Physique Générale SYSTEME DE PARTICULES DYNAMIQUE DU

Physique G´en´erale
SYSTEME DE PARTICULES
DYNAMIQUE DU SOLIDE (suite)
TRAN Minh Tˆam
Table des mati`eres
Applications de la loi de Newton pour la rota-
tion 93
Le gyroscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
L’orbite de la Terre et les saisons . . . . . . . . . . . . . 95
La pr´ecession des ´equinoxes . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Les syst`emes isol´es : conservation du moment cin´etique . 99
Importance des lois de conservation 102
La d´ecouverte du neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . 102

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Applications de la loi de Newton pour la rotation
Nous traiterons dans ce chapitre de quelques applications simples de la deuxi`eme loi
de Newton pour la rotation ~ M=d~
L∆
dt .
Le gyroscope
C’est un instrument constitu´e d’un volant (ou un disque) pouvant tourner
autour d’un axe m´etallique reposant sur un point C.
Le volant tourne `a grande vitesse ~ω autour de l’axe, le moment cin´etique
x
y
z
ψ
C
O
contrepoids
ξL
∆
~
Lest ainsi parall`ele `a l’axe ∆ : ~ L∆=I∆~ω.
Le gyroscope ´equilibr´e
Le poids du volant est exactement compens´e par un contrepoids : la somme
des moments des poids du volant et du contrepoids par rapport au point
Cest nul :
C
contrepoids volant
Mv g
mc g rcrv
Nous nous arrangeons en effet pour que ~rc∧mc~g +~rv∧Mv~g = 0 en
faisant en sorte que rcmc=rvMven ajustant la distance du contrepoids
au point C.
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Applications de la loi de Newton pour la rotation
En l’absence de tout moment ext´erieur ~ M, nous avons :
~
M= 0 = d~
L∆
dt , par cons´equent :
~
M= 0 ⇒~ L∆=I∆~ω =−−−−−→ constant
Le fait que ~ω soit une constante vectorielle implique que :
1. la vitesse angulaire de rotation du volant est une constante
|~ω |= constant ,
2. la direction de ~ω est invariante ⇒l’axe ∆ est invariante.
Le gyroscope d´es´equilibr´e
Nous d´epla¸cons maintenant le contrepoids pour que l’´egalit´e rcmc=
rvMvne soit plus satisfaite. Il apparaˆıt alors un moment r´esultant.
Sur le dessin ci-apr`es, nous avons rapproch´e de C le contrepoids depuis la
position qu’elle avait `a l’´equilibre.
x
y
z
ψ
mg
C
M
G
O
contrepoids
ξ
L
∆
dψ
dψ
L
dL
M
ξ
∆
(m + M ) g
cv
Le moment qui apparait est ~ M=−→ CG ∧(Mv+mc)~g ,G´etant le centre
de masse du syst`eme. Le moment ~ Mest, par construction, horizontal et
perpendiculaire `a ∆ ; par ailleurs, son module est constant. Faisons l’hy-
poth`ese que la vitesse angulaire ωdu volant est tr`es grande pour que toute
autre rotation puisse ˆetre n´eglig´ee devant elle : par cons´equent, le moment
cin´etique est toujours port´e par l’axe ∆.
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Applications de la loi de Newton pour la rotation
L’´equation de Newton ~ M=d~
L∆
dt peut encore s’´ecrire : ~
M dt =d~ L∆,
ce qui exprime que la variation d~ L∆du moment cin´etique ~ L∆est parall`ele
et de mˆeme sens que le moment ~ M(figure de droite, p. pr´ec´edente).
Comme ~ L∆=I∆~ω , ~ L∆a un module constant si |~ω |est constant.
Le module de ~ω est constant si le frottement autour de l’axe peut ˆetre
n´eglig´e. Faisons cette hypoth`ese : ~ L∆est ainsi constant en module, mais
sa direction change.
Cons´equence :
L’extr´emit´e du vecteur ~ L∆doit d´ecrire un MCU avec une vitesse d~
L∆
dt
et une vitesse angulaire dψ
dt telles que (cf. fig. de droite, p. pr´ec´edente) :
d|~ L∆|=
|{z}
par construction
|~ L∆|dψ =|~ L∆|dψ
dt dt
⇒
|{z}
d|~ L|=|~ M|dt
dψ
dt =|~
M|
|~ L∆|=
|{z}
~
L∆=I∆~ω
CG (Mv+mc)g
I∆ω= cst
Ainsi, pour que notre hypoth`ese de d´epart dψ
dt << ω (bas de la p.
pr´ec´edente) soit v´erifi´ee, il faut que ω2>> CG (Mv+mc)g
I∆
. Dans ce
cas, l’extr´emit´e de ~ L∆d´ecrit un MCU : c’est le mouvement de pr´ecession.
Point de contrˆole Un gyroscope d´equilibr´e est en train d’avoir un mouvement de
pr´ecession quand son extr´emit´e rencontre un mur. Que se passe-t-il ? Pour r´epondre
`a cette question, voyez d’abord quelle est la force qui apparaˆıt quand la pointe du
gyroscope est en contact avec le mur ; ensuite, voyez le moment de cette force.
L’orbite de la Terre et les saisons
La force d’attraction du Soleil sur la Terre (ou sur n’importe quelle autre
plan`ete) est donn´ee par la loi de la gravitation universelle :
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Applications de la loi de Newton pour la rotation
~
Fgrav. =−Gm M
r2ˆur. Cette force est dirig´ee du centre de la Terre au
centre du Soleil ; son moment, par rapport au centre du Soleil est
~
M=~r ∧~ Fgrav. =~r ∧−Gm M
r2ˆur= 0 , ~r et ˆur´etant
colin´eaires. Le moment des forces par rapport au soleil ´etant nul, le moment
cin´etique (par rapport au soleil) est conserv´e : ~ Lsol =−−→ const = ~r ∧(m ~v).
Le fait que le moment cin´etique de la Terre par rapport au Soleil, ~ Lsol,
soit un vecteur constant signifie que le plan qui lui est perpendiculaire est
invariant au cours du temp ; pr´ecis´ement, ce plan est celui qui contient le
Soleil et la trajectroire puisqu’il contient ~r et ~v.
Conclusion 1 : La trajectoire des plan`etes est une courbe ferm´ee plane
contenant le Soleil
Calculons le module du moment cin´etique de la Terre par rapport au Soleil,
les deux astres ´etant consid´er´es comme ponctuels :
Lsol =r p⊥=r m v⊥=r(mωr) = m r2ω
[Rappel :ωest la vitesse angulaire de la plan`ete ; la relation entre vitesse tangen-
tielle et vitesse angulaire est v⊥=r ω ;mest la masse de la Terre.]
Calculons aussi l’aire balay´ee par le rayon-vecteur Soleil-Terre pendant dt :
dA =1
2r r dθ =1 2r2dθ
⇒dA
dt =1 2r2dθ dt =
|{z}
ω=vitesse angulaire
1
2r2ω
pp
pr
dθθr
Soleil
Terre
θ
r
Soleil
Terre
Fgrav.
ûr
v
a) b)
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