Imprécis de Topologie 1 Espaces métriques

Université de Strasbourg
O. Guichard.
M1 Analyse fonctionnelle (S1)
[email protected]
Imprécis de Topologie
Il s’agit de faire quelques mises au point en “topologie
générale”, les démonstrations sont laissées en exercices.
Exercice 2. Une suite convergente est de Cauchy. Une
suite réelle (i.e. si X = R) de Cauchy est convergente.
1
Espaces métriques
Définition. L’espace métrique (X, d) est dit complet si
toute suite de Cauchy est convergente.
Définition, exemples
Exemple. Q n’est pas complet. R est complet. Rn est
complet (pour toutes les distances données plus haut)
1.1
Définition. Soit X un ensemble, une distance sur X est
une fonction d : X × X → R satisfaisant les axiomes
suivants :
Une suite (yk )k∈N est une sous-suite d’une suite
(xn )n∈N s’il existe une fonction croissante N → N; k 7→ nk
telle que, pour tout k, yk = xnk . On dit parfois suite extraite, on écrit aussi (xnk )k∈N .
Si une suite est convergente (ou de Cauchy) toutes ses
sous-suites sont convergentes (ou de Cauchy).
Une limite d’une sous-suite de la suite (xn ) est appelée valeur d’adhérence.
1. d(x, y) = d(y, x) ≥ 0 pour tout (x, y) ∈ X × X ; et
d(x, y) = 0 si et seulement si x = y.
2. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) pour tout (x, y, z) ∈ X 3 .
La paire (X, d) est appelée espace métrique.
La distance d est un moyen de dire quand 2 points x
et y de X sont “proches”.
1.3
Exemple.
— X = R et d(x, y) = |x − y| ou X = C,
d(x, y) = |x − y|.
La boule ouverte de centre x et de rayon r est
B(x, r) = {y ∈ X | d(x, y) < r}. La boule fermée est
B̄(x, r) = {y ∈ X | d(x, y) ≤ r}.
— X = Rn et la distance entre x = (x1 , . . . , xn ) et
y = (y1 , . . . , yn ) est donnée par l’une des formules
suivantes
d1 (x, y) =
n
X
Ouverts, fermés
Définition. Un sous-ensemble O ⊂ X est dit ouvert si
pour tout x dans O, il contient une boule ouverte centrée
en x : ∀x ∈ O, ∃r > 0, B(x, r) ⊂ O. Un sous-ensemble
F ⊂ X est fermé si son complémentaire X \ F est ouvert.
|xi − yi |,
i=1
v
u n
uX
|xi − yi |2 ,
d2 (x, y) = t
Exercice 3. Les boules ouvertes sont des ouverts, les
boules fermées sont fermées.
i=1
d∞ (x, y) =
max
i∈{1,...,n}
Exercice 4. Si un sous-ensemble F de X est complet
alors il est fermé.
|xi − yi |.
Une réunion d’ouverts est ouvert, une intersection de
fermés est fermé. Une intersection finie d’ouverts est ouverts, une réunion finie de fermés est fermés.
— X = X1 × X2 , où (X1 , d1 ) et (X2 , d2 ) sont des espaces métriques, et la distance entre x = (x1 , x2 )
et y = (y1 , y2 ) est donnée par
Exercice 5. Un sous-ensemble F ⊂ X est fermée si et
seulement si la propriété suivante est satisfaite :
— pour toute suite convergente (xn )n∈N dans X, si
pour tout n, xn ∈ F , alors limn xn ∈ F .
d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ), ou
p
d1 (x1 , y1 )2 + d2 (x2 , y2 )2 , ou
max{d1 (x1 , y1 ), d2 (x2 , y2 )}.
Proposition 1. (adhérence) Soit A un sous-ensemble
de X. Il existe un plus petit sous-ensemble fermé Ā de
X contenant A. De plus un élément x appartient à Ā
si et seulement si ∃(xn )n∈N ∈ AN convergeant vers x.
Aussi ∀(xn )n∈N ∈ AN si cette suite a une limite, alors
limn xn ∈ Ā.
Exercice 1. Ces exemples sont bien des espaces métriques.
1.2
Suites convergentes, de Cauchy et
complétude
Une suite (xn )n∈N de X N converge vers x ∈ X (ou
a pour limite, ou x est le limite de la suite, ou...) si la
condition suivante est vérifiée : ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥
n0 , d(x, xn ) ≤ ε.
Notation : x est noté limn→∞ xn , ou limn xn , voire
lim xn .
Une suite (xn )n∈N est une suite de Cauchy si ∀ε >
0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 , ∀m ≥ n0 , d(xm , xn ) ≤ ε.
Exercice 6. Démontrer la proposition. Montrer aussi
que x ∈ Ā ⇔ ∀ε > 0, ∃a ∈ A, d(x, a) < ε.
Exercice 7. Soient (xn ) une suite dans X et, pour tout
n, Fn l’adhérence de {xm | n ≥ m}. Alors F = ∩n∈N Fn
est l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite (xn ).
Exercice 8. Une suite de Cauchy est convergente si et
seulement si elle admet une valeur d’adhérence.
1
Exercice 14. Pour tout (f, g) ∈ B(X, X 0 )2 , d∞ (f, g) <
+∞.
(B(X, X 0 ), d∞ ) est un espace métrique ; si X 0 est complet, B(X, X 0 ) est complet.
Exercice 9. On reprend les notations de l’exercice 7
et on suppose F 6= ∅ et X compact. Alors, pour tout
ε > 0, il existe n0 ∈ N tel que, pour tout n ≥ n0 ,
dist(xn , F ) = inf z∈F d(z, xn ) < ε. En particulier si une
suite a une seule valeur d’adhérence (i.e. F contient un
seul élément) alors elle est convergente.
Remarque : il est inutile ici que X soit un espace métrique.
Exercice 15. (Cb (X, X 0 ), d∞ ) est un espace métrique
qui est complet si et seulement si X 0 est complet.
Exercice 10. Mettre en défaut le résultat du dernier
exercice quand X n’est pas compact.
ATTENTION : on a alors une notion de convergence de suites de fonctions, mais il y a beaucoup d’autres
manières de définir des notions de convergence (simple,
uniforme sur les compactes, en moyenne, etc.) pour les
suites de fonctions. Il faut toujours prendre garde à quelle
notion de convergence est utilisée. Ici il s’agit de convergence uniforme.
Exercice 11. Soient (xn )n∈N une suite d’un espace compact X et x un point de X. Supposons que la propriété
suivante est vérifiée : pour toute sous-suite (yk )k∈N , il
existe une suite extraite (ykj )j∈N qui converge vers x.
Alors la suite (xn )n∈N converge vers x.
1.4
Densité, lemme de Baire
1.6
Définition. Un sous-ensemble A ⊂ X est dit dense si
Ā = X. Autrement dit, tout point de X est la limite
d’une suite de A.
C’est peut-être l’exemple le plus important pour le
cours d’analyse fonctionnelle. Il généralise le cas de Rn
evoqué ci-dessus.
Exemple. Q est dense dans R. Qn est dense dans Rn .
Définition. Soit E un K-espace vectoriel avec K = R ou
C. Une norme sur E est une fonction E → R; x 7→ kxk
qui vérifie les propriétés suivantes :
Théorème 2. (Lemme de Baire) Soit X un espace métrique complet. Si (On )n∈N est une suite d’ouverts denses,
alors l’intersection ∩n∈N On est dense.
— kxk ≥ 0 pour tout x ∈ E et kxk = 0 ⇔ x = 0E ;
La démonstration est basée sur le lemme suivant.
— kλxk = |λ| kxk pour tout λ ∈ K et tout x ∈ E.
— kx + yk ≤ kxk + kyk pour tout (x, y) ∈ E 2 .
Lemme 3. Soient X un espace métrique complet,
(xn )n∈N une suite dans X et (rn )n∈N une suite de
∗
qui converge vers 0. On suppose que pour tout
R+
n ≥ 0, B(xn+1 , rn+1 ) ⊂ B(xn , rn ). Alors l’intersection
∩n∈N B(xn , rn ) est non-vide (et réduite à un point).
Exercice 16. La formule d(x, y) = kx − yk définit alors
une métrique sur E.
On parle de l’espace métrique associé. C’est (presque)
toujours cette métrique qui sera utilisée sur les espaces
vectoriels normés. Un espace vectoriel est dit complet si
l’espace métrique associé est complet.
Exercice 12. Démontrer le lemme (montrer que (xn ) est
de Cauchy). Démontrer le théorème (pour x ∈ X et ε > 0
construire une suite comme dans le lemme avec les propriétés supplémentaires suivantes : B(x0 , r0 ) ⊂ B(x, ε)
et, pour tout n, B(xn , rn ) ⊂ On ).
1.5
Espaces vectoriels normés
Exemple. Les distances sur Rn données plus haut proviennent toutes d’une norme.
Si E est un espace vectoriel normé et si X est un ensemble, on définit une norme k · k∞ sur l’espace vectoriel
B(X, E) par
Fonctions continues, espace de fonctions continues
∀f ∈ B(X, E), kf k∞ = sup kf (x)k.
Soient (X, d) et (X 0 , d0 ) deux espaces métriques. Une
fonction f : X → X 0 est dite continue en x ∈ X si
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀y ∈ X, d(x, y) ≤ δ ⇒ d0 (f (x), f (y)) ≤ ε.
x∈X
Cette norme induit la distance d∞ définie au paragraphe précédent. La même formule définit une norme
sur Cb (X, E) quand X est de plus un espace métrique.
Exercice 13. f est continue en x si et seulement si
∀(xn )n∈N ∈ X N qui tend vers x, la suite (f (xn ))n∈N tend
vers f (x).
on vient de rencontrer les premiers exemples d’espaces vectoriels normés complets.
Une fonction f : X → X 0 est dite continue si elle est
continue en tout point de X. Une fonction f : X → X 0
est dite bornée si il existe x0 ∈ X 0 et r ∈ R tels que
∀x ∈ X, d(f (x), x0 ) ≤ r.
On dénote par C(X, X 0 ) ⊂ (X 0 )X le sous-ensemble
des fonctions continues, B(X, X 0 ) le sous-ensemble des
fonctions bornées et Cb (X, X 0 ) = C(X, X 0 ) ∩ B(X, X 0 ) le
sous-ensemble des fonctions continues et bornées.
Sur B(X, X 0 ) on définit la distance suivante : pour
tout (f, g) ∈ B(X, X 0 )2
Exercice 17. Vérifier ces exemples.
Proposition 4. Soit f : E → F une application linéaire entre deux espaces vectoriels normés (E, k · kE )
et (F, k · kF ). Alors f est continue ⇔ f est continue en
0E ⇔ ∃x ∈ E, f est continue en x ⇔ ∃M ∈ R, ∀x ∈ E,
kf (x)kF ≤ M kxkE .
Exercice 18. Démontrer la proposition. En particulier
elle implique que kf k := supx∈E\{0E } kf (x)kF /kxkE <
∞. Montrer que f 7→ kf k est une norme sur l’espace vectoriel L(E, F ) des applications linéaires continues de E
dans F . kg ◦ f k ≤ kgk kf k.
d∞ (f, g) = sup d0 (f (x), g(x)).
x∈X
2
1.7
Compacité
Théorème 9. Soit (E, k · k) un espace vectoriel normé.
La boule unité fermée B̄(0E , 1) est compacte si et seulement si E est de dimension finie.
Définition. Un espace métrique (X, d) est dit compact
si toute suite de X admet une sous-suite convergente :
∀(xn ) ∈ X N , ∃ une sous-suite convergente (yk ).
Démonstration. (à completer) Supposons la boule unité
B̄ compacte. Par le théorème 5, il existe Z ⊂ B̄ fini
tel que B̄ ⊂ ∪z∈Z B(z, 1/2). Pour tout k ≥ 1 soit
Zk l’ensemble des combinaisons linéaires z1 + 1/2z2 +
· · · + 1/2k−1 zk avec (z1 , . . . , zk ) ∈ Z k . Alors B̄ ⊂
∪z∈Zk B(z, 1/2k ). On conclut que F = Vect(Z) est dense
dans E et donc F est égal à E car F est fermé.
Exercice 19. Une intersection décroissante de compacts
est non vide : ∀n ∈ N, Kn ⊃ Kn+1 et Kn est compact,
alors ∩n∈N Kn 6= ∅.
Exercice 20. Si X est compact, X est complet.
Théorème 5. Soit X un espace métrique. Alors X est
compact si et seulement si X est complet et pour tout
ε > 0 il existe un sous-ensemble fini Z ⊂ X tel que
X = ∪z∈Z B(z, ε).
Exercice 24. La sphère {x ∈ E | kxk = 1} est compacte
si et seulement si E est de dimension finie.
2
Démonstration. (à compléter) Supposons X compact.
Supposons par l’absurde qu’il existe ε tel que pour tout
Z ⊂ X fini X 6= ∪z∈Z B(z, ε). On construit alors, par récurrence, une suite (xn )n∈N telle que, pour tout n 6= m,
d(xn , xm ) ≥ ε. Une telle suite n’a aucune sous-suite
convergente.
Réciproquement, supposons que pour tout ε > 0, il
(0)
existe Z comme dans l’énoncé. Soit (xn ) = (xn ) une
suite dans X. Par récurrence on construit des suites
(k)
(2)
(1)
(xn ), (xn ), . . ., (xn ), . . . avec, pour tout k > 0, la suite
(k)
(xn )n∈N est contenue dans une boule de rayon 1/2k et
(k)
(k−1)
)n∈N . La suite (yk = xk )
est une sous-suite de (xn
est alors de Cauchy et est une sous-suite de (xn ).
Espaces topologiques
En fait, il n’est pas nécessaire d’utiliser une distance
pour dire si des points sont proches. Les “ouverts” vont
servir à cela. Aussi, on sera amener à considérer des espaces qui ne seront pas des espaces métriques.
2.1
Définition, exemple
Définition. Une topologie sur une ensemble X est une
famille T de parties de X (i.e. T ∈ P(P(X))) telle que
— ∅∈T, X ∈T
— T est stable par réunions : si Oi ∈ T pour tout
i ∈ I alors ∪i∈I Oi est dans T .
— T est stable par intersections finies : O1 ∩ O2 ∈ T
si O1 et O2 ∈ T .
Remarque : cette démonstration utilise le “procédé
diagonal de Cantor ”. Cet outil revient souvent.
On dit que (X, T ) est un espace topologique.
Exercice 21. X est compact si et seulement si de tout
recouvrement X = ∪i∈I Oi par des ensembles ouverts Oi
il existe un sous recouvrement fini (∃J ⊂ I, J fini et
X = ∪i∈J Oi ). Stratégie pour ⇒ : il existe ε > 0 tel que
pour tout x ∈ X, un des ouverts Oi contient B(x, ε).
Stratégie pour ⇐ : les intersections décroissantes de fermés sont non-vides et exercice 7.
Exemple. (Topologie triviale) X est un ensemble et
T = {∅, X}.
(Topologie discrète) X un ensemble et T = P(X).
Il est bon d’avoir ces exemples en tête pour tester
certaines propriétés des espaces topologiques par rapport
aux espaces métriques.
Exemple. Les intervalles fermés et bornés de R. Les
compacts de Rn sont exactement les ensembles fermés et
bornés. Les sphères S(x, r) = {y ∈ Rn | d(x, y) = r} sont
compactes (pour une des distances données plus haut).
Exercice 25. Si (X, d) est un espace métrique, la famille
des ouverts (voir plus haut) de X est une topologie.
Justement :
Terminologie : les éléments de T sont appelés ouverts. Les fermés sont les complémentaires des ouverts.
L’adhérence d’un ensemble est le plus petit fermé le
contenant.
Si x ∈ X, un voisinage de x est un ensemble A qui
contient un ouvert O qui lui même contient x.
Proposition 6. Si X est compact, une fonction f :
X → R est bornée et atteint ses bornes. Par exemple
m = inf x∈X f (x) > −∞ et ∃x ∈ X m = f (x).
Exercice 22. Montrer la proposition. Plus généralement
montrer que l’image d’un compact par une application
continue est compacte.
Lemme 10. Un ensemble est ouvert si et seulement si
il est voisinage de tous ses points.
Corollaire 7. Toutes les normes sur un espace vectoriel
de dimension finie sont équivalentes.
Réciproquement si on connait les voisinages de tous
les points de X on peut construire une topologie :
Exercice 23. Montrer qu’il suffit de considérer le cas
de Rn . Appliquer ensuite
P 2 la proposition à X = {x =
(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn |
xi = 1} et à f : x 7→ kxk (et
utiliser “l’homogénéité” des normes).
Lemme 11. Soit X un ensemble et supposons donnés,
pour tout x ∈ X, une famille d’ensembles B(x) (appelées une “base de voisinages de x”) telle que, pour tout
B ∈ B(x), x ∈ B et, pour tout (B1 , B2 ) ∈ B(x)2 ,
∃B ∈ B(x), B ⊂ B1 ∩ B2 . Alors la famille T , constituée des ensembles O ⊂ X tels que pour tout x ∈ O,
∃B ∈ B(x), B ⊂ O, est une topologie.
Corollaire 8. Les espaces vectoriels normés de dimension finie sont complets. Dans un espace vectoriel normé,
les sous-espaces vectoriels de dimension finie sont fermés.
3
2.2
Suites
2.4
Continuité
Une suite (xn )n∈N dans X converge vers x si pour
tout voisinage V de x, il existe n0 ∈ N tel que, ∀n ≥ n0 ,
xn∈V .
On définit aussi la notion de valeur d’adhérence. Il
n’y a pas de notion naturelle de suite de Cauchy dans ce
degré de généralité.
ATTENTION : le résultat de la proposition 1 ne se
généralise pas au cas des espaces métriques.
Une fonction f : X → X 0 entre deux espaces topologiques est continue en x ∈ X si pour tout voisinage V 0 de
f (x) il existe un voisinage V de x tel que f (V ) ⊂ V 0 ⇔
pour tout voisinage V 0 de f (x), f −1 (V 0 ) est un voisinage
de x.
Une fonction f est continue si elle est continue en tout
point de X.
Exercice 26. Pour la topologie triviale toute suite
converge vers tout point de X (non unicité de la limte...).
Pour la topologie discrète une suite est convergente si et
seulement si elle constante au bout d’un certain rang.
Lemme 13. f : X → X 0 est continue ⇔ pour tout ouvert O0 de X 0 , f −1 (O0 ) est ouvert ⇔ pour tout fermé F 0
de X 0 , f −1 (F 0 ) est fermé.
2.3
2.5
Espace vectoriel topologique
Même si le cours sera centré sur les espaces vectoriels normés, on sera amené à étudier d’autres notions de
convergences dans ces espaces (et donc d’autres topologies).
Compacité
Définition. Un espace topologique (X, T ) est dit compact si tout recouvrement ouvert a un sous-recouvrement
fini.
Définition. Un K-espace vectoriel topologique est un espace vectoriel E muni d’une topologie telle que les applications E × E → E; (x, y) 7→ x + y et K × E; (λ, x) 7→ λx
sont continues.
Lorsque X est un espace métrique, l’exercice 21
montre que cette définition est équivalente à celle donnée par les suites. Cependant il existe des espaces topologiques qui vérifient l’une des définitions et pas l’autre
(en particulier ces topologies ne sont pas associées à une
distance).
Remarque. Pour définir la topologie d’un espace vectoriel
topologique il suffit de se donner une base de voisinages
de 0. (Quelles sont les propriétés supplémentaires que
doit satisfaire cette base).
Exercice 30. Sur X = [0, 1]×[0, 1] on définit un ordre <
et une topologie de la manière suivante : x = (x1 , x2 ) <
y = (y1 , y2 ) ⇔ (x1 < y1 ) ou (x1 = y1 et x2 < y2 ) et,
pour tout x dans X, une base de voisinage de x sont les
intervalles Ia,b = {y ∈ X | a < y < b} contenant x (ceci
n’est pas tout à fait juste si x = (0, 0) et x = (1, 1)).
Montrer que X est compact au sens de la définition 2.5
mais pas au sens de la définition 1.7.
Exercice 27. Définir la notion de suite de Cauchy dans
un espace vectoriel topologique.
Exemple. Soit I un intervalle ouvert et soit C ∞ (I, K)
l’espace vectoriel des fonctions indéfiniments dérivables
sur I. Les ensembles, pour tout ε > 0 et tout k ∈ N et
tout intervalle compact J ⊂ I,
Nε,k,J = {f ∈ C ∞ (I, K) | |f (k) (x)| ≤ ε ∀x ∈ J}
Définition. Soient (Xi , Ti )i∈I une Q
famille d’espaces topologiques. La topologie
produit
sur
i∈I Xi est la famille
Q
T des sous-ensembles i∈I Oi vérifiant que, pour tout i,
Oi ∈ Ti et que Oi = Xi pour tout i sauf un nombre fini
(i.e. {i ∈ I | Oi 6= Xi } est fini).
forment une base de voisinage de 0.
Exercice 28. La topologie sur C ∞ (I, K) est déterminée
par une distance.
Terminologie : Dans un espace vectoriel topologique
E un ensemble A est dit borné si pour tout voisinage V
de 0 il existe λ ∈ R tel que A ⊂ λV .
Exercice 31. T est une topologie.
Exercice 29. Dans C ∞ (I, K) les ensembles compacts
sont les fermés bornés. (connaître le théorème d’Ascoli
peut être utile)
ThéorèmeQ14. (Tykhonov) Si, pour tout i, Xi est compact alors i Xi est compact.
Corollaire 12. La topologie sur C ∞ (I, K) n’est pas déterminée par une norme.
La démonstration est basée sur le resultat (ou plutôt
axiome) suivant
Exemple. (On reviendra à plusieurs reprises sur cet
exemple au cours du semestre) Soit E est espace vectoriel normé et soit L(E, K) l’espace des formes linéaires
continues sur E. La topologie faible sur E est donnée par
la base de voisinages de 0E :
Théorème 15. (Lemme de Zorn) Soit A une famille de
sous-ensembles d’un ensemble B (i.e. A ⊂ P(B)). On
suppose que pour toute suite croissante A0 ⊂ A1 ⊂ · · · ⊂
An ⊂ · · · d’éléments de A, il existe A0 ∈ A contenant
∪n∈N An . Alors A contient un élément maximal A : pour
tout A0 ∈ A si A ⊂ A0 alors A = A0 .
Vf1 ,...,fN = {x ∈ E | |fi (x)| ≤ 1, ∀i = 1, . . . , N },
pour tout N ∈ N et f1 , . . ., fN dans L(E, K).
4