Cours trigonométrie

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
I MESURE DES ANGLES EN RADIANS
1° Cercle trigonométriques
Etant donné un repère orthonormé , on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O, de rayon 1 et orienté
directement dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.
2° Mesure d'un angle.
Soit I l’intervalle ] – π ; π ]
La longueur de cet intervalle est égale à la longueur du périmètre du cercle trigonométrique à savoir 2 π.
En imaginant que cet intervalle soit matérialisé par un morceau de fil il sera possible de « l’entourer » autour du
cercle trigonométrique les deux extrémités du fil se rejoignant exactement et sans se recouvrir.
A tout réel de l’intervalle ] – π ; π ] correspond un point et un seul du cercle trigonométrique et réciproquement à
tout point du cercle trigo .
Le même processus d’enroulement peut être envisagé pour l’intervalle ] – ∞ ; + ∞ [ mais dans ce cas, à un point
du cercle trigonométrique correspondront une infinité de réels à savoir :
α , α + 2 π, α + 4 π ….. α + 2 k π
α – 2 π, α – 4 π – 4 π …. α – 2 k π c’est à dire α + 2 k π avec k ∈ ZZ.
Définition
Soit x un réel et m le point de la droite des réels d'abscisse x. En "enroulant" la droite des réel sur le cercle, on
obtient un point M sur le cercle C tel que m et M coïncident.
Une mesure de l’angle IOM en radians et dans le sens direct est alors x rad.
On note : (
→
OI
→
OM) = x + 2 k π avec k ∈ ZZ/
remarque : Si on considère un cercle de centre O, de rayon r, et un angle AOM, A et M
étant deux points du cercle. Désignons par l la longueur de l’arc de cercle AM.
La mesure en radians de l’angle AOM est le réel α = 1
r.
3° Conversion degré-radian. On rappelle que la mesure d'un angle droit est π
2 radians.
Reproduire et compléter le tableau suivant où α désigne la mesure en radians d'un angle et β sa mesure en degrés.
α π
5 5 π 12 3 π 4 3 π 10 13 π 20 2 π 9
β 90 45 20 18 75 72 108
4° Longueur d'un arc de cercle
Donner une mesure en radians de l'angle AOB
et calculer la longueur du petit arc AB dans les cas suivants.
O
A
B
2
72°
O
A
B
M
3
48°

II FONCTIONS COSINUS ET SINUS
Dans un repère orthonormé (O ;
→
OI ,
→
OJ ), on note C le cercle de centre O et de rayon 1. On oriente le plan dans
le sens direct. C est appelé le cercle trigonométrique.
1° Définition : Soit M un point de C tel que IOM = x rad (x ∈ 3).
Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de M.
Le sinus de M, noté sin x, est l’ordonnée de M.
2° Exemples : cos 0 = 1 et sin 0 = 0 ; cos π = -1 et sin π = 0 ;
cos π
2 = 0 et sin π 2 = 1.
3° Propriété
Pour tout x réel,
– 1 ≤ cos x ≤ 1
– 1 ≤ sin x ≤ 1
cos² x + sin² x = 1
III ETUDE DES FONCTIONS SIN ET COS
1° Etude des fonction sin et cos.
a) Parité
Les fonctions sin et cos sont définies sur IR qui est symétrique par rapport à 0
Quel que soit le réel x, cos(-x) = cos x et La fonction cos est paire
Quel que soit le réel x, sin(– x) = - sin x. et la fonction sin est impaire.
b) Périodicité
Quel que soit le réel x, et sin(x + 2π) = sin x.
Quel que soit le réel x, cos(x + 2π) = cos x
On dit que les fonctions sin et cos sont périodiques de période 2π.
c) Ensemble d'étude
Les fonctions sin et cos sont périodiques, de période 2 π, il suffit donc d'étudier leurs variations sur un intervalle
de longueur 2 π
La fonction sin est impaire et la fonction cos est paire il suffit donc d'étudier leur variations sur [ 0 ; π ]
2° Etude des variations de sin et cos.
a) Fonction Sin
Sur [ 0 π ]
Sur [ – π ; π ]
Sur [ – 3 π ; 3 π ]
x 0 π/2 π
sin
0
1
0
x – π – π/2 0
π/2
π
sin
0
– 1
0
1
0
M
cos x
sin x
O
π
/2
x
M
cos x = cos (
sin x
O
N
sin (
– x) = – sin x
x
–
x
x – 3 π – 5 π/2
– 2 π – 3 π/2 – π – π/2 0 π/2 π 3 π/2 2 π 5 π/2 3 π
sin
0
– 1
0
1
0
– 1
0
1
0
– 1
0
1
0

b) Fonction Cos
Sur [ 0 π ]
Sur [ – π ; π ]
Sur [ – 3 π ; 3 π ]
3° Représentations graphiques
x 0 π
6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π
cos x 1 3
2 2 2 1
2 0 - 1 2 - 2
2 - 3 2 -1
sin x 0 1
2 2
2 3 2 1 3 2 2 2 1
2 0
Grâce à la parité de chaque fonction et à la périodicité, il est maintenant possible de tracer la courbe représentative
de chacune des fonctions sur 3.
Courbe représentative de la fonction cos :
O
1
-1
π
2
π
-
π
-2
π
3
π
2
π
2
-
π
2
-3
π
23
π
-3
π
5
π
2
-5
π
2
Courbe représentative de la fonction sin :
O
1
-1
π
3
π
2
π
2
-
π
2
-3
π
23
π
5
π
2
-5
π
2
-
3
π
-2
π
-
π
2
π
x 0 π/2 π
cos
1
0
-
– 1
x – π – π/2 0
π/2
π
cos
– 1
0
10
0
1
x – 3 π – 5 π/2
– 2 π – 3 π/2 – π – π/2 0 π/2 π 3 π/2 2 π 5 π/2 3 π
sin
– 1
0
1
0
– 1
0
1
0
– 1
0
1
0
– 1