Chapitre 4 FONCTIONS USUELLES DE VARIABLE RÉELLE A. FONCTIONS USUELLES CLASSIQUES I. FONCTION LOGARITHME 1° Fonction logarithme népérien a) Théorème 1 et définition 1 * La fonction logarithme népérien, notée ln, est l'unique primitive sur x Elle est donc définie par : x > 0, ln(x) = (x,y) ( Propriété fondamentale : 1 de x 1 , qui s'annule en 1. x dt et on a : ln(1) = 0 t * 2 ) , ln(xy) = ln(x) + ln(y) b) Formulaire : (1) t > 0 , ln(1t ) (2) x * lim ln(x ) (3) x (4) (x,y) ( ln(t ) , ln(x n ) , n , ) , ln( xy ) = ln(x) ln(y) ; ln(e) = 1 * 2 n ln(x ) , lim ln(x ) x 0 Si u est dérivable sur un intervalle I, avec : x I, u(x ) 0. u (x ) u(x ) x I, [ln( u(x ) )] 2° Fonction logarithme décimal a) Définition 2 On appelle logarithme décimal (ou de base 10) , l'application, notée * log , ou log10 , définie sur b) Propriétés fondamentales : (x,y) ( c) Application * 2 ), par : x > 0, log(x ) ln(x ) (Remarque : ln(10) ln(10) 2, 3 ) log (1) = 0 , log(10) = 1, log(xy ) log(x ) x , log(10x ) log(y ) Le logarithme décimal est utilisé en chimie x , x +, 10log(x ) x (pH = log([H ]) . II. FONCTIONS EXPONENTIELLES 1° Fonctions exponentielle de base e a) Définition 3 D'après les propriétés du logarithme : Pour tout x , l'équation [ln(t) = x ], d'inconnue t, admet une unique solution strictement positive. Elle est notée provisoirement exp(x). Cela permet de définir une fonction de dans * , appelée fonction exponentielle, qui est la fonction réciproque du logarithme népérien : x > 0, y , y = ln(x) x = exp(y) Elle est dérivable sur , égale à sa dérivée et on a la propriété fondamentale : (x,y) ² , exp(x y) exp(x ). exp(y ) 23 Par définition, e = exp(1), il s'ensuit immédiatement, par récurrence sur n : n , exp(n) = e n Pour généraliser cette écriture, on note, pour tout x réel : exp(x) = e x La propriété fondamentale s’écrit alors, de façon définitive : (x,y) ², e x y e xe y b) Formulaire avec notation définitive ln( e x ) = x (1) x , (2) t, e (4) (5) x t lim (e x ) 1 , et , a > 0, e ln(a ) = a et (x,y) ², e x x lim (e x ) ex ey y x , n , (e x )n (3) e nx 0 eu(x ) est dérivable sur I et on a : x I, (eu(x ) ) Si u est dérivable sur I, alors x * 2° Fonctions exponentielle de base a avec a u (x )eu(x ) (« bord programme ») a) Définition 4 On définit la fonction exponentielle de base a, notée provisoirement expa , par : x , expa (x ) * Elle vérifie la propriété fondamentale : (x,y) ², expa (x * On a immédiatement : expa (1) y) ex ln(a) . expa (x ). expa (y ) a et par récurrence sur n : n , expa (n) = a n x * Toujours par extension, on note alors, pour tout x réel : a e x ln(a ) b) Remarques : n facteurs R1 Lorsque n est entier, an en ln(a) est égal à a a x 1) : y R2 Relation avec le logarithme ( a a ( e ...... x ln(a ) a. ) ln(y ) ln(a x ) x ln(a ) x ln(y ) ln(a ) c) Formulaire avec notation définitive (1) a0 (2) y (3) t , a (5) si a > 1 , lim (a x ) (6) x 1 ; (x,y) ² , a x a x ln(y) t ln(a x ) 1 at x (a1)t y a xa y x ln(a ) ; (x,y) ², , x lim (a x ) ax 0 ax (4) x , y , (a x )y ay (formules échangées pour a ]0,1[ ) a x est dérivable sur et : x , (a x ) y a xy ln(a).a x d) Définition de fonctions à exposant variable Lorsqu’une fonction u définie sur I est strictement positive sur I et la fonction v est définie de I dans , on peut définir une fonction f, pour tout x I : f (x ) [u(x )]v(x ) ev(x )ln(u(x )) Si u et v sont alors continues sur I (respectivement dérivables sur I), alors f uv est continue sur I (respectivement dérivable sur I). III. GÉNÉRALISATION DES FONCTIONS PUISSANCES 1° Propriétés algébriques a) Définition 5 Soit a . On appelle fonction puissance a, la fonction a définie sur * par : a (x ) ea ln(x ) b) Remarque élémentaire 24 Pour n , la fonction n On étend alors la notation en posant : * ea ln(x ) *2 , (a,b) xn . xa 2 , x a ya (xy )a ; x axb xa b , (x a )b x ab a (x ) ea ln(x ) ) (a *) Si a < 0, alors : a) Limites : avec la fonction habituelle x a (x ) (x,y) c) Formules algébriques : 2° Étude fonctionnelle sur * coïncide sur Si a > 0, alors : Dans ce dernier cas, la fonction lim (x a ) x et lim (x a ) lim (x a ) x 0 et lim (x a ) . x 0 est prolongée en 0 par : a 0. x 0 a (0) 0 b) Tangente au point O dans le cas a > 0 : Si a ]0,1[, alors la courbe a admet en O une tangente verticale. Si a ]1,+[, alors la courbe a admet en O une tangente horizontale. c) Proposition 1 * a Variations et tracés sommaires est dérivable sur * et : x > 0, a (x ) ax a 1 (se fait en écrivant ** a > 0 a ]0,1[ : a ]1,+[ : *** a < 0 3° Propriétés de bijectivité a) Proposition 2 Pour a Pour a , la fonction x 0, x x a est une bijection de * sur * et l’application réciproque est x x a est naturellement prolongée sur , et pour a Dans le cas a impair positif, x x 1a , elle est prolongée sur *. a x a est une x est une bijection de sur ; dans le cas a impair négatif, x bijection de * sur *. b) Cas particulier Pour a = 2, x x 2 est une bijection de sur et l’application réciproque est x x 1 x2 . c) Racine nème : (« bord programme ») Si n est pair, x x n définit une bijection de appelée fonction racine nème, définie sur sur , notée aussi : x . Sa fonction réciproque, notée x n x. x 0, n xn x ,(n x )n x 1n , est x 25 x n définit une bijection de Si n est impair, x appelée fonction racine nème, définie sur Formules simples : Exemples : 3 8 2 (x,y) 2 , 32 1 2) 1 4 . Sa fonction réciproque, notée x n x . x , 1 1 , notée : x (24 2) 1 n 6 x 1n , est x 1 (xy )n ; (x n )p 24 2 , x > 0, 4 x ,(n x )n xn 1 1 1 *2 , x n y n , (n,p) (16 4 sur x np 3 x 3 x x 4° Croissances comparées a) Théorème 2 Comparaison des fonctions puissances et logarithmes ln(x ) xa (1) a > 0 , lim x (2) a > 0 , lim x a ln(x ) x En terminale, on a vu que : lim x On calcule cette intégrale : dt x ln(x ) x lnb (x ) 2 x b 0 0 ln(x ) x 2 . L’encadrement: 0 0 xa x 0 (T) ; en effet : x 1, 0 ln(x) = [2 t ]1x t 1 x lim (II) a > 0 , b > 0, lim x a ln(x ) 0 0 x (I) a > 0 , b > 0, 0 1 2 x x dt t 2 x 1 dt . t , valable pour x 1, permet de conclure pour la limite (T). (1) Pour a > 0 : 1 ln(x a ) . Or lim (x a ) x a xa ln(x ) xa (I) On transforme la fraction : ln(x ) a a b x b lim(X ) 0 1 et alors : x x (2) et (II) On pose : x < 1, X x a ln(x ) ln(x ) X b et donc, d’après (1), lim x x 0 , on conclut par composition des limites. b x lnb (x ) . Donc par composition des limites, on a le résultat. a 0 , et comme b . Les égalités x a ln(x ) X 0 x ln(X ) et Xa lnb (X ) permettent de conclure facilement. Xa b b) Théorème 3 Comparaison des fonctions puissances et exponentielles > 0, 0, (1) on pose : t (1) lim x e x x x ex ; x t (2) Se déduit de (1) en posant y lim x e x . L’égalité (2) lim x e x e x x t ln (t ) x , y > 0, d’où l’égalité : x e x 0 permet de conclure grâce au théorème 3 x 1 y e c) Autre écriture de (1) : Soit a un réel strictement positif : a > 1, > 0 , IV. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES DE BASE y x qui permet d’utiliser (1). lim ax x AVEC COMPLÉMENTS Notations : Si a, b et sont des réels ( non nul) , on dit que a et b sont congrus modulo , si et seulement si a – b est un multiple entier de et cela se note : a Ainsi, dire que x 3 b[ ] . (c’est–à–dire k , a [2 ] signifie que x peut se mettre sous la forme : x 3 b k ) 2k , k . 26 1° Fonction sinus a) Point du cercle trigonométrique : Un point M du cercle trigonométrique étant repéré par l’angle i ,OM de mesure x, sin(x) désigne l’ordonnée de M. b) Équation fondamentale sin(x) = sin() x [2 ] ou x [2 ] Cas particuliers essentiels : 0 x sin(x ) 1 x sin(x ) 0[ ] 2 [2 ] sin(x ) 1 x 2 [2 ] c) Relations avec angles associés : (formules valables pour tout x réel) * La fonction sinus est 2 périodique : sin(x * sin( x) sin(x ) , sin(x + ) = sin(x) et plus généralement, sin(x ) , sin( x ) d) Valeurs remarquables : sin( 6 ) = 1 2 , sin(x + n) = ( 1)n sin(x) n par récurrence sur n : sin(x ) 2 ) , sin( 4 ) = 2 2 , sin( 3 ) = 3 2 2° Fonction cosinus a) Point du cercle trigonométrique : Un point M du cercle trigonométrique étant repéré par l’angle i ,OM de mesure x, cos(x) désigne l’abscisse de M. cos(x) = cos() x b) Équation fondamentale [2 ] ou x [2 ] Cas particuliers essentiels : cos(x ) 0 x 2 [ ] cos(x ) 1 x 0[2 ] cos(x ) 1 x [2 ] c) Relations avec angles associés : (formules valables pour tout x réel) * La fonction cosinus est 2 périodique : cos(x * cos( x) cos(x ) , cos( x ) 2 ) cos(x ) cos(x ) , cos(x + ) = cos(x) et plus généralement, , cos(x + n) = ( 1)n cos(x) par récurrence sur n : n d) Valeurs remarquables : cos( 6 ) = 3 2 , cos( 4 ) = 2 2 , cos( 3 ) = 21 . 3° Études croisées de sinus et cosinus a) Propriétés fonctionnelles de base : La fonction sinus est définie sur , impaire, périodique de période 2. La fonction cosinus est définie sur , paire, périodique de période 2. Ces fonctions sont dérivables (donc continues) sur et : x , sin (x ) cos(x ) , cos (x ) sin(x) b) Formules mêlant sinus et cosinus : (formules valables pour tout x réel) sin(x 2) cos(x ) et cos(x 2 sin( 2 x) cos(x ) et cos( 2 x) ) sin(x ) (échange de sinus et cosinus) sin(x ) c) Identité circulaire fondamentale : x , sin2 (x ) (à comparer avec la dérivation...) cos2 (x ) 1 27 4° Fonction tangente a) Définition 6 et propriétés de base : Lorsque x n'est pas de la forme sin(x ) cos(x ) k , k entier relatif, on définit : tan(x) = 2 * Les valeurs à connaître sont: tan(0) = 0, tan 1, 4 (tan(x )) lim x 2 tan(x) = tan() x * Résolution d’équation standard : , lim (tan(x )) x 2 [ ] b) Formules : x [ ] , tan2(x ) 2 x 0[ ] , tan( 2 2 1 cos2 (x ) cos2 (x ) 1 cos2 (x ) 1 ; tan(x ) x) 1 x 2 cos2(x ) [ ] , tan(x ) 1 1 tan2 (x ) tan(x ) , d’où : n , tan(x n ) tan(x ) c) Proposition 3 La fonction tangente est définie sur ] k donc sur ] x ] 2 k ; 2 k [ , impaire, périodique de période , et l’on l’étudie ; [ . Elle est dérivable, comme quotient de fonctions dérivables et : 2 2 1 [cos2 (x ) cos2 (x ) ; [ , tan (x ) 2 2 ( sin2 (x )] 1 cos2 (x ) Par périodicité, la fonction tangente est donc dérivable, strictement croissante sur chaque intervalle de la forme 1 1 tan2 (x ) ] k ; k [ , où k , et on a : tan (x ) 2 2 cos ²(x ) d) Limites lim (tan(x )) x ; lim (tan(x )) x 2 . Les autres limites s’en déduisent par - périodicité. 2 e) Trigonométrie du triangle rectangle sin(Â) BC AC ( cos(Â) AB AC ( tan(Â) BC AB côté opposé hypoténuse ) côté adjacent hypoténuse ( ) côté opposé côté adjacent V. REPRÉSENTATIONS ) GRAPHIQUES 1° Fonction logarithme népérien. 28 2° Fonctions exponentielles ( a x , pour a ]1,+[ et pour a ]0,1[) 3° Fonctions trigonométriques a) Représentation de sinus et cosinus sur le même graphique b) Représentation graphique de la fonction tangente : B. NOUVELLES FONCTIONS USUELLES I. FONCTIONS HYPERBOLIQUES 1° Fonctions sinus et cosinus hyperboliques a) Définitions 7 : Les fonctions sinus hyperbolique, notée sh (ou sinh sur calculatrice), et cosinus hyperbolique, notée ch (ou cosh sur calculatrice), sont définies sur par : x , sh(x ) ex e 2 x , ch(x ) ex e x 2 29 b) Proposition 4 La fonction sh est impaire, la fonction ch est paire ; elles sont dérivables (et donc continues) sur et on a : x , sh (x ) ch(x ) , ch (x ) sh(x ) La fonction sh est strictement croissante sur , et sh(0) = 0. La fonction ch est décroissante strictement sur , croissante strictement sur , avec ch(0) = 1. Dérivées faciles ; il est clair que ch(x) est un réel strictement positif pour tout x réel ; la fonction sh est donc strictement croissante sur , avec sh(0) = 0 ; sh(x) est donc du même signe strict que x : x > 0, sh(x) > 0 et x < 0, sh(x) < 0. Comme ch d) Limites : x lim ch(x ) sh , on obtient les variations de la fonction ch. (parité) ; x , lim sh(x ) lim sh(x ) (par imparité) x e) Étude succincte de ch et sh En notant (x ) 1 2e x , on voit que : ch(x ) (x ) 1 2e x et sh(x ) voisinage de +, ces trois courbes sont très proches, car : lim e x x (x ) 1 2e x , ce qui signifie qu’au 0. Au voisinage de +, les fonctions sh et ch « encadrent » l’exponentielle : sh(x ) ex 2 ch(x ) (La courbe représentative est appelée chaînette) 2° Formule fondamentale de la trigonométrie hyperbolique a) Relations algébriques entre ch et sh t , ch(t ) t , ch2(t ) sh(t ) sh2(t ) et et 1 t , ch(t ) sh(t ) e t (Formule fondamentale) b) L’origine du mot hyperbolique : L’ensemble () des points M(x,y) du plan vérifiant [ x 2 en traçant les représentations graphiques de [ y x2 y2 1 ] est une hyperbole (dite équilatère) obtenue 1 ]. On obtient une courbe, très similaire à l’hyperbole habituelle vue en lycée, d’équation [y 1] x possédant deux branches, l’une, notée (+) située dans le demi–plan {x > 0}, l’autre, notée (–) dans le demi–plan {x < 0}. Les coordonnées de chaque point de (+) peuvent s’écrire (ch(t), sh(t)) où t est un réel quelconque. L’application t (ch(t), sh(t)) s’appelle un paramétrage de la branche d’hyperbole (+). 30 II. FONCTIONS CIRCULAIRES RÉCIPROQUES 1° Fonction Arc sinus a) Définition 8 La fonction sinus définit une bijection de sur [–1,1], continue et strictement croissante sur cet ; 2 2 intervalle. Son application réciproque, appelée Arc sinus, est strictement croissante et continue sur [–1,1], et est notée Arcsin : [–1,1] ; 2 2 ; y Elle est caractérisée par : x [–1,1], Arcsin(x ) , x [–1,1] x sin(Arcsin(x)) = x ; b) Exemples de valeurs : Arcsin(0) = 0 ; Arcsin(1)= 2 sin(y ) , y ; 2 2 ; Arcsin(– 1 2 ) = ; 2 2 , Arcsin(sin()) = 6 c) Remarques : R1 Arcsin(t) est l’unique valeur d’angle dans R2 Arcsin(sin()) a un sens, même si de l’angle dans ; 2 2 ; 2 2 ; 2 2 tel que son sinus vaut t. ; mais dans ce cas, ce réel n’est pas égal à . C’est la mesure qui possède le même sinus que . Par exemple : Arcsin(sin( 54 )) 4 . d) Proposition 5 : Arc sinus est impaire, continue sur [–1,1], dérivable sur ]–1,1[ et : x ]–1,1[, Arcsin (x ) Dérivabilité : La dérivée de sinus, qui est cosinus, ne s’annule pas sur ] de ] ; [ sur ]–1,1[. D’après les résultats admis : x ]–1,1[, 2 2 Or : Arcsin(x) ] ; [ cos(Arcsin(x)) > 0 cos(Arcsin(x )) 2 2 1 x2 ; [ . Et sinus définit une bijection 2 2 Arcsin (x ) 1 1 1 cos(Arcsin(x )) sin2 (Arcsin(x )) 1 x 2 . e) Étude succincte de Arc sinus Aux points (–1,– 2 ) et (1, 2 ), la courbe représentative possède une tangente verticale, car obtenue par symétrie de la courbe y = sin(x) (x 2;2 ) par rapport à la droite d’équation [y = x]. 31 2° Fonction Arc cosinus a) Définition 9 La fonction cosinus définit une bijection de 0, sur [–1,1], continue et strictement décroissante sur cet intervalle. Son application réciproque, appelée Arc cosinus, est continue et strictement décroissante sur [–1,1] et est notée Arccos : [–1,1] 0, Arccos(x ) , x [–1,1] x ; y cos(y ) , y 0, Elle est caractérisée par : x [–1,1], cos(Arccos(x)) = x ; 0, b) Exemples de valeurs : Arccos(0) = 2 ; Arccos(1)= 0 ; Arccos(– 1 2 ) = . Arccos(cos()) = , 2 3 c) Remarques : R1 Arccos(t) est l’unique valeur d’angle dans [0, ] tel que son cosinus vaut t. R2 Arccos(cos()) a un sens, même si [0, ] ; mais dans ce cas, ce réel n’est pas égal à . C’est la mesure de l’angle dans [0, ] qui possède le même cosinus que . Par exemple : Arccos(cos(54 )) 3 4 . d) Proposition 6 : 1 La fonction Arc cosinus est continue sur [–1,1], dérivable sur ]–1,1[ et : x ]–1,1[, Arccos (x ) 1 x2 Continuité admise. Dérivabilité : La dérivée de cosinus, qui est sinus, ne s’annule pas sur ]0; [ . Et cosinus 1 sin(Arccos(x )) définit une bijection de ]0, [ sur ]–1,1[. D’après le résultat admis : x ]–1,1[ , Arccos (x ) Or: Arccos(x) ]0; [ sin(Arccos(x)) > 0 sin(Arccos(x )) 1 cos2 (Arccos(x )) 1 x 2 . e) Étude succincte de Arc cosinus Aux points (–1,) et (1,0), la courbe représentative possède une tangente verticale, car elle est obtenue par symétrie de la courbe y = cos(x) (x [0, ] ) par rapport à la droite d’équation y = x. f) Formules annexes (à savoir redémontrer) x [–1,1], cos(Arcsin(x )) sin(Arccos(x )) x [–1,1], Arccos(x) + Arcsin(x) = = Arcsin(x) [ 1 x 2 (vu dans les démonstrations) 2 ; ] et x = sin() 2 2 [0, ] et x 2 cos 2 2 On peut aussi calculer la dérivée sur ]–1,1[ du membre de gauche, qui est nulle et prendre x on pose : h (x ) Arccos(x) + Arcsin(x). x ]–1,1[ , h (x ) sur ]–1,1[ et h(1)= 2 . L’égalité pour x égal à 1 ou 1 1 x2 1 1 x2 = Arccos(x) 4 : 0 . h est donc constante 1 est immédiate. 32 3° Fonction Arc tangente a) Définition 10 La fonction tangente définit une bijection de sur , continue et strictement croissante sur cet ; 2 2 intervalle. Son application réciproque, appelée Arc tangente, continue et strictement croissante sur , est notée Arctan : C’est une bijection de sur ; 2 2 définie par : y Arctan(x ) , x x tan(y ) , y ; 2 2 Elle est caractérisée par les relations : x , tan(Arctan(x)) = x ; ; 2 2 , Arctan(tan()) = b) Exemples de valeurs : Arctan(0) = 0 ; Arctan(1)= 4 (À SAVOIR !) ; Arctan( 1 3 )= 6 c) Remarques : R1 Arctan(t) est l’unique valeur d’angle dans R2 Arctan(tan()) a un sens, même si mesure de l’angle dans ; 2 2 ; 2 2 ; 2 2 tel que sa tangente vaut t. ; mais dans ce cas, ce réel n’est pas égal à . C’est la qui possède la même tangente que . Par exemple : Arctan(tan( 54 )) 4 . d) Proposition 7 : La fonction Arc tangente est impaire, dérivable (donc continue) sur et : x , Arctan (x ) 1 1 x2 Imparité : Arc tangente est impaire, car elle est la réciproque de tangente, qui est impaire. Dérivabilité : La dérivée en x de tangente, qui est 1 résultat admis : x , Arctan (x ) tan2(x ) , ne s’annule pas sur ] 1 1 tan2 (Arctan(x )) ; [ . D’après le 2 2 1 1 x2 e) Étude succincte de Arc tangente * Arc tangente est croissante sur , avec lim Arctan(x ) x 2 , lim Arctan(x ) x Sa représentation graphique est obtenue à partir de celle de tangente (x ; 2 2 2 . ) par symétrie par rapport à la droite [y = x] . * Elle possède donc deux asymptotes horizontales [y 2 ],[y 2 ]. * La tangente à l’origine est de pente 1. C’est l’exemple classique d’une fonction dérivable et bornée sur , ayant des limites finies en . 33 C. FONCTIONS DE VARIABLE RÉELLE À VALEURS COMPLEXES 1° Dérivée d’une fonction à valeurs complexes a) Définitions 11 : Une fonction f définie de I dans (I intervalle de ) est dite à valeurs complexes ; alors, pour tout x dans I, on pose u(x ) Im( f (x )) . u et v sont appelées fonction partie réelle et fonction partie Re( f (x )) et v(x ) imaginaire de f : f u iv , u = Re(f) , v = Im(f). f est dite dérivable sur I si et seulement si Re(f) et Im(f) sont dérivables sur I et on a : f u iv (Re(f )) i(Im(f )) . ax , a . f est dérivable sur et f (x ) Soit : f (x ) b) Exemples à connaître: Soit : g(t ) 0 k n akt k , ak a. . g est dérivable sur et g (t ) 1 k n kakt k 1 2° Exponentielle complexe a) Définition 12 : Soit z = x + iy la forme algébrique d’un nombre complexe quelconque. On appelle exponentielle de z, le nombre complexe : e z ex (cos(y ) i sin(y )) ex . eiy b) Propriétés élémentaires P1 Lorsque z est réel, on retrouve la définition habituelle de l’exponentielle. P2 Lorsque z est imaginaire pur, e z est un nombre complexe de module 1. P3 e z est un nombre complexe toujours non nul ! (Très important !) P4 z , z = x + iy , e z e x , arg(e z ) y[2 ] ; ez ez c) Remarque : Si est une fonction à valeurs complexes, la définition 12 permet d’introduire x e (x ) , elle - même à valeurs complexes. 3° Dérivée de e a) Proposition 8 Soit : I , dérivable sur I. La fonction e est dérivable sur I et : (e ) On pose : u = Re() , v = Im(). Alors : e eu (cos(v ) i sin(v )) e eu cos(v ) ieu sin(v ) e u cos(v ) et e u sin(v ) sont dérivables sur I, comme composées de fonctions dérivables et e sur I avec : (e ) (eu cos(v )) i(eu sin(v )) = eu cos(v )(u iv ) eu u cos(v ) i sin(v )(u iv ) sin(v )v eu i eu u sin(v ) eu (eiv )(u iv ) e est donc dérivable cos(v )v eu b) Corollaire Pour a , l’application f : t eat est dérivable sur et : t , f (t ) aeat On retrouve ainsi les dérivées des fonctions sinus et cosinus : (t ) e it cos(t ) i sin(t ) ; donc : (t ) ie it i cos(t) On en déduit que, pour a , toute primitive de t i sin(t) sin(t) eat est de la forme t i cos( t) 1 eat a k , k . 34