rugby répartis en 3 catégories de place :
Catégorie A (debout au bord du terrain), B (place assise en tribune) et C (en loge ou salon).
On leur demande s'ils reviendront au prochain match.
Les 3 réponses possibles sont : « oui » ou « non » ou « je ne sais pas »
Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :
Réponse oui Réponse non Indifférent Nb de personnes
par catégorie (X)
A 190 personnes 150 50 390
B 350 200 20 570
C 25 10 5 40
Nb de personnes par
type de réponse
donnée (R)
565 360 75 1000
On appelle : R la variable représentant la réponse donnée / X la variable qui désigne la catégorie
1/ les variables aléatoires R et X sont des variables discrètes car réponses et catégories sont qualitatives.
2/ Construire le tableau de distribution de R.
Probabilités uniformes donc I
RSTUVUWXY>>UXVZW[Z\]^YWU
5"""
Où 1000 est le nombre total de personnes
Tableau de distribution de R
Réponse r r = Oui (1) r = Non (-1) r = ?? (0)
P(R=r) 0,565 0,36 0,75
3/ Construire le tableau de distribution de X.
Tableau de distribution de X :
Catégorie k k = A k = B k = C
P(X=k) 0,39 0,57 0,04
4/ Calculer le nombre moyen de réponses données si on affecte à la réponse « oui » la valeur 1, à la réponse
« non » la valeur (-1) et à la réponse « je ne sais pas » la valeur 0.
C’est l’espérance mathématique de R (réponse donnée)
_ &_ &
W@5!"!5D
,
donc le nombre moyen de réponses (parmi 1000 pers) est 205.
Dury Marie-Eliette – L2EG S3 5/8
> Exercice 6 – TD-CH3
et exercice permet de retravailler sur les notions d'événements (réunion/intersection/conditionnement...) vues
précédemment et fait aussi le lien avec le Chapitre 4
On regarde maintenant au hasard la réponse d’une personne parmi les 1000.
Exprimer et calculer les probabilités des événements :
1/ cette personne appartient à la catégorie A et elle ne répond pas « non »
JM`
a J M `JMb
,
2/ cette personne n’appartient pas à la catégorie B ou elle est indifférente.
c
a/b c
abc
aMb
Avec
c
a J/d
ainsi
c
aMb JMb d Mb
et on obtient
J/d bJM bd Mb);
0
;
3/ cette personne n’appartient pas à la catégorie C sachant qu’elle répond « oui »
d
ae
f d
aMe
e ;
)
où
d
aMe J /cMe JM ec Me )
;
4/ cette personne répond « oui » sachant qu’elle ne répond pas « non »
et qu’elle n’appartient pas à la catégorie B.
e `
a
fMc
ae M `
aMc
a
`
aMc
a,
,0 0)
Où e M`
a e M e / b e,
`
a e / b
c
a J/ d
puisque e M`
aMc
a e M c
a e M Je M d ) , ,et
`
aMc
a e / b MJ /d e MJe Mdb MJb Md
Et donc `
aMc
a ) , ,0
6
7
8
1
/
8
100%
