tdm 2 généralités sur les fonctions - GIPSA-Lab

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GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
1.1 Calcul formel
EXERCICE 1.1. Jeu de paramètres
Considérons la fonction appelée logarithme à base a(avec a∈R∗
+). Cette fonction, paramétrée par a, est
notée faet est définie par : ∀x∈R∗
+,fa(x)=ln(x)
ln(a).
Calculer les images suivantes : fa(1), fa(a.x), fa(ex), fa(ax), f3(x), fax (x), fa(a4).
EXERCICE 1.2. Composition
On considère les trois fonctions de la variable réelle suivantes :
1/ f(x)=2x+12/ g(x)=1−x23/ h(x)=x
x+1
Donner l’expression des fonctions composées suivantes en fonction de x:
1/ (f◦g)(x)2/ (g◦f)(x)3/ (h◦g◦f)(x)
1.2 Domaine de définition
EXERCICE 1.3. Domaine de définition
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :
1/ f(x)=x2+3
1−|x|2/ f(x)=px2+2x+33/ f(x)=p(x−2)(x+1) 4/ f(x)=rx−2 x+1
5/ f(x)=1
px2−x−26/ f(x)=1 px4−x27/ f(x)=cos(x)
1+sin(2x)8/ f(x)=p2cos(x)−1
1.3 Equations
EXERCICE 1.4. Résolution d’équations avec des logarithmes
Résoudre les équations suivantes :
1/ ln(3x2−x)=ln(x)+ln(2) 2/ ln(|x−1|)−2ln(|x+1|)=0
EXERCICE 1.5. Résolution d’équations avec des fonctions puissances
Déterminer les racines de l’équation : x(xx)=(xx)x.
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LIMITES
EXERCICE 2.1. Calcul de limite
Calculer les limites en +∞ et en −∞ des fonctions fsuivantes :
1/ f(x)=7x+3
4x2−3x+13 2/ f(x)=2x−3 x+53/ f(x)=2x+|2x+5| 5x−1
4/ f(x)=px2+1−px2−15/ f(x)=px2+2x−x6/ f(x)=px+2−p2
x
EXERCICE 2.2. Calcul de limites
Déterminer les limites quand xtend vers +∞ de :
1/ f(x)=1
xlnµex−1 x¶2/ f(x)=ex x2+13/ f(x)=x3−2x4/ f(x)=(x+1)e−x
5/ f(x)=e2x−x2
e2x+16/ f(x)=3x x47/ f(x)=px+1e−3x8/ f(x)=e1+x2 x2ln(x)
EXERCICE 2.3. Limites en un point : changement de variable
Déterminer les limites suivantes :
1/ lim
x→1
x2+3x−4
2x2−x−12/ lim
x→2
1
x−2lnµ1+1 x−2¶3/ lim
x→2
1
x−2ln(x−1)
4/ lim
x→π/2+
2sin¡π
2−x¢−1
2x−π5/ lim
x→+∞xtanµ1
x¶
EXERCICE 2.4. Annales DS 2005
Calculer les limites suivantes :
1/ lim
x→2
ln¡x
2¢
x−22/ lim
x→+∞
10x
px2+13/ lim
x→+∞xsinµ2
x¶
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CONTINUITÉ
3.1 Continuité en un point
EXERCICE 3.1. Continuité en un point : cas de la valeur absolue
On considère la fonction fdéfinie sur Rpar f(x)=|x|
px2+4. Est-elle continue en 0 ?
EXERCICE 3.2. Continuité en un point : cas d’une fonction définie par morceaux
Considérons la fonction sdéfinie (conditionnellement) par :
s(t)=0 , si t<0
s(t)=t−1+e−t, si 0 ≤t<1
s(t)=t−3+e−t(1+2e) , si 1 ≤t<2
s(t)=e−t(1+2e−e2) , si 2 ≤t
1/ Étudier la continuité de la fonction s, en calculant notamment :
lim
t→0+s(t), lim
t→0−s(t), lim
t→1+s(t), lim
t→1−s(t), lim
t→2+s(t), lim
t→2−s(t).
2/ Tracer rapidement le graphe de la fonction s, en calculant quelques valeurs clés.
3.2 Ensemble de continuité
EXERCICE 3.3. Ensemble de continuité d’une fonction produit
Soient fet gles fonctions définies par :
½f(x)=x+2 si x≥0
f(x)=1−xsi x<0et ½g(x)=1−xsi x≥0
g(x)=x+2 si x<0
1/ Étudier la continuité des fonctions fet get représenter graphiquement chacune d’elles.
2/ Déterminer la fonction h=f g . Représenter graphiquement hen traçant plusieurs points caractéris-
tiques.
3/ hest-elle continue en tout point de R? Quelle conclusion peut-on en déduire ?
EXERCICE 3.4. Ensemble de continuité
Donner l’ensemble de continuité des fonctions suivantes :
1/ f(x)=2x−3
x+52/ f(x)=2x+|2x+5| 5x−13/ f(x)=px2+1−px2−1
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DÉRIVÉES
4.1 Dérivabilité en un point
EXERCICE 4.1. Dérivabilité en 0
Montrer que la fonction définie sur Rpar f(x)=xp|x|est dérivable en 0 et calculer son nombre dérivé en 0.
4.2 Calcul de dérivées
EXERCICE 4.2. Ensemble de dérivabilité et calcul de dérivée
Déterminer l’ensemble de dérivabilité puis calculer la dérivée des fonctions suivantes :
1/ f(x)=4x3−3x−12/ f(x)=x
4−1 33/ φ(s)=3 s4/ h(z)=(1−z)3(1+2z)
5/ p(x)=2x−3−1
x6/ s(t)=(t+1)2 t2+17/ f(x)=x3 x2−18/ f(x)=3
px2+1
9/ f(x)=rx+1
x−110/ f(x)=sin(x)−cos(x) sin(x)+cos(x)11/ f(x)=tan(sin(x)) 12/ f(x)=1
cos(px)
EXERCICE 4.3. Dérivée d’une solution classique d’équations différentielles
Soit y=acos(ωt)+bsin(ωt) avec a,bet ωtrois constantes.
1/ Calculer (si elles existent) les dérivées y′et y′′.
2/ Former ainsi une relation entre yet y′′ indépendantes de aet de b.
EXERCICE 4.4. Logarithme et exponentielle
Donner le domaine de dérivation et calculer les dérivées des fonctions suivantes :
a) y(x)=xxb) y(x)=xxac) y(x)=ln¡log10(x)¢
4.3 Application
EXERCICE 4.5. (Systèmes dynamiques)
L’étude des systèmes dynamiques du 1er ordre amène souvent à travailler avec la fonction de la variable
réelle t:V(t)=V0e−t
τ, où τest la constante de temps fixée. Montrer que la tangente à la courbe de V(t) en
un point M0d’abcisse t0quelconque coupe l’axe des temps au point t0+τ.
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CALCUL DIFFÉRENTIEL
5.1 Calcul différentiel
EXERCICE 5.1. Calcul différientiel
Calculer les différentielles des fonctions suivantes :
1/ f(x)=r1+x
1−x2/ f(x)=tan2(x3)3/ f(x)=1
sin(px)
EXERCICE 5.2. Dérivées et différentielles n-ième
Soit la fonction tde la variable réelle xdéfinie par t(x)=tan(x). Exprimer ses 5 premières dérivées en
fonction de tet montrer que :
d5t
dx5=16+136t2+240t4+120t6
EXERCICE 5.3. Différentielles et variations
1/ On considère un carré de côté a, dont la surface en fonction de aest notée S(a)=a2. Par suite d’une
variation de température, on suppose que avarie d’une petite quantité 1notée δa.
a/ Calculer sa nouvelle surface S(a+δa), la variation absolue de son aire δS=S(a+δa)−S(a) et la
variation relative δS
S, en fonction de aet de δa.
b/ Calculer la différentielle dS de S(a) puis dS
S.
c/ Que néglige-t-on en assimilant la variation,δS
Sà la différentielle dS S(infiniment petite) ?
2/ Même questions pour le volume V(r) d’un ballon de rayon r.
5.2 Applications
EXERCICE 5.4. Différentielles et équations différentielles
Pour une fonction y(x) définie pour tout xtel que |x|≤1, on fait le changement de variable x=cos(t) avec
0≤t≤π.
1/ Exprimer d y
dx en fonction de tet de d y dt .
1. Attention δaest un symbole pour représenter la petite variation sur a; ce n’est pas δ×a! !
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