Groupes, anneaux et corps

Groupes, anneaux et corps
MPSI2
2016-2017
Lois de composition interne
1 Soit E =
n1
o
, n ∈ N∗ .
n
a) L’addition définit-elle une loi de composition interne sur E ?
b) La multiplication définit-elle une loi de composition interne sur E ?
2 Soit E un ensemble à n éléments avec n ∈ N∗ . Combien il y-a-t-il de lois de composition interne sur E ?
3 On définit une loi de composition interne ∗ sur R par ∀(a, b) ∈ R2 , a ∗ b = ln(ea + eb ). Quelles sont ses propriétés ?
Possède-t-elle un élément neutre ?
4 ♥ On munit R des deux lois de composition interne ∗ et T définies par :
∀(x, y) ∈ R2 , x ∗ y = 2xy et xT y = x + 2y
a) La loi ∗ est-elle distributive par rapport à T ?
b) La loi T est-elle distributive par rapport à ∗ ?
5 F On munit R de la loi de composition interne ∗ définie par :
∀(x, y) ∈ R2 , x ∗ y = xy + (x2 − 1)(y 2 − 1)
a) Vérifier que ∗ est commutative, non associative et qu’elle possède un élément neutre.
b) Montrer que pour a fixé avec |a| > 1, l’équation x ∗ a = 1 admet 2 solutions. Conclure.
6 ♥F Sur E = [0, 1], on définit une loi ∗ par ∀(x, y) ∈ E 2 , x ∗ y = x + y − xy.
a) Montrer que ∗ est une loi de composition interne, commutative et associative.
b) Montrer que ∗ possède un élément neutre.
c) Quels sont les éléments inversibles ? réguliers ?
7 FF Soit RN l’ensemble des suites à valeurs réelles. On définit sur RN une loi de composition interne par :
∀(u, v) ∈ (RN )2 , u ∗ v = w où le terme général de la suite w est wn =
n
X
uk vn−k (∀n ∈ N)
k=0
La loi ainsi définie est-elle associative ? commutative ? possède-t-elle un élément neutre ?
8 FF Soit V un ensemble possédant au moins 2 éléments. On considère E = R∗ × V et on définit sur E la loi de
composition interne ∗ par :
∀(λ, x) ∈ E, ∀(λ0 , x0 ) ∈ E, (λ, x) ∗ (λ0 , x0 ) = (λλ0 , x0 )
a) Cette loi est-elle associative ? commutative ?
b) La loi ∗ possède-t-elle un élément neutre ? Il y-a-t-il des éléments inversibles ?
c) Soit X0 ∈ E. On pose : ∀X ∈ E, γX0 (X) = X0 ∗ X et δX0 (X) = X ∗ X0 deux applications de E dans E.
Ces applications sont-elles des bijections ?
9 FF Soit ∗ une loi de composition interne associative sur un ensemble fini E possédant un élément régulier.
Montrer que E possède un élément neutre.
10 FF Soit (E, ∗) un monoı̈de avec E ensemble fini. Montrer que tout élément régulier de E est inversible.
11 FFF Soit E un ensemble fini non vide muni d’une loi de composition interne associative notée ∗.
Montrer qu’il existe a ∈ E tel que a ∗ a = a.
1
Chapitre 9
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Groupes
12 Soit (G, ∗) un groupe à n éléments (n ∈ N∗ ). Justifier que sa table de loi est un carré latin : c’est-à-dire que tout
élément apparaı̂t une seule fois sur chaque ligne et chaque colonne.
13 ♥ Soit (G, ∗) un groupe. On définit le centre du groupe G par Z(G) = {a ∈ G, ∀x ∈ G, a ∗ x = x ∗ a}.
Montrer que Z(G) est un sous-groupe de G.
14 F Montrer que pour un groupe à 4 éléments, il y a 4 tables de loi possibles et les former. Les groupes obtenus sont-ils
commutatifs ?
p
15 F Pour tout (x, y) ∈ R2 , on pose : x ∗ y = xp1 + y 2 + y 1 + x2 . Montrer que (R, ∗) est un groupe isomorphe
à (R, +).
16 ♥F Soit (G, ∗) un groupe tel que ∀x ∈ G, x2 = e. Montrer que G est commutatif.
17 ♥F Soit G = R∗ × R et ∗ la loi de composition interne définie sur G par : (x, y) ∗ (x0 , y 0 ) = (xx0 , xy 0 + y).
a) Montrer que (G, ∗) est un groupe non commutatif.
b) Montrer que R∗+ × R est un sous-groupe de (G, ∗).
18 ♥F Sur G =] − 1, 1[, on définit une loi ∗ par ∀(x, y) ∈ G2 , x ∗ y = x + y . Montrer que (G, ∗) est un groupe abélien.
1 + xy
19 FF Soit G un groupe. Pour n ∈ N, on considère la propriété P : ∀(x, y) ∈ G2 , (xy)n = xn y n .
n
a) Montrer que si G vérifie P2 alors G est commutatif.
b) Montrer que si G vérifie Pn pour n ≥ 1, alors (yx)n−1 = xn−1 y n−1 .
c) On suppose que G vérifie Pn−1 , Pn et Pn+1 . Montrer que G est commutatif.
20 FF Soit G un groupe et H , H deux sous-groupes de G.
1
2
a) Montrer que H1 ∩ H2 est un sous-groupe de G.
b) Montrer que H1 ∪ H2 n’est pas toujours un sous-groupe de G.
c) Montrer que H1 ∪ H2 est un sous-groupe de G si et seulement si H1 ⊂ H2 ou
H2 ⊂ H1 .
21 ♥FF Soit G un groupe commutatif fini de cardinal n. Montrer que ∀x ∈ G, xn = e où e est l’élément neutre de G.
En déduire les sous-groupes finis de (C∗ , ×).
22 FFF Soit G un sous-groupe additif de C tel que pour tout x ∈ [0, 1], x + ix2 ∈ G. Déterminer G.
23 FFF Montrer que H = {x + √3y, x ∈ N, y ∈ Z, x2 − 3y 2 = 1} est un sous-groupe de (R∗ , ×).
+
24 FFF Soit G un groupe fini. Montrer que le nombre d’éléments égaux à leur inverse a la même parité que Card(G).
Morphismes de groupes
25 Soit (G, +) un groupe commutatif et soit E l’ensemble des morphismes de G dans G.
a) Montrer que l’on peut munir E d’une structure de groupe commutatif.
b) Montrer que (E, +, o) est un anneau.
∗
26 Montrer que f : R
x
→ R∗
avec n ∈ N∗ est un morphisme du groupe (R∗ , ×). En déterminer l’image et le noyau.
7
→
xn
27 F Soient G et G0 deux groupes et f : G → G0 un isomorphisme de groupes. Montrer que f −1 est un isomorphisme
de groupes.
28 F Déterminer tous les morphismes dérivables du groupe (R, +) dans le groupe (C∗ , ×).
2
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29 FF Soit G un groupe noté multiplicativement. Pour tout a ∈ G, on note τ : G → G
.
a
x 7→ axa−1
a) Montrer que τa est un morphisme du groupe G.
b) Montrer que ∀(a, b) ∈ G2 , τa ◦ τb = τab .
c) Montrer que τa est bijective et déterminer son application réciproque.
d) En déduire que A = {τa , a ∈ G} muni de la composition est un groupe.
30 FF Montrer que (R∗ , ×) et (C∗ , ×) ne sont pas isomorphes.
31 ♥FF Soit (G, ∗) et (G0 , +) deux groupes et f : G → G0 un morphisme de groupes.
a) Montrer que pour tout sous-groupe H de G, f (H) est un sous-groupe de G0 .
b) Montrer que pour tout sous-groupe H 0 de G0 , f −1 (H 0 ) est un sous-groupe de G.
Anneaux
32 Déterminer les morphismes d’anneaux de Z dans Z.
33 ♥ Soit d ∈ N, on note Z[√d] = {a + b√d, (a, b) ∈ Z2 }. Montrer que Z[√d] est un anneau.
34 ♥ On définit sur Z2 deux lois de composition interne notées + et ∗ par : ∀(a, b, c, d) ∈ Z4 :
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),
(a, b) ∗ (c, d) = (ac, ad + bc)
2
a) Montrer que (Z , +, ∗) est un anneau commutatif.
b) Montrer que A = {(a, 0), a ∈ Z} est un sous-anneau de (Z2 , +, ∗).
35 F On note D =
ses inversibles ?
o
n n
,
n
∈
Z,
k
∈
N
l’ensemble des nombres décimaux. Montrer que D est un anneau. Quels sont
10k
36 F Trouver les éléments inversibles de Z[i] = {a + ib, (a, b) ∈ Z2 }.
n
o
37 F Soit A = m , m ∈ Z, n ∈ N . Montrer que A est un anneau avec les lois + et × usuelles. Quels en sont les
2n
éléments inversibles ?
38 FF On considère (A, +, ×) un anneau de Boole, c’est-à-dire un anneau non nul tel que : ∀x ∈ A, x2 = x.
a) Montrer que ∀(x, y) ∈ A2 , xy + yx = 0. En déduire que ∀x ∈ A, x + x = 0. Montrer que A est commutatif.
b) Montrer que la relation binaire définie sur A par : x ≤ y ⇔ yx = x est une relation d’ordre.
c) Montrer que ∀(x, y) ∈ A2 , xy(x + y) = 0. En déduire qu’un anneau de Boole intègre ne peut avoir que 2 éléments.
39 FF Soit A un anneau tel que ∀(a, b) ∈ A2 , (ab)2 = a2 b2 . Montrer que A est commutatif.
40 FF Soit E un ensemble non vide et P(E) l’ensemble des parties de E. On pose :
∀(A, B) ∈ P(E)2 , A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A)
.
a) Montrer que (P(E), ∆, ∩) est un anneau commutatif.
b) Montrer que cet anneau n’est pas intègre et déterminer les diviseurs de zéro.
41 ♥FF Soient x et y deux éléments d’un anneau (A, +, ∗).
a) Montrer que si x est nilpotent et que x et y commutent, alors xy est nilpotent.
b) Montrer que si x et y sont nilpotents et commutent, alors x + y est nilpotent.
c) Montrer que si xy est nilpotent alors yx l’est aussi.
d) Montrer que si x est nilpotent alors 1 − x est inversible. Préciser (1 − x)−1 .
42 FFF Soit A un anneau tel que : ∀x ∈ A, x3 = x.
a) Soit e ∈ A tel que e2 = e, démontrer que e commute avec tous les éléments de A.
b) En déduire que A est commutatif.
3
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Corps
43 Soit F un sous-corps de (Q, +, ×), montrer que F = Q.
√
√
√
44 ♥ Soit d ∈ N tel que √d ∈
/ Q, on note Q[ d] = {a + b d, (a, b) ∈ Q2 }. Montrer que Q[ d] est un corps.
45 FF Vous disposez d’une calculatrice pouvant effectuer l’addition et la soustraction de deux éléments d’un corps et
pouvant déterminer l’inverse d’un élément non nul. Donner une procédure permettant de calculer le produit de deux
éléments en au plus vingt opérations.
46 ♥FF Soit A un anneau intègre fini. Montrer que A est un corps.
47 FFF Soit (K, +, ×) un corps fini. Calculer le produit des éléments inversibles de K.
48 FFF Soit (p, q) ∈ Q × Q∗ tels que l’équation (E) : x2 − px + q = 0 ne possède pas de racine dans Q.
Soit α une racine de (E). On pose Q[α] = {a + bα, (a, b) ∈ Q2 }.
a) Vérifier que si z ∈ Q[α], il existe un unique couple (a, b) ∈ Q2 tel que z = a + bα.
b) Vérifier que Q[α] est un sous-anneau de (C, +, ×) qui contient Q.
c) Montrer que α est inversible dans Q[α].
d) En déduire que Q[α] est un sous-corps de (C, +, ×).
4
Chapitre 9