Groupes, anneaux et corps

MPSI2 Groupes, anneaux et corps 2016-2017
Lois de composition interne
1Soit E=n1
n, n ∈N∗o.
a) L’addition d´efinit-elle une loi de composition interne sur E?
b) La multiplication d´efinit-elle une loi de composition interne sur E?
2Soit Eun ensemble `a n´el´ements avec n∈N∗. Combien il y-a-t-il de lois de composition interne sur E?
3On d´efinit une loi de composition interne ∗sur Rpar ∀(a, b)∈R2, a ∗b= ln(ea+eb). Quelles sont ses propri´et´es ?
Poss`ede-t-elle un ´el´ement neutre ?
4♥On munit Rdes deux lois de composition interne ∗et Td´efinies par :
∀(x, y)∈R2, x ∗y= 2xy et xT y =x+ 2y
a) La loi ∗est-elle distributive par rapport `a T?
b) La loi Test-elle distributive par rapport `a ∗?
5FOn munit Rde la loi de composition interne ∗d´efinie par :
∀(x, y)∈R2, x ∗y=xy + (x2−1)(y2−1)
a) V´erifier que ∗est commutative, non associative et qu’elle poss`ede un ´el´ement neutre.
b) Montrer que pour afix´e avec |a|>1, l’´equation x∗a= 1 admet 2 solutions. Conclure.
6♥FSur E= [0,1], on d´efinit une loi ∗par ∀(x, y)∈E2, x ∗y=x+y−xy.
a) Montrer que ∗est une loi de composition interne, commutative et associative.
b) Montrer que ∗poss`ede un ´el´ement neutre.
c) Quels sont les ´el´ements inversibles ? r´eguliers ?
7FF Soit RNl’ensemble des suites `a valeurs r´eelles. On d´efinit sur RNune loi de composition interne par :
∀(u, v)∈(RN)2, u ∗v=wo`u le terme g´en´eral de la suite west wn=
n
X
k=0
ukvn−k(∀n∈N)
La loi ainsi d´efinie est-elle associative ? commutative ? poss`ede-t-elle un ´el´ement neutre ?
8FF Soit Vun ensemble poss´edant au moins 2 ´el´ements. On consid`ere E=R∗×Vet on d´efinit sur Ela loi de
composition interne ∗par :
∀(λ, x)∈E, ∀(λ0, x0)∈E, (λ, x)∗(λ0, x0)=(λλ0, x0)
a) Cette loi est-elle associative ? commutative ?
b) La loi ∗poss`ede-t-elle un ´el´ement neutre ? Il y-a-t-il des ´el´ements inversibles ?
c) Soit X0∈E. On pose : ∀X∈E, γX0(X) = X0∗Xet δX0(X) = X∗X0deux applications de Edans E.
Ces applications sont-elles des bijections ?
9FF Soit ∗une loi de composition interne associative sur un ensemble fini Eposs´edant un ´el´ement r´egulier.
Montrer que Eposs`ede un ´el´ement neutre.
10 FF Soit (E, ∗) un mono¨ıde avec Eensemble fini. Montrer que tout ´el´ement r´egulier de Eest inversible.
11 FFF Soit Eun ensemble fini non vide muni d’une loi de composition interne associative not´ee ∗.
Montrer qu’il existe a∈Etel que a∗a=a.
1 Chapitre 9

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Groupes
12 Soit (G, ∗) un groupe `a n´el´ements (n∈N∗). Justifier que sa table de loi est un carr´e latin : c’est-`a-dire que tout
´el´ement apparaˆıt une seule fois sur chaque ligne et chaque colonne.
13 ♥Soit (G, ∗) un groupe. On d´efinit le centre du groupe Gpar Z(G) = {a∈G, ∀x∈G, a ∗x=x∗a}.
Montrer que Z(G) est un sous-groupe de G.
14 FMontrer que pour un groupe `a 4 ´el´ements, il y a 4 tables de loi possibles et les former. Les groupes obtenus sont-ils
commutatifs ?
15 FPour tout (x, y)∈R2, on pose : x∗y=xp1 + y2+yp1 + x2. Montrer que (R,∗) est un groupe isomorphe
`a (R,+).
16 ♥FSoit (G, ∗) un groupe tel que ∀x∈G, x2=e. Montrer que Gest commutatif.
17 ♥FSoit G=R∗×Ret ∗la loi de composition interne d´efinie sur Gpar : (x, y)∗(x0, y0) = (xx0, xy0+y).
a) Montrer que (G, ∗) est un groupe non commutatif.
b) Montrer que R∗
+×Rest un sous-groupe de (G, ∗).
18 ♥FSur G=] −1,1[, on d´efinit une loi ∗par ∀(x, y)∈G2, x ∗y=x+y
1 + xy . Montrer que (G, ∗) est un groupe ab´elien.
19 FF Soit Gun groupe. Pour n∈N, on consid`ere la propri´et´e Pn:∀(x, y)∈G2,(xy)n=xnyn.
a) Montrer que si Gv´erifie P2alors Gest commutatif.
b) Montrer que si Gv´erifie Pnpour n≥1, alors (yx)n−1=xn−1yn−1.
c) On suppose que Gv´erifie Pn−1, Pnet Pn+1 . Montrer que Gest commutatif.
20 FF Soit Gun groupe et H1, H2deux sous-groupes de G.
a) Montrer que H1∩H2est un sous-groupe de G.
b) Montrer que H1∪H2n’est pas toujours un sous-groupe de G.
c) Montrer que H1∪H2est un sous-groupe de Gsi et seulement si H1⊂H2ou
H2⊂H1.
21 ♥FF Soit Gun groupe commutatif fini de cardinal n. Montrer que ∀x∈G, xn=eo`u eest l’´el´ement neutre de G.
En d´eduire les sous-groupes finis de (C∗,×).
22 FFF Soit Gun sous-groupe additif de Ctel que pour tout x∈[0,1], x+ix2∈G. D´eterminer G.
23 FFF Montrer que H={x+√3y, x ∈N, y ∈Z, x2−3y2= 1}est un sous-groupe de (R∗
+,×).
24 FFF Soit Gun groupe fini. Montrer que le nombre d’´el´ements ´egaux `a leur inverse a la mˆeme parit´e que Card(G).
Morphismes de groupes
25 Soit (G, +) un groupe commutatif et soit El’ensemble des morphismes de Gdans G.
a) Montrer que l’on peut munir Ed’une structure de groupe commutatif.
b) Montrer que (E, +, o) est un anneau.
26 Montrer que f:R∗→R∗
x7→ xnavec n∈N∗est un morphisme du groupe (R∗,×). En d´eterminer l’image et le noyau.
27 FSoient Get G0deux groupes et f:G→G0un isomorphisme de groupes. Montrer que f−1est un isomorphisme
de groupes.
28 FD´eterminer tous les morphismes d´erivables du groupe (R,+) dans le groupe (C∗,×).
2 Chapitre 9

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29 FF Soit Gun groupe not´e multiplicativement. Pour tout a∈G, on note τa:G→G
x7→ axa−1.
a) Montrer que τaest un morphisme du groupe G.
b) Montrer que ∀(a, b)∈G2, τa◦τb=τab.
c) Montrer que τaest bijective et d´eterminer son application r´eciproque.
d) En d´eduire que A={τa, a ∈G}muni de la composition est un groupe.
30 FF Montrer que (R∗,×) et (C∗,×) ne sont pas isomorphes.
31 ♥FF Soit (G, ∗) et (G0,+) deux groupes et f:G→G0un morphisme de groupes.
a) Montrer que pour tout sous-groupe Hde G,f(H) est un sous-groupe de G0.
b) Montrer que pour tout sous-groupe H0de G0,f−1(H0) est un sous-groupe de G.
Anneaux
32 D´eterminer les morphismes d’anneaux de Zdans Z.
33 ♥Soit d∈N, on note Z[√d] = {a+b√d, (a, b)∈Z2}. Montrer que Z[√d] est un anneau.
34 ♥On d´efinit sur Z2deux lois de composition interne not´ees + et ∗par : ∀(a, b, c, d)∈Z4:
(a, b)+(c, d)=(a+c, b +d),(a, b)∗(c, d)=(ac, ad +bc)
a) Montrer que (Z2,+,∗) est un anneau commutatif.
b) Montrer que A={(a, 0), a ∈Z}est un sous-anneau de (Z2,+,∗).
35 FOn note D=nn
10k, n ∈Z, k ∈Nol’ensemble des nombres d´ecimaux. Montrer que Dest un anneau. Quels sont
ses inversibles ?
36 FTrouver les ´el´ements inversibles de Z[i] = {a+ib, (a, b)∈Z2}.
37 FSoit A=nm
2n, m ∈Z, n ∈No. Montrer que Aest un anneau avec les lois + et ×usuelles. Quels en sont les
´el´ements inversibles ?
38 FF On consid`ere (A, +,×) un anneau de Boole, c’est-`a-dire un anneau non nul tel que : ∀x∈A, x2=x.
a) Montrer que ∀(x, y)∈A2, xy +yx = 0. En d´eduire que ∀x∈A, x +x= 0. Montrer que Aest commutatif.
b) Montrer que la relation binaire d´efinie sur Apar : x≤y⇔yx =xest une relation d’ordre.
c) Montrer que ∀(x, y)∈A2, xy(x+y) = 0. En d´eduire qu’un anneau de Boole int`egre ne peut avoir que 2 ´el´ements.
39 FF Soit Aun anneau tel que ∀(a, b)∈A2,(ab)2=a2b2. Montrer que Aest commutatif.
40 FF Soit Eun ensemble non vide et P(E) l’ensemble des parties de E. On pose :
∀(A, B)∈ P(E)2, A∆B= (A\B)∪(B\A)
.
a) Montrer que (P(E),∆,∩) est un anneau commutatif.
b) Montrer que cet anneau n’est pas int`egre et d´eterminer les diviseurs de z´ero.
41 ♥FF Soient xet ydeux ´el´ements d’un anneau (A, +,∗).
a) Montrer que si xest nilpotent et que xet ycommutent, alors xy est nilpotent.
b) Montrer que si xet ysont nilpotents et commutent, alors x+yest nilpotent.
c) Montrer que si xy est nilpotent alors yx l’est aussi.
d) Montrer que si xest nilpotent alors 1 −xest inversible. Pr´eciser (1 −x)−1.
42 FFF Soit Aun anneau tel que : ∀x∈A, x3=x.
a) Soit e∈Atel que e2=e, d´emontrer que ecommute avec tous les ´el´ements de A.
b) En d´eduire que Aest commutatif.
3 Chapitre 9

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Corps
43 Soit Fun sous-corps de (Q,+,×), montrer que F=Q.
44 ♥Soit d∈Ntel que √d /∈Q, on note Q[√d] = {a+b√d, (a, b)∈Q2}. Montrer que Q[√d] est un corps.
45 FF Vous disposez d’une calculatrice pouvant effectuer l’addition et la soustraction de deux ´el´ements d’un corps et
pouvant d´eterminer l’inverse d’un ´el´ement non nul. Donner une proc´edure permettant de calculer le produit de deux
´el´ements en au plus vingt op´erations.
46 ♥FF Soit Aun anneau int`egre fini. Montrer que Aest un corps.
47 FFF Soit (K, +,×) un corps fini. Calculer le produit des ´el´ements inversibles de K.
48 FFF Soit (p, q)∈Q×Q∗tels que l’´equation (E) : x2−px +q= 0 ne poss`ede pas de racine dans Q.
Soit αune racine de (E). On pose Q[α] = {a+bα, (a, b)∈Q2}.
a) V´erifier que si z∈Q[α], il existe un unique couple (a, b)∈Q2tel que z=a+bα.
b) V´erifier que Q[α] est un sous-anneau de (C,+,×) qui contient Q.
c) Montrer que αest inversible dans Q[α].
d) En d´eduire que Q[α] est un sous-corps de (C,+,×).
4 Chapitre 9