Chap 6 Les nombres complexes I Forme algébrique d`un nombre

Chap 6 Les nombres complexes
I Forme algébrique d’un nombre complexe :
1)Définitions :
Théorème et définition :
L’ensemble des nombres complexes, noté ℂ est l’ensemble qui suit les propriétés suivantes :
ℂ contient l’ensemble des réels ℝ
L’addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de
calculs restent les mêmes .
ℂ contient un nombre complexe noté i appelé nombre imaginaire tel que ………………
ℂ est constitué des nombres complexes notés z qui s’écrivent de manière unique z = …………
avec a et b deux réels
Cette écriture z = …………………. est appelée forme ou écriture algébrique de z
Le réel a est appelé …………………………. , on note a = Re ( z )
Le réel b est appelée …………………………… , on note b = Im ( z ) .
Exemple :
Z = 2 + 3 i , Re ( z ) = Im ( z ) = Z = - i , R e ( z ) = Im ( z ) =
Z =
3
, R e ( z ) = Im ( z ) =
2)Propriétés :
Un nombre complexe z est un réel si et seulement si
Un nombre complexe z est un imaginaire pur si et seulement si
Un nombre complexe z est nul si et seulement si
Deux nombres complexes z et z’ sont égaux si et seulement si
La dernière propriété s’explique par l’unicité de l’écriture d’un nombre complexe
3) Définition du conjugué d’un nombre complexe
Définition : Soit z un nombre complexe de forme algébrique z = a+ i b avec a et b réels
On appelle le conjugué du nombre complexe z le nombre complexe noté  = a – i b
Re(  ) = …… et Im (  ) = ……
Exemple : déterminer la forme algébrique de  =  
II Opérations dans l’ensemble ℂ :
L’addition et la multiplication dans ℂ suivent les mêmes règles de calcul que l’addition et la multiplication
dans ℝ
1)Somme et produit :
Soit deux complexes z et z’ tel que z = a + i b et z’ = a’ + i b ‘ avec a, a’, b et b’ réels .
La somme de z et z’ est le nombre complexe z + z’ = ………………..

Le produit de z et z’ est le nombre complexe :
z z’ = ……………………
produits particuliers
L’opposé d’un nombre complexe z est le nombre complexe noté ……………
Propriété : z z’ = 0 équivaut à ……
Identités remarquables :
( a + i b )² = ( a – i b ) ² = ( a+ i b ) ( a – i b ) =
Exemple : ( 1+ i )² = ( 1-i )(1+ i ) =
z = 2-  i alors z  =
2) Inverse d’un nombre complexe z non nul :
a)Exemple.
Objectif trouver la forme algébrique de l’inverse de z =2+3i soit la forme algébrique du complexe
z’= a’+ib’ où a’ et b’ sont deux réels tel que z’ = soit
b)Cas général : soit z un nombre complexe non nul tel que z = a + i b avec a et b réels non nuls
Définition :L’inverse d’un nombre complexe non nul z est le complexe noté
 = 
 =
3)Quotient de deux nombres complexes
a)Exemple Déterminer l’écriture algébrique de 
 sachant que 
 = ( 1+ i ) x ……..
b)Définition Le quotient de deux nombres complexes z sur z’ avec z = a + i b et z’ = a’ + i b’ , z’ non
nul est le complexe noté :

4) Applications
Ex1 : Déterminer la forme algébrique des nombres complexes
z= -5 + 7 i – ( -2 + 3i) 2) z = ( -5+7i)(-2+3i) 3) z = (3-2i)² 4) 
 5)  6) 
Ex2 : Résolution d’équations de degré 1
1) Résoudre dans ℂ : a) ( 2- i ) z + 3i = 1+i b) 
2) Résoudre dans ℂ : a) (2-i) ( z +  ) -3 ( z -  ) = (2-i) z b) 
 = 3 c)  – (2-i)z = (3+i)
III Opérations et propriétés du conjugué d’un nombre complexe
1) Propriétés immédiates
z est réel si et seulement si
z est imaginaire pur si et seulement si
z +  = z -  = z  =
2) Opérations
Soit deux nombres complexes z et z’ tels que z = a+ib et z’ = a’ + ib’ avec a,b,a’ et b’ réels
=  =  = z  0 
 = avec z’  0
= avec n entier naturel
Démonstration feuille annexe
3)Applications
Ex1 : Soit z = 
 et z’ = 
1)Pourquoi peut-on affirmer sans calcul que z + z’ est un nombre réel et que z – z’ est un imaginaire pur ?
2) Calculer  ; 
Ex2 Résoudre dans ℂ 
 = 4-2i
IV Résolution dans ℂ d’équations du second degré à coefficients réels
Soit l’équation a z² + b z + c = 0 d’inconnue le complexe z, avec a, b et c réels et a non nuls
le discriminant de cette équation est le réel  = ………..
Si  >0 alors l’équation admet deux solutions réelles z =……….. et z’ = ……..
Si  = 0 alors une solution z =
Si  < 0 alors deux solutions complexes conjugués : z = et z’ =
Démonstration feuille annexe
Applications
1)Résoudre dans ℂ : 1) z²+4 = 0 2) -10 z² + 2z – 1 = 0 3) z4 + 6 z² - 7 = 0
2)a) développer (1- ) ² b) Résoudre dans ℂ z² + ( 1-  ) z + 2 -  = 0
3)Soit P(z) = z3 -4z² +9z -10 ave z 
a)Montrer que P(z) = ( z-2) ( z² -2z+5) b) Résoudre dans ℂ l’équation P(z)=0

V Représentation géométrique d’un nombre complexe
1)Définitions :
Définition 1
On appelle plan complexe le plan muni d’un repère orthonormé direct ( O ;  )
Définition 2
A tout nombre complexe z = a + i b avec a et b réels
on associe dans le plan complexe
un point M (………)
Réciproquement A tout point M ( …….. ) du plan
complexe on associe le nombre complexe z = ……
On note dans le plan complexe M ( a+ i b )
On dit que z = a+i b est …………. du point M ou du
vecteur 
On dit que le point M est le point …………. de z = a+ib
et le vecteur  est le vecteur ………. de z = a+ib
Le point I ( 1 ; 0) a pour affixe z = et dans le plan complexe on le note I ( …)
Le point J ( 0 ; 1) a pour affixe z = ……. et dans le plan complexe on le note J ( …)
L’ensemble des points M ( a ; 0) soit M d’affixe z = …… avec a réel est …………….
On dit que l’axe des ………………….. est l’axe des ………
L’ensemble des points M ( 0 ; b ) soit M d’affixe z = ….. avec b réel est …………….
On dit que l’axe des ………………….. est l’axe des………………….
b)Propriétés
Soit deux vecteurs  d’affixe z w = a + i b e t  d’affixe z w’ = a’+ i b’ dans le plan complexe
=  équivaut à
Le vecteur  +   a pour affixe z w + w’ = …….
Le vecteur k  a pour affixe z kw =
Soit deux points A d’affixe zA = xA +i yA et B d’affixe zB = xB + i yB dans le plan complexe
Le vecteur  a pour affixe 
=
Le milieu M du segment [ AB] a pour affixe zM =
Le symétrique A’ du point A par rapport à l’origine O a pour affixe zA’ =
Le symétrique A’’ du point A par rapport à l’axe des abscisses a pour affixe zA’’ =

c)Applications du V Représentation géométrique d’un nombre complexe
Ex1 : Soit dans le plan complexe A( 1-2i) B ( 3) et C ( 2i)
1) Placer les points A,B et C
2) Calculer l’affixe du vecteur 
3) Déterminer l’affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme
4) Déterminer l’affixe du centre du parallélogramme
Ex2 Soit z = x + i y avec x et y réels et Z = 
 avec z  i
1)Déterminer la forme algébrique de Z en fonction de x et de y
2)Déterminer l’ensemble des points M ( x,y) du plan complexe tels que
a) Z soit un imaginaire pur b) Z soit un réel
c)Applications du V Représentation géométrique d’un nombre complexe
Ex1 : Soit dans le plan complexe A( 1-2i) B ( 3) et C ( 2i)
5) Placer les points A,B et C
6) Calculer l’affixe du vecteur 
7) Déterminer l’affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme
8) Déterminer l’affixe du centre du parallélogramme
Ex2 Soit z = x + i y avec x et y réels et Z = 
 avec z  i
1)Déterminer la forme algébrique de Z en fonction de x et de y
2)Déterminer l’ensemble des points M ( x,y) du plan complexe tels que
a) Z soit un imaginaire pur b) Z soit un réel
c)Applications du V Représentation géométrique d’un nombre complexe
Ex1 : Soit dans le plan complexe A( 1-2i) B ( 3) et C ( 2i)
9) Placer les points A,B et C
10) Calculer l’affixe du vecteur 
11) Déterminer l’affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme
12) Déterminer l’affixe du centre du parallélogramme
Ex2 Soit z = x + i y avec x et y réels et Z = 
 avec z  i
1)Déterminer la forme algébrique de Z en fonction de x et de y
2)Déterminer l’ensemble des points M ( x,y) du plan complexe tels que
a) Z soit un imaginaire pur b) Z soit un réel
c)Applications du V Représentation géométrique d’un nombre complexe
Ex1 : Soit dans le plan complexe A( 1-2i) B ( 3) et C ( 2i)
13) Placer les points A,B et C
14) Calculer l’affixe du vecteur 
15) Déterminer l’affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme
16) Déterminer l’affixe du centre du parallélogramme
Ex2 Soit z = x + i y avec x et y réels et Z = 
 avec z  i
1)Déterminer la forme algébrique de Z en fonction de x et de y
2)Déterminer l’ensemble des points M ( x,y) du plan complexe tels que
a) Z soit un imaginaire pur b) Z soit un réel