DM8

DM 8 Probas , suites, séries de fonctions
Exercice 1 : Des sommes de longueur aléatoire
Soit N; X1; X2; ::::; Xn; ::::: une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes définies sur un même
espace probabilisé (; A; P ). On suppose que les variables Xnadmettent la même loi de probabilité et sont à valeurs
dans N. On notera Xune variable suivant cette loi.
D’autre part Nest une variable aléatoire à valeurs dans N:
On suppose que Net Xpossèdent une espérance
On définit la variable aléatoire S=PN
k=1 Xkc’est à dire 8!2; S(!) = PN(!)
k=1 Xk(!):
a) On suppose dans cette question que Xsuit la loi de Bernouilli B(1; p):Déterminer PN=n(S=k)pour tout k2N
et n2N.
On pose EN=n(S) = P+1
k=0 kPN=n(S=k):Calculer EN=n(S)
b) Dans le cas général déterminer EN=n(S)en fonction de nest de E(X)
c) Démontrer dans le cas général que E(S) = P+1
n=0 EN=n(S)P(N=n) = E(N)E(X) :
indication : on considérera le système complet (N=n)n2N
d) On suppose ici que N1suit une loi de Poisson de paramètre et que Xsuit la loi de Bernouilli B(1; p):
d1: Déterminer E(S):
d2: Déterminer soigneusement la loi de S:vérifier qu’il s’agit bien d’une loi de probabilité
d3: facultatif : retrouver la valeur de E(S)
Exercice 2:Ma lignée s’éteindra t’elle?
Dans une population on appelle descendants de première génération d’un individu ses enfants et plus généralement
descendants de p+ 1ieme génération les enfants de ses descendants de pieme génération. On suppose:
* Que le nombre d’enfants de différents individus d’une même génération sont des variables aléatoires identiquement
distribuées, mutuellement indépendantes suivant toutes la loi de Poisson de paramètre  > 0:On note Xune de ces
variables aléatoire.
* Que plus généralement pour tout n>1;les variables aléatoires associant aux différents individus d’une même
génération les nombres possibles de leurs descendants de nieme génération sont des variables aléatoires indépen-
dantes et de même loi. On note Xnune de ces variables aléatoires
* On note pour tout k2N,pk=P(X=k)la probabilité pour un individu d’avoir kenfants et pour tout n2N
un=P(Xn= 0) (avec u0= 0) la probabilité pour un individu de n’avoir aucun descendant à la nieme génération.
La limite de cette suite représente la probabilité pour un individu de voir sa descendance s’éteindre.
On note par ailleurs fla fonction f(x) = e(x1)
1Montrer que pour tout réel x; f(x) = P+1
k=0 pkxk
2Montrer que u1=f(u0)
3Montrer que pour tout entier k; PX1=k(X2= 0) = (e)k;puis en déduire que u2=f(u1)
4Soit n2N:calculer PX1=k(Xn+1 = 0) et en déduire que un+1 =f(un)
5
a) Déterminer le nombre de solutions x2[0;+1[de l’équation f(x) = xselon les valeurs de :
b) Démontrer que la suite unest convergente
c) Donner une interprétation graphique de la suite unutilisant le graphe de fet déterminer en fonction des valeurs de
la valeur de sa limite. On discutera sur la position de par rapport à 1.
d) Quelle est la probilité d’extinction d’un individu sachant que = 1? = 2?
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Exercice 3 : Des séries de fonctions dans tous les coins...
Soit Xune variable aléatoire définie sur l’espace probabilisé (; A; P )à valeurs dans N(X() N):On appelle
fonction caractéristique de Xla fonction
X(t) = E(eitX )
1. Montrer que Xest bien définie, continue et périodique sur R
2. Soient X; Y deux variables aléatoires définies sur (; A; P )à valeurs dans N;telles que X=Y:Montrer
qu’elles suivent la même loi.
Indication: considérer les intégrales Ik=1
2R
X(t)eikt dt
3. On suppose que Xpossède une espérance. Montrer que Xest dérivable et calculer 0
X(0)
4. Calculer X(t)lorsque X=Z1ou Zsuit la loi géométrique G(p):
5. Calculer X(t)lorsque Xsuit la loi de Poisson P()
6. Calculer X(t)lorsque Xsuit la loi Binomiale B(n; p)
7. On suppose Xet Yindépendantes: déterminer X+Y(t)en fonction de X(t)et de Y(t)
8. On suppose que Xadmet des moments d’ordre kpour tous k: Démontrer que X(t) = P+1
k=0
ikmk
k!tk:
Exercice 4 : une application des séries génératrices
Soient X; Y deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé (; A; P ), indépendantes et de même
loi, à valeurs dans N:On suppose que la variable Z=X+Y+ 1 suit une loi géométrique G(p):
On définit la fonction génératrice de par 8t2[1;1]; GX(t) = E(tX)
1. Montrer que Xpossède une espérance et une variance et préciser leurs valeurs en fonction de p
2. Déterminer la fonction génératrice de Z
3. Exprimer GY+1(t)en fonction de GY(t)et de t
4. En déduire la valeur de GX(t)en fonction de t
5. Préciser le développement en série entière de la fonction f:f(t) = p(1 (1 p)t)1
2:En déduire la loi de
probabilité de X
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