Imprécis de Topologie 1 Espaces métriques

Université de Strasbourg M1 Analyse fonctionnelle (S1)
O. Guichard. [email protected]
Imprécis de Topologie
Il s’agit de faire quelques mises au point en “topologie
générale”, les démonstrations sont laissées en exercices.
1 Espaces métriques
1.1 Définition, exemples
Définition. Soit Xun ensemble, une distance sur Xest
une fonction d:X×X→Rsatisfaisant les axiomes
suivants :
1. d(x, y) = d(y, x)≥0pour tout (x, y)∈X×X; et
d(x, y) = 0 si et seulement si x=y.
2. d(x, z)≤d(x, y) + d(y, z)pour tout (x, y, z)∈X3.
La paire (X, d)est appelée espace métrique.
La distance dest un moyen de dire quand 2 points x
et yde Xsont “proches”.
Exemple. —X=Ret d(x, y) = |x−y|ou X=C,
d(x, y) = |x−y|.
—X=Rnet la distance entre x= (x1, . . . , xn)et
y= (y1, . . . , yn)est donnée par l’une des formules
suivantes
d1(x, y) =
n
X
i=1
|xi−yi|,
d2(x, y) = v
u
u
t
n
X
i=1
|xi−yi|2,
d∞(x, y) = max
i∈{1,...,n}|xi−yi|.
—X=X1×X2, où (X1, d1)et (X2, d2)sont des es-
paces métriques, et la distance entre x= (x1, x2)
et y= (y1, y2)est donnée par
d1(x1, y1) + d2(x2, y2),ou
pd1(x1, y1)2+d2(x2, y2)2,ou
max{d1(x1, y1), d2(x2, y2)}.
Exercice 1. Ces exemples sont bien des espaces mé-
triques.
1.2 Suites convergentes, de Cauchy et
complétude
Une suite (xn)n∈Nde XNconverge vers x∈X(ou
a pour limite, ou xest le limite de la suite, ou...) si la
condition suivante est vérifiée : ∀ε > 0,∃n0∈N,∀n≥
n0, d(x, xn)≤ε.
Notation : xest noté limn→∞ xn, ou limnxn, voire
lim xn.
Une suite (xn)n∈Nest une suite de Cauchy si ∀ε >
0,∃n0∈N,∀n≥n0,∀m≥n0, d(xm, xn)≤ε.
Exercice 2. Une suite convergente est de Cauchy. Une
suite réelle (i.e. si X=R) de Cauchy est convergente.
Définition. L’espace métrique (X, d)est dit complet si
toute suite de Cauchy est convergente.
Exemple. Qn’est pas complet. Rest complet. Rnest
complet (pour toutes les distances données plus haut)
Une suite (yk)k∈Nest une sous-suite d’une suite
(xn)n∈Ns’il existe une fonction croissante N→N;k7→ nk
telle que, pour tout k,yk=xnk. On dit parfois suite ex-
traite, on écrit aussi (xnk)k∈N.
Si une suite est convergente (ou de Cauchy) toutes ses
sous-suites sont convergentes (ou de Cauchy).
Une limite d’une sous-suite de la suite (xn)est appe-
lée valeur d’adhérence.
1.3 Ouverts, fermés
La boule ouverte de centre xet de rayon rest
B(x, r) = {y∈X|d(x, y)< r}. La boule fermée est
¯
B(x, r) = {y∈X|d(x, y)≤r}.
Définition. Un sous-ensemble O⊂Xest dit ouvert si
pour tout xdans O, il contient une boule ouverte centrée
en x:∀x∈O, ∃r > 0, B(x, r)⊂O. Un sous-ensemble
F⊂Xest fermé si son complémentaire X\Fest ou-
vert.
Exercice 3. Les boules ouvertes sont des ouverts, les
boules fermées sont fermées.
Exercice 4. Si un sous-ensemble Fde Xest complet
alors il est fermé.
Une réunion d’ouverts est ouvert, une intersection de
fermés est fermé. Une intersection finie d’ouverts est ou-
verts, une réunion finie de fermés est fermés.
Exercice 5. Un sous-ensemble F⊂Xest fermée si et
seulement si la propriété suivante est satisfaite :
— pour toute suite convergente (xn)n∈Ndans X, si
pour tout n,xn∈F, alors limnxn∈F.
Proposition 1. (adhérence) Soit Aun sous-ensemble
de X. Il existe un plus petit sous-ensemble fermé ¯ Ade
Xcontenant A. De plus un élément xappartient à ¯ A
si et seulement si ∃(xn)n∈N∈ANconvergeant vers x.
Aussi ∀(xn)n∈N∈ANsi cette suite a une limite, alors
limnxn∈¯ A.
Exercice 6. Démontrer la proposition. Montrer aussi
que x∈¯ A⇔ ∀ε > 0,∃a∈A,d(x, a)< ε.
Exercice 7. Soient (xn)une suite dans Xet, pour tout
n,Fnl’adhérence de {xm|n≥m}. Alors F=∩n∈NFn
est l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite (xn).
Exercice 8. Une suite de Cauchy est convergente si et
seulement si elle admet une valeur d’adhérence.
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Exercice 9. On reprend les notations de l’exercice 7
et on suppose F6=∅et Xcompact. Alors, pour tout
ε > 0, il existe n0∈Ntel que, pour tout n≥n0,
dist(xn, F ) = infz∈Fd(z, xn)< ε. En particulier si une
suite a une seule valeur d’adhérence (i.e. Fcontient un
seul élément) alors elle est convergente.
Exercice 10. Mettre en défaut le résultat du dernier
exercice quand Xn’est pas compact.
Exercice 11. Soient (xn)n∈Nune suite d’un espace com-
pact Xet xun point de X. Supposons que la propriété
suivante est vérifiée : pour toute sous-suite (yk)k∈N, il
existe une suite extraite (ykj)j∈Nqui converge vers x.
Alors la suite (xn)n∈Nconverge vers x.
1.4 Densité, lemme de Baire
Définition. Un sous-ensemble A⊂Xest dit dense si
¯
A=X. Autrement dit, tout point de Xest la limite
d’une suite de A.
Exemple. Qest dense dans R.Qnest dense dans Rn.
Théorème 2. (Lemme de Baire) Soit Xun espace mé-
trique complet. Si (On)n∈Nest une suite d’ouverts denses,
alors l’intersection ∩n∈NOnest dense.
La démonstration est basée sur le lemme suivant.
Lemme 3. Soient Xun espace métrique complet,
(xn)n∈Nune suite dans Xet (rn)n∈Nune suite de
R∗
+qui converge vers 0. On suppose que pour tout
n≥0,B(xn+1, rn+1)⊂B(xn, rn). Alors l’intersection
∩n∈NB(xn, rn)est non-vide (et réduite à un point).
Exercice 12. Démontrer le lemme (montrer que (xn)est
de Cauchy). Démontrer le théorème (pour x∈Xet ε > 0
construire une suite comme dans le lemme avec les pro-
priétés supplémentaires suivantes : B(x0, r0)⊂B(x, ε)
et, pour tout n,B(xn, rn)⊂On).
1.5 Fonctions continues, espace de fonc-
tions continues
Soient (X, d)et (X0, d0)deux espaces métriques. Une
fonction f:X→X0est dite continue en x∈Xsi
∀ε > 0,∃δ > 0,∀y∈X, d(x, y)≤δ⇒d0(f(x), f(y)) ≤ε.
Exercice 13. fest continue en xsi et seulement si
∀(xn)n∈N∈XNqui tend vers x, la suite (f(xn))n∈Ntend
vers f(x).
Une fonction f:X→X0est dite continue si elle est
continue en tout point de X. Une fonction f:X→X0
est dite bornée si il existe x0∈X0et r∈Rtels que
∀x∈X,d(f(x), x0)≤r.
On dénote par C(X, X0)⊂(X0)Xle sous-ensemble
des fonctions continues, B(X, X0)le sous-ensemble des
fonctions bornées et Cb(X, X0) = C(X, X0)∩ B(X, X0)le
sous-ensemble des fonctions continues et bornées.
Sur B(X, X0)on définit la distance suivante : pour
tout (f, g)∈ B(X, X0)2
d∞(f, g) = sup
x∈X
d0(f(x), g(x)).
Exercice 14. Pour tout (f, g)∈ B(X, X0)2,d∞(f, g)<
+∞.
(B(X, X0), d∞)est un espace métrique ; si X0est com-
plet, B(X, X0)est complet.
Remarque : il est inutile ici que Xsoit un espace métrique.
Exercice 15. (Cb(X, X0), d∞)est un espace métrique
qui est complet si et seulement si X0est complet.
ATTENTION : on a alors une notion de conver-
gence de suites de fonctions, mais il y a beaucoup d’autres
manières de définir des notions de convergence (simple,
uniforme sur les compactes, en moyenne, etc.) pour les
suites de fonctions. Il faut toujours prendre garde à quelle
notion de convergence est utilisée. Ici il s’agit de conver-
gence uniforme.
1.6 Espaces vectoriels normés
C’est peut-être l’exemple le plus important pour le
cours d’analyse fonctionnelle. Il généralise le cas de Rn
evoqué ci-dessus.
Définition. Soit Eun K-espace vectoriel avec K=Rou
C. Une norme sur Eest une fonction E→R;x7→ kxk
qui vérifie les propriétés suivantes :
—kxk ≥ 0pour tout x∈Eet kxk= 0 ⇔x= 0E;
—kλxk=|λ| kxkpour tout λ∈Ket tout x∈E.
—kx+yk≤kxk+kykpour tout (x, y)∈E2.
Exercice 16. La formule d(x, y) = kx−ykdéfinit alors
une métrique sur E.
On parle de l’espace métrique associé. C’est (presque)
toujours cette métrique qui sera utilisée sur les espaces
vectoriels normés. Un espace vectoriel est dit complet si
l’espace métrique associé est complet.
Exemple. Les distances sur Rndonnées plus haut pro-
viennent toutes d’une norme.
Si Eest un espace vectoriel normé et si Xest un en-
semble, on définit une norme k · k∞sur l’espace vectoriel
B(X, E)par
∀f∈ B(X, E),kfk∞= sup
x∈X
kf(x)k.
Cette norme induit la distance d∞définie au para-
graphe précédent. La même formule définit une norme
sur Cb(X, E)quand Xest de plus un espace métrique.
on vient de rencontrer les premiers exemples d’espaces vectoriels normés complets.
Exercice 17. Vérifier ces exemples.
Proposition 4. Soit f:E→Fune application li-
néaire entre deux espaces vectoriels normés (E, k·kE)
et (F, k·kF). Alors fest continue ⇔fest continue en
0E⇔ ∃x∈E,fest continue en x⇔ ∃M∈R,∀x∈E,
kf(x)kF≤MkxkE.
Exercice 18. Démontrer la proposition. En particulier
elle implique que kfk:= supx∈E\{0E}kf(x)kF/kxkE<
∞. Montrer que f7→ kfkest une norme sur l’espace vec-
toriel L(E, F )des applications linéaires continues de E
dans F.kg◦fk≤kgk kfk.
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1.7 Compacité
Définition. Un espace métrique (X, d)est dit compact
si toute suite de Xadmet une sous-suite convergente :
∀(xn)∈XN,∃une sous-suite convergente (yk).
Exercice 19. Une intersection décroissante de compacts
est non vide : ∀n∈N,Kn⊃Kn+1 et Knest compact,
alors ∩n∈NKn6=∅.
Exercice 20. Si Xest compact, Xest complet.
Théorème 5. Soit Xun espace métrique. Alors Xest
compact si et seulement si Xest complet et pour tout
ε > 0il existe un sous-ensemble fini Z⊂Xtel que
X=∪z∈ZB(z, ε).
Démonstration. (à compléter) Supposons Xcompact.
Supposons par l’absurde qu’il existe εtel que pour tout
Z⊂Xfini X6=∪z∈ZB(z, ε). On construit alors, par ré-
currence, une suite (xn)n∈Ntelle que, pour tout n6=m,
d(xn, xm)≥ε. Une telle suite n’a aucune sous-suite
convergente.
Réciproquement, supposons que pour tout ε > 0, il
existe Zcomme dans l’énoncé. Soit (xn)=(x(0)
n)une
suite dans X. Par récurrence on construit des suites
(x(1)
n),(x(2) n), . . ., (x(k) n), . . . avec, pour tout k > 0, la suite
(x(k)
n)n∈Nest contenue dans une boule de rayon 1/2ket
est une sous-suite de (x(k−1)
n)n∈N. La suite (yk=x(k)
k)
est alors de Cauchy et est une sous-suite de (xn).
Remarque : cette démonstration utilise le “procédé
diagonal de Cantor”. Cet outil revient souvent.
Exercice 21. Xest compact si et seulement si de tout
recouvrement X=∪i∈IOipar des ensembles ouverts Oi
il existe un sous recouvrement fini (∃J⊂I,Jfini et
X=∪i∈JOi). Stratégie pour ⇒: il existe ε > 0tel que
pour tout x∈X, un des ouverts Oicontient B(x, ε).
Stratégie pour ⇐: les intersections décroissantes de fer-
més sont non-vides et exercice 7.
Exemple. Les intervalles fermés et bornés de R. Les
compacts de Rnsont exactement les ensembles fermés et
bornés. Les sphères S(x, r) = {y∈Rn|d(x, y) = r}sont
compactes (pour une des distances données plus haut).
Proposition 6. Si Xest compact, une fonction f:
X→Rest bornée et atteint ses bornes. Par exemple
m= infx∈Xf(x)>−∞ et ∃x∈X m =f(x).
Exercice 22. Montrer la proposition. Plus généralement
montrer que l’image d’un compact par une application
continue est compacte.
Corollaire 7. Toutes les normes sur un espace vectoriel
de dimension finie sont équivalentes.
Exercice 23. Montrer qu’il suffit de considérer le cas
de Rn. Appliquer ensuite la proposition à X={x=
(x1, . . . , xn)∈Rn|Px2
i= 1}et à f:x7→ kxk(et
utiliser “l’homogénéité” des normes).
Corollaire 8. Les espaces vectoriels normés de dimen-
sion finie sont complets. Dans un espace vectoriel normé,
les sous-espaces vectoriels de dimension finie sont fermés.
Théorème 9. Soit (E, k · k)un espace vectoriel normé.
La boule unité fermée ¯ B(0E,1) est compacte si et seule-
ment si Eest de dimension finie.
Démonstration. (à completer) Supposons la boule unité
¯
Bcompacte. Par le théorème 5, il existe Z⊂¯ Bfini
tel que ¯ B⊂ ∪z∈ZB(z, 1/2). Pour tout k≥1soit
Zkl’ensemble des combinaisons linéaires z1+ 1/2z2+
· · · + 1/2k−1zkavec (z1, . . . , zk)∈Zk. Alors ¯ B⊂
∪z∈ZkB(z, 1/2k). On conclut que F= Vect(Z)est dense
dans Eet donc Fest égal à Ecar Fest fermé.
Exercice 24. La sphère {x∈E| kxk= 1}est compacte
si et seulement si Eest de dimension finie.
2 Espaces topologiques
En fait, il n’est pas nécessaire d’utiliser une distance
pour dire si des points sont proches. Les “ouverts” vont
servir à cela. Aussi, on sera amener à considérer des es-
paces qui ne seront pas des espaces métriques.
2.1 Définition, exemple
Définition. Une topologie sur une ensemble Xest une
famille Tde parties de X(i.e. T ∈ P(P(X))) telle que
—∅∈T,X∈ T
—Test stable par réunions : si Oi∈ T pour tout
i∈Ialors ∪i∈IOiest dans T.
—Test stable par intersections finies : O1∩O2∈ T
si O1et O2∈ T .
On dit que (X, T)est un espace topologique.
Exemple. (Topologie triviale) Xest un ensemble et
T={∅, X}.
(Topologie discrète) Xun ensemble et T=P(X).
Il est bon d’avoir ces exemples en tête pour tester
certaines propriétés des espaces topologiques par rapport
aux espaces métriques.
Exercice 25. Si (X, d)est un espace métrique, la famille
des ouverts (voir plus haut) de Xest une topologie.
Justement :
Terminologie : les éléments de Tsont appelés ou-
verts. Les fermés sont les complémentaires des ouverts.
L’adhérence d’un ensemble est le plus petit fermé le
contenant.
Si x∈X, un voisinage de xest un ensemble Aqui
contient un ouvert Oqui lui même contient x.
Lemme 10. Un ensemble est ouvert si et seulement si
il est voisinage de tous ses points.
Réciproquement si on connait les voisinages de tous
les points de Xon peut construire une topologie :
Lemme 11. Soit Xun ensemble et supposons donnés,
pour tout x∈X, une famille d’ensembles B(x)(appe-
lées une “base de voisinages de x”) telle que, pour tout
B∈ B(x),x∈Bet, pour tout (B1, B2)∈ B(x)2,
∃B∈ B(x),B⊂B1∩B2. Alors la famille T, consti-
tuée des ensembles O⊂Xtels que pour tout x∈O,
∃B∈ B(x),B⊂O, est une topologie.
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2.2 Suites
Une suite (xn)n∈Ndans Xconverge vers xsi pour
tout voisinage Vde x, il existe n0∈Ntel que, ∀n≥n0,
xn∈V.
On définit aussi la notion de valeur d’adhérence. Il
n’y a pas de notion naturelle de suite de Cauchy dans ce
degré de généralité.
ATTENTION : le résultat de la proposition 1 ne se
généralise pas au cas des espaces métriques.
Exercice 26. Pour la topologie triviale toute suite
converge vers tout point de X(non unicité de la limte...).
Pour la topologie discrète une suite est convergente si et
seulement si elle constante au bout d’un certain rang.
2.3 Espace vectoriel topologique
Même si le cours sera centré sur les espaces vecto-
riels normés, on sera amené à étudier d’autres notions de
convergences dans ces espaces (et donc d’autres topolo-
gies).
Définition. Un K-espace vectoriel topologique est un es-
pace vectoriel Emuni d’une topologie telle que les appli-
cations E×E→E; (x, y)7→ x+yet K×E; (λ, x)7→ λx
sont continues.
Remarque. Pour définir la topologie d’un espace vectoriel
topologique il suffit de se donner une base de voisinages
de 0. (Quelles sont les propriétés supplémentaires que
doit satisfaire cette base).
Exercice 27. Définir la notion de suite de Cauchy dans
un espace vectoriel topologique.
Exemple. Soit Iun intervalle ouvert et soit C∞(I, K)
l’espace vectoriel des fonctions indéfiniments dérivables
sur I. Les ensembles, pour tout ε > 0et tout k∈Net
tout intervalle compact J⊂I,
Nε,k,J ={f∈ C∞(I, K)| |f(k)(x)| ≤ ε∀x∈J}
forment une base de voisinage de 0.
Exercice 28. La topologie sur C∞(I, K)est déterminée
par une distance.
Terminologie : Dans un espace vectoriel topologique
Eun ensemble Aest dit borné si pour tout voisinage V
de 0il existe λ∈Rtel que A⊂λV .
Exercice 29. Dans C∞(I, K)les ensembles compacts
sont les fermés bornés. (connaître le théorème d’Ascoli
peut être utile)
Corollaire 12. La topologie sur C∞(I, K)n’est pas dé-
terminée par une norme.
Exemple. (On reviendra à plusieurs reprises sur cet
exemple au cours du semestre) Soit Eest espace vec-
toriel normé et soit L(E, K)l’espace des formes linéaires
continues sur E. La topologie faible sur Eest donnée par
la base de voisinages de 0E:
Vf1,...,fN={x∈E| |fi(x)| ≤ 1,∀i= 1, . . . , N},
pour tout N∈Net f1, . . ., fNdans L(E, K).
2.4 Continuité
Une fonction f:X→X0entre deux espaces topolo-
giques est continue en x∈Xsi pour tout voisinage V0de
f(x)il existe un voisinage Vde xtel que f(V)⊂V0⇔
pour tout voisinage V0de f(x),f−1(V0)est un voisinage
de x.
Une fonction fest continue si elle est continue en tout
point de X.
Lemme 13. f:X→X0est continue ⇔pour tout ou-
vert O0de X0,f−1(O0)est ouvert ⇔pour tout fermé F0
de X0,f−1(F0)est fermé.
2.5 Compacité
Définition. Un espace topologique (X, T)est dit com-
pact si tout recouvrement ouvert a un sous-recouvrement
fini.
Lorsque Xest un espace métrique, l’exercice 21
montre que cette définition est équivalente à celle don-
née par les suites. Cependant il existe des espaces topo-
logiques qui vérifient l’une des définitions et pas l’autre
(en particulier ces topologies ne sont pas associées à une
distance).
Exercice 30. Sur X= [0,1]×[0,1] on définit un ordre <
et une topologie de la manière suivante : x= (x1, x2)<
y= (y1, y2)⇔(x1< y1) ou (x1=y1et x2< y2) et,
pour tout xdans X, une base de voisinage de xsont les
intervalles Ia,b ={y∈X|a<y<b}contenant x(ceci
n’est pas tout à fait juste si x= (0,0) et x= (1,1)).
Montrer que Xest compact au sens de la définition 2.5
mais pas au sens de la définition 1.7.
Définition. Soient (Xi,Ti)i∈Iune famille d’espaces to-
pologiques. La topologie produit sur Qi∈IXiest la famille
Tdes sous-ensembles Qi∈IOivérifiant que, pour tout i,
Oi∈ Tiet que Oi=Xipour tout isauf un nombre fini
(i.e. {i∈I|Oi6=Xi}est fini).
Exercice 31. Test une topologie.
Théorème 14. (Tykhonov) Si, pour tout i,Xiest com-
pact alors QiXiest compact.
La démonstration est basée sur le resultat (ou plutôt
axiome) suivant
Théorème 15. (Lemme de Zorn) Soit Aune famille de
sous-ensembles d’un ensemble B(i.e. A ⊂ P(B)). On
suppose que pour toute suite croissante A0⊂A1⊂ · · · ⊂
An⊂ · · · d’éléments de A, il existe A0∈ A contenant
∪n∈NAn. Alors Acontient un élément maximal A: pour
tout A0∈ A si A⊂A0alors A=A0.
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