ICHEC - Gestion d`entreprise - BAC2 12UMQ10

ICHEC - Gestion d’entreprise - BAC2
STAT
12UMQ10
VANAUVE Alexandre

1_PROBABILITÉS
Variable Aléatoire (VA) notée X
2 types:
VA discrète
→ prend un nombre fini ou infini dénombrable de valeurs
VA continue
→ peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné
loi de probabilité de la VA discrète X, notée PX est
définie par:
PX(x) = P(X=x)
où
•x ∈ X(Ω)
•PX(x) ≥ 0, Vx ∈ X(Ω)
•
(représentée par un diagramme en bâton)
fonction de répartition définie par:
FX(x) = P(X≤x)
(représentée par une courbe cumulative)
espérance (ou moyenne):
généralisation (g est une fonction)
variance:
propriétés:
soient X et Y des VA et a et b des constantes, on a:
•E(aX+b) = aE(X)+b
•var(aX+b) = a2var(X)
formule pratique pour le calcul de la variance:
var(X) = E(X-E(X))2 = E(X2) - (E(X))2
loi binomiale:
on répète une expérience aléatoire n fois dont le
résultat est soit un succès de probabilité p, soit un
échec de probabilité q=1-p
X∼B(n;p)
formule générale:
ou:
propriété:
soit X une VA Bi(n;p) :
•E(X) = np
•var(X) = npq
(représentée par un diagramme en bâton)
fonction de densité:
telle que:
•f(x)≥0 , Vx ∈ R
•l’aire totale sous la courbe vaut 1 →
loi de probabilité de la VA continue X = donner
l’expression de sa fonction de densité
fonction de répartition définie par:
pour l’aire entre 2 bornes:
la probabilité qu’une VA continue prenne une valeur
isolée fixe est toujours nulle
espérance (ou moyenne):
généralisation (g est une fonction)
variance:
loi normale:
VA normale centrée réduite
notée Z, sa fonction de densité est donnée par:
→ courbe de gauss / courbe normale
•E(Z) = 0
•var(Z) = 1
notation: Z∼N(0;1)
VA normale générale/quelconque
de paramètres 𝞵 et 𝞼2 est une VA dont la
fonction de répartition est donnée par:
→ courbe de gauss (symétrique en x= 𝞵)
•E(Z) = 𝞵
•var(Z) = 𝞼2
notation: X∼N(𝞵;𝞼2)
calcul:
on revient à une N(0;1)
VANAUVE Alexandre

2_DISTRIBUTION D’ÉCHANTILLONNAGE
pour définir les paramètres d’une population entière, deux possibilités:
-recensement individuel → impossible
-échantillonnage
on va donc estimer les paramètres
soit O un paramètre quelconque inconnu
soit Ô un estimateur de O
Ô est un estimateur sans biais si E[Ô] = O
Ô est un estimateur biaisé si E[Ô] = O + biais
De plus, var[Ô] = E[(Ô-O)2]
si l’estimateur est faible, l’écart sera faible et donc la variance petite; c’est un indicateur de
précision ( <=> plus la variance est petite, plus la précision est grande)
EAS = Echantillon Aléatoire Simple, est un échantillon tel que chaque individu de la population a la
même probabilité de se trouver dans cet échantillon
moyenne
variance
paramètre échantillon
paramètre population
𝞵
𝞼2
est un estimateur sans biais pour 𝞵
→ biais
comment corriger ce biais?
estimateur:
Théorème Central Limite (n≥30)
grand échantillon (n≥30)
petit échantillon (n<30)
soit x1, x2,…, xn une suite de VA
indépendantes et identiquement
distribuées (iid) de loi quelconque
de moyenne 𝞵 et de variance 𝞼2
soit x1, x2,…, xn une suite de VA
iid de loi normale de moyenne
𝞵 et de variance 𝞼2
≈ approximativement
Student à n-1 degrés de liberté
VANAUVE Alexandre

3_ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCE
moyenne
population 𝞵
proportion de
population
variance
population 𝞼2
grand échantillon
(n≥30)
petit échantillon
(n<30)
d’office grand
échantillon (n≥30)
trouver les bornes
T1 et T2 → on
cherche à avoir un
intervalle le plus
petit possible
𝝰 = niveau de
signification (1%,
5%, 10%) → fixé
1 - 𝝰 = niveau de
confiance (99%,
95%, 90%)
soit x1, x2,…, xn
une suite de v.a.
iid de loi
quelconque de
moyenne 𝞵 et de
variance 𝞼2 (𝞵 et
𝞼2 sont des
paramètres
inconnus)
on peut démontrer
que:
selon TCL
soit x1, x2,…, xn
une suite de v.a.
iid de loi normale
de moyenne 𝞵 et
de variance 𝞼2 (𝞵
et 𝞼2 sont des
paramètres
inconnus)
on peut démontrer
que:
(student à n-1
degrés de liberté)
variable binaire/
dichotomique
x est soit x1
(favorable avec
une probabilité p),
soit x2
(défavorable avec
une probabilité
q=1-p)
on peut démontrer
que:
soit x1, x2,…, xn
une suite de v.a.
iid de loi normale
de moyenne 𝞵 et
de variance 𝞼2 (𝞵
et 𝞼2 sont des
paramètres
inconnus)
on peut démontrer
que:
(chi-carré à n-1
degrés de liberté)
𝝰 = 1%
z1- 𝝰/2 = z0,995
= 2,576
__________
𝝰 = 5%
z1- 𝝰/2 = z0,975
= 1,96
__________
𝝰 = 10%
z1- 𝝰/2 = z0,95
= 1,645
isoler 𝞵
au niveau de
confiance 1 - 𝝰
isoler 𝞵
au niveau de
confiance 1 - 𝝰
au niveau de
confiance 1 - 𝝰
isoler 𝞼2
au niveau de
confiance 1 - 𝝰
au niveau de
confiance 1 - 𝝰
1 - 𝝰
-tn-1 ; 1-𝝰/2 tn-1 ; 1-𝝰/2
1 - 𝝰
-z1-𝝰/2 z1-𝝰/2
1 - 𝝰
𝑥2n-1 ; 𝝰/2 𝑥2n-1 ; 1 - 𝝰/2
VANAUVE Alexandre

3_ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCE
Combien de personnes interroger? Quelle taille d’échantillon choisir?
(= comment trouver n?)
par exemple: IC pour une proportion de population p
marge d’erreur / erreur d’estimation
on fixe un niveau de confiance exemple: 95% ; 𝝰 = 5% ; z1-𝝰/2 = z0,975 = 1,96 ≃ 2
on prend f(x) = x(1-x) avec x ∈ [0;1]
= x-x2
on remplace p^ par 1/2 → cas le plus défavorable (plus grande marge d’erreur)
<=>
marge = √(0,5(1-0,5)/n) . 2 = √(1/n) = 1/√n
on fixe la marge d’erreur (selon le commanditaire de l’étude)
en général, on utilise une marge de 3% (environ 1 000 personnes interrogées)
marge d’erreur:
10%
5%
1%
0,1%
0,10 = 1/√n
0,05 = 1/√n
0,01 = 1/√n
0,001 = 1/√n
n = 100
n = 400
n = 10 000
n = 1 000 000
Max
1/2
VANAUVE Alexandre