Modèles simples de dynamo solaire (**)

Sujet 11
Modèles simples de dynamo solaire
(**)
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Introduction
L’activité magnétique du Soleil est observée depuis plus de 4 siècles via diverses techniques qui ont
aujourd’hui atteint un très haut niveau de sophistication avec des instruments tels que les satellite
Hinode ou SDO. Ces observations nous montrent une activité magnétique à la fois chaotique et à
petites échelles et une activité cyclique régulière aux grandes échelles, sans aucune relation apparente
entre elles. Nous détaillons ici les propriétés des manifestations du champ magnétique solaire aux
grandes échelles uniquement.
L’observation du disque solaire depuis plus de 4 siècles montre que des taches sombres (ou taches
solaires), dues à l’émergence de flux magnétique, apparaissent à la surface de notre étoile avec une
régularité très surprenante pour un objet aussi turbulent. Ces taches solaires sont l’un des plus grands
marqueurs d’une activité magnétique intense et organisée au sein du Soleil, le suivi de leur localisation
en fonction du temps permet de construire le diagramme papillon de la figure 11.
Elles apparaissent au début du cycle magnétique à moyennes latitudes formant une ceinture d’activité magnétique qui se propage ensuite vers l’équateur puis disparaît lorsqu’un nouveau cycle d’activité
émet ses premiers signes à moyennes latitudes et reproduit la même évolution.
Le but de ce projet est d’étudier des modèles simples qui permettent de reproduire un champ
magnétique cyclique avec des amplitudes et des périodes éventuellement variables dans le temps.
Pour ce faire, l’idée est de dire que la création de champ magnétique dans l’intérieur solaire est liée
à l’existence d’une rotation différentielle (l’équateur tourne plus vite que les pôles) et de convection
turbulente. Nous allons nous intéresser à l’évolution du champ magnétique moyen dans un modèle
particulier, le modèle ↵⌦ dans lequel les termes sources de champ magnétique sont la convection
turbulente (modélisée par un effet dit effet ↵) et la rotation différentielle (modélisée par l’effet dit effet
⌦).
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Un premier modèle : dynamo ↵⌦ cinématique
Dans un premier temps, on considère que le champ de vitesse sera prescrit et que seule l’équation
d’induction découplée du reste des équations de la dynamique des fluides magnétisés sera résolue.
Celle-ci se déduit des équations de Maxwell et sécrit ainsi :
@Btot
= r ⇥ (V ⇥ Btot) + ⌘ Btot
@t
où Btot est le vecteur champ magnétique, V le vecteur vitesse et ⌘ la diffusivité magnétique.
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(1)
Sujet 11. Modèles simples de dynamo solaire (**)
Figure 1 – Diagramme papillon, i.e. évolution du nombre de taches solaires en fonction du temps et
de la latitude (en haut) et du temps uniquement (en bas).
On se place en coordonnées cartésiennes plutôt que sphériques. Nous imaginerons que nous sommes
situés dans l’hémisphère Nord par exemple, la coordonnée x correspondra à la latitude, y à la longitude
et z au rayon. Nous allons décomposer le champ magnétique B en une composante poloidale (dans le
plan des méridiens) et toroidale (dans le plan des parallèles) de la manière suivante :
Btot = B(x, z)ey + r ⇥ (A(x, z)ey )
(2)
Le champ poloidal sera alors Bp = (0, 0, @A/@x) et le champ toroidal Bt = (0, B, 0).
Le système d’équations du modèle de dynamo ↵⌦ sécrit alors ainsi, où ↵ et ⌦ sont ici des
constantes :
@A
@2A
= ↵B + ⌘ 2
@t
@x
@B
@A
@2B
=⌦
+⌘ 2
@t
@x
@x
(3)
(4)
1. Chercher les solutions analytiques sous la forme d’une onde dynamo : (A, B) = (A0 , B0 ) exp[i(!t+
kx)], où ! est le taux de croissance complexe.
2. En particulier, on cherchera à exprimer la fréquence et le taux de croissance de la dynamo en
fonction de k, ⌦, ↵ et ⌘. A quelle condition a-t-on une croissance de l’onde dynamo ? Quelle sera la
forme de cette croissance ?
3. Montrer que le sens de propagation de l’onde dynamo suivant la direction ex dépend du signe
du produit ↵⌦.
4. Ecrire un programme en C qui résout le système d’équations (3)-(4), par une méthode de
différences finies explicite en temps. On prendra garde de respecter la condition CFL. On prendra
comme condition initial A(x) = x2 et B(x) = 0 et aux limites les champs seront mis à zéro.
5. Prendre ⌘ = 0.01 et chercher des valeurs de ↵ et ⌦ pour lesquelles on a croissance de la dynamo
ou décroissance (on pourra par exemple tracer l’évolution de l’énergie magnétique en fonction du
temps pour différentes valeurs de paramètres).
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Dans la réalité, l’énergie magnétique ne croit pas exponentiellement, l’instabilité de dynamo sature
du fait des effets non-linéaires. Ces effets non-linéaires sont dus à la rétroaction du champ magnétique
sur le champ de vitesse, ce qui n’est pas pris en compte dans ce modèle cinématique.
Pour saturer la croissance, nous pouvons toutefois introduire un terme non-linéaire tout en restant
dans le cadre de ce modèle cinématique. Ce terme non-linéaire (car dépendant de B 2 ) s’appelle terme
de "quenching" de l’effet ↵. Il va intervenir dans l’équation pour le champ poloidal. Il correspond
physiquement à l’affaiblissement de la capacité de la convection turbulente à produire un champ
poloidal lorsqu’un champ toroidal fort va rétroagir sur la vitesse. Le nouveau système déquations,
maintenant non-linéaires, s’écrit ainsi :
@A
↵B
@2A
=
+⌘ 2
2
@t
1+B
@x
(5)
@B
@A
@2B
=⌦
+⌘ 2
@t
@x
@x
(6)
1. Résoudre ce nouveau système d’équations.
2. Vérifier que l’on obtient bien la saturation de la dynamo.
3. Vérifier que le sens de propagation de l’onde correspond à la prédiction théorique ci-dessus. Pour
ce faire, on peut tracer les valeurs du champ toroidal en fonction du temps et de la latitude, dans les
cas ↵⌦ < 0 et ↵⌦ > 0.
3
Un modèle non-linéaire
Nous considérons maintenant un modèle qui n’est plus cinématique mais où l’évolution du champ
de vitesse est également prise en compte. La force de Lorentz ((r ⇥ B) ⇥ B) va modifier le champ de
vitesse responsable de l’effet ⌦ (la rotation différentielle) de manière à saturer la croissance de l’énergie
magnétique. ⌦ n’est alors plus une constante mais une variable de notre problème. Dans ce cas, nous
pouvons nous intéresser au comportement du système dynamique en temps suivant, qui découle du
système d’EDPs complet de la dynamique des fluides magnétisés, où on a de plus considéré que le
champ magnétique se comportait comme une onde se propageant le long de la direction ex .
Dans ce cas, nous avons un système d’équations différentielles en temps seulement, mais complexe :
Ȧ = 2DB
1
i⌦A?
2
Ḃ = iA
⌦˙ =
iAB
(7)
A
(8)
B
(9)
⌫⌦
où A? est le complexe conjugué de A.
Nous pouvons déterminer une solution harmonique en temps de ce système en considérant que
B = b exp(i t), A / exp(i t) et ⌦ / exp(2i t). Nous obtenons alors 2 équations portant sur la
fréquence et l’amplitude du champ toroidal :
(2 + ⌫)
3
2
4D
b2 = (
2
+ (2 + ⌫)
1)
2⌫D = 0
(4 2 + ⌫)
D (2 + ⌫)
(10)
(11)
1. Pour ⌫ = 2, quelle est la fréquence et l’amplitude du champ toroidal ?
2. Résoudre numériquement le système (7)-(8)-(9) et vérifier la réponse précédente.
3. Prendre ⌫ = 1/2. Dans ce cas, vérifier que lorsque D augmente, la solution périodique est
instable (le système devient chaotique).
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