Chapitre VI – PROBABILITES

Chapitre VI – PROBABILITES
La notion de hasard étant souvent associée à Dieu, son étude scientifique fut longtemps
interdite.
Ce n'est qu'à la Renaissance que les jeux de hasard sont scientifiquement abordés. Les
premières études sont uniquement expérimentales : elles proviennent de joueurs comme le Duc de
Toscane ou le Chevalier de Méré. Au XVII siècle, les français Blaise Pascal, Pierre de Fermat puis
le néerlandais Christiaan Huygens posent les bases des premières théories mathématiques sur le
hasard : les probabilités.
On prend pour exemple l'expérience suivante : on fait tourner une roue de loterie (ayant 4
secteurs tous égaux : 2 verts, 1 rouge et 1 jaune), on attend qu'elle se stabilise et on regarde la
couleur désignée par la flèche.
I) Vocabulaire
Définition : Chacun des résultats possibles d'une expérience est une issue de l'expérience.
Exemple: Cette expérience a 3 issues : vert, rouge et jaune.
Définitions :
 Un événement est une condition qui peut être, ou ne pas être, réalisée lors d'une expérience.
 Un événement peut être réalisé par une ou plusieurs issues de cette expérience.
 Un évènement réalisé par une seule issue est un évènement élémentaire.
Exemple :
 « obtenir une couleur primaire » est un événement réalisé par deux issues : rouge et jaune.
 « obtenir du rouge » est un évènement élémentaire.
Définition : Une expérience est dite aléatoire lorsque chaque issue ne dépend pas des issues des
expériences précédentes.
Remarques :
 On appelle expérience aléatoire une expérience uniquement due au hasard.
 Une expérience aléatoire peut être réalisée autant de fois que l'on veut, dans les mêmes
conditions.
II) Notion de probabilité
Définition : Lorsqu'on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence
de réalisation d'un événement se rapproche d'une « fréquence théorique », appelée probabilité.
Exemple : Si on faisait tourner la roue de loterie un très grand nombre de fois, on obtiendrait du vert
deux fois sur quatre, car deux secteurs sur 4 sont verts. On dit que la probabilité d’obtenir du vert
est égale à
.
Notation : Soit A un évènement, on peut noter p(A) la probabilité que l’évènement se réalise.
Exemple : On note V l’évènement « obtenir du vert »
R l’évènement « obtenir du rouge »
J l’évènement « obtenir du jaune »
On peut présenter les différentes issues
sous la forme d’un arbre des possibles :
Arbre pondéré par les probabilités
p(R) = p(J) =
V
R
J
V
R
J
Propriétés :
 Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.
 La somme des probabilités des issues d’une expérience aléatoire est égale à 1.
Exemple : p(V) + p(R) + p(J) =
Propriété : Avec un arbre, la probabilité d’un évènement est la somme des probabilités écrites sur
les branches conduisant aux issues qui réalisent l’évènement.
Exemple :
P est l’évènement « obtenir une couleur primaire ».
V
J réalise P
R réalise P
p(P) =
Définition : Lorsque tous les évènements élémentaires ont la même probabilité d’être réalisés, on dit
qu’il s’agit d’une situation d’équiprobabilité.
Dans une situation d’équiprobabilité, tous les évènements élémentaires ont la même probabilité.
Exemple : On a deux fois plus de chance d’obtenir du vert que du rouge : il ne s’agit pas d’une
situation d’équiprobabilité.
Lancer une pièce : les issues sont pile et face. C’est une situation d’équiprobabilité.
Lancer un dé : les issues, sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6. C’est une situation d’équiprobabilité.
III) Evènements particuliers
Propriétés:
 Un évènement dont la probabilité est nulle est un évènement impossible.
 Un évènement dont la probabilité est égale à 1 est un évènement certain.
Exemple : l’évènement B : « obtenir la couleur bleue » est un évènement impossible : p(B) = 0
Définition : Deux évènements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Exemple : Les évènements V « obtenir du vert » et R « obtenir du rouge » sont incompatibles.
Propriété : Lorsque deux évènements sont incompatibles, la probabilité pour que l’un ou l’autre se
réalise est égale à la somme de leurs probabilités.
Exemple : on obtient du vert ou du rouge avec la probabilité : p(V) + p(R) =
Définition : L’évènement contraire d’un évènement A est celui qui se réalise lorsque A ne se réalise
pas. On le note « non A » ou .
Exemple : Le contraire de l’évènement V « obtenir du vert» est l’évènement
couleur que du vert ».
« obtenir une autre
Propriété : La somme des probabilités d’un évènement A et de son contraire est 1 : p(A) + p( ) = 1
Exemple : L’évènement
« obtenir une autre couleur que du vert » est aussi l’évènement P
« obtenir une couleur primaire », donc on retrouve : p(P) = p( ) = 1 – p(V) =
IV) Expérience aléatoire à deux épreuves : exemple
Définition : Sur l’arbre des possibles d’une expérience aléatoire à deux épreuves, une succession de
deux branches est appelée un chemin.
Propriété : Avec un arbre, la probabilité de l’issue auquel conduit un chemin est égale au produit
des probabilités rencontrées le long de ce chemin.
Exemple :
On choisit au hasard un enfant dans l’assemblée pour tourner la roue de la loterie.
Si c’est une fille, on note F, si c’est un garçon, on note G
L’évènement « une fille a tournée la roue et a obtenu du rouge » est notée (F ; R)
La probabilité de l’issue (F ; R) est égale au produit :
Enfant
F
G
Roue
V
J
R
Issues
(F ; V)
(F ; J)
(F ; R)
V
J
R
(G ; V)
(G ; J)
(G ; R)