ICHEC - Gestion d`entreprise - BAC2 12UMQ10

ICHEC - Gestion d’entreprise - BAC2
STAT
12UMQ10
VANAUVE Alexandre
1_PROBABILITÉS
VANAUVE Alexandre
Variable Aléatoire (VA) notée X
2 types:
VA discrète
VA continue
→ prend un nombre fini ou infini dénombrable de valeurs
→ peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné
loi de probabilité de la VA discrète X, notée PX est
définie par:
PX(x) = P(X=x)
où
• x ∈ X(Ω)
• PX(x) ≥ 0, Vx ∈ X(Ω)
•
fonction de densité:
telle que:
• f(x)≥0 , Vx ∈ R
• l’aire totale sous la courbe vaut 1 →
(représentée par un diagramme en bâton)
fonction de répartition définie par:
fonction de répartition définie par:
FX(x) = P(X≤x)
(représentée par une courbe cumulative)
pour l’aire entre 2 bornes:
espérance (ou moyenne):
la probabilité qu’une VA continue prenne une valeur
isolée fixe est toujours nulle
loi de probabilité de la VA continue X = donner
l’expression de sa fonction de densité
espérance (ou moyenne):
généralisation (g est une fonction)
généralisation (g est une fonction)
variance:
variance:
propriétés:
soient X et Y des VA et a et b des constantes, on a:
• E(aX+b) = aE(X)+b
• var(aX+b) = a2var(X)
formule pratique pour le calcul de la variance:
var(X) = E(X-E(X))2 = E(X2) - (E(X))2
loi binomiale:
on répète une expérience aléatoire n fois dont le
résultat est soit un succès de probabilité p, soit un
échec de probabilité q=1-p
X∼B(n;p)
formule générale:
ou:
propriété:
soit X une VA Bi(n;p) :
• E(X) = np
• var(X) = npq
(représentée par un diagramme en bâton)
loi normale:
VA normale centrée réduite
notée Z, sa fonction de densité est donnée par:
→ courbe de gauss / courbe normale
• E(Z) = 0
• var(Z) = 1
notation: Z∼N(0;1)
VA normale générale/quelconque
de paramètres 𝞵 et 𝞼2 est une VA dont la
fonction de répartition est donnée par:
→ courbe de gauss (symétrique en x= 𝞵)
• E(Z) = 𝞵
• var(Z) = 𝞼2
notation: X∼N(𝞵;𝞼2)
calcul:
on revient à une N(0;1)
2_DISTRIBUTION D’ÉCHANTILLONNAGE
VANAUVE Alexandre
pour définir les paramètres d’une population entière, deux possibilités:
- recensement individuel → impossible
- échantillonnage
on va donc estimer les paramètres
soit O un paramètre quelconque inconnu
soit Ô un estimateur de O
Ô est un estimateur sans biais si E[Ô] = O
Ô est un estimateur biaisé si E[Ô] = O + biais
De plus, var[Ô] = E[(Ô-O)2]
si l’estimateur est faible, l’écart sera faible et donc la variance petite; c’est un indicateur de
précision ( <=> plus la variance est petite, plus la précision est grande)
moyenne
variance
𝞵
𝞼2
paramètre échantillon
paramètre population
est un estimateur sans biais pour 𝞵
→ biais
comment corriger ce biais?
estimateur:
EAS = Echantillon Aléatoire Simple, est un échantillon tel que chaque individu de la population a la
même probabilité de se trouver dans cet échantillon
Théorème Central Limite (n≥30)
grand échantillon (n≥30)
petit échantillon (n<30)
soit x1, x2,…, xn une suite de VA
indépendantes et identiquement
distribuées (iid) de loi quelconque
de moyenne 𝞵 et de variance 𝞼2
soit x1, x2,…, xn une suite de VA
iid de loi normale de moyenne
𝞵 et de variance 𝞼2
≈ approximativement
Student à n-1 degrés de liberté
3_ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCE
VANAUVE Alexandre
moyenne
population 𝞵
proportion de
population
grand échantillon
(n≥30)
trouver les bornes
T1 et T2 → on
cherche à avoir un
intervalle le plus
petit possible
𝝰 = niveau de
signification (1%,
5%, 10%) → fixé
1 - 𝝰 = niveau de
confiance (99%,
95%, 90%)
soit x1, x2,…, xn
une suite de v.a.
iid de loi
quelconque de
moyenne 𝞵 et de
variance
𝞼2
(𝞵 et
𝞼2
sont des
paramètres
inconnus)
petit échantillon
(n<30)
d’office grand
échantillon (n≥30)
soit x1, x2,…, xn
une suite de v.a.
iid de loi normale
de moyenne 𝞵 et
variable binaire/
dichotomique
x est soit x1
(favorable avec
une probabilité p),
soit x2
(défavorable avec
une probabilité
q=1-p)
soit x1, x2,…, xn
une suite de v.a.
iid de loi normale
de moyenne 𝞵 et
on peut démontrer
que:
on peut démontrer
que:
de variance 𝞼2 (𝞵
et 𝞼2 sont des
paramètres
inconnus)
on peut démontrer on peut démontrer
que:
que:
(student à n-1
degrés de liberté)
selon TCL
variance
population 𝞼2
de variance 𝞼2 (𝞵
et 𝞼2 sont des
paramètres
inconnus)
(chi-carré à n-1
degrés de liberté)
𝝰 = 1%
z1- 𝝰/2 = z0,995
= 2,576
__________
𝝰 = 5%
z1- 𝝰/2 = z0,975
= 1,96
__________
𝝰 = 10%
1-𝝰
-z1-𝝰/2
1-𝝰
z1-𝝰/2
-tn-1 ; 1-𝝰/2
1-𝝰
tn-1 ; 1-𝝰/2
au niveau de
confiance 1 - 𝝰
𝑥
2
n-1 ; 𝝰/2
𝑥
2
n-1 ; 1 - 𝝰/2
isoler 𝞵
isoler 𝞵
isoler 𝞼2
au niveau de
confiance 1 - 𝝰
au niveau de
confiance 1 - 𝝰
au niveau de
confiance 1 - 𝝰
z1- 𝝰/2 = z0,95
= 1,645
au niveau de
confiance 1 - 𝝰
3_ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCE
VANAUVE Alexandre
Combien de personnes interroger? Quelle taille d’échantillon choisir?
(= comment trouver n?)
par exemple: IC pour une proportion de population p
marge d’erreur / erreur d’estimation
on fixe un niveau de confiance exemple: 95% ; 𝝰 = 5% ; z1-𝝰/2 = z0,975 = 1,96 ≃ 2
on prend f(x) = x(1-x) avec x ∈ [0;1]
= x-x2
Max
1/2
on remplace p^ par 1/2 → cas le plus défavorable (plus grande marge d’erreur)
<=>
marge = √(0,5(1-0,5)/n) . 2 = √(1/n) = 1/√n
on fixe la marge d’erreur (selon le commanditaire de l’étude)
marge d’erreur:
10%
5%
1%
0,1%
0,10 = 1/√n
0,05 = 1/√n
0,01 = 1/√n
0,001 = 1/√n
n = 100
n = 400
n = 10 000
n = 1 000 000
en général, on utilise une marge de 3% (environ 1 000 personnes interrogées)
4_TESTS D’HYPOTHÈSES
VANAUVE Alexandre
moyenne population
𝞵
grand échantillon
(n≥30)
H 0:
H 1:
𝞵 = 𝞵0
𝞵 > 𝞵0 (I)
𝞵 ≠ 𝞵0 (II)
𝞵 < 𝞵0 (III)
𝞵0 est fixée
H0 → hypothèse
nulle
H1 → contrehypothèse /
alternative
proportion de
population
petit échantillon
(n<30)
soit x1, x2,…, xn une
suite de VA iid de loi
quelconque de
moyenne 𝞵 et de
soit x1, x2,…, xn une
suite de VA iid de loi
normale de moyenne
𝞵 et de variance 𝞼2
variance 𝞼2 (𝞵 et 𝞼2
sont des paramètres
inconnus)
(𝞵 et 𝞼2 sont des
paramètres inconnus)
(student à n-1 degrés
de liberté)
d’office grand
échantillon (n≥30)
H 0:
p = p0
H 1:
p > p0 (I)
p ≠ p0 (II)
p < p0 (III)
p0 est fixé
H0 → hypothèse
nulle
H1 → contrehypothèse /
alternative
pour 𝝰 (niveau de signification) donné (1%, 5%, 10%) :
(I) règles de décisions
H1: 𝞵 > 𝞵0 - zone de rejet:
- p-valeur:
zobs
-z1-𝝰/2
1-𝝰
règles de décisions
- zone de rejet:
- p-valeur:
zobs
z1-𝝰
Tobs
1-𝝰
-tn-1 ; 1-𝝰/2
(I) règles de décisions
H1: p > p0 - zone de rejet:
- p-valeur:
Tobs
tn-1 ; 1- 𝝰
zobs
-z1-𝝰/2
1-𝝰
zobs
z1-𝝰
p-valeur: P(z>zobs)
avec Z ∼ N(0;1)
p-valeur: P(T>Tobs)
avec T ∼ tn-1
p-valeur: P(z>zobs)
avec Z ∼ N(0;1)
RH0 si p-valeur < 𝝰
RH0 si p-valeur < 𝝰
RH0 si p-valeur < 𝝰
4_TESTS D’HYPOTHÈSES
(II) règles de décisions
H1: 𝞵 ≠ 𝞵0 - zone de rejet:
- p-valeur:
zobs
1-𝝰
-z1-𝝰/2
règles de décisions
- zone de rejet:
- p-valeur:
zobs
z1-𝝰/2
Tobs
1-𝝰
-tn-1 ; 1-𝝰/2
(II) règles de décisions
H1: p ≠ p0 - zone de rejet:
- p-valeur:
Tobs
tn-1 ; 1-𝝰/2
zobs
1-𝝰
-z1-𝝰/2
zobs
z1-𝝰/2
si zobs > 0 :
p-valeur: P(z>zobs)
avec Z ∼ N(0;1)
si Tobs > 0
p-valeur: P(T>Tobs)
avec T ∼ tn-1
si zobs > 0 :
p-valeur: P(z>zobs)
avec Z ∼ N(0;1)
si zobs < 0 :
p-valeur: P(z<zobs)
avec Z ∼ N(0;1)
si Tobs < 0
p-valeur: P(T<Tobs)
avec T ∼ tn-1
si zobs < 0 :
p-valeur: P(z<zobs)
avec Z ∼ N(0;1)
RH0 si p-valeur < 𝝰/2
RH0 si p-valeur < 𝝰/2
RH0 si p-valeur < 𝝰/2
(III) règles de décisions
H1: 𝞵 < 𝞵0 - zone de rejet:
- p-valeur:
zobs
1-𝝰
-z1-𝝰
règles de décisions
- zone de rejet:
- p-valeur:
Tobs
1-𝝰
-tn-1 ; 1-𝝰
(III) règles de décisions
H1: p < p0 - zone de rejet:
- p-valeur:
zobs
1-𝝰
-z1-𝝰
p-valeur: P(z<zobs)
avec Z ∼ N(0;1)
p-valeur: P(T<Tobs)
avec T ∼ tn-1
p-valeur: P(z<zobs)
avec Z ∼ N(0;1)
RH0 si p-valeur < 𝝰
RH0 si p-valeur < 𝝰
RH0 si p-valeur < 𝝰
Remarque:
si RH0, on affirme H1 avec un risque de se tromper de 𝝰. Or, si non-rejet (acceptation de
l’hypothèse), on ne peut rien affirmer!
“les données collectées ne nous permettent pas d’affirmer H1”
5_TESTS CHI-CARRÉ
VANAUVE Alexandre
test d’ajustement
conditions:
• n ≥ 30
• ni*≥ 1, 𝖵i
• au moins 80%
des ni*≥ 5
H 0:
(ni*= effectifs
théoriques)
avec p1*, p2*, … , pI* des valeurs fixées
telles que
test d’indépendance
H 0:
p1=p1* ; p2=p2* ; … ; pI=pI*
H 1:
il existe au moins une différence
entre les pi et les pi*
x ∐ y (indépendants)
H 1:
x ∐ y (dépendants)
tableau de contingence pour les 2
variables:
pI proportion population (paramètre
inconnu) avec
(le répondant ne peut cocher qu’une
réponse)
calculs:
sous H0: (x ∐y):
( = effectifs théoriques)
=> on compare les écarts entre la
réalité et les effectifs théoriques
obtenus (pour chaque nij)
en suivant les 3 conditions et sous H0:
on peut démontrer que:
en suivant les 3 conditions et sous H0:
I: nombre de modalités de x
J: nombre de modalités de y
règles de décisions (pour 𝝰 donné)
- zone de rejet:
règles de décisions (pour 𝝰 donné)
- zone de rejet:
- p-valeur:
- p-valeur:
𝑥
1-𝝰
2
𝑥
2
obs
𝑥
1-𝝰
2
𝑥
I-1 ; 1-𝝰
2
obs
(I-1)(J-1) ; 1-𝝰
p-valeur: P(𝑥2>𝑥2obs) avec 𝑥2 ∼ 𝑥2I-1
p-valeur: P(𝑥2>𝑥2obs) avec 𝑥2 ∼ 𝑥2(I-1)(J-1)
RH0 si p-valeur < 𝝰
RH0 si p-valeur < 𝝰