Probabilité d`un événement

L’enseignement
des probabilités
Une discipline « jeune »
• Apparaît en 1966 en Terminale A et B.
• Apparaît en Première A, B, C et D en 1970 (et
en Terminale en 1971).
• Grand recul de son enseignement entre 1981
et 1986.
• La statistique inférentielle apparaît en
Seconde en 2000.
• Les probabilités arrivent en troisième en 2008.
Raisons de l’introduction des probabilités
• Intention socioculturelle : le monde « réel »;
• Intention épistémologique : rôle de la
mathématique ;
• Intention didactique : intégrer des domaines
récemment constitués des mathématiques
Entre 1970 et 1981
• Approche très axiomatique : axiomes de Kolmogorov
• On modélise l’équiprobabilité des évènements
élémentaires en se fondant sur une symétrie de la
situation étudiée.
• Extrait des instructions de 1970 :
« le paragraphe relatif aux probabilités ne consiste pas
à réunir et à résumer des expériences nombreuses sur
certains faits, mais bien à bâtir une théorie
axiomatique assez souple pour servir ultérieurement
de modèle mathématique aux études statistiques ».
Entre 1970 et 2010 …
Sujet de Bac C, 1975
Sujet de BREVET, 2010
1.
2.
3.
4.
Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes.
Chacune de ces boules a la même probabilité d’être tirée. On tire
une boule au hasard.
Calculer la probabilité pour que cette boule soit rouge.
Calculer la probabilité pour que cette boule soit noire ou jaune.
Calculer la somme des deux probabilités trouvées aux deux
questions précédentes.
Le résultat était-il prévisible ? Pourquoi ?
On ajoute dans ce sac des boules bleues. Le sac contient alors 10
boules rouges, 6 boules noires, 4 boules jaunes et les boules bleues.
On tire une boule au hasard. Sachant que la probabilité de tirer une
boule bleue est égale à 1/5, calculer le nombre de boules bleues.
Différentes interprétations de la
probabilité
• En terme de croyance ou bien en terme de fréquence.
• Dans la première, que Hacking nomme « probabilité
épistémique », le mot « probable » est associé aux
notions de croyance, confiance, crédibilité, indice.
• Dans la deuxième, nommée « probabilité de type
fréquentiste », son usage est associé aux notions de
fréquence, disposition, tendance, symétrie,
propension.
• Ces deux interprétations de la probabilité sont parfois
dénommées autrement : subjective / objective,
épistémique / aléatoire .
Approche laplacienne
• Basée sur la « géométrie du hasard ».
• Probabilité subjective, déterminée à priori par
des considérations non expérimentales.
• Nécessite de se ramener à un univers dans
lequel tous les évènements élémentaires sont
équiprobables.
• Réduit le calcul des probabilités à des
dénombrements.
• Ne réalise pas de confrontation avec la réalité.
Approche fréquentiste
• Basée sur l’étude expérimentale de
phénomènes aléatoires.
• Probabilité : « limite » de fréquences
observées expérimentalement.
• Probabilité objective, définie à postériori.
• Résout le problème de la confrontation avec le
réel.
• Danger : l’élève ne fait pas le saut conceptuel.
Dans les programmes
Programme de Troisième
Notions de probabilité
• Comprendre et utiliser des notions
élémentaires de probabilité.
• Calculer des probabilités dans des contextes
familiers
Probabilités définies à partir de
considérations de symétrie ou de
comparaison
Dans chacune des situations ci-dessous, deux issues sont possibles, et on a 1
chance sur 2 de tirer “Pile”, de tirer une boule rouge, ou de tomber sur la région P,
ce que l’on traduit en disant que la probabilité de chacune d’elles est égale à ½ .
Ces dispositifs peuvent être adaptés pour mettre en évidence des événements
n’ayant pas la même probabilité.
Approche fréquentiste de la probabilité
Le lancer d’une punaise
Le jeu de Franc - Carreau
Le jeu de « Franc Carreau » consiste à prendre une pièce de monnaie (de 1 cm de
rayon, par exemple), et à la lancer sur un carrelage dont les carreaux sont des carrés
(de 10 cm de côté, par exemple).
On fait « Franc Carreau » quand la pièce tombe sur une seule case, dont elle peut
toucher les bords, mais sans empiéter sur une autre case. Dans ce cas, on gagne un
euro ; sinon, on perd un euro.
Simulations
Document d’accompagnement du programme de
Seconde:
« Simuler une expérience, c’est choisir un modèle de cette
expérience, puis simuler ce modèle ».
Autre définition:
La simulation est la méthode statistique permettant la
reconstitution fictive de l’évolution d’un phénomène.
C’est une expérimentation qui suppose la construction
d’un modèle théorique présentant une similitude de
propriétés ou de relations avec le phénomène faisant
l’objet de l’étude .
Programme de Seconde
Échantillonnage
• Notion d’échantillon.
• Intervalle de fluctuation d’une fréquence au seuil de 95%.
• Réalisation d’une simulation (tableur ou calculatrice)
Probabilité sur un ensemble fini
• Probabilité d’un événement.
Déterminer la probabilité d’événements dans des situations
d’équiprobabilité.
• Réunion et intersection de deux événements, formule :
p(AB) + p(AB) = p(A) + p(B).
Utiliser des modèles définis à partir de fréquences
observées.
Echantillonnage
• Un échantillon de taille n est la liste des n
résultats obtenus par n répétitions
indépendantes de la même expérience.
• Exemple d’une pièce
Exemple d’un dé
Exemple de deux tirages successifs avec
remise dans une urne contenant 2 boules
blanches et une boule noire
Intervalle de fluctuation
Par exemple …
• Lors d’une élection, un candidat a obtenu 35%
des voix.
Pour des échantillons de taille 100, l’intervalle
de fluctuation au seuil de 95% est [0,25; 0,45].
• On simule 100 échantillons de taille 100 et on
dénombre les échantillons pour lesquels la
fréquence est en dehors de l’intervalle
[0,25 ; 0,45].
TP fourchettes Seconde.xls
Sondages de taille 100
Liste rouge
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
4
7
10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97 100
La place de la simulation
modèle
simulation
modélisation
Expérience
réelle
représentation
Expérience
informatique
Le problème des bouteilles
• Un fabricant de bouteilles en verre dispose de 100 kg de verre
liquide.
• Avec 1 kg de verre liquide, on peut fabriquer une bouteille.
• Dans les 100 kg de verre liquide, il y a 100 pierres ou
impuretés que l’on ne peut pas enlever et qui sont réparties
de manière aléatoire.
• Le fabricant ne s’intéresse qu’à la fabrication de bouteilles de
« haute qualité », c’est-à-dire sans impureté.
• Si une bouteille contient au moins une pierre, elle est mise au
rebut !
• Combien peut-il espérer obtenir de bouteilles de « haute
qualité »?
Choix d’une méthode de simulation
• On peut schématiser le problème sous la
forme d’un tableau cartésien de 10 cases sur
10 cases, chacune des cases représentant la
place d’une bouteille.
• Puis on répartit de manière aléatoire les 100
impuretés sur ces 100 cases.
Chiffre
des unités
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Chiffre des dizaines
9
Modélisations du problème
• Première approche
Soit A l’ensemble des impuretés et B l’ensemble des
bouteilles.
Une répartition des 100 impuretés dans les 100 bouteilles
peut être interprétée comme une application de A vers B.
On choisit comme univers l’ensemble des applications de A
vers B, noté F (A, B).
On choisit aussi l’hypothèse la plus simple, c’est – à – dire
celle d’équiprobabilité des évènements élémentaires.
Soit p la probabilité que la bouteille Bi soit de « haute
qualité » et B’ = B \ {Bi}.
Alors: p 0,3665
On a donc entre 36 et 37 bouteilles de “haute qualité”.
Première approche
Deuxième approche
Premières générales
L obligatoire au choix
Notion d’expérience aléatoire
Ensemble des
éventualités et vocabulaire des
événements.
Loi de probabilité sur un
ensemble fini.
Probabilité d’un événement,
de l’événement contraire.
Relation entre les probabilités
de deux évènements, de leur
réunion et de leur
intersection.
L’équiprobabilité : une
hypothèse parmi d’autres pour
proposer un modèle.
Modèles issus d’une
observation
expérimentale.
ES
Définition d’une loi de
probabilité sur un ensemble
fini.
Espérance, variance, écarttype d’une loi de probabilité.
S
Définition d’une loi de
probabilité sur un ensemble
fini.
(énoncé vulgarisé de la loi des
grands nombres).
Espérance, variance,
Modélisation d’expériences
écart-type d’une loi de
de référence menant à
probabilité.
l’équiprobabilité ; utilisation de Variable aléatoire, loi d’une
modèles définis à partir de
variable aléatoire,
fréquences observées.
espérance, variance,
écart-type.
Modélisation d’expériences
aléatoires de référence
(lancers d’un ou plusieurs
dés ou pièces discernables
ou non, tirage au hasard
dans une urne, choix de
chiffres au hasard, etc.).
Loi des grands nombres
• En langage vulgarisé (prog de Première S):
Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par
une loi de probabilité p, les distributions de fréquences
obtenues dans des séries de taille n se rapprochent de
p quand n devient grand.
• Enoncé mathématique:
Si (Xn) est une suite de variables indépendantes de
Bernoulli de paramètre p et si la moyenne des
variables (Xn) est notée Fn, alors pour tout a > 0, la
probabilité que | Fn – p| > a tend vers 0 quand n tend
vers l’infini.
Premières technologiques
STG
Épreuves, événements
élémentaires ou
issues, univers, répartition de
probabilité.
Réunion, intersection
d’événements,
événements disjoints ou
incompatibles,
événement contraire.
Probabilité d’un événement
Cas où les événements
élémentaires
sont équiprobables.
Expérimentation et
simulation.
ST2S
Vocabulaire des probabilités
(cas discret)
Univers, événements,
événements
élémentaires.
Réunion, intersection
d’événements,
événements disjoints (ou
incompatibles),
événement contraire.
Probabilité d’un événement
Cas où les événements
élémentaires sont
équiprobables.
Sur des exemples simples,
étude de cas où les
événements élémentaires ne
sont pas
équiprobables.
STI
Événements, événements
élémentaires ; la
probabilité d'un
événement est définie par
addition de probabilités
d'événements
élémentaires. Événements
disjoints (ou
incompatibles), événement
contraire, réunion et
intersection
de deux événements.
Cas où les événements
élémentaires sont
équiprobables.
Terminales générales
L obligatoire au choix
ES
Statistique et simulation
(adéquation de données à une
loi équirépartie)
Simulation (adéquation de
données à une loi
équirépartie).
Représentation d’un modèle
probabiliste attaché à une
épreuve aléatoire par un arbre
pondéré.
Conditionnement par un
évènement de probabilité non
nulle.
Indépendance de deux
évènements.
Formule des probabilités
totales
Conditionnement par un
évènement de probabilité non
nulle, puis indépendance de
deux évènements.
Formule des probabilités
totales.
Modélisation d’expériences
indépendantes.
Cas de la répétition
d’expériences
identiques et indépendantes.
Lois de probabilités discrètes
Espérance et variance d’une loi
numérique.
Expériences et lois de
Bernoulli.
Lois binomiales.
S
Conditionnement par un
évènement de probabilité non
nulle, puis indépendance de deux
évènements.
Indépendance de deux variables
aléatoires.
Formule des probabilités totales.
Statistique et modélisation
Expériences indépendantes.
Cas de la répétition d’expériences
identiques et indépendantes.
Exemples de lois discrètes
Introduction des combinaisons
Formule du binôme
Loi de Bernoulli, loi binomiale ;
espérance et variance de ces lois.
Exemple de lois continues
- loi uniforme sur [0,1]
- loi de durée de vie sans
vieillissement
Statistique et simulation
(adéquation de données à une loi
équirépartie).
Le problème de l’adéquation
• Une expérience :
CHOISIR sans réfléchir et très vite un
CHIFFRE parmi les quatre chiffres 1, 2, 3, 4.
Ecrivez – le sur un morceau de papier.
• Adéquation - 4 chiffres.xls
« Processus » opératoire du problème de
l’adéquation
Terminales technologiques
STG
ST2S
Conditionnement
Probabilité
Probabilité, sachant conditionnelle
B, de A .
Conditionnement
par un événement
Indépendance de
de probabilité non
deux événements.
nulle.
Indépendance de
deux événements.
STL
Evénements
disjoints (ou
incompatibles),
événement
contraire, réunion
et intersection de
deux événements
STI
Variable aléatoire
(réelle) prenant un
nombre fini de
valeurs et
loi de probabilité
associée ; fonction
de répartition,
espérance
mathématique,
variance, écarttype.