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Chapitre I
Compléments sur les fonctions numériques
Programme officiel
I Fonction cosinus et sinus.
1. Rappels
La fonction qui à tout réel x associe l’abscisse du point M repéré par x sur le cercle
trigonométrique, est la fonction cosinus notée cos.
La fonction qui à tout réel x associe l’ordonnée du point M repéré par x sur le cercle
trigonométrique, est la fonction sinus notée sin.
2. Propriétés.
a. Périodicité
Pour tout réel x : cos(x  k.2)  cosx et sin(x  k.2)  sin x.
On dit que les fonctions cos et sin sont périodiques et de période 2 .
Conséquence graphique : Si on connait la courbe représentative des fonctions sin et cos sur
un intervalle de grandeur 2 , pour les avoir sur R, il suffit de faire des translations de
vecteur k. 2.i .
b. Parité
Pour tout x : cos(x)  cosx et sin(x)   sin x.
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On dit que la fonction cos est paire et la fonction sin est impaire.
Conséquences graphiques : La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par
rapport à l’axe des ordonnées et la courbe représentative d’une fonction impaire est
symétrique par rapport à l’origine du repère.
c. Dérivabilité
Théorèmes admis.
La fonction cos est dérivable sur R et : x  R, cos'(x)   sin x .
La fonction sin est dérivable sur R et : x  R, sin'(x)  cosx .
sin x
x 0
x
Application au calcul de lim
On rappelle que si f est dérivable en a alors :
lim
x a
f(x)  f(a)
f(a  h)  f(a)
 f'(a) ou lim
 f'(a)
h

0
xa
h
sin x
sin x  sin 0
 lim
 sin'(0)  cos 0  1
x 0
x 0
x
x0
La fonction sin est dérivable sur R donc lim
sin x
 1.
x 0
x
A retenir et savoir retrouver : lim
3. Variations et représentations graphiques.
a. Fonction sin
La fonction sin est impaire et périodique de période 2 donc pour tracer Csin il suffit de la
tracer sur 0;  puis on complète par symétrie à l’origine pour l’avoir sur ;  puis par
translation de vecteur k.2.i pour l’avoir sur
.
-) Etude sur 0; 
x

2
0
sin’(x)
+

-
sin
b. Fonction cos
La fonction cos est paire et périodique de période 2 ,donc pour tracer Ccos il suffit de la
tracer sur 0;   puis on complète par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées pour l’avoir
sur ;  puis par translation de vecteur k.2 .i pour l’avoir sur
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.
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-) Etude sur 0; 
x
cos’(x)

0
-
cos
II Compléments sur les dérivées.
1. Dérivée de x
f(ax  b)
Théorème admis
Soit f une fonction dérivable sur I et a et b deux réels donnés.
Alors la fonction g définie par : g(x)  f(ax  b) est dérivable et : g'(x)  af'(ax  b) , sous
réserve que ax  b appartienne à I.
Exemples
Soit f , g et h trois fonctions définies par :

f(x)  sin(2x  3), g(x)  cos  4x   et h(x)  1  3x .
6

Alors :
f'(x) 
g'(x) 
h'(x) 
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2. Dérivée de x
u(x)
Théorème admis
Soit une fonction u dérivable et strictement positive sur I. Alors la fonction f : x
dérivable sur I et : x  I, f'(x) 
On mémorisera :
u'(x)
2 u(x)
u(x) est
.
 u '  2u'u
Exemple : Soit f la fonction définie sur [-1 ;2] par f(x)  x²  x  2 .
La fonction u : x
x²  x  2 est dérivable et strictement positive sur 1;2 , donc f est
dérivable sur 1;2 et : x  1;2 :f'(x) 
3. Dérivée de x
Soit n 
*
2x  1
2 x²  x  2
u(x) 
n
. Soit u une fonction dérivable sur I et ne s’annulant pas sur I dans le cas où n est
négatif. Alors la fonction f : x
x  I, f'(x)  n u(x) 
n 1
u(x) 
n
est dérivable sur I et :
 u'(x) .
On mémorisera : un '  nun 1u'
Exemples :
Soient f et g deux fonctions définies
par : f(x)   x²  2x  3 , g(x)   sin x  et h(x) 
4
6
1
.
(3x  1)5
On pourra écrire h(x) sous la forme u(x) 
n
Alors :
f'(x) 
g'(x) 
h'(x) 
II Compléments sur la tangente : équation réduite
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant a et dérivable en a.
On sait alors que la courbe Cf admet en un de ses points A d’abscisse a une tangente.
Démontrer que l’équation réduite de cette tangente est : y  f(a)  (x  a)f'(a) .
Cette formule n’est pas exigible mais vous pouvez la mémoriser.
jfd
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