Rotation, moment cinétique et loi de conservation

Chapitre 7
Rotation
moment cin´etique
et loi de conservation 3

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Objectifs d’apprentissage du chapitre
•Connaissances
→Nuance entre le moment cin´etique et le moment angulaire. Notions de mo-
ment cin´etique orbital et de moment cin´etique intrins`eque (spin).
→D´efinition et propri´et´es du moment d’une force. Nullit´e du moment des forces
radiales et centrales. Condition d’´equilibre pour les mouvements de rotation.
→D´efinition du moment angulaire. Th´eor`eme du moment cin´etique.
→Conservation du moment angulaire. Comparaison translation - rotation.
→Applications `a la loi des aires et au mouvement sur une ellipse.
•Comp´etences
→Savoir calculer le moment d’une force (C7.1).
→Savoir appliquer la conservation du moment cin´etique pour obtenir des in-
formations simples (C7.2).
→ˆ Etre capable de d´emontrer la loi des aires (seconde loi de Kepler).
→Pouvoir expliquer qualitativement les variations de vitesses d’un satellite sur
une orbite elliptique.
→Outils math´ematiques – Formulations math´ematiques des rotations : repr´e-
sentation matricielle et rotation infinit´esimale.
•Lecture conseill´ee
Notions de physique Young et Freedman (2013)
Mouvement de rotation ch.9.1-3 p278-288
Moment d’une force ch.10.1 p308-311
Moment cin´etique ch.10.5-6 p322-328

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7.1 Introduction
La rotation intervient `a toutes les ´echelles, du mouvement de l’´electron dans
les atomes au mouvement des ´etoiles dans les galaxies. La plupart des corps
ont des mouvements de translation et de rotation. En fait, tout mouvement
peut-ˆetre d´ecompos´e en une somme de translations et de rotations.
Dans ce chapitre relativement court, nous nous int´eressons au mouvement
de rotation d’un point mat´eriel. La rotation d’un ensemble de points ou d’un
corps rigide autour de son centre de gravit´e peut ˆetre ´etudi´ee dans un cours de
m´ecanique des solides. Les notions que nous allons introduire ici sont
indispensables `a la compr´ehension de la physique du solide mais aussi `a celle
des interactions fondamentales. En particulier, la conservation du moment
cin´etique joue un rˆole crucial dans la dynamique des forces fondamentales qui
interviennent dans la plupart des domaines de la physique.
Pr´ec´edemment, nous avons mentionn´e que les propri´et´es d’invariance par trans-
lation des ´equations de la dynamique amenaient `a la conservation de certaines
quantit´es physiques. L’homog´en´eit´e du temps, ou invariance par translation
dans le temps, ´etait associ´ee `a la conservation de l’´energie. L’´energie est une
grandeur scalaire, ce qui correspond `a la conservation d’un unique nombre.
L’homog´en´eit´e de l’espace, ou invariance par translation spatiale, ´etait associ´ee
`a la conservation de l’impulsion. L’impulsion est une grandeur vectorielle, ce qui
correspond `a la conservation de trois nombres car l’espace a trois dimensions.
Cette multi-dimensionnalit´e de l’espace conduit `a une nouvelle propri´et´e
appel´ee «isotropie de l’espace », qui traduit le fait qu’il n’existe pas de direc-
tion privil´egi´ee dans l’espace. En vulgarisant, on peut dire que si une exp´erience
physique donne un certain r´esultat, une exp´erience similaire o`u l’on «tourne »
l’ensemble du dispositif exp´erimental fournira le mˆeme r´esultat. Cette propri´et´e,
non intuitive, des ph´enom`enes de rotation li´ee `a l’isotropie de l’espace am`ene
`a la conservation d’une nouvelle quantit´e appel´ee «moment cin´etique »ou
«moment angulaire ». Le moment cin´etique est un vecteur et sa conservation
correspond donc `a la constance de trois nombres.
En fait, la situation est encore plus complexe si l’on rentre dans le monde
microscopique ou dans celui de la physique th´eorique/math´ematique. Il existe
une nuance importante entre le moment cin´etique et le moment angulaire. Par
exemple, au niveau microscopique, il apparaˆıt que les particules ´el´ementaires
poss`edent en plus de leurs propri´et´es intrins`eques de masse et de charges (´elec-
triques et «nucl´eaires »), une autre propri´et´e appel´ee «spin »qui est un
moment cin´etique intrins`eque, que l’on vulgarise souvent en disant que les ´elec-
trons et autres particules ´el´ementaires tournent sur elles-mˆemes afin d’associer
une image `a notre ignorance. Les particules ´el´ementaires ´etant suppos´ees ˆetre
ponctuelles (dimension 0) cette rotation sur soi-mˆeme n’a aucun sens.
Cependant, le spin est mesurable et est associ´e `a plusieurs propri´et´es
fondamentales, comme les propri´et´es magn´etiques qui se manifestent lorsque
les particules sont plong´ees dans un champ magn´etique, ou comme les propri´e-
t´es «statistiques »associ´ees `a la notion de «superposition des ´etats »stipulant
qu’on peut «empiler »des photons (spin entier) mais pas des ´electrons (spin

4Rotation et Moment cin´etique
demi-entier). Le moment cin´etique est la somme (vectorielle) du spin et du
moment angulaire, mais ceci est une autre histoire. Nous nous limiterons ici `a
l’´etude du moment angulaire appel´e aussi moment cin´etique «orbital ».
En physique th´eorique, on associe `a l’homog´en´eit´e du temps, `a l’homo-
g´en´eit´e de l’espace et `a l’isotropie de l’espace ce qu’on appelle les sym´etries
de l’espace-temps. La branche des math´ematiques qui r´egule les propri´et´es de
sym´etrie d’un syst`eme est la th´eorie des groupes. Il apparaˆıt que les objets
math´ematiques qui d´ecrivent les particules physiques sont tr`es contraints, on
ne peut pas faire n’importe quoi ! Un des r´esultats majeurs de la physique
fondamentale du XXesi`ecle est que l’ensemble des particules de mati`ere (les
´electrons, protons, neutrons et quarks qui constituent les atomes et donc la
mati`ere) doivent ˆetre des particules de spin 1
2qu’on appelle fermions (et sont
d´ecrits par des objets math´ematiques appel´es «spineurs »). Les particules d’in-
teraction qui symbolisent l’action des forces fondamentales (comme le photon
pour l’interaction ´electromagn´etique ou les gluons pour l’interaction nucl´eaire
forte) doivent ˆetre de spin entier (spin 1), on les appelle des bosons (et sont
d´ecrits par des objets math´ematiques appel´es «tenseurs »)...
Il est normal que tout ceci vous paraissent obscur car c’est au niveau mas-
ter que l’on peut ´etudier de fa¸con fondamentale les propri´et´es des rotations,
l’isotropie de l’espace et le spin des particules. Retenez simplement que les
propri´et´es de l’espace et du temps fournissent des lois de conservation tr`es pra-
tiques, et que derri`ere se cache toute une structure math´ematique qui constitue
l’ossature de notre interpr´etation actuelle du monde physique...
Ici, nous allons seulement ´etudier le moment cin´etique et sa possible conser-
vation, `a travers une autre quantit´e physique appel´ee «moment d’une force ».
•Exercices de cours C7.0
Faire `a nouveau les exercices de cours du chapitre 2 : C2.4, C2.5, C2.6 et C2.7,
qui doivent ˆetre parfaitement maˆıtris´es `a pr´esent.
7.2 Moment d’une force
7.2.1 Intuition et d´efinition
Exemple 1 :
Votre petit neveu est sur un tourniquet et il souhaite que vous le fassiez tour-
ner. Quelle est la direction de la force que vous devez appliquer pour donner un
mouvement de rotation au tourniquet ?
Si la force est radiale (−→ Fρ∼−→ uρ) rien ne se passe. Le plus efficace est d’appli-
quer une force tangentielle : −→ Fφ∼−→ uφ. Ceci est sch´ematis´e sur la figure 7.1.
Exemple 2 :
Votre oncle vous demande de d´eplacer un gros rocher. A main nue cela vous est
impossible, alors il vous prˆete une barre `a mine afin de l’utiliser comme bras
de levier et un rondin de bois pour servir d’axe. Faut-il placer le rondin le plus
loin possible (figure 7.2a) ou le plus pr`es possible (figure 7.2b) du rocher afin
de peut-ˆetre r´eussir `a le d´eplacer ?

Moment d’une force 5
ρ
u
r
y
x
O
φ
u
r
θ
F
r
φ
F
r
ρ
F
r
M
θ
φ
sinFF
r
r
=
Figure 7.1 – Mouvement de rotation et moment d’une force : tourniquet.
Le plus efficace est d’avoir le bras de levier le plus grand possible, c’est `a dire
d’avoir une distance maximale entre l’action de notre force et le centre de
rotation (cas de la figure 7.2b).
O
F
r
M
(a)
(b)
O
F
r
M
Figure 7.2 – Mouvement de rotation et moment d’une force : bras de levier.
Ces deux exemples illustrent les popri´et´es contenues dans le «moment d’une
force »qui caract´erise la capacit´e `a tourner (`a entrer en mouvement de rota-
tion) du syst`eme physique. Le premier exemple montre que la direction de la
force joue un rˆole fondamental : le moment d’une force est donc une grandeur
vectorielle. Le deuxi`eme exemple montre que le moment de la force est propor-
tionnel `a la distance entre le point d’application Mde la force et le centre de
rotation O, soit la norme du vecteur position −→ r. Avec cette information, en
revenant sur l’exemple 1, on voit que la force tangentielle est proportionnelle
au sinus de l’angle entre −→ ret la force −→ F. On en d´eduit que le moment d’une
force doit ˆetre proportionnel au produit vectoriel entre −→ ret −→ F!