Cours 1

CPGE TSI – Lycée P.-P. Riquet – St-Orens de Gameville - 1 -
Sciences Industrielles pour l’Ingénieur
Problématique
• Les systèmes industriels ou de la vie courante nécessitent
une ou plusieurs sources d’énergie. Chacune de ces sources
possède des caractéristiques de tension, courant, forme,
fréquence, ou débit, pression, etc. qui doivent être adaptées
aux actionneurs qui l'utilisent.
Cette adaptation est un problème complexe, car elle doit s'accompagner d'économies d'énergie maximales, et assurer la sécurité
des biens et des personnes amenées à travailler avec ces systèmes.
• Dans ce cours, on ne s'intéressera qu'aux sources d'énergie électrique alternative sinusoïdale. Les sources d'énergie pneumatique
et hydraulique ont été étudiées précédemment, et les sources d'énergie électriques continues feront l'objet des cours suivants.
• Exemple : alimentation de la capsuleuse :
I/ RAPPELS SUR LA MODELISATION DES GRANDEURS ALTERNATIVES SINUSOÏDALES
• En tout point d'un circuit électrique alimenté en sinusoïdal, les signaux sont des grandeurs sinusoïdales du temps, de même
fréquence f mais déphasées les unes par rapport aux autres.
1/ Représentation temporelle d'une grandeur alternative
sinusoïdale (courant, tension, puissance)
•
s(t) S. 2.sin( .t )
S. 2 : amplitude
avec :
S : valeur efficace
: pulsation en rad/s
: phase à l'origine
AGIR
Source alternative
sinusoïdale
monophasée
230 V, 50 Hz
Disjoncteur différentiel
Disjoncteur
Convertisseur alternatif
– continu (redresseur)
Source alternative
sinusoïdale triphasée,
230 V, fréquence variable
Centre d’Intérêt 5 :
ALIMENTER en énergie
Compétences :
RESOUDRE
SOURCES D'ENERGIE ALTERNATIVE SINUSOÏDALE :
– Réseau de distribution monophasé ou triphasé –
Proposer une méthode permettant la détermination des courants, tensions, puissances,
énergies – Construire graphiquement les lois de l'électricité
TP
COURS 1
TD

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2/ Représentation complexe
• A toute fonction sinusoïdale d'amplitude
S. 2
et de phase instantanée
.t
nous pouvons faire correspondre la fonction
complexe définie par :
jt j t j
s t S. 2 cos t j sin t S. 2 e S. 2 e e
où j est l'imaginaire pur : j2 = - 1.
• Dérivons cette fonction complexe par rapport à t :
j t j
ds t j S. 2 e e j s t
dt
En notation complexe, la dérivation par rapport au temps devient une multiplication par
j
.
• Calculons la primitive de la fonction complexe
st
:
j t j
11
s t .dt S. 2 e e s t
jj
En notation complexe, l'intégration par rapport au temps devient une division par
j
.
Application à la notation de grandeurs électriques
• Au signal sinusoïdal
s t S. 2.sin( t )
, on associe le nombre complexe dont le module est égal à
S
et dont
l’argument est égal à . On l’appelle amplitude complexe associée à s(t). On s’affranchit du terme .t, commun à toutes les
grandeurs sinusoïdales du même circuit.
Les lois du continu sont alors applicables en remplaçant les u(t) et i(t) par leurs amplitudes complexes
U
et
I
.
3/ Représentation vectorielle (Fresnel)
• La figure ci-contre représente un vecteur S tournant à
vitesse angulaire constante autour de son origine O dans le
sens inverse des aiguilles d'une montre. L’évolution de la
projection de ce vecteur sur l'axe vertical en fonction du
temps (ou de l'angle .t+φ, ce qui revient au même) est
représentée sur le graphe de droite.
• Il s'agit du vecteur de Fresnel.
— La norme de ce vecteur est égale à l'amplitude ou à la valeur efficace du
signal ; on choisira pour la suite la valeur efficace :
SS
;
— l'angle polaire est à tout instant égal à la phase instantanée du signal .t+ φ.
Cependant, lorsqu'on ne compose que des signaux de même pulsation, on
ne s'intéresse en fait qu'aux déphasages relatifs. Il n'est donc pas nécessaire
de faire tourner la figure.
On se contente donc d'un vecteur fixe ayant pour norme la valeur efficace S du
signal et pour angle polaire sa phase à l’origine φ. On le note :
S (S ; )
.
• L'intérêt du vecteur de Fresnel est de remplacer une somme algébrique de grandeurs sinusoïdales de même pulsation par une
construction vectorielle simple.
4/ Représentation des tensions et courants dans Fresnel, selon les charges idéales alimentées
Hypothèse : On prend pour origine des phases celle du courant.
• UR = R.I indique que UR est en phase avec I ;
•
L
U j.L. .I
indique que UL est en quadrature avance sur I
(déphasage de + /2) ;
•
C
1
U .I
j.C.
indique que UC est en quadrature retard (ou
arrière) sur I (déphasage de – /2).
5/ Déphasage de u/i et nature des charges réelles alimentées
• Si φ > 0, la tension est en avance sur le courant.
S
S
O x
Ox est l’axe de référence des phases
u(t)
U
i(t)
I
0
I
L
U
C
U
R
U
C
I
UC.
L
U L. .I
/2
/2
Attention : Sur les figures ci-
après, la tension est prise
comme origine des phases.
j
S S e

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• Elle est en retard si φ < 0 :
• En résumé :
Soit φ, le déphasage de u par rapport à i :
Grandeurs instantanées
Représentation de Fresnel
Mesure à l’oscilloscope
ui
Angle allant de
i
vers
u
Mesurer t de u vers i
A savoir : si > 0, u EST EN AVANCE SUR i ; la charge alimentée est de nature INDUCTIVE.
si < 0, u EST EN RETARD SUR i ; la charge alimentée est de nature CAPACITIVE.
si = 0, i ET u SONT EN PHASE ; la charge alimentée est de nature RESISTIVE.
• La loi des mailles avec Fresnel
12
U U U
avec
1 1 1
U (U ; )
et
2 2 2
U (U ; )
II/ ALIMENTATION ALTERNATIVE SINUSOÏDALE MONOPHASEE
• Cette alimentation est la plus répandue, aussi bien dans le domaine industriel que domestique. La tension entre la phase et le
neutre est appelée tension simple v(t) et vaut très souvent 230 V en valeur efficace.
• Parmi les intérêts du courant alternatif par rapport au courant continu, on peut citer :
- possibilité d'élever et abaisser la tension facilement grâce aux transformateurs ;
- production directe par les alternateurs des centrales électriques ;
- coût au kilomètre des installations inférieur en courant alternatif jusqu'à une
certaine longueur (pour les lignes aériennes) :
• Lorsque l’on alimente un dipôle linéaire (résistance, inductance ou
condensateur) par une source de tension v(t) sinusoïdale de pulsation ω, il
circule un courant i(t) dans le montage tel que :
v(t) V. 2.sin( .t )
i(t) I. 2.sin( .t)
• La caractéristique fondamentale d'une alimentation monophasée est la puissance transférée de la source (générateur) vers le
dipôle récepteur. Elle est toujours le produit d'une variable de potentiel par une variable de flux. Ici, la variable de potentiel est la
tension v(t) ; la variable de flux est le courant i(t).
• Rq : Le flux caractérise le déplacement de la grandeur représentative du domaine physique (ici la charge électrique q(t)) tandis que
le potentiel caractérise son stockage.
1/ Puissance instantanée
• La puissance électrique instantanée est le produit de la tension par le courant : p(t) = v(t) . i(t).
Avec
v(t) V 2sin( t )
et
i(t) I 2 sin( t)
, on obtient :
p(t) V 2sin( t ).I 2sin( t) 2.V.I.sin( t ).sin( t)
Pour réarranger les termes, on utilise la relation
sin(a).sin(b) [cos(a b) cos(a b)] / 2
d’où
p(t) V.I.cos( t t) V.I.cos( t t)
et finalement
p(t) V.I.cos( ) V.I.cos(2 t )
.
u(t)
U
i(t)
I
Rappel : représentation du vecteur de
Fresnel : (module ; argument)
1
2
Les lois d'Ohm, des mailles et des nœuds peuvent
s'exprimer sous forme vectorielle dans Fresnel, en faisant
intervenir les modules pour les valeurs efficaces et les
arguments pour les déphasages.

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• On constate que la puissance instantanée est la somme d’un terme constant
V.I.cos( )
et d’un terme variant périodiquement
V.I.cos(2 t )
.
2/ Puissance active
• La puissance active est la moyenne de la puissance instantanée. La valeur moyenne du terme périodique est nulle (c’est une
fonction périodique alternative). Il reste donc le terme constant :
P = V.I.cos( )
(en Watt).
V : valeur efficace de la tension (V) ; I : valeur efficace du courant (A) ; φ : déphasage de v(t) par rapport à i(t) (rad).
• Cette puissance active P est celle qui va produire une action (chauffer, déplacer une charge, produire un mouvement de
rotation). Elle est toujours positive.
3/ Puissance réactive
• La puissance réactive correspond à la part de p(t) à valeur moyenne nulle. Elle est définie par
Q = V.I.sin( )
(en voltampère
réactif VAR).
• Cette puissance, liée à la présence de φ, circule à chaque période entre la source et le récepteur, mais n'est pas "productive".
4/ Puissance apparente
• La puissance apparente ne tient pas compte du déphasage entre v(t) et i(t) :
S = V.I
(en voltampère VA).
• Elle est la puissance totale qui circule sur le réseau, et représente la somme complexe de la puissance active P et de la puissance
réactive Q : S = V.I. cos(φ) + j.V.I. sin(φ) = P + j.Q.
C’est à partir de celle-ci que les composants d’alimentation et de distribution seront dimensionnés.
5/ Triangle de puissance
• En observant les relations ci-dessus on constate que :
2 2 2
S = P + Q
Ce qui peut être schématisé par le diagramme de Fresnel des puissances :
Rq : Seule la puissance active à une réalité physique. La puissance réactive ne correspond à aucune puissance réelle.
• On peut récapituler les puissances absorbées par les dipôles élémentaires R, L et C alimentés en régime sinusoïdal :
Puissance active P
Puissance réactive Q
Déphasage de vZ / à iZ : φ
R
VR.IR = R.IR
2 = VR 2/R
0
0
L
0
VL.IL = L. .IL
2 = VL 2/L. > 0 (absorbe)
/2
C
0
-VC.IC = -IC
2/C. = -VC 2.C. < 0 (fournit)
-/2
6/ Théorème de Boucherot
• Les puissances active et réactive absorbées par un groupe de dipôles sont égales à la somme des puissances actives et réactives
absorbées par chaque élément du groupe :
i
i
P = P
et
i
i
Q = Q
.
• Exemple :
Puissance instantanée :
1 1 2 1 3 3
p u.i u .i u .i u .i
Puissance active :
1 2 3 1 1 1 2 1 2 3 3 3
P U.I.cos( ) P P P U .I .cos( ) U .I .cos( ) U .I .cos( )
Puissance réactive :
1 2 3 1 1 1 2 1 2 3 3 3
Q U.I.sin( ) Q Q Q U .I .sin( ) U .I .sin( ) U .I .sin( )
Le théorème de Boucherot n’est pas valable pour la puissance apparente.
7/ Le facteur de puissance
• Définition générale :
P
k=S
(sans dimension).
• Cas particulier du régime sinusoïdal :
P V.I.cos( )
k cos( )
S V.I
soit
k = cos( )
en régime sinusoïdal

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• Importance du cos φ
La tension V étant imposée par le réseau EDF (230 V, …) et la puissance P étant imposée par l’installation électrique à alimenter, le
courant s’adapte suivant la relation I = P / V.cos(φ).
Problème économique : plus I est faible, plus les pertes sont faibles. Pour diminuer I sans modifier P ou V, il faut augmenter cos(φ).
On dit qu’il faut relever le facteur de puissance.
Problème électrique : comment modifier cos(φ) sans modifier la puissance active P ? Le facteur de puissance peut s’exprimer de la façon
suivante :
22
P
cos( )
PQ
. Donc, plus Q se rapproche de 0, plus cos(φ) se rapproche de 1. En rajoutant à l’installation électrique
des condensateurs ou des inductances, on modifie Q sans modifier P.
Rq : Pour un particulier, EDF facture la puissance active P. Pour les entreprises, EDF autorise un facteur de puissance limite sous lequel il ne faut pas passer sous peine
de surcoût.
• Relèvement du facteur de puissance
Si l’installation électrique est inductive (Q > 0), il faut diminuer Q en adjoignant des condensateurs (QC < 0) pour que 0 ≤ Q + QC < Q.
Si l’installation électrique est capacitive (Q < 0), il faut augmenter Q en adjoignant des inductances (QL > 0) pour que Q < Q + QL ≤ 0.
Dans la plupart des situations la charge est de type inductive (transformateurs, moteurs, chauffage, ...). Pour relever son facteur de
puissance il faut donc y ajouter en parallèle un condensateur.
L’objectif est de dimensionner le condensateur en fonction du facteur de puissance recherché cos φ’.
Sans le condensateur : Avec le condensateur :
D’après les schémas ci-dessus, on peut faire le bilan des puissances :
Puissance active
Puissance réactive
Déphasage
Charge seule
P
Q P.tan( )
On a
Condensateur seul
0
2
C
Q C. .V
-/2
Charge + condensateur
P
''
C
Q Q Q P.tan( )
On veut ’
On en déduit la capacité du condensateur de la manière suivante :
2'
C
Q C. .V Q Q
donc
2'
C. .V P.tan( ) P.tan( )
. Finalement :
'
2
P.(tan( ) tan( ))
C.V
.
III/ ALIMENTATION ALTERNATIVE SINUSOÏDALE TRIPHASEE
• Cette alimentation est très répandue dans le domaine industriel, notamment lorsque la puissance à fournir est importante (P >
kW). La distribution de l’énergie est réalisée par 3 fils de phase et parfois un fil supplémentaire, le neutre.
Son intérêt est multiple :
- pour fournir la même puissance à deux charges équivalentes, le réseau triphasé nécessite paradoxalement deux fois moins de
cuivre que le réseau monophasé ;
- les machines électriques qui produisent et utilisent ces tensions fonctionnent de façon optimale en régime triphasé.
1/ Représentation temporelle des tensions et courants
• On dispose de 3 grandeurs électriques respectivement définies par :
On dit que les grandeurs triphasées sont
équilibrées si x1(t) + x2(t) + x3(t) = 0.
• Les grandeurs ont la même valeur efficace, et sont déphasées entre elles de 2. /3.
v
v
1
2
3
x (t) X 2.sin( .t )
x (t) X 2.sin( .t 2 3 )
x (t) X 2.sin( .t 4 3 )