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Spéciales MP
⋆
Feuille d’exercices n
◦
7⋆10/2005
Algèbre générale
⋄ ⋄ ⋄
1
Trouver tous les couples (x, y)∈(N
∗
)
2
tels que x
y
=y
x
.(M)
2
Soit net mdeux entiers distincts. Montrer que F
n
= 2
2
n
+ 1 et F
m
= 2
2
m
+ 1 sont premiers
entre eux. (M)
3
Montrer la périodicité de la suite (u
n
),où u
n
est le dernier chiffre de n
n
.(C)
4
Soit des entiers a, b tels que a > 1, b > 1et a∧b= 1.On pose E={ax +by, (x, y)∈Z
2
}et
F={ax +by, (x, y)∈N
2
}.
1) Décrire E.
2) Soit n∈Ntel que nab. Montrer que n∈F.
3) Soit n∈Ntel que n < ab. Montrer que si n∈F, alors l’écriture n=ax+by, où (x, y)∈N
2
,
est unique.
4) Dénombrer l’ensemble des (x, y)∈N
2
tels que ax +by < ab. (C)
◮Indication : utiliser le rectangle de sommets (0,0) ,(b, 0) ,(b, a),(0, a).
5
Soit (G, ∗)un groupe et Aune partie finie de Gstable par ∗.Montrer que Aest un sous-groupe
de G. (C)
6
Donner deux exemples de groupes d’ordre 9 non isomorphes. (M)
7
Soit (G, ·)un groupe cyclique.
1) Montrer que tout sous-groupe de Gest cyclique.
◮indication :on se ramènera au cas où Gest le groupe U
n
.
2) Démontrer que 
d|n
ϕ(d) = n, où ϕest l’indicateur d’Euler. (d’après M)
8
Décrire, si n2est entier, les sous-groupes de (Z/nZ,+) .(C)
9
Soit (G, ·)un groupe. Si g∈Gest d’ordre n∈N
∗
,calculer l’ordre de g
m
pour tout m∈N
∗
.
(X)
1

10
Soit n > 0entier. On pose : f(n) = (n−1)! mod n.
1) Calculer f(n)pour 1n6.
2) On suppose ici npremier, n5.Déterminer l’ensemble des x∈Z/nZtels que x=¯ 0et
x=x
−1
.Calculer 
n−2
k=2
¯
ket en déduire f(n).
3) Étudier le cas où nest composé. (C)
11
Résoudre dans Z/143Z:x
2
−4x+ 3 = 0.(M)
12
Le groupe des inversibles de l’anneau Z/20Zest-il cyclique ? (C)
13
Soit Kun corps, Aun sous-anneau de Ktel que : ∀x∈K
∗
, x ∈Aou
1
x
∈A. Soit Ml’ensemble
des éléments non inversibles de A.
1) Montrer que Mest un idéal de A.
2) Montrer que tout idéal strict de Aest inclus dans M. (C)
14
On pose Φ
n
=
z
(X−z),où zdécrit l’ensemble des racines primitives n
i`eme
de l’unité.
1) Montrer que Φ
n
∈Z[X].
2) Calculer Φ
n
pour n∈ {1,2,3,4,6,12}.(X)
15
Quels sont les n∈N
∗
tels que X
4
+X
3
+X
2
+X+ 1 divise X
4n
+X
3n
+X
2n
+X
n
+ 1 ?(M)
16
Soit P∈R[X]non constant, scindé sur R,à racines simples et a∈R
∗
.Montrer que le polynôme
P
2
+a
2
n’admet que des racines simples dans C.(C)
17
Soit P∈C[X]tel que d
◦
P=n2.On suppose que Pest divisible par P
′′
et que Pa au
moins deux racines distinctes. Montrer que les racines de Psont simples. (X)
18
Soit P=
n
k=0
a
k
X
k
∈R[X]de degré n, c (P)le nombre de changements de signe dans la liste
des a
i
non nuls et z
+
(P)le cardinal de P
−1
({0})∩R
∗
+
.
Montrer que z
+
(P)c(P).(ENS)
◮indication : on raisonnera par récurrence sur c(P)en utilisant la fonction x→ P(x)x
−λ
avec λconvenablement choisi.
2

1
Trouver tous les couples (x, y)∈(N
∗
)
2
tels que x
y
=y
x
.
On va montrer que la seule solution (x, y)telle que x < y est le couple (2,4) .Pour cela, deux
méthodes sont possibles :
•Méthode 1 : Posons φ(x) = ln x
xpour x1.L’équation étudiée équivaut à φ(x) =
φ(y).Or, comme φ
′
(x) = 1−ln x
x
2
, φ est strictement croissante sur [1,e] et strictement
décroissante sur [e,+∞[.En supposant que x < y, on a forcément 1< x < e< y, donc
x= 2 et φ(y) = φ(2) .Comme φ(2) = φ(4) ,par injectivité de φsur [e,+∞[,on a y= 4.
•Méthode 2 : Pour tout nombre premier p, on introduit la fonction v
p
(valuation p-adique)
qui à tout n∈N
∗
associe v
p
(n) = max k∈N/ p
k
|n.Cette fonction vérifie la propriété
v
p
(nm) = v
p
(n) + v
p
(m)pour tout couple (n, m)d’éléments de N
∗
et la décomposition en
facteurs premiers de n2s’écrit formellement n=
ppremier
p
v
p
(n)
.Ce qui implique que
la relation n|méquivaut à v
p
(n)v
p
(m)pour tout nombre premier. Si on suppose que
x
y
=y
x
avec x < y, on a v
p
(x) =
x
y
v
p
(y)v
p
(y)pour tout nombre premier p, donc x|y.
En posant λ=
y
x
,l’équation devient alors x
λ−1
=λ. La fin de la démonstration résulte d’un
lemme :
◮Lemme :∀k∈N
∗
,2
k−1
kavec égalité ssi k= 1 ou k= 2.
En effet, 2
k−1
> k ⇒2
k
>2kk+ 1 si k1,donc par récurrence 2
k−1
> k pour k3.
Ici on a λ=x
λ−1
2
λ−1
avec λ2,donc λ= 2, x = 2 et y=λx = 4.
2
Soit net mdeux entiers distincts. Montrer que F
n
= 2
2
n
+ 1 et F
m
= 2
2
m
+ 1 sont
premiers entre eux.
Supposons n < m. On a 2
2
n
≡ −1 mod F
n
,donc 2
2
n+1
=2
2
n
2
≡1 mod F
n
,et a fortiori
2
2
m
≡1 mod F
n
(on élève au carré m−nfois de suite). On en déduit que :
pgcd (F
n
, F
m
) = pgcd (F
n
, F
m
mod F
n
) = pgcd (F
n
,2)
et comme F
n
est impair, cette dernière quantité vaut 1 !
3
Montrer la périodicité de la suite (u
n
),où u
n
est le dernier chiffre de n
n
.
On a d’abord par Fermat que 5/|n⇒n
4
≡1 mod 5 ⇒n
20
≡1 mod 5 ⇒n
21
≡nmod 5 et
sous cette forme c’est aussi valable si nest divisible par 5. Comme on a clairement aussi
n
21
≡nmod 2 la différence n
21
−nest divisible par 2 et 5, donc par 10, soit : n
21
≡nmod 10.
On en déduit que pour n1 :
(n+ 20)
n+20
≡n
n+20
=n
(n−1)+21
≡n
n−1
·n=n
n
mod 10
donc la suite est 20-périodique.
On obtient le début de suite (1,4,7,6,5,6,3,6,9,0,1,6,3,6,5,6,7,4,9,0) qui montre que 20
est la plus petite période.
4
Soit des entiers a, b tels que a > 1, b > 1et a∧b= 1.On pose E={ax +by, (x, y)∈Z
2
}
et F={ax +by, (x, y)∈N
2
}.
1) Ensemble E:On a E=aZ+bZ= (a∧b)·Z=Z.
1

2) [[ab, +∞[[ ⊂F:Soit nab et (x
0
, y
0
)∈Z
2
tel que n=ax
0
+by
0
.On fait la division
euclidienne de x
0
par b:x
0
=qb +x, q ∈Z,0x < b et on pose y=y
0
+qa. On a
n=ax +by et nab ⇒by a(b−x)>0⇒y > 0,donc (x, y)∈N
2
et n∈F.
3) Unicité d’une écriture : Si n=ax +by < ab, alors ax < ab et by < ab, donc x < b et y < a.
Puis, si n=ax +by =ax
′
+by
′
,on a a(x−x
′
) = b(y
′
−y),donc b|a(x−x
′
)et comme
a∧b= 1,on a par Gauss que b|x−x
′
.Or, |x−x
′
|< b car x, x
′
sont dans [[0, b −1]],donc
x=x
′
.On en déduit que y=y
′
,d’où l’unicité.
4) Dénombrement des (x, y)∈N
2
tels que ax+by < ab :Soit R=[[0, b]]×[[0, a]].Pour (x, y)∈R,
posons f(x, y) = (b−x, a −y).On a f(x, y)∈Ret si on pose (x
′
, y
′
) = f(x, y),alors :
ax
′
+by
′
= 2ab −(ax +by)
donc finduit une bijection de l’ensemble des (x, y)∈Rtels que ax +by < ab sur celui des
(x, y)∈Rtels que ax +by > ab. Il s’ensuit que :
card R= 2 card {(x, y)∈R / ax +by < ab}+ card {(x, y)∈R / ax +by =ab}.
La relation ax +by =ab implique d’une part xb, y aet d’autre part par Gauss a|yet
b|x, donc x=b, y = 0 ou x= 0, y =a:il y a exactement deux solutions. Finalement :
card {(x, y)∈R / ax +by < ab}=1
2(a+ 1) (b+ 1) −1.
Par exemple, pour a= 2, b = 3,on obtient les 5 couples (0,0) ,(1,0) ,(0,1) ,(1,1) et (2,0) .
5
Soit (G, ∗)un groupe et Aune partie finie de Gstable par ∗.Montrer que Aest un
sous-groupe de G.
Si a∈A, l’application φ
a
:x→ a∗xest définie de Adans Apar hypothèse et est injective (on
est dans un groupe), donc Aétant finie, elle est bijective. Il existe donc x
0
tel que ax
0
=a,
ce qui implique x
0
=e, d’où e∈A. Puis, en écrivant que e∈φ
a
(A),on obtient l’existence de
a
′
∈Atel que a∗a
′
=e, donc a
′
=a
−1
∈A. La partie Acontient e, est stable par produit et
passage à l’inverse : c’est donc un sous-groupe de G.
6
Donner deux exemples de groupes d’ordre 9 non isomorphes.
Le groupe additif G
1
= (Z/3Z)
2
n’est pas cyclique car tout élément (x, y)de G
1
vérifie 3·(x, y) =
(0,0) (tout élément distinct de (0,0) est d’ordre 3). Il n’est donc pas isomorphe au groupe additif
G
2
=Z/9Z.
2

7
Soit (G, ·)un groupe cyclique.
1) Tout sous-groupe est cyclique : Soit n= card G. Comme (G, .)est isomorphe au groupe
(U
n
, .),il suffit de montrer le résultat dans ce cas particulier. Or, si Hest un sous-groupe
de U
n
et si d= card H, on a x
d
= 1 pour x∈H, donc H⊂x∈U
n
/ x
d
= 1=U
d
.
Comme card U
d
=d, on en déduit que H=U
d
,donc Hest cyclique.
◮Remarque : Il y a exactement autant de sous-groupes que de diviseurs de n.
2) Relation vérifiée par ϕ:Soit X
d
= card {x∈U
d
/ ω (x) = d}.Comme l’ordre de tout élément
divise net que e
2iπ
d
est d’ordre d, on voit que (X
d
)
d|n
est une partition de U
n
.Puis, si
x∈X
d
,la relation x
d
= 1 montre que x∈U
d
,donc les éléments de X
d
sont exactement les
générateurs de U
d
.Comme on sait par le cours qu’il y a exactement ϕ(d)tels générateurs,
on en déduit que card X
d
=ϕ(d),d’où :
n= card U
n
=
d|n
card X
d
=
d|n
ϕ(d).
8
Décrire, si n2est entier, les sous-groupes de (Z/nZ,+) .
D’après l’exercice précédent, ils sont tous cycliques. Si on utilise l’isomorphisme ¯ k→ e
2ikπ
n
de
Z/nZdans U
n
,le sous-groupe U
d
est associé aux classes des entiers k
n
d
,0kd−1,donc
en posant p=
n
d
,les sous-groupes cherchés sont du type :
H={ka, 0kq−1}
où aest la classe de pmodulo n, p un diviseur de net q=n/p. Par exemple, pour n= 6,en
dehors des 2 sous-groupes triviaux, on a les sous-groupes {¯ 0,¯ 2,¯ 4}et {¯ 0,¯ 3}.
9
Soit (G, ·)un groupe. Si g∈Gest d’ordre n∈N
∗
,calculer l’ordre de g
m
pour tout
m∈N
∗
.
On rappelle que l’ordre pde x(lorsqu’il est défini) est l’unique générateur p∈N
∗
du groupe
k∈Z/ x
k
=e.En particulier, on a l’équivalence fondamentale :
∀k∈Z, x
k
=e⇔p|k.
Si gest d’ordre n1,alors (g
m
)
n
=e, donc g
m
est aussi d’ordre fini. De plus, si k∈Z,la
relation (g
m
)
k
=eéquivaut à ω(g)|mk. Si on note δ=ω(g)∧m, cette relation implique par
Gauss que
ω(g)
δ
|k. Réciproquement,
ω(g)
δ
|k⇒ω(g)|δk ⇒ω(g)|mk, donc le groupe des k∈Z
tels que (g
m
)
k
=eest engendré par
ω(g)
δ
.On a donc :
ω(g
m
) = ω(g)
ω(g)∧m.
◮Remarque : Dans le cas où mest premier avec ω(g),on a donc ω(g
m
) = ω(g),ceci s’applique
en particulier lorsque Gest fini et que mest premier avec card G. Il suffit de penser au cas où
Gest cyclique : si gest un générateur de G, tout élément du type g
m
,pgcd (m, n) = 1,est
aussi générateur.
3