Chap 6 Les nombres complexes I Forme algébrique d`un nombre
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Chap 6 Les nombres complexes I Forme algébrique d’un nombre complexe : 1)Définitions : Théorème et définition : L’ensemble des nombres complexes, noté ℂ est l’ensemble qui suit les propriétés suivantes : ℂ contient l’ensemble des réels ℝ L’addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calculs restent les mêmes . ℂ contient un nombre complexe noté i appelé nombre imaginaire tel que ……………… ℂ est constitué des nombres complexes notés z qui s’écrivent de manière unique z = ………… avec a et b deux réels Cette écriture z = …………………. est appelée forme ou écriture algébrique de z Le réel a est appelé …………………………. , on note a = Re ( z ) Le réel b est appelée …………………………… , on note b = Im ( z ) . Exemple : Z=2+3i , Z= 3 , Re ( z ) = Re(z)= Im ( z ) = Z=-i , Re(z)= Im ( z ) = Im ( z ) = 2)Propriétés : Un nombre complexe z est un réel si et seulement si Un nombre complexe z est un imaginaire pur si et seulement si Un nombre complexe z est nul si et seulement si Deux nombres complexes z et z’ sont égaux si et seulement si La dernière propriété s’explique par l’unicité de l’écriture d’un nombre complexe 3) Définition du conjugué d’un nombre complexe Définition : Soit z un nombre complexe de forme algébrique z = a+ i b avec a et b réels On appelle le conjugué du nombre complexe z le nombre complexe noté 𝒛̅ = a – i b Re( 𝑧̅ ) = …… et Im ( 𝑧̅ ) = …… Exemple : déterminer la forme algébrique de ̅̅̅̅̅̅̅̅ 2 + 3𝑖 = 5̅ ̅ 2𝑖 II Opérations dans l’ensemble ℂ : L’addition et la multiplication dans ℂ suivent les mêmes règles de calcul que l’addition et la multiplication dans ℝ 1)Somme et produit : Soit deux complexes z et z’ tel que z = a + i b et z’ = a’ + i b ‘ avec a, a’, b et b’ réels . La somme de z et z’ est le nombre complexe z + z’ = ……………….. Le produit de z et z’ est le nombre complexe : z z’ = …………………… produits particuliers L’opposé d’un nombre complexe z est le nombre complexe noté …………… Propriété : z z’ = 0 équivaut à …… Identités remarquables : ( a + i b )² = (a–ib)²= Exemple : ( 1+ i )² = z = 2- √3 i ( a+ i b ) ( a – i b ) = ( 1-i )(1+ i ) = alors z 𝑧̅ = 2) Inverse d’un nombre complexe z non nul : a)Exemple. Objectif trouver la forme algébrique de l’inverse de z =2+3i soit la forme algébrique du complexe 𝟏 z’= a’+ib’ où a’ et b’ sont deux réels tel que z’ = 𝒛 soit b)Cas général : soit z un nombre complexe non nul tel que z = a + i b avec a et b réels non nuls Définition :L’inverse d’un nombre complexe non nul z est le complexe noté 𝟏 𝒛 = 𝟏 𝒂+𝒊𝒃 = 3)Quotient de deux nombres complexes a)Exemple Déterminer l’écriture algébrique de 1+𝑖 1+2𝑖 1+𝑖 sachant que 1+2𝑖 = ( 1+ i ) x …….. b)Définition Le quotient de deux nombres complexes z sur z’ avec z = a + i b et z’ = a’ + i b’ , z’ non nul est le complexe noté : 4) Applications Ex1 : Déterminer la forme algébrique des nombres complexes z= -5 + 7 i – ( -2 + 3i) 2) z = ( -5+7i)(-2+3i) 3) z = (3-2i)² Ex2 : Résolution d’équations de degré 1 1) Résoudre dans ℂ : a) ( 2- i ) z + 3i = 1+i b) 𝑧−2𝑖 𝑧+3 1 4) 1+𝑖 5) 1 𝑖 6) −5+2𝑖 3+2𝑖 =2−𝑖 2) Résoudre dans ℂ : a) (2-i) ( z + 𝑧̅ ) -3 ( z - 𝑧̅ ) = (2-i) z b) 𝑧 1−𝑖 − 𝑖𝑧̅ = 3 c) 𝑧𝑧̅ – (2-i)z = (3+i)𝑧̅ III Opérations et propriétés du conjugué d’un nombre complexe 1) Propriétés immédiates z est réel si et seulement si z est imaginaire pur si et seulement si z + 𝒛̅ z - 𝒛̅ = z 𝒛̅ = = 2) Opérations Soit deux nombres complexes z et z’ tels que z = a+ib et z’ = a’ + ib’ avec a,b,a’ et b’ réels ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑧 + 𝑧′ = ̅̅̅ 𝑧𝑛 = 1̅ ̅̅̅̅̅ 𝑧 𝑧′ = 𝑧 = ̅𝑧 = z≠0 𝑧′ avec z’ ≠ 0 avec n entier naturel Démonstration feuille annexe 3)Applications −2+5𝑖 −2−5𝑖 Ex1 : Soit z = 3−2𝑖 et z’ = 3+2𝑖 1)Pourquoi peut-on affirmer sans calcul que z + z’ est un nombre réel et que z – z’ est un imaginaire pur ? 1 ̅̅̅̅ 2) Calculer ; ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (−2 + √3𝑖)² 2+𝑖 ̅ = 4-2i Ex2 Résoudre dans ℂ 𝑧² IV Résolution dans ℂ d’équations du second degré à coefficients réels Soit l’équation a z² + b z + c = 0 d’inconnue le complexe z, avec a, b et c réels et a non nuls le discriminant de cette équation est le réel ∆ = ……….. Si ∆ >0 alors l’équation admet deux solutions réelles z =……….. et z’ = …….. Si ∆ = 0 alors une solution z = Si ∆ < 0 alors deux solutions complexes conjugués : z = et z’ = Démonstration feuille annexe Applications 1)Résoudre dans ℂ : 1) z²+4 = 0 2)a) développer (1-√3 ) ² 2) -10 z² + 2z – 1 = 0 3) z4 + 6 z² - 7 = 0 b) Résoudre dans ℂ z² + ( 1- √3 ) z + 2 - √3 = 0 3)Soit P(z) = z3 -4z² +9z -10 ave z ∈ ℂ a)Montrer que P(z) = ( z-2) ( z² -2z+5) b) Résoudre dans ℂ l’équation P(z)=0 V Représentation géométrique d’un nombre complexe 1)Définitions : Définition 1 ⃗⃗⃗ , 𝒗 ⃗) On appelle plan complexe le plan muni d’un repère orthonormé direct ( O ; 𝒖 Définition 2 A tout nombre complexe z = a + i b avec a et b réels on associe dans le plan complexe un point M (………) Réciproquement A tout point M ( …….. ) du plan complexe on associe le nombre complexe z = …… On note dans le plan complexe M ( a+ i b ) On dit que z = a+i b est …………. du point M ou du ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vecteur 𝑶𝑴 On dit que le point M est le point …………. de z = a+ib ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est le vecteur ………. de z = a+ib et le vecteur 𝑶𝑴 Le point I ( 1 ; 0) a pour affixe z = Le point J ( 0 ; 1) a pour affixe z = ……. et dans le plan complexe on le note I ( …) et dans le plan complexe on le note J ( …) L’ensemble des points M ( a ; 0) soit M d’affixe z = …… avec a réel est ……………. On dit que l’axe des ………………….. est l’axe des ……… L’ensemble des points M ( 0 ; b ) soit M d’affixe z = ….. avec b réel est ……………. On dit que l’axe des ………………….. est l’axe des…………………. b)Propriétés Soit deux vecteurs 𝑤 ⃗⃗ d’affixe z w = a + i b e t ⃗⃗⃗⃗ 𝑤′ d’affixe z w’ = a’+ i b’ dans le plan complexe ⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ 𝒘 𝒘′ équivaut à Le vecteur 𝒘 ⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ 𝒘′ a pour affixe z w + w’ = ……. Le vecteur k 𝒘 ⃗⃗⃗ a pour affixe z kw = Soit deux points A d’affixe zA = xA +i yA et B d’affixe zB = xB + i yB dans le plan complexe Le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑩 a pour affixe 𝒛𝑨𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = Le milieu M du segment [ AB] a pour affixe zM = Le symétrique A’ du point A par rapport à l’origine O a pour affixe zA’ = Le symétrique A’’ du point A par rapport à l’axe des abscisses a pour affixe zA’’ = c)Applications du V Représentation géométrique d’un nombre complexe Ex1 : Soit dans le plan complexe A( 1-2i) B ( 3) et C ( 2i) 1) Placer les points A,B et C ⃗⃗⃗⃗⃗ 2) Calculer l’affixe du vecteur 𝐴𝐵 3) Déterminer l’affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme 4) Déterminer l’affixe du centre du parallélogramme 𝑧+1 Ex2 Soit z = x + i y avec x et y réels et Z = 𝑧−𝑖 avec z ≠ i 1)Déterminer la forme algébrique de Z en fonction de x et de y 2)Déterminer l’ensemble des points M ( x,y) du plan complexe tels que a) Z soit un imaginaire pur b) Z soit un réel c)Applications du V Représentation géométrique d’un nombre complexe Ex1 : Soit dans le plan complexe A( 1-2i) B ( 3) et C ( 2i) 5) Placer les points A,B et C 6) Calculer l’affixe du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 7) Déterminer l’affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme 8) Déterminer l’affixe du centre du parallélogramme 𝑧+1 Ex2 Soit z = x + i y avec x et y réels et Z = 𝑧−𝑖 avec z ≠ i 1)Déterminer la forme algébrique de Z en fonction de x et de y 2)Déterminer l’ensemble des points M ( x,y) du plan complexe tels que a) Z soit un imaginaire pur b) Z soit un réel c)Applications du V Représentation géométrique d’un nombre complexe Ex1 : Soit dans le plan complexe A( 1-2i) B ( 3) et C ( 2i) 9) Placer les points A,B et C 10) Calculer l’affixe du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 11) Déterminer l’affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme 12) Déterminer l’affixe du centre du parallélogramme 𝑧+1 Ex2 Soit z = x + i y avec x et y réels et Z = 𝑧−𝑖 avec z ≠ i 1)Déterminer la forme algébrique de Z en fonction de x et de y 2)Déterminer l’ensemble des points M ( x,y) du plan complexe tels que a) Z soit un imaginaire pur b) Z soit un réel c)Applications du V Représentation géométrique d’un nombre complexe Ex1 : Soit dans le plan complexe A( 1-2i) B ( 3) et C ( 2i) 13) Placer les points A,B et C ⃗⃗⃗⃗⃗ 14) Calculer l’affixe du vecteur 𝐴𝐵 15) Déterminer l’affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme 16) Déterminer l’affixe du centre du parallélogramme 𝑧+1 Ex2 Soit z = x + i y avec x et y réels et Z = 𝑧−𝑖 avec z ≠ i 1)Déterminer la forme algébrique de Z en fonction de x et de y 2)Déterminer l’ensemble des points M ( x,y) du plan complexe tels que a) Z soit un imaginaire pur b) Z soit un réel Applications IV Résolution dans ℂ d’équations du second degré à coefficients réels 1)Résoudre dans ℂ : 1) z²+4 = 0 2)a) développer (1-√3 ) ² 2) -10 z² + 2z – 1 = 0 3) z4 + 6 z² - 7 = 0 b) Résoudre dans ℂ z² + ( 1- √3 ) z + 2 - √3 = 0 3)Soit P(z) = z3 -4z² +9z -10 ave z ∈ ℂ a)Montrer que P(z) = ( z-2) ( z² -2z+5) b) Résoudre dans ℂ l’équation P(z)=0 V Représentation géométrique d’un nombre complexe Ex1 : Soit dans le plan complexe A( 1-2i) B ( 3) et C ( 2i) 1)Placer les points A,B et C 2)Calculer l’affixe du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 3)Déterminer l’affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme 4)Déterminer l’affixe du centre du parallélogramme Ex2 :Soit z = x + i y avec x et y réels et Z = 𝑧+1 𝑧−𝑖 avec z ≠ i 1)Déterminer la forme algébrique de Z en fonction de x et de y 2)Déterminer l’ensemble des points M ( x,y) du plan complexe tels que a) Z soit un imaginaire pur b) Z soit un réel IV Résolution dans ℂ d’équations du second degré à coefficients réels 1)Résoudre dans ℂ : 1) z²+4 = 0 2)a) développer (1-√3 ) ² 2) -10 z² + 2z – 1 = 0 3) z4 + 6 z² - 7 = 0 b) Résoudre dans ℂ z² + ( 1- √3 ) z + 2 - √3 = 0 3)Soit P(z) = z3 -4z² +9z -10 ave z ∈ ℂ a)Montrer que P(z) = ( z-2) ( z² -2z+5) b) Résoudre dans ℂ l’équation P(z)=0 V Représentation géométrique d’un nombre complexe Ex1 : Soit dans le plan complexe A( 1-2i) B ( 3) et C ( 2i) 1)Placer les points A,B et C ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)Calculer l’affixe du vecteur 𝐴𝐵 3)Déterminer l’affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme 4)Déterminer l’affixe du centre du parallélogramme Ex2 :Soit z = x + i y avec x et y réels et Z = 𝑧+1 𝑧−𝑖 avec z ≠ i 1)Déterminer la forme algébrique de Z en fonction de x et de y 2)Déterminer l’ensemble des points M ( x,y) du plan complexe tels que a) Z soit un imaginaire pur b) Z soit un réel
