Nombres complexes (deuxi`eme partie)

Cours de math´ematiques
Nombres complexes (deuxi`eme partie)
1 Interpr´etation g´eom´etrique des nombres complexes
D´efinition 1. Dans le plan muni d’un rep`ere orthonorm´e direct (O, −→ u , −→ v)on d´efinit :
– L’ affixe d’un point M(x;y)par le nombre complexe zM=x+iy.
– L’ affixe d’un vecteur −→ ux
ypar le nombre complexe z−→
u=x+iy.
Le plan est alors appel´e plan complexe, l’axe des abscisses est appel´e axe des r´eels et l’axe des ordonn´ees
axe des imaginaires purs.
Propri´et´e 1. Soit Mun point du plan complexe (O, −→ u , −→ v)d’affixe z, alors :
1. |z|=OM .
2. zest l’affixe du sym´etrique de Mpar rapport `a l’axe des abscisses.
−→
u
−→
v
|z|
M(z)
O
M′(z)
D´emonstration. au programme.
Propri´et´e 2. Soient −→ uet −→ vdeux vecteurs et A,Bet Ctrois points du plan complexe, alors :
1. Si k∈Ralors zk−→
u=kz−→ u.
2. z−→
u+−→ v=z−→ u+z−→ v.
3. z−→
AB =zB−zA.
4. Si G=bar(A;α),(B;β),(C;γ)alors zG=αzA+βzB+γzC
α+β+γ.
D´emonstration. au programme.
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Cours de math´ematiques Nombres complexes (deuxi`eme partie)
2´ Ecriture trigonom´etrique d’un nombre complexe non nul
D´efinition 2. Soit θun nombre r´eel, on lui associe le nombre complexe zθ= cos θ+isin θ.
Propri´et´e 3. zαzβ=zα+β
D´emonstration. au programme.
Par analogie avec la fonction exponentielle, on utilise d´esormais la notation d’Euler eiθ = cos θ+isin θ.
Corollaire 1. Formule de Moivre
(eiθ)n=einθ soit (cos θ+isin θ)n= cos(nθ) + isin(nθ)
D´emonstration. au programme.
Th´eor`eme 1. Tout nombre complexe z=x+iy non nul peut s’´ecrire de mani`ere unique sous la forme
trigonom´etrique z=reiθ avec run r´eel strictement positif et θun r´eel d´efini `a 2πpr`es. De plus on a :
r=|z|=px2+y2cos θ=x
px2+y2sin θ=y px2+y2
Le r´eel θest appel´e argument du nombre complexe zet not´e arg(z).
D´emonstration. au programme.
Le couple (r, θ) repr´esente les coordonn´ees polaires du point Md’affixe zdans le rep`ere orthonorm´e
direct (O, −→ u , −→ v) :
O−→
u
−→
v
r
M(z)
θ
Propri´et´e 4. Soient zet z′deux nombres complexes non nuls, alors :
1. arg(z) = −arg(z) [2π].
2. arg(−z) = arg(z) + π[2π].
3. arg(zz′) = arg(z) + arg(z′) [2π].
4. arg 1
z=−arg(z) [2π].
5. arg z
z′= arg(z)−arg(z′) [2π].
6. arg(zn) = n×arg(z) [2π], n ∈Z.
D´emonstration. au programme.
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3´ Ecritures complexes des transformations du plan
Propri´et´e 5. Soient Aet Bdeux points et −→ uet −→ vdeux vecteurs non nuls du plan complexe, alors :
1. AB =|zB−zA|.
2. (−→ u , −→ v) = arg z−→
v
z−→
u[2π].
D´emonstration. au programme.
Corollaire 2. Un point Mdu plan complexe d’affixe zappartient au cercle de centre Aet de rayon rsi et
seulement si il existe un r´eel θtel que :
z=zA+reiθ
D´emonstration. au programme.
Th´eor`eme 2. Soient Met M′deux points du plan complexe d’affixes respectives zet z′, alors :
1. Le point M′est l’image du point Mpar une translation de vecteur −→ usi et seulement si :
z′=z+z−→
u
2. Le point M′est l’image du point Mpar une homoth´etie de centre Aet de rapport ksi et seulement
si :
z′=k(z−zA) + zA
3. Le point M′est l’image du point Mpar la rotation de centre Aet d’angle αsi et seulement si :
z′=eiα(z−zA) + zA
D´emonstration. au programme.
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