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Chapitre I Compléments sur les fonctions numériques
Programme officiel
I Fonction cosinus et sinus.
1. Rappels
La fonction qui à tout réel x associe l’abscisse du point M repéré par x sur le cercle
trigonométrique, est la fonction cosinus notée cos.
La fonction qui à tout réel x associe l’ordonnée du point M repéré par x sur le cercle
trigonométrique, est la fonction sinus notée sin.
2. Propriétés.
a. Périodicité
Pour tout réel x :
cos(x k.2 ) cosx et sin(x k.2 ) sinx.     
On dit que les fonctions cos et sin sont périodiques et de période
2
.
Conséquence graphique : Si on connait la courbe représentative des fonctions sin et cos sur
un intervalle de grandeur
2
, pour les avoir sur R, il suffit de faire des translations de
vecteur k.
2 .i
.
b. Parité
Pour tout x :
cos( x) cosx et sin( x) sinx.    

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On dit que la fonction cos est paire et la fonction sin est impaire.
Conséquences graphiques : La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par
rapport à l’axe des ordonnées et la courbe représentative d’une fonction impaire est
symétrique par rapport à l’origine du repère.
c. Dérivabilité
Théorèmes admis.
La fonction cos est dérivable sur R et :
x R, cos'(x) sinx   
.
La fonction sin est dérivable sur R et :
x R, sin'(x) cosx  
.
Application au calcul de
x0
sinx
lim x
On rappelle que si f est dérivable en a alors :
x a h 0
f(x) f(a) f(a h) f(a)
lim f'(a) ou lim f'(a)
x a h
La fonction sin est dérivable sur R donc
x 0 x 0
sinx sinx sin0
lim lim sin'(0) cos0 1
x x 0
A retenir et savoir retrouver :
x0
sinx
lim 1.
x
3. Variations et représentations graphiques.
a. Fonction sin
La fonction sin est impaire et périodique de période
2
donc pour tracer Csin il suffit de la
tracer sur
;0
puis on complète par symétrie à l’origine pour l’avoir sur
;
puis par
translation de vecteur
ik .2.
pour l’avoir sur .
-) Etude sur
;0
x
0
2
sin’(x)
+ -
sin
b. Fonction cos
La fonction cos est paire et périodique de période
2
,donc pour tracer Ccos il suffit de la
tracer sur
;0
puis on complète par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées pour l’avoir
sur
;
puis par translation de vecteur
ik .2.
pour l’avoir sur .

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-) Etude sur
;0
x
0
cos’(x)
-
cos
II Compléments sur les dérivées.
1. Dérivée de
x f(ax b)
Théorème admis
Soit f une fonction dérivable sur I et a et b deux réels donnés.
Alors la fonction g définie par :
g(x) f(ax b)
est dérivable et :
g'(x) af'(ax b)
, sous
réserve que
ax b
appartienne à I.
Exemples
Soit f , g et h trois fonctions définies par :
f(x) sin(2x 3), g(x) cos 4x et h(x) 1 3x
6
.
Alors :
f'(x)
g'(x)
h'(x)

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2. Dérivée de
x u(x)
Théorème admis
Soit une fonction u dérivable et strictement positive sur I. Alors la fonction
f : x u(x)
est
dérivable sur I et :
u'(x)
x I, f'(x) 2 u(x)
.
On mémorisera :
u'
u' 2u
Exemple : Soit f la fonction définie sur [-1 ;2] par
f(x) x² x 2  
.
La fonction
u : x x² x 2
est dérivable et strictement positive sur
1;2
, donc f est
dérivable sur
1;2
et :
2x 1
x 1;2 :f'(x) 2 x² x 2
3. Dérivée de
n
x u(x)
Soit
*
n
. Soit u une fonction dérivable sur I et ne s’annulant pas sur I dans le cas où n est
négatif. Alors la fonction
n
f : x u(x)
est dérivable sur I et :
n1
x I,f'(x) n u(x) u'(x)
.
On mémorisera :
n n 1
u ' nu u'
Exemples :
Soient f et g deux fonctions définies
par :
46
5
1
f(x) x² 2x 3 , g(x) sinx et h(x) (3x 1)
.
On pourra écrire h(x) sous la forme
n
u(x)
Alors :
f'(x)
g'(x)
h'(x)
II Compléments sur la tangente : équation réduite
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant a et dérivable en a.
On sait alors que la courbe Cf admet en un de ses points A d’abscisse a une tangente.
Démontrer que l’équation réduite de cette tangente est :
y f(a) (x a)f'(a)  
.
Cette formule n’est pas exigible mais vous pouvez la mémoriser.