Rappels sur les probabilités de première STMG.

TSTMG. Probabilités
Rappels sur les probabilités de première STMG.
1
11Expériences aléatoires et vocabulaire de la modélisation probabiliste
Le lancer d’une pièce de monnaie, le lancer d’un dé sont des expériences aléatoires, car avant de les
effectuer, on ne peut pas prévoir avec certitude quel en sera le résultat.
À cette expérience aléatoire, on associe l’ensemble des résultats possibles appelé univers.
On note généralement Ωl’univers associé à une expérience aléatoire.
•Les éléments de l’univers sont appelés éventualités ou issues.
•Les sous-ensembles (collection d’éléments) de l’univers Ωsont appelés événements.
Exemple.
On lance un dé à 6 faces et on regarde le chiffre inscrit sur la face apparente une fois le dé stabilisé.
L’univers est Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
Les éventualités sont {1};{2};{3};{4};{5}et {6}
« Obtenir un chiffre pair » correspond au sous ensemble P={2 ; 4 ; 6}de Ωet est donc un événement.
L’événement : « Obtenir un chiffre multiple de 3» est le sous ensemble M={3 ; 6}de Ω.
•Étant donné un univers Ω, l’événement Ωest l’événement certain.
En reprenant l’exemple précédent, l’événement « Obtenir un chiffre inférieur ou égal à 6» est un
événement certain
•L’ensemble vide ∅est l’événement impossible.
En reprenant l’exemple précédent, l’événement « Obtenir un chiffre supérieur ou égal à 7» est un
événement impossible
•L’événement formé des éventualités communes à deux événements Aet Best noté :
A∩Bou encore Aet B.
En reprenant l’exemple précédent :
si A= « Obtenir un multiple de 3avec le dé » = 3 ; 6
et B= « Obtenir un chiffre pair avec le dé » = 2 ; 4 ; 6alors
A∩B=« Obtenir le chiffre 6» = 6
•L’événement formé des éventualités qui sont dans Aou dans Bou dans les deux est noté : A∪B
ou encore Aou B.
En reprenant l’exemple précédent :
si A= « Obtenir un multiple de 3avec le dé » = 3 ; 6
et B= « Obtenir un chiffre pair avec le dé » = 2 ; 4 ; 6alors :
A∪B=« Obtenir les chiffres 2,3,4ou 6» = 2 ; 3 ; 4 ; 6
Réunion de Aet B: Intersection de Aet B:
A∪B A ∩B
Ω
B
AΩ
B
A
http://lycee.lagrave.free.fr/cahiers 1

TSTMG. Probabilités
•Soit un univers Ωet un événement A, l’ensemble des éventualités contenues dans Ωet qui ne sont
pas dans Aconstitue un événement appelé événement contraire de A, noté A
En reprenant l’exemple précédent :
si B= « Obtenir un chiffre pair avec le dé » = 2 ; 4 ; 6, alors :
et B=« Obtenir un chiffre impair avec le dé » = 1 ; 3 ; 5
•On dit que deux événements Aet Bsont incompatibles si et seulement si A∩B=∅
En reprenant l’exemple précédent, les événements :
A= « Obtenir un chiffre impair avec le dé » et B= « Obtenir un chiffre pair avec le dé » sont
incompatibles.
Complémentaire de A:Aet Bsont disjoints :
AA∩B=∅
ΩA
A
Ω
B
A
12Probabilités sur un ensemble fini
Loi de probabilité
On considère un ensemble fini Ω = {ω1;ω2;... ;ωn}
On définit une loi de probabilité psur Ωen associant à chaque éventualité ωiun nombre réel
p(ωi) = pide sorte à ce que :
•pour tout i∈ { 1 ; 2 ; . . . ;n}:06pi61
•p1+p2+. . . +pn= 1
On dit que piest la probabilité de l’éventualité ωi.
Définition 1
Probabilité d’un événement
Soit pune loi de probabilité sur un univers Ω.
Pour tout événement A, on appelle probabilité de Aque l’on note p(A)la somme des probabilités
des éventualités composants A.
•Si A={a1;a2;... ;ak}on a : p(A) = p(a1) + p(a2) + . . . +p(ak)
•On pose d’autre part p(∅)=0
•p(Ω) = 1 puisque par définition d’une loi de probabilité, la somme des probabilités des éventualités
composants l’univers est égale à 1.
Définition 2
2http://lycee.lagrave.free.fr/cahiers

TSTMG. Probabilités
Propriétés des mesures de probabilités
Parties de ΩVocabulaire des événements Propriété
A A est un événement quelconque 06p(A)61
∅Événement impossible p(∅) = 0
ΩÉvénement certain p(Ω) = 1
A∩B=∅Aet Bsont incompatibles p(A∪B) = p(A) + p(B)
A A est l’événement contraire de ApA= 1 −p(A)
A,B A et Bsont deux événements
quelconques
p(A∪B) = p(A)+p(B)−p(A∩B)
Propriété 1
13Situation d’équiprobabilité
Lorsque les éventualités ont toutes la même probabilité, on dit qu’elles sont équiprobables ou que la loi
de probabilité est uniforme.
On notera dans ce qui suit Card (Ω) pour désigner le nombre le nombre d’éléments de l’ensemble Ω.
Si Ω = {ω1;ω2;...;ωn}, la probabilité de chaque éventualité est p(ωi) = 1
Card(Ω) =1 n
Probabilité d’un événement dans la situation d’équiprobabilité des éventualités
Dans le cas d’équiprobabilité des éventualités, la probabilité d’un événement Aest,
le nombre d’éléments de Adivisé par le nombre d’éléments de Ω, c’est-à-dire :
p(A) = Card (A)
Card (Ω) =nombre de cas favorable pour la réalisation deA nombre de cas possibles
Propriété 2
Remarque. Les expressions suivantes « dé équilibré, parfait, non truqué, non pipé », « boule tirée de l’urne
au hasard », « boules indiscernables au toucher » . . . indiquent que, pour les expériences réalisées on est en
situation d’équiprobabilité des éventualités.
Probabilités conditionnelles et indépendance
2
Probabilité de B sachant A
Aet Bavec Ade probabilité non nulle.
On définit la probabilité de l’événement Bsachant que l’événement Aest réalisé par le nombre
noté pA(B)tel que pA(B) = p(A∩B)
p(A)
pA(B)est la probabilité de réaliser Blorsque l’univers Ωest réduit à A.
Définition 3
Remarques.
•pA(B)se lit « probabilité de Bsachant A»
•On a donc par produit en croix et quitte à échanger les rôles joués par Aet B:
Si Aet Bsont de probabilités non nulles p(A∩B) = pA(B)×p(A) = pB(A)×p(B)
http://lycee.lagrave.free.fr/cahiers 3

TSTMG. Probabilités
Indépendance de deux événements
On dit que les événements Aet Bsont indépendants si et seulement si pA(B) = p(B)
Autrement dit : Deux événements sont indépendants si l’apport d’information de la réalisation
de l’un ne change rien au pronostic probabiliste de réalisation de l’autre.
Définition 4
Test d’indépendance
Aet Bsont indépendants si et seulement si p(A∩B) = p(A)×p(B)
Propriété 3
Remarque.
Ne pas confondre événements indépendants et événements incompatibles :
•2événements Aet Bsont indépendants si p(A∩B) = p(A)×p(B)
•2événements Aet Bsont incompatibles si A∩B=∅
Arbre de probabilités et principe de lecture
3
Un arbre pondéré est un procédé graphique commode permettant de résumer une expérience probabiliste
pour laquelle la réalisation de certains événements est conditionnée par la réalisation d’autres événements.
A
B
pA(B)
B
pAB
p(A)
A
B
pA(B)
B
pAB
pA
p(A∩B) = p(A)×pA(B)
pA∩B=p(A)×pAB
pA∩B=pA×pA(B)
pA∩B=pA×pAB
Cet arbre peut être prolongé ou ramifié si nécessaire.
Les règles sont alors les suivantes :
•La réalisation des événements à droite de l’arbre est conditionnée par la réalisation de ceux qui sont à
leur gauche.
•La probabilité de réalisation d’une branche de l’arbre est égale au produit des probabilités rencontrées
en décrivant la branche.
•La somme des probabilités au niveau d’un nœud de ramification est égale à 1
pA= 1 −p(A)pAB= 1 −pA(B); etc. . .
•La probabilité de réalisation d’une réunion de branches est égale à la somme des probabilités de
réalisation de chaque branche.
Par exemple : P(B) = p(A)×pA(B) + pA×pA(B)
4http://lycee.lagrave.free.fr/cahiers

TSTMG. Probabilités
Deux exemples fondamentaux
4
41Lecture dans un arbre pondéré
Dans le contexte de l’arbre ci-contre :
•pA(B)=0,1pAB= 0,6
•pA∩
" et " B=p(A)×pA(B)
= 0,3×0,1=0,03
•
A
B
B
A
B
B
0,3
0,1
0,6
(La probabilité de réalisation de la branche contenant Aet Best égale au produit des probabilités
rencontrées en la parcourant)
•p(B) = Probabilité de réalisation de la réunion des branches ramenant à B
=Somme des probabilités de réalisation de chaque branche ramenant à B
=p(A∩B) + pA∩B=p(A)×pA(B) + pA×pA(B)=0,3×0,1+0,7×0,4=0,31
•pB(A)ne peut être lu directement dans l’arbre car dans celui-ci, c’est l’événement Aqui conditionne
la réalisation de B.
On utilise donc la définition : pB(A) = p(A∩B)
p(B)=0,03 0,31 '0,09.
42Une modélisation
On joue à un jeu de hasard qui consiste tirer au
hasard une boule dans une urne contenant 2boules
blanches et 3boules noires. On lance ensuite un dé
bien équilibré.
Si la boule tirée est blanche, la partie est gagnée si le dé laisse apparaître sur sa partie visible un nombre
pair, si la boule tirée est noire la partie est gagnée si le dé laisse apparaître sur sa partie visible un 6.
Quelle est la probabilité de gagner à ce jeu ?
On note Bl’événement « La boule tirée est blanche » et Gl’événement « la partie est gagnée »
C’est le résultat du tirage dans l’urne qui conditionne la victoire en fonction des résultats du dé, d’où la
modélisation par arbre pondéré :
•
B
G
G
B
G
G
p(G) = p(B∩G) + pB∩G=p(B)×pB(G) + pB×pB(G) = 2
5×1 2+3 5×1 6=3 10
Il y a donc 3chances sur 10 de gagner.
http://lycee.lagrave.free.fr/cahiers 5