Suites récurrentes et méthode de Newton

Suites r´ ecurrentes et m´ ethode de Newton
approche progressive
Ce document vient en compl´ ement du chapitre 6 du livre Infor-
matique, programmation et calcul scientifique en Python et Sci-
lab, publi´ e chez ellipses. On d´ emontre les r´ esultats sur les suites
r´ ecurrentes et la m´ ethode de Newton qui font l’objet d’explora-
tion num´ erique dans cet ouvrage.
La d´ emarche est plus ´ el´ ementaire et plus progressive que dans le
document [1], lui aussi pr´ esent sur univenligne.fr.
L’objectif est bien entendu la m´ ethode de Newton elle-mˆ eme, expos´ ee dans le cas des fonctions
de la variable r´ eelle avec l’exercice 6. Pour bien aborder cette ´ etude, il nous semble qu’il y a deux
´
etapes pr´ ealables :
– acqu´ erir une certaine familiarit´ e avec les suites r´ ecurrentes (ou syst` emes dynamiques discrets)
tant au niveau th´ eorique (ce sont ici les exercices 1 ` a 6 qui y contribuent), qu’au niveau exp´ erimental,
et l` a : programmation et exp´ erimentation sont de mise !
– programmer la m´ ethode de Newton elle-mˆ eme sur des exemples simples, ce qui motivera l’´ etude
d´ etaill´ ee en vue d’´ etablir la convergence quadratique. Nous renvoyons pour cela au chapitre 6
de notre manuel d’informatique et de calcul num´ erique.
1´ Enonc´ es
Exercice 1 Suite r´ ecurrentes, g´ en´ eralit´ es
Soit fd´ efinie sur un intervalle Iet une suite (un)ntelles que un+1 =f(un)
1. On suppose fcroissante, que dire de (un)n?
FIGURE 1 – f:= x7→ ln (3 + 2 x),croissante
1

2. On suppose fd´ ecroissante, que dire des suites (vn)n= (u2n)net (wn)n= (u2n+1)n?
3. Montrer que si fest d´ ecroissante et admet un point fixe ptel que v0≤p≤w0,alors, pour
tout non a vn≤p≤wn.
FIGURE 2 – f:= x7→ ln (18 −5x),d´ ecroissante
Corrig´ e en 2.0.1.
Exercice 2 Existence d’un point fixe.
Montrer que si fest continue sur I= [a, b],ferm´ e, born´ e et si f(I)⊂I, alors il existe c∈Itel
que f(c) = c.
Corrig´ e en 2.0.2.
Exercice 3 points fixes attractifs et r´ epulsifs
1. Deux r´ esultats pr´ eliminaires :
(a) Soit gune fonction ` a valeurs r´ eelles et continue sur un intervalle I. On suppose que
pour un certain x0∈I, g(x0)<1.Montrer qu’il existe deux r´ eels α > 0et k < 1tels
que pour tout x∈I∩]x0−α, x0+α[, g(x)< k.
Indication : ´ ecrire que gest continue au point x0:
pour tout ε > 0,il existe α > 0tel que x∈Iet |x−x0| ≤ α⇒ |g(x)−g(x0)|| ≤ ε.
Si vous choisissez bien ε, le tour est jou´ e.
(b) Soit gune fonction ` a valeurs r´ eelles et continue sur un intervalle I. On suppose que
pour un certain x0∈I, g(x0)>1.Montrer qu’il existe un r´ eel α > 0et k > 1tels
que pour tout x∈I∩]x0−α, x0+α[, g(x)> k.
2. On suppose que fest de classe C1sur l’intervalle Iet qu’elle admet un point fixe cen lequel
|f0(c)|<1(on dit que le point fixe c est attractif).
(a) Justifier qu’il existe un r´ eel k < 1et un ensemble {x∈I/ |x−c|< α},sur lequel
|f0(x)| ≤ k.
(b) On suppose que Iest un voisinage de c, c’est ` a dire qu’il existe β > 0tel que
]c−β, c +β[⊂I.
2

Justifier qu’il existe un intervalle J=]c−δ, c +δ[⊂Itel que f(J)⊂J.
Indication : choisir δen fonction de αet de βet penser au th´ eor` eme des accroissements
finis.
(c) Montrer que pour tout u0∈J, la relation de r´ ecurrence un+1 =f(un)d´ efinit une
suite d’´ el´ ements de J.
(d) Montrer qu’une telle suite v´ erifie
∀n∈N,|un−c|6kn|u0−c|.
FIGURE 3 – f:= x7→ −1/3x2+ 3/2,point fixe attractif en c= 1.
3. On suppose maintenant que |f0(c)|>1(on dit que le point fixe c est r´ epulsif).
(a) Justifier qu’il existe un r´ eel k > 1et un intervalle {x∈I/ |x−c|< α}sur lequel
|f0(x)| ≥ k.
(b) Montrer que si une suite v´ erifie un+1 =f(un)et converge vers c, elle est stationnaire.
Corrig´ e en 2.0.3.
3

FIGURE 4 – f:= x7→ −1/2x2+ 3/2,point fixe r´ epulsif en c= 1.
Exercice 4 deux exemples sans indications : prenez le temps de chercher, les ´ enonc´ es d´ etaill´ es
comme celui qui suit d´ etruisent votre capacit´ e` a bˆ atir des sc´ enarios ...
1. A la lumi` ere de l’exercice pr´ ec´ edent, ´ etudier la suite d´ efinie par (u0=π
2+k π, k ∈N,
un+1 = sin un
2. ´ Etudier de mˆ eme la suite d´ efinie par (u0= 1,
un+1 = cos un
Corrig´ e en 2.0.4.
Exercice 5 les mˆ emes exemples avec des d´ etails, mais commencez par chercher sans questions
interm´ ediaires...
1. On se propose d’´ etudier la suite (u0=π
2+k π, k ∈N,
un+1 = sin un
(a) Repr´ esentez graphiquement la fonction sinus ainsi que l’identit´ e.
(b) Montrer qu’il existe un intervalle Istable par sin et tel que ∀n∈N∗, un∈I(avec
I= [0,1] ou [−1,0]).D´ eterminer le signe de un.
(c) Monter que la suite converge et pr´ eciser sa limite.
(d) Montrer que un+1 −un∼−u3
n
6.
2. On ´ etudie maintenant la suite (u0= 1,
un+1 = cos un
(a) Montrer que cos admet un point fixe cet un seul sur R.Faire une figure.
(b) Montrer que u1≤c≤u0.Que peut on en d´ eduire pour les termes u2pet u2p+1?
(c) Prouver que les suites (u2p)pet (u2p+1)psont monotones.
(d) Prouver qu’elles sont adjacentes (on pensera encore au th´ eor` eme des accroissements
finis).
4

corrig´ e en 2.0.5
Exercice 6 m´ ethode de Newton
1. Deux r´ esultats pr´ eliminaires :
Soient Iun intervalle de R, x0∈Iet g:I→R,une fonction continue.
(a) On suppose que g(x0)>0.Montrer qu’il existe un r´ eel α > 0,tel que, pour tout
x∈I∩]x0−α, x0+α[, g(x)>g(x0)
2.
(b) On suppose maintenant que g(x0)<1.Montrer qu’il existe une constante k∈]0,1[ et
un r´ eel α > 0,tels que, pour tout x∈I∩]x0−α, x0+α[, g(x)≤k.
Soit fune fonction de classe C2sur l’intervalle ouvert I=]a, b[,ayant une racine cdans I.
On suppose que |f0(c)| ≥ m > 0.On pose
F(x) = x−f(x)
f0(x)
2. V´ erifier que Fest d´ efinie sur un voisinage de c, que cest un point fixe de Fet que F0(c)=0.
On dit que cest un point fixe super attractif.
3. (a) Montrer qu’il existe δ > 0tel que
J=]c−δ, c +δ[∈DF,
∀x∈J, |F0(x)|<1.
En d´ eduire que F(J)⊂Jet que si x0∈J, la relation xn+1 =F(xn)d´ efinit une suite
d’´ el´ ements de J.
(b) Soit x0∈J. Montrer que la suite de premier terme x0d´ efinie par xn+1 =F(xn),
v´ erifie
|xn+1 −c|6M2
2m1
|xn−c|2
|xn−c|6M2
2m12n−1
|x0−c|2n
avec
M2= sup |f”(x)|
|x−c|6δ
et m1= inf f0(x)
|x−c|6δ
.
A quelle condition converge-t-elle ?
On appelle m´ ethode de Newton, la m´ ethode qui consiste ` a approcher une racine de fpar une
suite r´ ecurrente d´ efinie par la fonction Fainsi associ´ ee ` af.
corrig´ e en 2.0.6
5