Licence de Mathématiques A Université Joseph Fourier Topologie

Licence de Mathématiques A
Topologie
Université Joseph Fourier
2012-2013
Contrôle continu n◦ 3 du 10 décembre 2012 (2h)
Documents et calculatrices interdits.
Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans n’importe quel ordre.
Question de cours Soit (Ei )i∈I une famille d’espaces topologiques
(chacun muni d’une
Q
topologie Oi ). Donner la définition de la topologie produit sur i∈I Ei .
Exercice 1 Soit E l’espace des fonctions réelles continues de carré intégrable, muni de la
1
R
norme N2 définie par N2 (f ) = R |f (t)|2 dt 2 pour f ∈ E. Soit Φ une fonction continue
bornée sur R.
1. Montrer que l’application uΦ : f 7→ Φf définit une application linéaire continue
de E dans E et en déduire que |||uΦ ||| ≤ ||Φ||∞ .
2. Montrer que |||uΦ ||| = ||Φ||∞ .
indication : On pourra considérer la suite de fonctions fn valant 1 en x0 ∈ E fixé et affine
sur [x0 − 1/n, x0 ] et [x0 , x0 + 1/n], nulle ailleurs.
3. On note F l’ensemble des fonctions continues bornées sur R, muni de la norme
de la convergence uniforme N∞ . L’application F −→ R, Φ 7→ |||uΦ ||| est-elle continue ?
Exercice 2 On dit qu’un espace topologique (X, O) est localement connexe si pour tout
x ∈ X et tout voisinage V de x, il existe un voisinage U de x contenu dans V et connexe.
1. Montrer les assertions suivantes :
a) Tout espace vectoriel normé est localement connexe.
b) Tout ouvert d’un espace topologique localement connexe est localement connexe.
c) Les composantes connexes d’un espace topologique localement connexe sont
ouvertes.
2. On considère dans R2 (muni de la distance euclidienne) la partie X = A ∪ B, où
A = (]0, 1] × {0}) ∪
1
({ } × [−1, 1])
n
n∈N∗
[
et
B = {0} × [1/2, 1] .
La partie X (munie de la topologie induite) est-elle connexe par arcs ? connexe ?
localement connexe ?
1
Exercice 3 Soit E un ensemble infini. On note
O = {A ⊂ E tel que Ac est fini} ∪ {∅}.
1. Montrer que O est une topologie non-séparée sur E (on l’appelle topologie cofinie,
ou bien topologie de Zariski sur E).
2. Montrer que E muni de la topologie cofinie est connexe et localement connexe1 .
3. On munit N de la topologie cofinie. On note Op la topologie produit sur N2 =
N × N. Soit O la topologie cofinie sur N2 .
a) Un singleton {(a, b)} est-il fermé, ouvert, pour la topologie Op ? Et pour O ?
b) En déduire l’inclusion O ⊆ Op . Est ce une égalité ?
Exercice 4 Pour n ∈ N, on munit Kn = {0, 1} de la topologie discrète. Soit
Y
K=
Kn = {0, 1}N .
n∈N
K est donc l’espace des suites à valeurs dans {0, 1} (muni de la topologie produit).
1. Montrer que la topologie produit sur K est métrisable.
indication : on pourra utiliser la distance définie par
d(a, b) = sup
n∈N
|an − bn |
,
n+1
où
a = (an )n∈N ∈ K
et
b = (bn )n∈N ∈ K .
(k)
2.
Montrer qu’une suite (x(k) )k∈N , où x(k) = (xn )n∈N ∈ K, est convergente si et
seulement si elle se stabilise progressivement, c’est-à-dire :
∀m ∈ N ∃N ∈ N tel que ∀k ≥ N,
3.
1
En déduire que K est un compact.
Voir la définition dans l’Exercice 2.
2
∀n = 0, . . . , m,
)
xn(k) = x(N
n .