tdm 2 généralités sur les fonctions - GIPSA-Lab

TD DE M2
1
G ÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
1.1 Calcul formel
E XERCICE 1.1. Jeu de paramètres
Considérons la fonction appelée logarithme à base a (avec a ∈ R∗+ ). Cette fonction, paramétrée par a, est
ln(x)
.
notée f a et est définie par : ∀x ∈ R∗+ , f a (x) =
ln(a)
Calculer les images suivantes : f a (1), f a (a.x), f a (e x ), f a (a x ), f 3 (x), f ax (x), f a (a 4 ).
E XERCICE 1.2. Composition
On considère les trois fonctions de la variable réelle suivantes :
2/ g (x) = 1 − x 2
1/ f (x) = 2x + 1
3/ h(x) =
Donner l’expression des fonctions composées suivantes en fonction de x :
1/ ( f ◦ g )(x)
2/ (g ◦ f )(x)
x
x +1
3/ (h ◦ g ◦ f )(x)
1.2 Domaine de définition
E XERCICE 1.3. Domaine de définition
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :
x2 + 3
1/ f (x) =
1 − |x|
1
5/ f (x) = p
x2 − x − 2
2/ f (x) =
p
6/ f (x) = p
p
3/ f (x) = (x − 2)(x + 1)
x 2 + 2x + 3
1
7/ f (x) =
x4 − x2
cos(x)
1 + sin(2x)
4/ f (x) =
8/ f (x) =
1.3 Equations
E XERCICE 1.4. Résolution d’équations avec des logarithmes
Résoudre les équations suivantes :
1/ ln(3x 2 − x) = ln(x) + ln(2)
2/ ln(|x − 1|) − 2 ln(|x + 1|) = 0
E XERCICE 1.5. Résolution d’équations avec des fonctions puissances
x
Déterminer les racines de l’équation : x (x ) = (x x )x .
1
r
p
x −2
x +1
2 cos(x) − 1
TD DE M2
2
L IMITES
E XERCICE 2.1. Calcul de limite
Calculer les limites en +∞ et en −∞ des fonctions f suivantes :
1/ f (x) =
4/ f (x) =
p
7x + 3
4x 2 − 3x + 13
x2 + 1 −
p
2/ f (x) =
x2 − 1
5/ f (x) =
2x − 3
x +5
p
E XERCICE 2.2. Calcul de limites
Déterminer les limites quand x tend vers +∞ de :
¶
µ x
e −1
ex
1
2/ f (x) = 2
1/ f (x) = ln
x
x
x +1
5/ f (x) =
e 2x − x 2
e 2x+1
6/ f (x) =
3x
x4
2x + |2x + 5|
5x − 1
p
p
x +2− 2
6/ f (x) =
x
3/ f (x) =
x 2 + 2x − x
3/ f (x) = x 3 − 2x
7/ f (x) =
p
4/ f (x) = (x + 1)e −x
2
x + 1e −3x
8/ f (x) =
e 1+x
x 2 ln(x)
E XERCICE 2.3. Limites en un point : changement de variable
Déterminer les limites suivantes :
µ
¶
1
1
1
x 2 + 3x − 4
2/ lim
ln 1 +
3/ lim
ln (x − 1)
1/ lim 2
x→2 x − 2
x→2 x − 2
x→1 2x − x − 1
x −2
¡
¢
µ ¶
2 sin π2 − x − 1
1
4/ lim +
5/ lim x tan
x→+∞
x→π/2
2x − π
x
E XERCICE 2.4. Annales DS 2005
Calculer les limites suivantes :
1/ lim
x→2
ln
¡x¢
2
x −2
2/ lim p
x→+∞
10x
x2 + 1
2
µ ¶
2
3/ lim x sin
x→+∞
x
TD DE M2
3
C ONTINUITÉ
3.1 Continuité en un point
E XERCICE 3.1. Continuité en un point : cas de la valeur absolue
|x|
. Est-elle continue en 0 ?
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = p
x2 + 4
E XERCICE 3.2. Continuité en un point : cas d’une fonction définie par morceaux
Considérons la fonction s définie (conditionnellement) par :


s(t ) = 0
, si t < 0


 s(t ) = t − 1 + e −t
, si 0 ≤ t < 1

s(t ) = t − 3 + e −t (1 + 2e) , si 1 ≤ t < 2


 s(t ) = e −t (1 + 2e − e 2 )
, si 2 ≤ t
1/ Étudier la continuité de la fonction s, en calculant notamment :
lim s(t ), lim− s(t ), lim+ s(t ), lim− s(t ), lim+ s(t ), lim− s(t ).
t →0+
t →2
t →2
E XERCICE 3.3. Ensemble de continuité d’une fonction produit
Soient f et g les fonctions définies par :
½
½
g (x) = 1 − x
f (x) = x + 2 si x ≥ 0
et
g (x) = x + 2
f (x) = 1 − x si x < 0
si x ≥ 0
si x < 0
t →0
t →1
t →1
2/ Tracer rapidement le graphe de la fonction s, en calculant quelques valeurs clés.
3.2 Ensemble de continuité
1/ Étudier la continuité des fonctions f et g et représenter graphiquement chacune d’elles.
2/ Déterminer la fonction h = f g . Représenter graphiquement h en traçant plusieurs points caractéristiques.
3/ h est-elle continue en tout point de R ? Quelle conclusion peut-on en déduire ?
E XERCICE 3.4. Ensemble de continuité
Donner l’ensemble de continuité des fonctions suivantes :
1/ f (x) =
2x − 3
x +5
2/ f (x) =
2x + |2x + 5|
5x − 1
3
3/ f (x) =
p
x2 + 1 −
p
x2 − 1
TD DE M2
4
D ÉRIVÉES
4.1 Dérivabilité en un point
E XERCICE 4.1. Dérivabilité en 0
p
Montrer que la fonction définie sur R par f (x) = x |x| est dérivable en 0 et calculer son nombre dérivé en 0.
4.2 Calcul de dérivées
E XERCICE 4.2. Ensemble de dérivabilité et calcul de dérivée
Déterminer l’ensemble de dérivabilité puis calculer la dérivée des fonctions suivantes :
1/ f (x) = 4x 3 − 3x − 1
5/ p(x) = 2x − 3 −
9/ f (x) =
r
x +1
x −1
1
x
x 1
−
4 3
3/ φ(s) =
(t + 1)2
t2 +1
7/ f (x) =
2/ f (x) =
6/ s(t ) =
10/ f (x) =
sin(x) − cos(x)
sin(x) + cos(x)
3
s
4/ h(z) = (1 − z)3 (1 + 2z)
x3
x2 − 1
8/ f (x) =
11/ f (x) = tan(sin(x))
p
3
x2 + 1
12/ f (x) =
1
p
cos( x)
E XERCICE 4.3. Dérivée d’une solution classique d’équations différentielles
Soit y = a cos(ωt ) + b sin(ωt ) avec a, b et ω trois constantes.
1/ Calculer (si elles existent) les dérivées y ′ et y ′′ .
2/ Former ainsi une relation entre y et y ′′ indépendantes de a et de b.
E XERCICE 4.4. Logarithme et exponentielle
Donner le domaine de dérivation et calculer les dérivées des fonctions suivantes :
¡
¢
a
a) y(x) = x x
b) y(x) = x x
c) y(x) = ln log10 (x)
4.3 Application
E XERCICE 4.5. ( Systèmes dynamiques)
L’étude des systèmes dynamiques du 1er ordre amène souvent à travailler avec la fonction de la variable
−t
réelle t : V (t ) = V0 e τ , où τ est la constante de temps fixée. Montrer que la tangente à la courbe de V (t ) en
un point M 0 d’abcisse t 0 quelconque coupe l’axe des temps au point t 0 + τ.
4
TD DE M2
5
C ALCUL DIFFÉRENTIEL
5.1 Calcul différentiel
E XERCICE 5.1. Calcul différientiel
Calculer les différentielles des fonctions suivantes :
r
1+x
1/ f (x) =
2/ f (x) = tan2 (x 3 )
1−x
3/ f (x) =
1
p
sin( x)
E XERCICE 5.2. Dérivées et différentielles n-ième
Soit la fonction t de la variable réelle x définie par t (x) = tan(x). Exprimer ses 5 premières dérivées en
fonction de t et montrer que :
d 5t
= 16 + 136t 2 + 240t 4 + 120t 6
d x5
E XERCICE 5.3. Différentielles et variations
1/ On considère un carré de côté a, dont la surface en fonction de a est notée S(a) = a 2 . Par suite d’une
variation de température, on suppose que a varie d’une petite quantité 1 notée δa.
a/ Calculer sa nouvelle surface S(a + δa), la variation absolue de son aire δS = S(a + δa) − S(a) et la
δS
, en fonction de a et de δa.
variation relative
S
dS
.
b/ Calculer la différentielle d S de S(a) puis
S
δS
dS
à la différentielle
(infiniment petite) ?
c/ Que néglige-t-on en assimilant la variation,
S
S
2/ Même questions pour le volume V (r ) d’un ballon de rayon r .
5.2 Applications
E XERCICE 5.4. Différentielles et équations différentielles
Pour une fonction y(x) définie pour tout x tel que |x| ≤ 1, on fait le changement de variable x = cos(t ) avec
0 ≤ t ≤ π.
1/ Exprimer
dy
dy
en fonction de t et de
.
dx
dt
1. Attention δa est un symbole pour représenter la petite variation sur a ; ce n’est pas δ × a ! !
5
6
Calcul différentiel
d2y
dy
d2y
en
fonction
de
t
,
et
.
d x2
dt
dt2
3/ Que devient, par ce changement de variable, l’équation différentielle suivante :
2/ En utilisant la méthode précédente, exprimer
(1 − x 2 )
dy
d2y
−x
+ y = 0.
d x2
dx
E XERCICE 5.5. Déphasage d’un circuit électronique
Le déphasage ϕ de la tension par rapport au courant dans un circuit RLC alimenté par une tension sinusoïdale est donnée en fonction de la pulsation ω par :
!
Ã
Lω − C1ω
,
ϕ(ω) = Arctan
R
1/ Rappeler la relation liant la fréquence f et la pulsation ω.
2/ Lorsque la fréquence f varie de δ f (avec f très grand devant δ f ), calculer la variation de déphasage
δϕ correspondante, en l’approximant avec la différentielle d ϕ.
TD DE M2
6
É TUDE DE FONCTIONS
6.1 Symétries graphiques : parité, imparité, périodicité
E XERCICE 6.1. Parité, Imparité
Déterminer si les fonctions suivantes sont paires, impaires, ou ni paires ni impaires ; préciser alors le domaine d’étude :
1/ f (x) =
p
x2 + 1
2/ f (x) =
1
x −1
3/ f (x) =
3x 5 − 7x 3 + x
4x 2 + 1
E XERCICE 6.2. Calcul de période
Déterminer la période et le domaine d’étude des fonctions suivantes :
¶
µ
3πx
1/ f (x) = sin(2x)
2/ f (x) = sin2 (2x)
3/ f (x) = cos
4
4/ f (x) = tan
µ
3x
4
¶
6.2 Étude de fonctions
E XERCICE 6.3. Étude de fonctions
Étudier et représenter graphiquement les fonctions suivantes :
1/ f (x) =
p
|x 2 + 4x + 5|
2/ g (x) =
3x
x +3
3/ y 1 (x) = x x
4/ y 2 (x) = x (x/a)
E XERCICE 6.4. Fonctions hyperboliques
1/ Étudier et représenter graphiquement la fonction définie par : y(x) = sh(x) + 2ch(x)
2/ Résoudre et discuter l’équation sh(x) + 2ch(x) = a en fonction des valeurs prises par a.
E XERCICE 6.5. Optimisation
1/ On considère une boîte de conserve cylindrique de hauteur h et de rayon R.
a/ On dispose d’une surface de métal S limitée pour construire la boîte de conserve de taille S =
400π cm2 . Comment choisir le rayon R et la hauteur h de la boîte pour que son volume V soit
maximal ?
b/ On souhaite maintenant construire une boîte de volume V0 donné et fixé. Comment choisir le
rayon R et la hauteur h pour que la surface de métal à utiliser soit minimale ? On exprimera la
h
solution en fonction du rapport .
R
7
8
Étude de fonctions
2/ Mêmes questions avec une casserole.
6.3 Réciproque
E XERCICE 6.6. Réciproque
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [1; +∞[ par : f (x) = x +
1/ Justifier de la continuité de f .
p
x 2 − 1.
2/ Démontrer que f admet une fonction réciproque f −1 définie sur un intervalle I que l’on précisera.
3/ Montrer que cette réciproque est g (x) =
x2 + 1
.
2x
E XERCICE 6.7. Calcul de réciproque
On considère les deux fonctions f et g définies par : f (x) =
Pour chacun de ces fonctions,
p
x2
et g (x) = x − 2 x + 1.
2
1+x
1/ Montrer qu’elle possède deux intervalles de monotonie.
2/ Expliciter la fonction inverse relative à chacun de ces intervalles.
6.4 Retour sur les logarithmes et les exponentiels
E XERCICE 6.8. Bac S 1996, et oui !
1/ On considère la fonction φ définie sur R+ par : φ(x) =
sur R+ . En déduire le signe de φ(x) pour tout x ≥ 0.
x
− ln(1 + x). Montrer que φ est décroissante
1+x
2/ Soit la fonction f définie par f (t ) = e −t ln(1 + e t ). Étudier à l’aide de la fonction φ les variations de f .
Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞, donner le tableau de variation de f et tracer sa courbe
représentative.
E XERCICE 6.9. Fonction d’exponentielles
3
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] − ∞; 1] par f (x) = e 2x − e x − 2x − 4.
2
1/ Justifier la continuité de f .
2/ Calculer f ′ (x) et montrer que : f ′ (x) = (3e x + 2)(e x − 1). En déduire le signe de f ′ (x).
3/ Justifier que l’équation f (x) = 0 admet une solution x 0 dans l’intervalle [−3; 0] et donner un encadrement de x 0 avec une erreur maximale de 10−1 .
TD DE M2
7
F ONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
7.1 Etude de fonctions
E XERCICE 7.1. Etude de fonction
µ (DS¶ 2005)
x +1
Soit la fonction f (x) = Arctan
. Donner le domaine de définition de f . Calculer sa dérivée et donner
x
les limites quand x tend vers ±∞, 0− et 0+ . Tracer grossièrement son graphe.
E XERCICE 7.2. Calcul de dérivées
Donner l’ensemble de dérivabilité et calculer les dérivées (ou les différentielles) des fonctions suivantes :
¶
µ
³ x +a ´
1−x
3/ y(x) = Arctan
1/ y(x) = Arcsin (ln |2x|)
2/ y(x) = Arcsin
1+x
1 − ax
7.2 Fonctions trigonométriques
E XERCICE 7.3. ( Propriété des fonctions trigonométriques)
Démontrer les relations suivantes : pour tout x dans [−1; 1],
1/ Arcsin(x) + Arccos(x)
¶ π/2
µ =
π
1
= sign(x)
3/ Arctan(x) + Arctan
x
2
2/ Arccos(x) + Arccos(−x) = π
où sign(x) désigne la fonction signe.
E XERCICE 7.4. Calcul et résolution d’équations à base de fonctions trigonométriques
µ
µ ¶¶
µ
µ ¶¶
1
3
puis sin Arccos
1/ Calculer tan Arcsin
5
2
2/ Montrer que :
µ ¶
µ ¶
µ ¶
µ ¶
1
3
4
1
π
1/ 2Arctan
2/ Arccos
+ Arccos
=
= 2Arctan
2
5
2
5
2
3/ Trouver la ou les valeurs réelles de x telle(s) que :
µ ¶
µ ¶
µ ¶
1
1
1
π
π
1/ Arctan
2/ 4Arctan
+ Arctan
+ Arctan (x) =
+ Arctan(x) =
2
5
4
5
4
4/ Exprimer le module ρ et la phase φ des complexes suivants : z 1 = 1 + 2 j , z 2 = −1 + 2 j et z 3 = −1 − 2 j
E XERCICE 7.5. Composition de fonctions trigonométriques
Simplifier et représenter graphiquement (sur un même graphique) les fonctions suivantes :
1/ x 7→ Arccos (cos(x))
et x¶ 7→ cos (Arccos (x))
µ
1 − cos(x)
3/ x 7→ Arccos
2
2/ x 7→ Arctan (tan(x)) et x 7→ tan (Arctan (() x))
9
TD DE M2
8
D ÉVELOPPEMENTS LIMITÉS (DL) ET L IMITES
8.1 DLs et limites
E XERCICE 8.1. Comportement local
Étudier 1 les fonctions suivantes au voisinage de 0 :
a) sinc (x) =
sin(πx)
πx
b) f (x) = xe x
c) g (x) =
x
1 − ex
E XERCICE 8.2. Limites
Déterminer les limites quand x tend vers +∞ de :
1/ y(x) = x − ln (ch(x)) (A STUCE : calculer lim e y(x) )
x→+∞
2/ y(x) =
x 2 − ln(x)
(x + 1)2
E XERCICE 8.3. Calcul de limites Calculer les limites quand x tend vers 0 des expressions suivantes, en
utilisant les DLs usuels :
p
p
2x + 1 − x + 1
x − Arcsin(x)
2 sin(x)
1/ f (x) =
2/ f (x) = x
3/ f (x) =
x − sin(x)
x − sin(x)
x
2
4/ f (x) =
1 − e −x
1 − cos(x)
5/ f (x) =
ax − bx
x
6/ f (x) =
ln (cos(ax))
ln (cos(bx))
E XERCICE 8.4. Calcul de DLs
Donner le développement limité en 0 à l’ordre 4 des fonctions de la variable x suivantes :
³π
´
p
ln(1 + x)
1
3/ tan2 (x)
4/
5/ sin
+x
1/ cos(x)
2/
cos(x)
1+x
4
E XERCICE 8.5. Calcul de DLs
sin(2x)
1/ Calculer le développement limité en 0 à l’ordre 4 de f (x) =
et en déduire la limite de f en 0.
x cos(x)
p
2/ Donner le DL à l’ordre 4 de f (x) = cos( 1 + x − 1) en 0 et sa limite en 0.
E XERCICE 8.6. Changement de variable
¶
x +1
Déterminer le comportement en +∞ de la fonction f définie par f (x) = x ln
. On pourra faire le
x
1
changement de variable u = .
x
3
µ
1. autrement dit analyser si la fonction est définie, continue, donner sa limite, et un développement limité par exemple à l’ordre 2
10
8.2. Accroissements finis
11
8.2 Accroissements finis
Formule des accroissements finis pour une fonction f continue sur [a, b] :
f (a + h) = f (a) + h f ′ (a + θh) avec h = b − a et 0 < θ < 1
E XERCICE 8.7.
En appliquant la formule des accroissements finis aux fonctions suivantes, déterminer la valeur prise par
θ:
1/ f (x) = αx 2 + βx + γ
2/ f (x) = e x
Calculer, dans chacun des cas, la limite de θ quand l’écart h tend vers 0.
E XERCICE 8.8. Série harmonique
1
où n ∈ N∗ .
n
2/ En déduire un encadrement de ln(n + 1) − ln(n), ln(n) − ln(n − 1), et ainsi de suite jusqu’à ln(2) − ln(1).
1
1 1
3/ Déduire aussi un encadrement de u n = 1 + + + ... + .
2 3
n
4/ Quelle est la limite de u n quand n tend vers l’infini.
1/ Donner un encadrement de ln(a + h) et l’appliquer lorsque a = 1 et h =
TD DE M2
9
A NNALE - DS DE M2 2008
Documents polycopiés et manuscripts autorisés
Livres interdits,Calculatrices interdites
Durée : 1h30
E XERCICE 9.1. Étude de fonction (7 points)
1 x 2 + 3x − 1
2
x +3
1/ Donnez, en les justifiant, les domaines de définition, continuité et dérivabilité de la fonction f .
On se propose d’étudier la fonction f variable réelle x définie par : f (x) =
2/ Calculez la dérivée de la fonction f sur son domaine de dérivabilité.
3/ Étudiez le signe de la dérivée et déduisez-en le tableau de variation de f .
4/ Précisez la limite de f en −∞ et la limite de f en (−3)− et en (−3)+ .
5/ Recherchez une asymptote au graphe de la fonction f en +∞ sous la forme y = ax + b. Donnez la
valeur de a et b. Même question en −∞.
6/ Donnez l’équation y = αx + β de la tangente au graphe de f en 0 en précisant les valeurs de α et β.
7/ Tracez le graphe représentatif de f en intégrant toutes les informations obtenues précédemment.
E XERCICE 9.2. Calcul de limites (5 points) Calculez les limites suivantes :
1/ lim
x→+∞
p
3
1 + x 3 − (1 + x)
¡
1
2/ lim x 2 3 1+ x
x→±∞
¢
¡
1
3/ lim x 2 3 1+ x
x→±∞
¢
µ x
¶
1
e −1
ln
x→0 x
x
4/ lim
E XERCICE 9.3. Résolutions d’équation (3 points)
Résolvez les équations et les inégalités suivantes : dans le cas des équations on donnera les valeurs de x satisfaisant l’équation ; dans le cas des inégalités, on donnera l’intervalle I contenant les valeurs de x vérifiant
l’inégalité.
¡
¢
1/ ln (|x − 1|) = ln (|x + 1|) + ln(2)
2/ ln 3x 2 − x < ln(x) + ln(3)
E XERCICE 9.4. Fonctions trigonométriques circulaires (5 points)
´
³ p
Dans cet exercice, on veut étudier la fonction φ définie par : φ(x) = Arcsin 2x 1 − x 2
p
1/ On pose g la fonction définie par g (x) = 2x 1 − x 2 . Donner le domaine de définition, de continuité et
de dérivabilité de la fonction g . En faisant une étude rapide de la fonction g , montrez
que pour tout
p
réel x de [−1; 1], on a g (x) ∈ [−1; 1]. On pourra utiliser l’approximation suivante : 2 ≈ 1, 4.
2/ Déduisez en justifiant le domaine de définition, de continuité et de dérivabilité de la fonction φ(x).
3/ Calculez la dérivée de φ sur son domaine de dérivabilité.
4/ Déduisez le tableau de variation de φ.
5/ Soit a ∈ R. Donnez le nombre de solutions de l’équation φ(x) = a en fonction des valeurs prises par le
paramètre a.
6/ Question bonus : Donnez une valeur approchée de la solution de l’équation φ(x) = a lorsque a est
proche de 0. On pourra utiliser un développement limité.
12