Chapitre 4 A. FONCTIONS USUELLES CLASSIQUES I. FONCTION

Chapitre 4
FONCTIONS USUELLES DE VARIABLE RÉELLE
A. FONCTIONS USUELLES CLASSIQUES
I. FONCTION
LOGARITHME
1° Fonction logarithme népérien
a) Théorème 1 et définition 1
*
La fonction logarithme népérien, notée ln, est l'unique primitive sur
x
Elle est donc définie par :  x > 0, ln(x) =
(x,y)  (
Propriété fondamentale :
1
de x
1 , qui s'annule en 1.
x
dt
et on a : ln(1) = 0
t
* 2
) ,
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
b) Formulaire :
(1)
 t > 0 , ln(1t )
(2)
x
*
lim
ln(x )
(3)
x
(4)
(x,y)  (
ln(t ) ,
ln(x n )
,  n  ,
) , ln( xy ) = ln(x)  ln(y) ; ln(e) = 1
* 2
n ln(x )
, lim ln(x )
x
0
Si u est dérivable sur un intervalle I, avec :  x  I, u(x )
0.
u (x )
u(x )
 x  I, [ln( u(x ) )]
2° Fonction logarithme décimal
a) Définition 2
On appelle logarithme décimal (ou de base 10) , l'application, notée
*
log , ou log10 , définie sur
b) Propriétés fondamentales :
 (x,y)  (
c) Application
* 2
),
par :  x > 0, log(x )
ln(x )
(Remarque : ln(10)
ln(10)
2, 3 )
log (1) = 0 , log(10) = 1,
log(xy )
log(x )
 x   , log(10x )
log(y )
Le logarithme décimal est utilisé en chimie
x , x  +, 10log(x )
x
(pH =  log([H ]) .
II. FONCTIONS EXPONENTIELLES
1° Fonctions exponentielle de base e
a) Définition 3
D'après les propriétés du logarithme : Pour tout x  , l'équation [ln(t) = x ], d'inconnue t, admet une unique
solution strictement positive. Elle est notée provisoirement exp(x). Cela permet de définir une fonction de 
dans
*
, appelée fonction exponentielle, qui est la fonction réciproque du logarithme népérien :
 x > 0,  y   ,
y = ln(x)  x = exp(y)
Elle est dérivable sur , égale à sa dérivée et on a la propriété fondamentale :
 (x,y)  ² , exp(x
y)
exp(x ). exp(y )
23
Par définition, e = exp(1), il s'ensuit immédiatement, par récurrence sur n :  n  , exp(n) = e n
Pour généraliser cette écriture, on note, pour tout x réel : exp(x) = e x
La propriété fondamentale s’écrit alors, de façon définitive :  (x,y)  ², e x
y
e xe y
b) Formulaire avec notation définitive
ln( e x ) = x
(1)
 x  ,
(2)
t, e
(4)
(5)
x
t
lim (e x )
1 ,
et
,
 a > 0, e ln(a ) = a
et
 (x,y)  ², e x
x
lim (e x )
ex
ey
y
 x  ,  n   , (e x )n
(3)
e nx
0
eu(x ) est dérivable sur I et on a :  x  I, (eu(x ) )
Si u est dérivable sur I, alors x
*
2° Fonctions exponentielle de base a avec a 
u (x )eu(x )
(« bord programme »)
a) Définition 4
On définit la fonction exponentielle de base a, notée provisoirement expa , par :  x  , expa (x )
* Elle vérifie la propriété fondamentale :  (x,y)  ², expa (x
* On a immédiatement : expa (1)
y)
ex ln(a) .
expa (x ). expa (y )
a et par récurrence sur n :  n  , expa (n) = a n
x
* Toujours par extension, on note alors, pour tout x réel : a
e x ln(a )
b) Remarques :
n facteurs
R1 Lorsque n est entier, an
en ln(a) est égal à a a
x
1) : y
R2 Relation avec le logarithme ( a
a ( e
......
x ln(a )
a.
)  ln(y )
ln(a x )
x ln(a )
x
ln(y )
ln(a )
c) Formulaire avec notation définitive
(1)
a0
(2)
y
(3)
 t  , a
(5)
si a > 1 , lim (a x )
(6)
x
1 ;
 (x,y)  ² , a x
a x  ln(y)
t
ln(a x )
1
at
x
(a1)t
y
a xa y
x ln(a )
;  (x,y)  ²,
,
x
lim (a x )
ax
0
ax
(4)  x  ,  y   , (a x )y
ay
(formules échangées pour a  ]0,1[ )
a x est dérivable sur  et :  x   , (a x )
y
a xy
ln(a).a x
d) Définition de fonctions à exposant variable
Lorsqu’une fonction u définie sur I est strictement positive sur I et la fonction v est définie de I dans ,
on peut définir une fonction f, pour tout x  I : f (x )
[u(x )]v(x )
ev(x )ln(u(x ))
Si u et v sont alors continues sur I (respectivement dérivables sur I), alors f
uv est continue sur I
(respectivement dérivable sur I).
III. GÉNÉRALISATION DES FONCTIONS PUISSANCES
1° Propriétés algébriques
a) Définition 5
Soit a  . On appelle fonction puissance a, la fonction
a
définie sur
*
par :
a (x )
ea ln(x )
b) Remarque élémentaire
24
Pour n  , la fonction
n
On étend alors la notation en posant :
*
ea ln(x )
*2
,  (a,b) 
xn .
xa
2
, x a ya
(xy )a ; x axb
xa
b
, (x a )b
x ab
a (x )
ea ln(x ) )
(a  *)
Si a < 0, alors :
a) Limites :
avec la fonction habituelle x
a (x )
 (x,y) 
c) Formules algébriques :
2° Étude fonctionnelle sur
*
coïncide sur
Si a > 0, alors :
Dans ce dernier cas, la fonction
lim (x a )
x
et lim (x a )
lim (x a )
x
0 et lim (x a )
.
x
0
est prolongée en 0 par :
a
0.
x
0
a (0)
0
b) Tangente au point O dans le cas a > 0 :
Si a  ]0,1[, alors la courbe a admet en O une tangente verticale.
Si a  ]1,+[, alors la courbe a admet en O une tangente horizontale.
c) Proposition 1
*
a
Variations et tracés sommaires
est dérivable sur
*
et :  x > 0,
a
(x )
ax a
1
(se fait en écrivant
** a > 0
a  ]0,1[ :
a  ]1,+[ :
*** a < 0
3° Propriétés de bijectivité
a) Proposition 2 Pour a
Pour a  , la fonction x
0, x
x a est une bijection de
*
sur
*
et l’application réciproque est x
x a est naturellement prolongée sur , et pour a 
Dans le cas a impair positif, x
x
1a
, elle est prolongée sur *.
a
x a est une
x est une bijection de  sur  ; dans le cas a impair négatif, x
bijection de * sur *.
b) Cas particulier
Pour a = 2, x
x 2 est une bijection de
sur
et l’application réciproque est x
x
1
x2 .
c) Racine nème : (« bord programme »)
 Si n est pair, x
x n définit une bijection de
appelée fonction racine nème, définie sur
sur
, notée aussi : x
. Sa fonction réciproque, notée x
n
x.
 x  0,
n
xn
x ,(n x )n
x
1n
, est
x
25
x n définit une bijection de
 Si n est impair, x
appelée fonction racine nème, définie sur
Formules simples :
Exemples :
3
8
2
 (x,y) 
2 , 32
1
2)
1
4
. Sa fonction réciproque, notée x
n
x .  x  ,
1
1
, notée : x
(24
2)
1
n
6
x
1n
, est
x
1
(xy )n ; (x n )p
24 2 ,  x > 0,
4
x ,(n x )n
xn
1
1
1
*2 , x n y n
,  (n,p) 
(16
4
sur
x np
3
x
3
x
x
4° Croissances comparées
a) Théorème 2 Comparaison des fonctions puissances et logarithmes
ln(x )
xa
(1)  a > 0 , lim
x
(2)  a > 0 , lim x a ln(x )
x
 En terminale, on a vu que : lim
x
On calcule cette intégrale :
dt
x
ln(x )
x
lnb (x )
2 x
b
0
0
ln(x )
x
2 . L’encadrement: 0
0
xa
x
0 (T) ; en effet :  x  1, 0  ln(x) =
[2 t ]1x
t
1
x
lim
(II)  a > 0 ,  b > 0, lim x a ln(x )
0
0
x
(I)  a > 0 ,  b > 0,
0
1
2
x
x
dt
t
2
x
1
dt .
t
, valable pour x  1,
permet de conclure pour la limite (T).
(1) Pour a > 0 :
1 ln(x a )
. Or lim (x a )
x
a xa
ln(x )
xa
(I) On transforme la fraction :
ln(x )
a
a
b
x
b
lim(X )
0
1 et alors : x
x
(2) et (II) On pose :  x < 1, X
x a ln(x )
ln(x )
X b et donc, d’après (1), lim
x
x
0 , on conclut par composition des limites.
b
x
lnb (x )
. Donc par composition des limites, on a le résultat.
a
0 , et comme
b
. Les égalités x a ln(x )
X
0
x
ln(X )
et
Xa
lnb (X )
permettent de conclure facilement. 
Xa
b
b) Théorème 3 Comparaison des fonctions puissances et exponentielles
  > 0,
0,
 (1) on pose : t
(1) lim
x
e
x
x
x
ex ; x
t
(2) Se déduit de (1) en posant y
lim x e
x
. L’égalité
(2) lim x e
x
e
x
x
t
ln (t )
x , y > 0, d’où l’égalité : x e
x
0
permet de conclure grâce au théorème 3
x
1
y e
c) Autre écriture de (1) : Soit a un réel strictement positif :  a > 1,   > 0 ,
IV. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES DE BASE
y
x
qui permet d’utiliser (1).
lim
ax
x
AVEC COMPLÉMENTS
Notations : Si a, b et  sont des réels ( non nul) , on dit que a et b sont congrus modulo , si et seulement
si a – b est un multiple entier de  et cela se note : a
Ainsi, dire que x
3
b[ ] . (c’est–à–dire  k  , a
[2 ] signifie que x peut se mettre sous la forme : x
3
b
k )
2k , k  .
26
1° Fonction sinus
a) Point du cercle trigonométrique : Un point M du cercle trigonométrique étant repéré par l’angle i ,OM
de
mesure x, sin(x) désigne l’ordonnée de M.
b) Équation fondamentale
sin(x) = sin()  x
[2 ] ou x
[2 ]
Cas particuliers essentiels :
0  x
 sin(x )
1  x
 sin(x )
0[ ]
2
[2 ]
 sin(x )
1 x
2
[2 ]
c) Relations avec angles associés : (formules valables pour tout x réel)
* La fonction sinus est 2 périodique : sin(x
* sin(
x)
sin(x ) , sin(x + ) = sin(x) et plus généralement,
sin(x ) , sin( x )
d) Valeurs remarquables : sin( 6 ) =
1
2
, sin(x + n) = ( 1)n sin(x)
n
par récurrence sur n :
sin(x )
2 )
, sin( 4 ) =
2
2
, sin( 3 ) =
3
2
2° Fonction cosinus
a) Point du cercle trigonométrique : Un point M du cercle trigonométrique étant repéré par l’angle i ,OM
de
mesure x, cos(x) désigne l’abscisse de M.
cos(x) = cos()  x
b) Équation fondamentale
[2 ] ou x
[2 ]
Cas particuliers essentiels :
 cos(x )
0  x
2
[ ]
 cos(x )
1  x
0[2 ]
 cos(x )
1 x
[2 ]
c) Relations avec angles associés : (formules valables pour tout x réel)
* La fonction cosinus est 2 périodique : cos(x
* cos(
x)
cos(x ) , cos( x )
2 )
cos(x )
cos(x ) , cos(x + ) = cos(x) et plus généralement,
, cos(x + n) = ( 1)n cos(x)
par récurrence sur n : n
d) Valeurs remarquables :
cos( 6 ) =
3
2
, cos( 4 ) =
2
2
, cos( 3 ) = 21 .
3° Études croisées de sinus et cosinus
a) Propriétés fonctionnelles de base :
 La fonction sinus est définie sur , impaire, périodique de période 2.
 La fonction cosinus est définie sur , paire, périodique de période 2.
Ces fonctions sont dérivables (donc continues) sur  et :  x  , sin (x )
cos(x ) , cos (x )
sin(x)
b) Formules mêlant sinus et cosinus : (formules valables pour tout x réel)
 sin(x
2)
cos(x ) et cos(x
2
 sin( 2
x)
cos(x ) et cos( 2
x)
)
sin(x )
(échange de sinus et cosinus)
sin(x )
c) Identité circulaire fondamentale :  x   , sin2 (x )
(à comparer avec la dérivation...)
cos2 (x )
1
27
4° Fonction tangente
a) Définition 6 et propriétés de base :
Lorsque x n'est pas de la forme
sin(x )
cos(x )
k , k entier relatif, on définit : tan(x) =
2
* Les valeurs à connaître sont: tan(0) = 0, tan
1,
4
(tan(x ))
lim
x
2
tan(x) = tan()  x
* Résolution d’équation standard :
,
lim (tan(x ))
x
2
[ ]
b) Formules :
x
[ ] , tan2(x )
2
x
0[ ] , tan(
2
2
1 cos2 (x )
cos2 (x )
1
cos2 (x )
1
;
tan(x )
x)

1
x
2
cos2(x )
[ ] , tan(x
)
1
1 tan2 (x )
tan(x ) , d’où :
n
, tan(x
n )
tan(x )
c) Proposition 3
La fonction tangente est définie sur
]
k
donc sur ]
x ]
2
k ;
2
k [ , impaire, périodique de période , et l’on l’étudie
; [ . Elle est dérivable, comme quotient de fonctions dérivables et :
2 2
1 [cos2 (x )
cos2 (x )
; [ , tan (x )
2 2
( sin2 (x )]
1
cos2 (x )
Par périodicité, la fonction tangente est donc dérivable, strictement croissante sur chaque intervalle de la forme
1
1 tan2 (x )
]
k ;
k [ , où k   , et on a : tan (x )
2
2
cos ²(x )
d) Limites
lim (tan(x ))
x
; lim (tan(x ))
x
2
. Les autres limites s’en déduisent par  - périodicité.
2
e) Trigonométrie du triangle rectangle
sin(Â)
BC
AC
(
cos(Â)
AB
AC
(
tan(Â)
BC
AB
côté opposé
hypoténuse
)
côté adjacent
hypoténuse
(
)
côté opposé
côté adjacent
V. REPRÉSENTATIONS
)
GRAPHIQUES
1° Fonction logarithme népérien.
28
2° Fonctions exponentielles ( a x , pour a  ]1,+[ et pour a  ]0,1[)
3° Fonctions trigonométriques
a) Représentation de sinus et cosinus sur le même graphique
b) Représentation graphique de la fonction tangente :
B. NOUVELLES FONCTIONS USUELLES
I. FONCTIONS HYPERBOLIQUES
1° Fonctions sinus et cosinus hyperboliques
a) Définitions 7 :
Les fonctions sinus hyperbolique, notée sh (ou sinh sur calculatrice), et cosinus hyperbolique, notée ch (ou
cosh sur calculatrice), sont définies sur  par :  x  , sh(x )
ex
e
2
x
, ch(x )
ex
e
x
2
29
b) Proposition 4
La fonction sh est impaire, la fonction ch est paire ; elles sont dérivables (et donc continues) sur  et on a :
 x  , sh (x )
ch(x ) , ch (x )
sh(x )
La fonction sh est strictement croissante sur , et sh(0) = 0.
La fonction ch est décroissante strictement sur
, croissante strictement sur
, avec ch(0) = 1.
 Dérivées faciles ; il est clair que ch(x) est un réel strictement positif pour tout x réel ; la fonction sh est donc
strictement croissante sur , avec sh(0) = 0 ; sh(x) est donc du même signe strict que x :  x > 0, sh(x) > 0 et
 x < 0, sh(x) < 0. Comme ch
d) Limites :
x
lim ch(x )
sh , on obtient les variations de la fonction ch.
(parité) ;
x
, lim sh(x )
lim sh(x )
(par imparité)
x
e) Étude succincte de ch et sh
En notant
(x )
1
2e
x
, on voit que : ch(x )
(x )
1
2e
x
et sh(x )
voisinage de +, ces trois courbes sont très proches, car : lim e
x
x
(x )
1
2e
x
, ce qui signifie qu’au
0.
Au voisinage de +, les fonctions sh et ch « encadrent » l’exponentielle : sh(x )
ex
2
ch(x )
(La courbe représentative est appelée chaînette)
2° Formule fondamentale de la trigonométrie hyperbolique
a) Relations algébriques entre ch et sh


 t   , ch(t )
 t   , ch2(t )
sh(t )
sh2(t )
et
et
1
 t   , ch(t )
sh(t )
e
t
(Formule fondamentale)
b) L’origine du mot hyperbolique :
L’ensemble () des points M(x,y) du plan vérifiant [ x 2
en traçant les représentations graphiques de [ y
x2
y2
1 ] est une hyperbole (dite équilatère) obtenue
1 ].
On obtient une courbe, très similaire à l’hyperbole habituelle vue en lycée, d’équation [y
1]
x
possédant deux
branches, l’une, notée (+) située dans le demi–plan {x > 0}, l’autre, notée (–) dans le demi–plan {x < 0}.
Les coordonnées de chaque point de (+) peuvent s’écrire (ch(t), sh(t)) où t est un réel quelconque.
L’application t  (ch(t), sh(t)) s’appelle un paramétrage de la branche d’hyperbole (+).
30
II. FONCTIONS CIRCULAIRES RÉCIPROQUES
1° Fonction Arc sinus
a) Définition 8
La fonction sinus définit une bijection de
sur [–1,1], continue et strictement croissante sur cet
;
2 2
intervalle. Son application réciproque, appelée Arc sinus, est strictement croissante et continue sur [–1,1], et est
notée Arcsin : [–1,1] 
;
2 2
;
y
Elle est caractérisée par :  x  [–1,1],
Arcsin(x ) , x  [–1,1]
 x
sin(Arcsin(x)) = x ;   
b) Exemples de valeurs : Arcsin(0) = 0 ; Arcsin(1)=
2
sin(y ) , y 
;
2 2
; Arcsin(– 1 2 ) =
;
2 2
, Arcsin(sin()) = 
6
c) Remarques :
R1 Arcsin(t) est l’unique valeur d’angle dans
R2 Arcsin(sin()) a un sens, même si 
de l’angle dans
;
2 2
;
2 2
;
2 2
tel que son sinus vaut t.
; mais dans ce cas, ce réel n’est pas égal à . C’est la mesure
qui possède le même sinus que  . Par exemple : Arcsin(sin( 54 ))
4
.
d) Proposition 5 :
Arc sinus est impaire, continue sur [–1,1], dérivable sur ]–1,1[ et :  x  ]–1,1[, Arcsin (x )
 Dérivabilité : La dérivée de sinus, qui est cosinus, ne s’annule pas sur ]
de ]
; [ sur ]–1,1[. D’après les résultats admis :  x  ]–1,1[,
2 2
Or : Arcsin(x)  ]
; [  cos(Arcsin(x)) > 0  cos(Arcsin(x ))
2 2
1
x2
; [ . Et sinus définit une bijection
2 2
Arcsin (x )
1
1
1
cos(Arcsin(x ))
sin2 (Arcsin(x ))
1
x 2 .
e) Étude succincte de Arc sinus
Aux points (–1,– 2 ) et (1, 2 ), la courbe représentative possède une tangente verticale, car obtenue par symétrie
de la courbe y = sin(x) (x 
2;2
) par rapport à la droite d’équation [y = x].
31
2° Fonction Arc cosinus
a) Définition 9
La fonction cosinus définit une bijection de 0,
sur [–1,1], continue et strictement décroissante sur cet
intervalle. Son application réciproque, appelée Arc cosinus, est continue et strictement décroissante sur [–1,1]
et est notée Arccos : [–1,1]  0,
Arccos(x ) , x  [–1,1]  x
; y
cos(y ) , y  0,
Elle est caractérisée par :  x  [–1,1], cos(Arccos(x)) = x ;    0,
b) Exemples de valeurs : Arccos(0) = 2
; Arccos(1)= 0 ; Arccos(– 1 2 ) =
.
Arccos(cos()) = 
,
2
3
c) Remarques :
R1 Arccos(t) est l’unique valeur d’angle dans [0, ] tel que son cosinus vaut t.
R2 Arccos(cos()) a un sens, même si 
[0, ] ; mais dans ce cas, ce réel n’est pas égal à . C’est la mesure
de l’angle dans [0, ] qui possède le même cosinus que . Par exemple : Arccos(cos(54 ))
3
4
.
d) Proposition 6 :
1
La fonction Arc cosinus est continue sur [–1,1], dérivable sur ]–1,1[ et :  x  ]–1,1[, Arccos (x )
1
x2
 Continuité admise. Dérivabilité : La dérivée de cosinus, qui est sinus, ne s’annule pas sur ]0; [ . Et cosinus
1
sin(Arccos(x ))
définit une bijection de ]0, [ sur ]–1,1[. D’après le résultat admis :  x  ]–1,1[ , Arccos (x )
Or: Arccos(x)  ]0; [  sin(Arccos(x)) > 0  sin(Arccos(x ))
1
cos2 (Arccos(x ))
1
x 2 .
e) Étude succincte de Arc cosinus
Aux points (–1,) et (1,0), la courbe représentative possède une tangente verticale, car elle est obtenue par
symétrie de la courbe y = cos(x) (x  [0, ] ) par rapport à la droite d’équation y = x.
f) Formules annexes (à savoir redémontrer)
  x  [–1,1], cos(Arcsin(x ))
sin(Arccos(x ))
  x  [–1,1], Arccos(x) + Arcsin(x) =
   = Arcsin(x) 
[
1
x 2 (vu dans les démonstrations)
2
; ] et x = sin() 
2 2
[0, ] et x
2
cos
2

2
On peut aussi calculer la dérivée sur ]–1,1[ du membre de gauche, qui est nulle et prendre x
on pose : h (x )
Arccos(x) + Arcsin(x).  x  ]–1,1[ , h (x )
sur ]–1,1[ et h(1)=
2
. L’égalité pour x égal à 1 ou
1
1 x2
1
1 x2
= Arccos(x)
4
:
0 . h est donc constante
1 est immédiate. 
32
3° Fonction Arc tangente
a) Définition 10
La fonction tangente définit une bijection de
sur  , continue et strictement croissante sur cet
;
2 2
intervalle.
Son application réciproque, appelée Arc tangente, continue et strictement croissante sur , est notée Arctan :
C’est une bijection de  sur
;
2 2
définie par : y
Arctan(x ) , x  

x
tan(y ) , y 
;
2 2
Elle est caractérisée par les relations :
 x  , tan(Arctan(x)) = x ;   
;
2 2
, Arctan(tan()) = 
b) Exemples de valeurs :
Arctan(0) = 0 ; Arctan(1)=
4
(À SAVOIR !) ; Arctan(
1
3
)=
6
c) Remarques :
R1 Arctan(t) est l’unique valeur d’angle dans
R2 Arctan(tan()) a un sens, même si 
mesure de l’angle dans
;
2 2
;
2 2
;
2 2
tel que sa tangente vaut t.
; mais dans ce cas, ce réel n’est pas égal à . C’est la
qui possède la même tangente que . Par exemple : Arctan(tan( 54 ))
4
.
d) Proposition 7 :
La fonction Arc tangente est impaire, dérivable (donc continue) sur  et :  x  , Arctan (x )
1
1
x2
 Imparité : Arc tangente est impaire, car elle est la réciproque de tangente, qui est impaire.
Dérivabilité : La dérivée en x de tangente, qui est 1
résultat admis :  x   , Arctan (x )
tan2(x ) , ne s’annule pas sur ]
1
1 tan2 (Arctan(x ))
; [ . D’après le
2 2
1

1 x2
e) Étude succincte de Arc tangente
* Arc tangente est croissante sur , avec lim Arctan(x )
x
2
, lim Arctan(x )
x
Sa représentation graphique est obtenue à partir de celle de tangente (x 
;
2 2
2
.
) par symétrie par
rapport à la droite [y = x] .
* Elle possède donc deux asymptotes horizontales [y
2
],[y
2
].
* La tangente à l’origine est de pente 1.
C’est l’exemple classique d’une fonction dérivable et bornée sur , ayant des limites finies en .
33
C. FONCTIONS DE VARIABLE RÉELLE À VALEURS COMPLEXES
1° Dérivée d’une fonction à valeurs complexes
a) Définitions 11 :
Une fonction f définie de I dans  (I intervalle de ) est dite à valeurs complexes ; alors, pour tout x dans I,
on pose u(x )
Im( f (x )) . u et v sont appelées fonction partie réelle et fonction partie
Re( f (x )) et v(x )
imaginaire de f : f
u
iv , u = Re(f) , v = Im(f).
f est dite dérivable sur I si et seulement si Re(f) et Im(f) sont dérivables sur I et on a :
f
u
iv
(Re(f ))
i(Im(f )) .
ax , a  . f est dérivable sur  et f (x )
 Soit : f (x )
b) Exemples à connaître:
 Soit : g(t )
0 k n
akt k , ak
a.
. g est dérivable sur  et g (t )
1 k n
kakt k
1
2° Exponentielle complexe
a) Définition 12 :
Soit z = x + iy la forme algébrique d’un nombre complexe quelconque. On appelle exponentielle de z, le
nombre complexe : e z
ex (cos(y )
i sin(y ))
ex . eiy
b) Propriétés élémentaires
P1 Lorsque z est réel, on retrouve la définition habituelle de l’exponentielle.
P2 Lorsque z est imaginaire pur, e z est un nombre complexe de module 1.
P3 e z est un nombre complexe toujours non nul ! (Très important !)
P4  z   , z = x + iy , e z
e x , arg(e z )
y[2 ] ;
ez
ez
c) Remarque : Si  est une fonction à valeurs complexes, la définition 12 permet d’introduire x
e
(x )
, elle -
même à valeurs complexes.
3° Dérivée de e
a) Proposition 8
Soit  : I  , dérivable sur I. La fonction e est dérivable sur I et : (e )
 On pose : u = Re() , v = Im(). Alors : e
eu (cos(v )
i sin(v ))
e
eu cos(v )
ieu sin(v )
e u cos(v ) et e u sin(v ) sont dérivables sur I, comme composées de fonctions dérivables et e
sur I avec : (e )
(eu cos(v ))
i(eu sin(v ))
= eu cos(v )(u
iv )
eu u cos(v )
i sin(v )(u
iv )
sin(v )v eu
i eu u sin(v )
eu (eiv )(u
iv )
e
est donc dérivable
cos(v )v eu

b) Corollaire
 Pour a  , l’application f : t
eat est dérivable sur  et :  t   , f (t )
aeat
On retrouve ainsi les dérivées des fonctions sinus et cosinus :
(t )
e it
cos(t )
i sin(t ) ; donc :
(t )
ie it
i cos(t)
 On en déduit que, pour a  , toute primitive de t
i sin(t)
sin(t)
eat est de la forme t
i cos( t)
1 eat
a
k , k  .
34