Espérance

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Espérance
Exercice 1 [ 03833 ] [Correction]
Soit Xune variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé fini. Établir
E(X)2≤EX2
Exercice 2 [ 03835 ] [Correction]
Soit Xune variable aléatoire prenant ses valeurs dans {0,1,...,N}.
Établir
E(X)=
N−1
X
n=0
P(X>n)
Exercice 3 [ 03839 ] [Correction]
On se propose d’analyser le sang d’une population de Nindividus pour y déceler
l’éventuelle présence d’un virus dont on sait qu’il affecte une personne donnée avec la
probabilité pindépendamment des autres.
On dispose pour cela de deux protocoles :
Protocole 1 :
On analyse le sang de chacun des Nindividus.
Protocole 2 :
On regroupe les individus par groupe de n(on suppose Ndivisible par n). On rassemble la
collecte de sang des individus d’un même groupe et on teste l’échantillon. Si le résultat
est positif, on analyse alors le sang de chacun des individus du groupe.
(a) Préciser la loi de la variable aléatoire Xégale au nombre de groupes positifs.
(b) Soit Yla variable aléatoire déterminant le nombre d’analyses effectuées dans le
deuxième protocole.
Exprimer l’espérance de Yen fonction de n,Net p.
(c) Comparer les deux protocoles pour les valeurs N=1 000, n=10 et p=0,01.
Exercice 4 [ 03847 ] [Correction]
Dans cet exercice, les variables aléatoires sont toutes supposées prendre leurs valeurs dans
Z.
On appelle fonction caractéristique d’une variable aléatoire Xl’application ϕX:R→C
définie par
ϕX(u)=EeiuX 
(a) Vérifier que ϕXest 2π-périodique et de classe C∞.
Calculer ϕX(0). Comment interpréter ϕ0
X(0) et ϕ00 X(0) ?
(b) Calculer la fonction caractéristique d’une variable Xsuivant une loi de Bernoulli de
paramètre p.
Même question avec une loi binomiale de paramètres net p.
(c) Soient Xune variable aléatoire réelle et x0un entier. Vérifier
P(X=x0)=1
2πZ2π
0
ϕX(u)e−iux0du
En déduire
ϕX=ϕY=⇒X=Y
(d) Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes. Vérifier
ϕX+Y=ϕXϕY
(e) Exploiter ce résultat pour retrouver la fonction caractéristique d’une variable
aléatoire suivant une loi binomiale.
Exercice 5 [ 03980 ] [Correction]
Soit p∈]0 ; 1[ et (Xk)k∈N∗une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes
vérifiant
P(Xk=1) =pet P(Xk=−1) =1−p
(a) Calculer l’espérance de Xk.
(b) On pose
Yn=
n
Y
k=1
Xk
En calculant de deux façons l’espérance de Yn, déterminer pn=P(Yn=1).
(c) Quelle est la limite de pnquand n→+∞.
Exercice 6 [ 03987 ] [Correction]
Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans ~1 ; n.
(a) Exprimer E(X) en fonction de P(X≥k).
(b) On suppose les variables Xet Yuniformes.
Déterminer l’espérance de min(X,Y) puis de max(X,Y).
Déterminer aussi l’espérance de |X−Y|.
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Exercice 7 [ 03992 ] [Correction]
Soient Xet Ydeux variables aléatoires réelles sur un espace probabilisé fini (Ω,P).
On suppose
∀k∈N,E(Xk)=E(Yk)
Montrer que Xet Ysuivent les mêmes lois.
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
Par la formule de Huygens
V(X)=E(X−E(X)2=E(X2)−E(X)2≥0
Exercice 2 : [énoncé]
Notons pn=P(X=n). On a par définition
E(X)=
N
X
n=0
npn=
N
X
n=1
npn
Or {X=n}={X>n−1}\{X>n}donc
pn=P(X>n−1) −P(X>n)
donc
E(X)=
N
X
n=1
nP(X>n−1) −
N
X
n=1
nP(X>n)
Par décalage d’indice dans la première somme
E(X)=
N−1
X
n=0
(n+1) P(X>n)−
N
X
n=1
nP(X>n)
En supprimant le dernier terme assurément nul de la deuxième somme et en y ajoutant un
terme nul correspondant à l’indice 0
E(X)=
N−1
X
n=0
(n+1) P(X>n)−
N−1
X
n=0
nP(X>n)
Enfin, en combinant ces sommes
E(X)=
N−1
X
n=0
P(X>n)
Exercice 3 : [énoncé]
(a) Dans un groupe donné, le nombre Zd’individus infectés suit une loi binomiale de
taille net de paramètre p. L’échantillon du groupe sera positif si Z≥1. La
probabilité qu’un échantillon de groupe soit positif est donc
q=
n
X
k=1
P(Z=k)=1−P(Z=0) =1−(1 −p)n
L’infection ou non d’un groupe suit une loi de Bernoulli de probabilité q. Les
groupes pouvant être considérés comme indépendants, le nombre Xde groupes
infectés suit une loi binomiale de taille N/net de paramètre q.
(b) Le nombre Yd’analyses se déduit du nombre Xde groupes infectés par la relation
Y=N
n
+nX
L’espérance de Yest
E(Y)=N
n
+nE(X)=N
n(1+nq)=N n(1+n−n(1 −p)n)
(c) Le premier protocole conduit à 1000 analyses alors que le second n’en demande
qu’en moyenne '196
Exercice 4 : [énoncé]
(a) Notons x1,...,xnles valeurs (entières) prises par X. On a
ϕX(u)=
n
X
k=1
eiuxkP(X=xk)
La fonction ϕXest alors combinaison linéaire de fonctions 2π-périodiques (car
xk∈Z) et de classe C∞.
ϕX(0) =E(1) =1, ϕ0
X(0) =
n
X
k=1
ixkP(X=xk)=iE(X) et ϕ00
X(0) =−E(X2)
(b) Si Xsuit une loi de Bernoulli de paramètre p
ϕX(u)=(1 −p)+peiu
Si Xsuit une loi binomiale de paramètres net p
ϕX(u)=
n
X
k=0 n
k!pk(1 −p)n−keiku =(1 −p+peiu)n
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(c) Avec les notations qui précèdent
Z2π
0
ϕX(u)e−iux0du=
n
X
k=0
P(X=xk)Z2π
0
eiu(xk−x0)du
Puisque xk−x0est un entier
Z2π
0
eiu(xk−x0)du=
0 si xk,x0
2πsi xk=x0
et donc
Z2π
0
ϕX(u)e−iux0du=2πP(X=x0)
Si ϕX=ϕYalors
∀x0∈Z,P(X=x0)=P(Y=x0)
et donc X=Y.
(d) Notons que X+Yprend ses valeurs dans Zcomme Xet Y.
ϕX+Y(u)=Eeiu(X+Y)=EeiuX eiuY =EeiuX EeiuY =ϕX(u)ϕY(u)
car les variables Xet Ysont supposées indépendantes.
(e) Une loi binomiale de paramètres net ppeut se comprendre comme la somme de n
loi de Bernoulli indépendantes de paramètre p.
Avec cet exercice, on perçoit la trace dans une situation particulière de résultats
beaucoup plus généraux. Il est assez fréquent d’étudier une variable aléatoire par la
fonction caractéristique associée.
Exercice 5 : [énoncé]
(a) E(Xk)=1×p+(−1) ×(1 −p)=2p−1.
(b) Par l’indépendance des variables
E(Yn)=
n
Y
k=1
E(Xk)=(2p−1)n
Aussi Yn∈{1,−1}et
E(Yn)=1×pn+(−1) ×(1 −pn)=2pn−1
On en déduit
pn=1+(2p−1)n
2
(c) Puisque |p|<1, pn→1/2.
Exercice 6 : [énoncé]
(a) En écrivant
P(X=k)=P(X≥k)−P(X≥k+1)
on obtient
E(X)=
n
X
k=1
kP(X=k)=
n
X
k=1
P(X≥k)
(b) Par la propriété au-dessus
E(min(X,Y))=
n
X
k=1
P(X≥ket Y≥k)=
n
X
k=1
P(X≥k) P(Y≥k)
Puisque
P(X≥k)=P(Y≥k)=n+1−k
n
on obtient
E(min(X,Y))=1
n2
n
X
k=1
(n+1−k)21
n2
n
X
k=1
k2=(n+1)(2n+1)
6n
Aussi
min(X,Y)+max(X,Y)=X+Y
donc
E(max(X,Y))=n+1−(n+1)(2n+1)
6n
=(n+1)(4n−1)
6n
Encore
min(X,Y)=1
2((X+Y)−|X−Y|)
donc
E(|X−Y|)=n+1−(n+1)(2n+1)
3n
=n2−1
3n
Exercice 7 : [énoncé]
Notons x1,...,xnles éléments de X(Ω)∪Y(Ω).
On peut écrire
∀k∈N,E(Xk)=
n
X
i=1
xk
iP(X=xi)
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Soit j∈~1 ; n. Considérons maintenant un polynôme Ljprenant la valeur 1 en xjet la
valeur 0 en les xiavec i,j.
En notant Nle degré de Lj, on peut écrire
Lj(x)=a0+a1x+· · · +aNxN
et alors
a0+a1E(X)+· · · +aNE(XN)=
n
X
i=1
Lj(xi) P(X=xi)=P(X=xj)
Parallèlement
a0+a1E(Y)+· · · +aNE(YN)=
n
X
i=1
Lj(xi) P(Y=xi)=P(Y=xj)
et donc
P(X=xj)=P(Y=yj)
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