Moment cin´ etique D´ efinition et propri´

Moment cin´etique
D´efinition et propri´et´es essentielles
Nous avons vu que le moment cin´etique orbital satisfaisait `a la relation de commutation ˆ
~
L∧ˆ
~
L=i~ˆ
~
L. Pour
le spin-1/2, on peut ´egalement montrer en calculant les commutateurs `a l’aide de matrices de Pauli que l’on a
ˆ
~
S∧ˆ
~
S=i~ˆ
~
S. Ces relations de commutation servent de d´efinition au moment cin´etique en m´ecanique quantique,
que l’on notera de fa¸con g´en´erique par ˆ
~
J, un vecteur ayant pour composantes trois observables ˆ Jx,ˆ Jyet ˆ Jzqui
satisfont `a la relation de commutation ˆ
~
J∧ˆ
~
J=i~ˆ
~
J. Rappelons les formes moins condens´ees de ces relations :
[ˆ Jx,ˆ Jy] = i~ˆ Jz[ˆ Jy,ˆ Jz] = i~ˆ Jx[ˆ Jz,ˆ Jx] = i~ˆ Jy
Un op´erateur important est celui qui caract´erise la norme au carr´e du moment cin´etique. Il est naturellement
d´efini par ˆ
~
J2=ˆ J2
x+ˆ
J2
y+ˆ
J2
z. Le notion de moment cin´etique en m´ecanique quantique est intimement reli´ee
aux propri´et´es de sym´etrie par rotation du syst`eme et qui motivent la d´efinition ci-dessus qui peut paraˆıtre un
peu abstraite. Cette discussion est cependant hors programme et l’on s’en tiendra au fait que cette d´efinition
permet d’englober les deux types de moments cin´etiques ˆ
~
Let ˆ
~
Srencontr´es jusqu’`a pr´esent. Enfin, on utilise
habituellement le terme d’´etat de spin pour d´esigner l’´etat de moment cin´etique d’une particule.
Propri´et´es on r´esume les propri´et´es essentielles d’un moment cin´etique en m´ecanique quantique qui d´ecoulent
de sa d´efinition.
•Les observables {ˆ
~
J2,ˆ Jz}forment un ECOC 1, c’est-`a-dire que la donn´ee de leurs ´etats propres et leurs
valeurs propres suffisent `a caract´eriser enti`erement un ´etat de spin. On notera les ´etats propres associ´es
|j, miavec jet mdeux nombres quantiques qui caract´erisent les valeurs propres de ces op´erateurs.
•Les valeurs propres de ˆ
~
J2sont de la forme ~2j(j+ 1), avec jdemi-entier ou entier . On a donc
j= 0,1
2,1,3 2,2, . . .
•Les valeurs propres de ˆ Jx,ˆ Jyet ˆ Jzpour jdonn´e sont de la forme ~m, avec m∈ {−j, −j+ 1, . . . , j −1, j}.
mpeut donc prendre (2j+ 1) valeurs.
•Pour le moment cin´etique orbital jet msont n´ecessairement entiers, on les notera `et m.
En r´esum´e
ˆ
~
J2|j, mi=~2j(j+ 1)|j, mi
ˆ
Jz|j, mi=~m|j, mi
j
m
1/2 13/2 2
0
1/2
1
3/2
2
-1/2
-1
-3/2
-2
Repr´esentation graphique des valeurs pos-
sibles des nombres quantiques jet m.
1. L’axe Oz ne joue aucun rˆole physique particulier, on aurait pu tout aussi bien choisir {ˆ
~
J2,ˆ Jx}ou {ˆ
~
J2,ˆ Jy}. Il est d’usage
de choisir Oz car ce dernier est habituellement utilis´e pour la direction d’un champ magn´etique susceptible de se coupler au spin.
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Moment cin´etique orbital
Expression des op´erateurs en repr´esentation de position en coordonn´ees sph´eriques :
ˆ
Lx=i~sin ϕ∂
∂θ +cos ϕ tan θ
∂
∂ϕ 
ˆ
Ly=i~−cos ϕ∂
∂θ +sin ϕ tan θ
∂
∂ϕ 
ˆ
Lz=−i~∂
∂ϕ
ˆ
~
L2=−~2∂2
∂θ2+1 tan θ
∂
∂θ +1
sin2θ
∂2
∂ϕ2
ˆ
L+=~eiϕ ∂
∂θ +icotan θ∂ ∂ϕ 
ˆ
L−=~e−iϕ −∂
∂θ +icotan θ∂ ∂ϕ 
On notera que l’op´erateur d´eriv´ee prend un signe moins lors de la transposition.
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