Cours trigonométrie

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
I MESURE DES ANGLES EN RADIANS
1° Cercle trigonométriques
Etant donné un repère orthonormé , on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O, de rayon 1 et orienté
directement dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.
2° Mesure d'un angle.
Soit I l’intervalle ] – π ; π ]
La longueur de cet intervalle est égale à la longueur du périmètre du cercle trigonométrique à savoir 2 π.
En imaginant que cet intervalle soit matérialisé par un morceau de fil il sera possible de « l’entourer » autour du
cercle trigonométrique les deux extrémités du fil se rejoignant exactement et sans se recouvrir.
A tout réel de l’intervalle ] – π ; π ] correspond un point et un seul du cercle trigonométrique et réciproquement à
tout point du cercle trigo .
Le même processus d’enroulement peut être envisagé pour l’intervalle ] – ∞ ; + ∞ [ mais dans ce cas, à un point
du cercle trigonométrique correspondront une infinité de réels à savoir :
α , α + 2 π, α + 4 π ….. α + 2 k π 
 c’est à dire α + 2 k π avec k ∈ Z
Z.
α – 2 π, α – 4 π – 4 π …. α – 2 k π 
Définition
Soit x un réel et m le point de la droite des réels d'abscisse x. En "enroulant" la droite des réel sur le cercle, on
obtient un point M sur le cercle C tel que m et M coïncident.
Une mesure de l’angle IOM en radians et dans le sens direct est alors x rad.
→ →
On note : ( OI OM) = x + 2 k π avec k ∈ ZZ/
remarque : Si on considère un cercle de centre O, de rayon r, et un angle AOM, A et M
étant deux points du cercle. Désignons par l la longueur de l’arc de cercle AM.
1
La mesure en radians de l’angle AOM est le réel α = .
r
π
radians.
2
Reproduire et compléter le tableau suivant où α désigne la mesure en radians d'un angle et β sa mesure en degrés.
5 π 3 π 3 π 13 π 2 π
π
α
5
12
4
10
20
9
90
45
20
18
75
72
108
β
3° Conversion degré-radian. On rappelle que la mesure d'un angle droit est
B
4° Longueur d'un arc de cercle
Donner une mesure en radians de l'angle AOB
et calculer la longueur du petit arc AB dans les cas suivants.
B
O
72°
A
3
O
A
2
48°
M
II FONCTIONS COSINUS ET→
SINUS
→
Dans un repère orthonormé (O ; OI , OJ ), on note C le cercle de centre O et de rayon 1. On oriente le plan dans
le sens direct. C est appelé le cercle trigonométrique.
π/2
1° Définition : Soit M un point de C tel que IOM = x rad (x ∈ 3).
Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de M.
sin x
M
Le sinus de M, noté sin x, est l’ordonnée de M.
x
2° Exemples : cos 0 = 1 et sin 0 = 0 ; cos π = -1 et sin π = 0 ;
π
π
cos = 0 et sin = 1.
2
2
cos x
O
3° Propriété
Pour tout x réel,
– 1 ≤ cos x ≤ 1
– 1 ≤ sin x ≤ 1
cos² x + sin² x = 1
M
sin x
III ETUDE DES FONCTIONS SIN ET COS
1° Etude des fonction sin et cos.
a) Parité
Les fonctions sin et cos sont définies sur IR qui est symétrique par rapport à 0
Quel que soit le réel x, cos(-x) = cos x et La fonction cos est paire
Quel que soit le réel x, sin(– x) = - sin x. et la fonction sin est impaire.
x
O
– x cos x = cos
sin (– x) = – sin x
b) Périodicité
Quel que soit le réel x, et sin(x + 2π) = sin x.
Quel que soit le réel x, cos(x + 2π) = cos x
On dit que les fonctions sin et cos sont périodiques de période 2π.
N
c) Ensemble d'étude
Les fonctions sin et cos sont périodiques, de période 2 π, il suffit donc d'étudier leurs variations sur un intervalle
de longueur 2 π
La fonction sin est impaire et la fonction cos est paire il suffit donc d'étudier leur variations sur [ 0 ; π ]
2° Etude des variations de sin et cos.
x
a) Fonction Sin
Sur [ 0 π ]
π/2
1
0
π
sin
0
Sur [ – π ; π ]
0
–π
0
x
– π/2
sin
–3π
0
– 5 π/2
sin
–1
–2π
0
–1
π
0
Sur [ – 3 π ; 3 π ]
x
π/2
1
0
– 3 π/2
1
–π
– π/2
0
0
0
0
–1
π/2
1
π
3 π/2
0
2π
5 π/2
1
3π
0
–1
0
x
b) Fonction Cos
Sur [ 0 π ]
π/2
0
1
cos
π
-
0
–1
Sur [ – π ; π ]
x
–π
– π/2
cos
–3π
sin
π
1
0
0
–1
Sur [ – 3 π ; 3 π ]
x
π/2
0
10
– 5 π/2
–2π
1
0
– 3 π/2
–π
– π/2
0
π/2
0
1
0
–1
3 π/2
π
0
–1
2π
1
5 π/2
0
3π
0
–1
–1
3° Représentations graphiques
2π
3π
5π
π
π
π
π
0
x
π
6
4
3
2
3
4
6
1
1
3
2
2
3
cos x
1
0
-1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
3
3
2
sin x
0
1
0
2
2
2
2
2
2
Grâce à la parité de chaque fonction et à la périodicité, il est maintenant possible de tracer la courbe représentative
de chacune des fonctions sur 3.
Courbe représentative de la fonction cos :
1
-3 π
-
5π
2
-2 π - 3 π
2
-π
-
π
2
O
π
2
π
3π
2
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
-1
Courbe représentative de la fonction sin :
1
-3 π
-
5π
2
-2 π - 3 π
2
-π
-
π
2
O
-1
2π
5π
2
3π