131201-Suites-ehrs-SommDesInvDesCnp-ColPcsia-AML65monchEx2 sur un total de points de : E SOMME DES INVERSES DES « K PARMI N » e1 Soit un=la somme pour k allant de 0 à n des « 1/(le coefficient binomial « k parmi n »). On s'intéresse à la limite des un. On pourra considérer n>=6 et poser vk=1/(k parmi n) et wk=(k parmi n). On a donc un=somme des vk. Montrer que un>=2 e2 Pour tout entier k pris dans [[ 2 ; n-2 ]], montrer que wk>=w2 e3 En déduire que un est encadrée par deux suites à convenir E4 Quelle est la limite de la suite u ? H SOMME DES INVERSES DES « K PARMI N » h1 Dessiner les 3 premières lignes du triangle de Pascal de votre Tale... Et ça tombe tout seul ! h2 Remarquer qu'on peut se ramener à 2<=k<=E(n/2)<=n/2. Pourquoi ? Etudier la suite finie des nombres : w_k = (k parmi n) pour k entre 2 et n/2 Poser 2<=k<=k+1<=n/2 A quoi ça peut servir ? h3 H4 R SOMME DES INVERSES DES « K PARMI N » r1 r2 Dessiner un début de triangle de pascal de nouveau. Il est clair que les Cnk semblent strictement croissants pour k allant de 2 à n/2. Ce qui donnera Cnk>=Cn2. Par symétrie, on obtient cette minoration aussi pour les k de n/2 à n-2 Attention le calcul direct Cnk / Cn2 est poussif avec beaucoup d'indices à gérer. Par contre de proche en proche, ça va bien et ça tombe en ½ ligne. [email protected] http://SitSit33.e-monsite.com © AML ; 03/12/13 ; p 1 / 3 Soit k tel que 2<=k<=k+1<=n/2. w_(k+1) / w_k = n ! / n ! * k ! / (k+1) ! * (n-k) ! / (n-k-1) ! Ce n'est pas indigeste ! J'ai groupé les « ! » par division qui vont bien et on ne perd pas le nord en se rappelant que chez nous k est petit = (n-k)/(k+1) dont on cherche à montrer qu'il est >=1 (toujours SOOV*) en gros, c'est parce que k ne dépasse pas la moitié que ça va marcher = (n-k-1+1)/(k+1) OR n/(k+1)>=2 et (-k-1)/(k+1)=1, donc = n/k+1 + (-k-1)/(k+1) + 1/(k+1) >= 2-1 cqfd, ce qui prouve que la suite (wk) pour k de 2 à n/2 est croissante donc wk>=w2 r3 Donc : w0=wn=1 w1=w_(n-1)=n sont au nombre de n-3 On a donc montré que : wk>=w2=n(n-1)/2 pour tous les autres k de 2 à n-2 qui 2<=un<=2 + (2/n) + (n-3) * 2/(n(n-1)) R4 Par le théorème des gendarmes, lim un = 2 S SOMME DES INVERSES DES « K PARMI N » s1 S2 S3 [email protected] http://SitSit33.e-monsite.com © AML ; 03/12/13 ; p 2 / 3 Didactisons donc Un Peu Ensemble ! Formules : 2 2 −x x1 x Vous aurez ds ce fichier : E : l'énoncé H : les indications (ou Hints en anglais) R : les réponses rédigées S : les remarques de synthèse. Bonne lecture ! [email protected] http://SitSit33.e-monsite.com © AML ; 03/12/13 ; p 3 / 3